skkn CHUYÊN đề số PHỨC và ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I:DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC –CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Số phức: +)Là biểu thức có dạng a + b i , a, b số thực số i thoả i = –1 Kí hiệu z = a + b i với a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo +)Tập hợp số phức kí hiệu £ = {a + b i / a, b ¡ i = –1} Ta có ¡  £ +)Số phức có phần ảo số thực: z = a + i = a ¡  £ +)Số phức có phần thực số ảo: z = 0.a + b i = b i Đặc biệt i = + i +)Số = + i vừa số thực vừa số ảo Hai số phức +)z  a+bi (a,b  ¡ ) z'  a'+b' i (a',b'  ¡ ) a  a ' +)z  z'   b  b ' Cộng, trừ hai số phức +)z  a+bi (a,b  ¡ ) z'  a'+b' i (a',b'  ¡ ) +)z + z'  (a + a' ) + (b + b') i +)z  z'  (a - a') + (b - b' )i Số đối số phức z = a + bi số phức - z = - a - bi; z + (-z) = Nhân hai số phức +)z  a+bi (a,b  ¡ ) z'  a'+b' i (a',b'  ¡ ) +)zz'  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i Môđun số phức, số phức liên hợp +) z = a +bi (a, b  ¡ ) môđun z z = a +b +) z = a +bi (a, b  ¡ ) số phức liên hợp z z = a - bi Ta có: zz' = z z' , zz  a  b  z z + z' = z + z', zz'=z z', z = z z số thực z = z Chia cho số phức khác z +) Nếu z = a + bi (a, b  ¡ ) khác không số phức nghịch đảo z z-1= z z' z'z  z'z-1  +) Thương z' cho z khác không là: Ta có: z zz z' z'  z' z'  ,   z z z z Biểu diễn hình học số phức +) Số phức z = a + bi (a, b  ¡ ) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi mặt phẳng phức Trục Ox biểu diễn số thực gọi trục thực, trục Oy biểu diễn số ảo gọi trục ảo r +) Số phức z = a + bi (a, b  ¡ ) biểu diễn vectơ u  (a; b) , uuuur M(a; b) điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a, b  ¡ ) có nghĩa OM biểu diễn số phức r r Ta có:Nếu u , v theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' r r u  v biểu diễn số phức z + z', r r u  v biểu diễn số phức z - z', r k u (k  ¡ ) biểu diễn số phức kz, uuuur r OM  u  z , với M điểm biểu diễn z Lũy thừa đơn vị ảo: Cho k N i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i B.CÁC DẠNG BÀI TẬP: Xác định tổng, hiệu, tích, thương mô đun số phức a) Phương pháp giải Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân biến đổi số phức cho dạng z=a+bi b) Các ví dụ Ví dụ 1: Xác định phần ảo số phức a) z  1  i    3i   i 1  2i  b) z   2i 1 i c) z   i  1  2i  Bài giải a)Ta có z  1  i    3i   i 1  2i  z  1  2i  i    3i   i  2i z   2i   3i    i z  4i  6i   i z   3i Vậy số phức z có phần ảo -3 Ví dụ 2: Tính 1  i 2 Bài giải 3  i  i 2 2    i Ta có : 2 1   i   i    2  2  Ví dụ 3: Tính 1 i  i2  i3   i2009 Bài giải Ta có: 1 i2010  (1 i)(1 i  i2  i3   i2009 ) Mà 1 i2010  Nên  i  i  i3   i 2009  , 1 i 1 i  i2  i3   i2009  1 i Ví dụ 4: Tính (1 i)100 Bài giải Nhận thấy (1 i)2  (1 i)(1 i)  2i Suy (1 i)100  ((1 i)2 )50  (2i)50  (2)50 (i)50  250 Ví dụ 5: Cho số phức z    i 2 Hãy chứng minh rằng: z  z   0; z  z  ; z3  z Bài giải 3 Do z    i Nên z  z   (  i )  (  i)   ; 2 2 2   i 1  2   i Suy z  z  Lại có  z 2 z   i 2 Hơn ta có z  Ví dụ 6: Tìm số phức z, z  z  Bài giải Đặt z = x + yi, z  z   ( x  yi)2  x  y     x  y  x  y  xyi    x    x  y  x  y    y  y    2 xy    y    x  x    x    x     y  y (1  y )       y     y    x  (do x   0)   x (1  x )      y    x  0, y   x  0, y      x  0, y  1 Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện z = 0; z = i; z = - i   y  0, x  Ví dụ 7: Cho hai số phức z  Bài giải Ta có   3i   3i 1 i  Xác định môđun số phức z  iz    1  3i   1  3i  3i 1  3i    2  3i 1  3i    3i 2  2  3i  3i  6i  8 1  3i  z Suy 1 i  z  4  4i  8 1  i  8 8  8i    4  4i  i 1  i 1  i   z  iz  4  4i  i  4  4i   4  4i  4i  4i  8  8i Vậy môđun số phức z  iz z  iz  8  8i   8    8   2 Biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ a) Phương pháp giải Để biểu diễn số phức cần dựa vàorđịnh nghĩa tính chất sau: ur Nếu số phức z biểu diễn vectơ u , số phức z' biểu diễn vectơ u ' , r ur r ur z r+ z' biểu diễn u  u ' z - z' biểu diễn u  u ' ;- z biểu diễn u b) Các ví dụ Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z 1  i  ; b)  z  i  z Bài giải a) Đặt z = x + yi suy z - + i = (x - 1) + (y + 1)i Nên hệ thức z 1  i  trở thành ( x  1)  ( y  1)   ( x  1)  ( y  1)  Vậy tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = b) Gọi A (- ; 0), B(0 ; 1) Khi  z  i  z  z  (2)  z  i M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp điểm M(z) đường trung trực đoạn thẳng AB Nhận xét: Với phần b ta thức cách giải làm phần a Tuy nhiên để thể thực cách giải ta dựa váo nhận xét sau: r r Nếu véctơ u mặt phẳng phức biểu diễn số phức z độ dài vectơ u r u  z , từ điểm A, B theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' uuur AB  z  z ' Ví dụ 2: Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  Tìm số phức z có modul nhỏ Bài giải Xét biểu thức z   3i  (1) Đặt z = x + yi Khi (1) trở thành ( x  2)  ( y  3)i   ( x  2)2  ( y  3)2  Do điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm đường tròn (C) tâm I(2; -3) bán kính R = y O H x M -3 I Ta có z đạt giá trị nhỏ điểm M nằm đường tròn (C) gần O Do M giao điểm (C) đường thẳng OI, với M giao điểm gần O Ta có OI =   13 Kẻ MH  Ox Theo định lí ta lét có MH OM   OI  MH   13MH  13   13  2 13 13  13  78  13  26 13 OH Lại có   OH  13   26  13 13 13 13 13  Vậy số phức cần tìm z 26  13 78  13  i 13 26 Ví dụ 3: Chứng minh với số phức z, w, ta có z  w  z  w Đẳng thức xảy nào? Bài giải Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z, w, z + w Ta có z  OA, w  OB, z  w  OC Từ OC  OA + AC suy z  w  z  w Hơn OC = OA + AC O, A, C thẳng hàng A thuộc đoạn uuur uuur thẳng OC Khi O  A (hay z  0) điều có nghĩa có số k  để AC  kOA tức w = kz (Còn z = 0, rõ ràng z  w  z  w ) Vậy z  w  z  w z = z  tồn k  R để w = kz C BÀI TẬP Chứng minh với số phức z, w ta có z  w  z  w Dấu xảy nào? Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn số phức z, w, u, v thoả mãn tính chất: a) z  w  u  v  1; b) z + w + u + v = Cho số phức z = m + (m - 3)i, m  R a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm đường phân giác thứ hai y = - x; x b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm hypebol y   ; c) Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ nhỏ Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức z 3 z i Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 4i  6i ; (1  i)(1  2i); i 1 3i a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân; b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông PHẦNII:CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa bậc hai số phức Cho số phức w số phức z thoả mãn z2 = w gọi bậc hai số phức w a) Nếu w số thực + w < có hai bậc hai:  wi &   wi + w  có hai bậc hai: w &  w b) Nếu w số phức ta thực bước: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy bậc hai w tức là: z  w ta  x  y  a (1) có hệ:  (2)  xy  b Bình phương vế (1) (2) cộng lại ta x  y  a  b 2   x  y  a (1) Do ta hệ:  2 2 (2')  x  y  a  b Giải hệ tìm x y suy x y để tìm z Chú ý: Theo (2) ta có b > x, y dấu Nếu b < x, y trái dấu Công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số phức Cho PT: ax  bx  c  0; (1) (a, b, c  £ , a  0) có   b2  4ac b   b   ; x2  + Nếu   pt có hai nghiệm x1  2a 2a Trong  bậc hai  b + Nếu  = pt có nghiệm kép: x1  x2   2a B Các dạng tập Giải phương trình bậc a) Phương pháp giải Biến đổi phương trình dạng Az + B = 0, A, B  £ , A  Viết nghiệm z B A b) Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + - i = Bài giải Nghiệm phương trình z  (1  i ) 1 1     i 2i 2i 2 2 Tính bậc hai giảiphương trình bậc hai a) Phương pháp giải Sử dụng công thức tính bậc hai số phức để tính bậc hai Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai để tìm nghiệm phương trình với ý phải đưa dạng phương trình b) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức sau: a)   12i b)  6i c) 33  56i d )   4i Bài giải a) Gọi z = x + iy bậc hai -5 + 12i tức  x  iy   5  12i  x  y  2ixy  5  12i  x  y  5  x   x  y  5  x  2       2  x  y  13  y  3 2 xy  12  y  x   x  2 Do b = 12 > nên x y dấu từ có   y   y  3 Vậy -5 + 12i có bậc hai z1 =2+3i z2 = -2-3i b) Tương tự ta gọi z = x + iy bậc hai 8+ 6i tức  x  iy    6i  x  y  2ixy   6i  x  y   x   x2  y   x  3       2  x  y  10  y  1 2 xy   y  x   x  3 Do b= 6> nên x y dấu từ có   y 1  y  1 Vậy + 6i có bậc hai 3+i -3-i c) Gọi z = x + iy bậc hai 33 - 56i tức  x  iy   33  56i  x  y  2ixy  33  56i  x  y  33  x  49  x  y  33  x  7       2  x  y  65  y  4 2 xy  56  y  16 x   x  7 Do b = -56 < nên x y trái dấu từ có    y  4 y  Vậy bậc hai 33 - 56i 7- 4i -7+i4 d) Gọi z = x + iy bậc hai -3 +4i tức  x  iy   3  4i  x2  y  2ixy  3  4i  x  y  3  x   x  y  3  x  1       2  x  y   y  2 2 xy   y   x  1 x  Do b = > nên x y dấu từ có    y  2 y  Vậy bậc hai -3 + 4i + 2i -1-2i Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) x    4i  x  5i   0; (1) b) x  1  i  x   i  0; (2) Bài giải a) Ta có     4i    5i  1  3  4i Theo kết ví dụ 1d)  có hai bậc hai 1+ 2i -1 - 2i Do pt (1) có hai  4i   2i  4i   2i nghiệm là: x1    3i; x2  1 i 2 b) Tương tự ta có   1  i    i     6i Theo kết ví dụ 1b)  có hai bậc hai + i -3 - i Do pt (2) có hai nghiệm là: 1  i   i 1  i   i x1   1; x2   2  i 2 Chú ý: PT (2) dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) 3x  x   0; (1) b) x  x   0; (2) c) x3   (3) Bài giải a) Ta có  = 12- 4.3.2 =-23[...]... Số phức dưới dạng lượng giác 1 Acgumen của số phức z  0 Cho số phức z  0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lượng Giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z Chú ý: + Nếu  là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:  + k2  , k  Z + Acgumen của z  0 xác định sai khác k2  , k Z 2 Dạng lượng giác của số phức Cho số phức. .. 10 và Z.Z  25 b, Giải phương trình: Bài 20: Trong mặt phẳng oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa: Z  1  (1  i)Z Bài 21: Gọi Z1, Z2 là nghiệm của phương trình: Z 2  2Z  10  0 A  Z1  Z 2 2 Bài 22: Tính giá trị: 2 a, Tìm phần ảo của số phức Z thỏa: b, Cho số phức Z: Z  (1  3i )3 1 i Z  ( 2  i ) 2 (1  2i ) Tìm mô đun của số phức: Z  iZ PHẦN 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG... số phức Z = a+bi, (a, b  R), với r = a 2  b 2 là modun của số phức z và  là Acgumen của số phức z Dạng z = r (cos  +isin  ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0, còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z II Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r(cos  +isin  ), z' = r' (cos  '+isin  ') (r  0 và r'  0 ) thì zz' = rr ( cos (    ' )  i sin(    ' ))... đó là các số phức được xác định như trên Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z 0 , z 1 , z 2 Khi đó 16 uuur uuur uuur OA  OB  OC  1; 2 · AOB  ; 3 2 · BOC  3 Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TÍNH TỔNG CỦA CÁC Ck n n A)Khai triển (1 + x) , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức Ví dụ... 20  13 3 D.MỘT SỐ BÀI TẬP: Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: b ( 1 - i 3 )(1  i) a 1 - i 3 d 1 - itan  5 e tan c 5 i 8 1 i 3 1 i f 1-cos   i sin  (   R,   k 2 , k  Z ) Bài 2: Cho 2 số phức: 4 – 4i và 1+ i 3 Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dưới dạng lượng giác Bài 3: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau: z ; 1... điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện: (1  i ) z  2 1 1 i b, Tìm số phức ở trên có mô đun nhỏ nhất, mô đun lớn nhất 3 Tìm các số phức có mô đun bé nhất 2 Bài 8: Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: 2 z 2  4 z  11  0 Tính Bài 7: Trong các số phực thỏa : z  2  2i  z  z2  1 ( z1  z2 ) 2 2 2 zw (1  zw  0) là số thực 1  zw 1 1 b, Phần thực của số phức Z bằng ( Z  Z )... 16: Tìm số phức Z thỏa: 12 2 b, Z  1  5 và 17( Z  Z )  5Z Z  0 a, Z 2  2Z Z  Z  8 và Z  Z  2 Bài 17: Cho phương trình: Z 3  (2  2i)Z 2  (5  4i) Z  10i  0 a, CMR phương trình trên chỉ có duy nhất 1 nghiệm thuần ảo phương trình trên Bài 18: a, Cho số phức Z: (1  i)3.(2  i)Z  (8  i)  (1  2i) Z phần ảo b, Giải Tìm phần thực, 4 Z  3  7i  Z  2i trên C Z i Bài 119: Tìm số phức thỏa:... đại số: 11 a, z  (1  i)7 b, z  ( 3  1)9 (1  i )5 Bài 4: a, CMR nếu z  z thì z là số thực c) CMR Nếu Z  0 thì c, z  (5  i)4 (1 i) b, Số phức Z là số ảo  Z   Z Z Z  Z' Z' d)CMR Z Z '  Z Z ' Bài 5: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức: a, Z  1 b, Z  1 c, 1  Z  2 d, Z  i  1 e, Z i 1 Z i Bài6 : a, Trong mặt phẳng tọa độ oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số. .. i.sin(  )  là dạng số phức  2 2  cần tìm + Nếu sinh  < 0, thì từ (*) ta có     z  2sin  (  sin   i cos  )  2sin  cos(  )  i.sin(  )  là dang lượng giác cần 2 2   tìm + Nếu sinh  = 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định 2 Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức a) Phương pháp giải Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử dụng các công thức Moivre... r' III Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng 1 Công thức Moa- Vrơ  r (cos   i sin  )  r n (cos n  i sin n ) cos   i sin  n  cos n  i sin n , n  N * n 13 2 Căn bậc n của một số phức Với z = r(cos  +isin  ), r > 0, có hai căm bậc hai của z là r (cos    i sin ) ; 2 2  r (cos      i sin )  r (cos(  )  i sin(  )) 2 2 2 2 B các dạng Bài tập 1 Viết số phức dưới dạng lượng giác