Chuyên đề số phức ôn thi tốt nghiệp, đh

MATHVN.COM – www.mathvn.com Năm học: 2009 – 2010 www.mathvn.com -1- MATHVN.COM – www.mathvn.com A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂ N, CHIA SỐ PHỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn i = -1 Kí hiệu z = a + bi · i: đơn vị ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo y Chú ý: M b o z = a + 0i = a gọi số thự c (a Î ¡ Ì £ ) o z = + bi = bi gọi số ả o a x o = + 0i vừa số thực vừa số ảo O Biểu diễ n hình học số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z = a + bi Hai soá phức bằ n g Cho hai số phức z = a + bi vaø z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b 'Ỵ ¡ ìa = a ' z = z' Û í ỵb = b ' Cộn g tr số phức Cho hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b 'Ỵ ¡ z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i z - z ' = ( a - a ') + ( b - b ' ) i o Số đối z = a + bi –z = – a – bi (a, b Ỵ ¡ ) Nhâ n hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b 'i với z.z ' = ( aa '- bb ') + ( ab '+ a 'b ) i Số phức liê n hợp số phức z = a + bi z = a - bi o z = z ; z + z ' = z + z ' ; z z ' = z z ' o z số thực Û z = z ; z số ảo Û z = - z Môđ un số phức z = a + bi uuuu r o z = a + b2 = zz = OM o z ³ "z Ỵ C , z = Û z = o z.z ' = z z ' , z + z ' £ z + z ' "z, z ' Ỵ £ Chia hai số phức o Số phức nghịch đảo z (z ¹ 0) : www.mathvn.com -2- z -1 = z z a, b, a ', b 'Ỵ ¡ MATHVN.COM – www.mathvn.com o Thương z’ chia cho z (z ¹ 0) : o Với z ¹ , z ' = w Û z ' = wz , z' z' z z' z = z ' z -1 = = z zz z ổ z' z' ỗ ữ= , ốzứ z z z' z' = z z II CAÙ C DẠNG TOÁN Bài toá n Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau: a z = i + (2 - 4i)(3 + 2i) ; b z = (-1 + i)3 - (2i)3 ; c z = + (1 + i ) 1- i Giaûi a z = i + (2 - 4i)(3 + 2i) = i + 14 - 8i = 14 - 7i Phần thực a = 14; Phần ảo b = -7 ; môđun b z = (-1 + i)3 - (2i)3 = + 2i - (-8i) = + 10i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun c z= z =7 z = 26 ( ) + 1+ i = 1+ i +1- i = 1- i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z =2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau: l (3 + i ) [(2 - i ) a (4 – i) + (2 + 3i) h (1 + 2i) - (1 - i) (3 + 2i) - (2 - i) -i -i – (5 + i) m - 5i 1+ i i b (2 + i)3 – (3 – i)3 i ( - 2i ) + + i n - i - - i 1+ i 1+ i i c j ( 1- i ) + - 3i 2+i o + 2i + + i - 2i d (2 - 3i) - i - 2i k i - 4i p e (1 + i)2 – (1 – i)2 (1 - i )( + i ) f ( + i ) - ( - i ) 3 (5 - i)] 2 g (2 + i)3 – (3 – i)3 Tính a + 2i b + i 1- i m c i m www.mathvn.com h n (2 + 3i)2 o (2 – 3i)3 p + 2i a+i b i a i (2 – i)4 j q i 2 -3- 1+ i + i + (1 + i)(4 - 3i) + 2i MATHVN.COM – www.mathvn.com d a + i e k - 3i + + 4i a a-i a 3+i (1 - 2i )(1 + i ) + 6i (1 + i ) (2i )3 -2+i l m f 2i(3 + i)(2 + 4i) g + 2i + (6 + i)(5 + i) Bài toá n Tính Giải r s (3 – 2i)(2 – 3i) t (3 - 4i)(1 + 2i) + - 3i - 2i 3-i + (5 – i)2 i + 2i + 2i + - 2i - 2i (1 + i)2012 1006 (1 + i) 2012 = é (1 + i) ù ë û = (2i)1006 = 21006.i1006 = 21006.(i )503 = 21006.(-1)503 = -21006 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tính a + i + i2 + i3 + + i 2009 b (1- i)100 Bài toá n Tìm số thực x y biết Giải c (1 + i)2008 + (1 - i)2008 2x + yi - + 2i = x - yi + + 4i ì2x - = x + ìx = 2x + yi - + 2i = x - yi + + 4i Û (2x - 3) + (y + 2)i = (x + 2) + (4 - y)i Û í Ûí ỵy + = - y ỵy = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm số thực x y biết: a.(2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i c.(3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y b (2 – x) – i = + (3 – y) i – 5) i d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i Bài toá n Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a z + i = z - - 3i ; b z + £ Giải Đặt z = x + yi , đó: a z + i = z - - 3i Û x + yi + i = x + yi - - 3i Û x + (y + 1)i = x - + (y - 3)i Û x + (y + 1)2 = (x - 2) + (y - 3) Û x + 2y - = Vaäy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng x + 2y - = b z + £ Û x + yi + £ Û x + + yi £ Û (x + 3)2 + y £ Û (x + 3)2 + y £ www.mathvn.com -4- MATHVN.COM – www.mathvn.com Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình tròn (x + 3)2 + y2 £ tâm I(-3;0) bán kính BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a z + z + = g + z = i - z o z - i = b 2|z – i| = z - z + 2i c z = z - + 4i d z -i =1 z +i e z - + i = a z + z = – 4i b z - z = f z + z = z +i h z = i z = z - + 4i p 1< z £ q 2i - z = z - j z - (2 _ i) = 10 vaø z.z ' = 25 k z £ l z =1 vaø phần ảo z =1 m z - (3 - 4i ) = r phần thực z thuộc đọan [0;1], phần ảo z thuộc đoạn [-1;2] c z + z = - 4i d z + z = n æ z + i = ỗ ữ ố z -iứ B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT , BẬ C HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số phức o z = có bậc hai o z = a số thực dương có bậc ± a o z = a số thực âm có bậc hai ± a i o z = x + yi số phức có bậc w = a + bi cho ìx - y2 = a w2 = z ợ2xy = b (a, b, x, y ẻ ¡ ) Phương tr ình bậc hai Az2 + Bz + C = (A, B, C số thực cho trước, A ¹ ) Tính D = B2 - 4AC o D > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , = o D < 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , = www.mathvn.com -5- -B ± D 2A -B ± i D 2A MATHVN.COM – www.mathvn.com o D = 0: Phương trình có nghiệm kép z1 = z = - B 2A Phương tr ình baäc hai Az2 + Bz + C = (A, B, C số phức cho trước, A ¹ ) Tính D = B2 - 4AC -B ± d o D ¹ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , = , 2A ( d bậc hai o D = 0: D) Phương trình có nghiệm kép z1 = z = - B 2A II CÁ C DẠNG TOÁN Bài toá n Tìm bậc hai số phức sau: a -4 ; b - 4i (NC) Giải a Hai bậc hai -4 ± -4 i = ±2i b Gọi w = x + yi bậc hai - 4i , ta có: éìx = ì é x = -1 (loạ i) ìéx = êí ì x - y = ì x - 3x - = ïê ï ì x - y2 = ï ï ïëx = ï ê x = -2 ỵ y = -1 ë Ûí Ûí Ûí Ûí Ûê í 2 ê ì x = -2 ỵ2xy = -4 ïy = ïy = ï ï êí y=ỵ x ỵ x y=ï ï ỵ x êỵy = ỵ x ë 2 Vậy - 4i có hai bậc hai - i -2 + i BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm bậc hai số phức sau: 8;3; -9 ; -11 ; -I; -2i; 2i; 4i Tìm bậc hai số phức sau: (NC) -5 + 12i ; + 6i ; 33 - 56i ; -3 + 4i ; 3+4i; – 12i Bài toá n Giải phương trình sau tập số phức: a (3 - 2i)z + + 5i = - 3i ; b z + - 3i = - 2i - 3i Giaûi a (3 - 2i)z + + 5i = - 3i Û (3 - 2i)z = - 8i Û z = - 8i = 25 - 18 i b - 2i 13 13 z z + - 3i = - 2i Û = + i Û z = (3 + i)(4 - 3i) = 15 - 5i - 3i - 3i BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải phương trình sau tập số phức: + 5i a + i z = - + 3i h = - 4i 1- i 2+i www.mathvn.com z -6- MATHVN.COM – www.mathvn.com b 2iz + – i = c (1 – i )z + – i = 2z + i d ( iz –1 )( z + 3i )( z – + 3i) = e ( i) z – = z + (2 - 3i ) = - i - 3i i j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) k (3 – 2i)z + (6 – 4i)= – i l (3 + 4i)z + (1 3i)=2 + 5i ổ zỗ3 - i÷ = + i è ø n [(2 - i) z + + i](iz + ) = 2i m f ( - 5i ) z = + i g ( - 2i )2 ( z + i ) = 3i s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( + i) Bài toá n Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a 7z + 3z + = ; b -3x + 2x - = Giaûi a 7z + 3z + = D = b - 4ac = -47 < Phương trình có nghiệm phân biệt: z1 = z2 = b -b + i D 2a = -3 + 47.i 47 =- + i 14 14 14 = -3 - 47.i 47 =- i 14 14 14 -b - i D 2a -3x + 2x - = D ' = b '2 - ac = -2 < Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = x2 = - b '+ i D ' a -b '- i D ' a = -1 + 2.i = i -3 3 = -1 - 2.i = + i -3 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải phương trình sau tập số phức: a x - 3.x + = h z3 + = b x - 3.x + = i z4 + = j 5z2 – 7z + 11 = c 3x - x + = k z2 - z + = d 3x2 + x + = l z3 – = e x + x + = m z2 + z +7 = f z4–8 = n z2 – z + = g x3 – = www.mathvn.com -7- o z2 + 2z + = p 8z2 – 4z + = q x2 + = r x2 – 3x + = s x2 –5x +7=0 t x2 –4x + 11 = u z2 – 3z + 11 = MATHVN.COM – www.mathvn.com Giải phương trình sau trường số phức a z4 – 5z2 – = g z4 + z3 + b z4 +7z2 – = 4 c z – 8z – = d z + 6z + 25 = e z4 + 4z – 77 = f 8z4 + 8z3 = z + 1 z +z+1=0 h z + z + z3 + z2 + z + =0 i z - - 7i = z - 2i z-i j 1 z3 + z + z - = 2 Bài toá n Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a x - (3 + 4i)x + 5i - = ; b z - 2iz + 2i - = Giaûi a x - (3 + 4i)x + 5i - = D = b - 4ac = -3 + 4i = (1 + 2i)2 ¹ Gọi d bậc hai D , ta có d = + 2i Do D ¹ , phương trình có nghiệm phân biệt: - b + d + 4i + + 2i = = + 3i 2a - b - d + 4i - (1 + 2i) x2 = = = 1+ i 2a x1 = b z - 2iz + 2i - = D ' = b '2 - ac = -2i = (1 - i) ¹ Gọi d ' bậc hai D ' , ta coù d ' = - i Do D ' ¹ , phương trình có nghiệm phân biệt: - b '+ d ' i + - i = =1 a - b '- d ' i - (1 - i) z2 = = = -1 + 2i a z1 = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (NC) Giải phương trình sau tập số phức: a x2 – (3 – i)x + – 3i = j z - 80 z + 4099 - 100i = k ( z + - i )2 - ( z + - i ) + 13 = b (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = c x + (1 + i ) x - - i = l z - ( cos j + i sin j ) z + i cos j sin j = d 2z2 – iz + = m z - (1 - i ) z + 63 - 16i = e z2 + (-2 + i)z – 2i = n z - 24 (1 - i ) z + 308 - 144i = f z + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = o ( – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = g z + ( – i)z – 2(1 + i) = p ( + i)x2 – 2(1 – i)x + – 3i = h x - ( + 8i ) x + 14i - 23 = www.mathvn.com -8- MATHVN.COM – www.mathvn.com i q z2 + 18z + 1681 = z - ( - 14i ) z - (12 + 5i ) = Giaûi hệ phương trình : a b ì z1 + z = + i í 2 ỵ z1 + z = - 2i ì z1 z = -5 - 5.i í 2 ỵ z1 + z = -5 + 2.i c ì z1 í ì z - 2i = z + z2 = + 2i e ï í ỵ z1 + z2 = - i 2 d ìu + v + 4uv = í ỵu + v = 2i ï z - i = z -1 ỵ C DẠNG LƯNG GIÁ C CỦ A SỐ PHỨ C (NC) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dạn g lượn g giác số phức z = r(cos j + i sin j) (r > 0) laø dạng lương giác z = a + bi (a, b ẻ Ă , z 0) o o r = a + b2 j môđun z acgumen z thỏa a ì ïcos j = r ï í ïsin j = b ï ỵ r Nhâ n chia số phức dạn g lượn g giác Nếu z = r(cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') : z.z ' = r.r '[cos(j + j ') + i sin(j + j ')] o o z r = [cos(j - j ') + i sin(j - j ')] z' r' Coân g thức Moa-vr : n Ỵ N * [r(cos j + i sin j)]n = r n (cos nj + i sin nj) Nhân xét : (cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj Căn bậc hai củ a số phức n g lượ n g giác Căn bậc hai số phức z = r(cos j + i sin j ) (r > 0) laø r (cos j j + i sin ) 2 vaø - r (cos j j j j + i sin ) = r [cos( + p ) + i sin( + p )] 2 2 II CÁ C DẠNG TOÁN Bài toá n Viết dạng lượng giác số phức sau: a z = - 2i ; b z = -1 - 3.i Giaûi a z = - 2i o Mô đun r = a + b2 = 2 www.mathvn.com -9- MATHVN.COM – www.mathvn.com Goïi o j Dạng lượng giác b acgumen z ta có ì ïcos j = p ï Þj=í ïsin j = - ï ỵ é ỉ pư ỉ p ứ z = 2 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ú è øû ë è 4ø z = -1 - 3.i Mô đun o Gọi o j Dạng lượng giác r = a + b2 = acgumen z ta có ì ïcos j = - 2p ï Þj=í ïsin j = - ï ỵ é ỉ 2p ỉ 2p ự z = ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ ố ứỷ ë è ø BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm acgumen số phức sau: f (1 - i )(1 + i) a - + 3.i d cos p - i sin p 4 b – 4i g - i e - sin p - i cos p 1+ i c – 3.i 8 Thực phép tính c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + a (cos p + i sin p ).3(cos p + i sin p ) 6 4 isin25o) 0 (cos 45 + i sin 45 ) b 2p 2p (cos + i sin ) (cos15 + i sin 15 ) 3 d 2(cos Viết dạng lượng giác số phức sau: a - i d - i 1+ i b + i e 2.i.( - i) c (1 - i )(1 + i) Bài toá n Tính: a (1 - i) Giải a (1 - i)10 ( 10 +i ( ) +i ); b ( p p + i sin ) 2 f + 2i g z = sin j + i cos j (1 + i)10 +i ) 10 é ỉ é ỉ 5p ỉ pư ỉ p ứ ỉ 5p ù (1 - i) = ỗ cos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ữ ỳ = 25 ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ú = 32 ( - i ) = -32i è 4ø è ø øû è øû ë è ø ë è 10 www.mathvn.com -10- MATHVN.COM – www.mathvn.com ( +i Þ (1 - i)10 b ( ( ) 6 é ỉ p p ứ = ỗ cos + i sin ữ ỳ = 32 ( cos p + i sin p ) = 26 ( -1 + 0i ) = -26 6 øû ë è 3+i ) = -32i ( -64 ) = 2048i (1 + i)10 +i ) 10 é ỉ p p ứ 5p 5p ỉ (1 + i) = ỗ cos + i sin ữ ỳ = 25 ỗ cos + i sin ÷ = 32 ( i ) = 32i 4 øû 2 ø è ë è 10 ( Þ ( (1 + i)10 +i ) 9 é ỉ p p ứ 3p 3p ỉ = ê ỗ cos + i sin ữ ỳ = 29 ç cos + i sin ÷ = -512i 6 øû 2 ø è ë è =16 +i ) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tính : a [ (cos 30 + i sin 30 )]7 b ( - i) c æ + i ỗ ữ ố1- i ứ 33 ổ d ỗ + i ữ ỗ2 ÷ è ø 12 e ỉ i + ç ÷ 1+ i ÷ è - +i ứ 2010 h ổ ỗ ố i ứ 21 ổ f ỗ + 3i ữ ỗ - 2i ÷ è ø g ỉ cos p - i sin p i5 (1 + 3i)7 ỗ ÷ 3ø è i (1 + i )25 50 j (1 + i ) 49 ( 3+i ) k (cos12o + isin12o)5 Bài toá n Tìm bậc hai số phức sau: a Giải a -1 - i z = -1 - i ; b z= 1- i 1+ i Dạng lượng giác: é ỉ 2p ỉ 2p ù z = ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ÷ ú è øû ë è ø Hai bậc hai z ỉ1 é ỉ pư ỉ p ứ w1 = ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ = ỗ ỗ 2 i ÷ = - i = - i ÷ è øû ë è 3ø è ø ỉ1 é ỉ pư ỉ p ứ w = - êcos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ú = - ỗ ỗ 2 iữ = - + i = - + i ÷ è øû ë è 3ø è ø b z= 1- i 1+ i Dạng lượng giác www.mathvn.com é ỉ 7p ỉ 7p ù z = ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ÷ ú è 12 ø û ë è 12 ø -11- 280 MATHVN.COM – www.mathvn.com é ỉ 7p ỉ 7p ửự w1 = ờcos ỗ - ữ + i sin ỗ - ữ ỳ vaứ ố 24 ø û ë è 24 ø é ỉ 7p é ỉ 17 p ỉ 7p ù ỉ 17p ö ù w = - êcos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ú = ờcos ỗ ữ + i sin ỗ ÷ú è 24 ø û è 24 ø û ë è 24 ø ë è 24 ø Hai bậc hai z BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm bậc hai số phức sau : 2004 ỉ i a + 3.i f ỗ ữ è1+ i ø b + 5.i g - 11 + 3i c –1 – i h (1 - i ) d 1+ i e ( - i)6 www.mathvn.com -12- i j p p - i sin 4 p p cos - i sin 3 cos k + 5i l -1 - 6i