Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
1,24 MB
Nội dung
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Dãy số un gọi dãy số tăng với n ta có un un1 Dãy số un gọi dãy số giảm với n ta có un un1 Định nghĩa Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M cho un M , n * un m, n * Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số m cho Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M số m cho m un M , n * Định lý a Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ b Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí a Mọi dãy tăng khơng bị chặn tiến tới b Mọi dãy giảm khơng bị chặn tiến tới Định lý a Nếu dãy un hội tụ đến a dãy trích từ un hội tụ đến a b un hội tụ đến a u2n u2 n1 hội tụ đến a Định lý a Nếu lim un un 0, n n b Nếu lim un un 0, n n n u n lim 0 n u n lim Định lý 5.(Định lý kẹp giới hạn) Nếu với n n0 ta có un xn lim un lim a lim xn a Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn u1 a Bài tốn Chứng minh dãy số un xác định có giới hạn hữu hạn un f un1 ; n tìm giới hạn ( f x hàm số liên tục) Phương pháp giải a) Dãy xn bị chặn Nếu f x hàm số tăng a; b dãy xn đơn điệu hội tụ đến L nghiệm phương trình f x x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn b) Nếu f x hàm số nghịch biến dãy x2 n ; x2 n1 dãy xn ngược chiều biến thiên Nhận xét: Nếu dãy x2n hội tụ đến L , dãy x2 n 1 hội tụ đến K : Với L K dãy xn khơng có giới hạn; Với L K dãy xn có giới hạn L II BÀI TẬP CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN u1 Bài Cho dãy số (u n ) xác định công thức un 2un 3 ; (n un2 * ) Chứng minh dãy số có giới hạn Tính lim un ? Lời giải Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un n 0; * Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: un 1 2un Do đó: un Mặt khác: un un2 1 u n * 3; n un2 un2 3 ; n * u n un un2 un un2 un 3 un2 3 un un2 un Vậy (un ) dãy số giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử, lim un Kết luận lim un a a Ta có: a a2 a a2 a 3 Bài Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn u0 Bài Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn 1 un u ; n 1, 2,3 n 1 3x n , xn a) x n : x1 2x n b) x n : x1 2; xn c) xn : xn d) x n : x1 13; xn e) x n : x1 ;x n n! 2n 1 !! 1 ;n xn N 12 xn x n x n2 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước f) u1 un un x1 xn g) xn xn : xn xn : xn x1 j) xn : xn 10x n 2x n 13 ,n xn 20 ,n 1, 1 x n 2014 ,n xn 1 u n n u k) x n : x1 ;x n l) x n : x1 0; xn m) x n : x1 1; x n n) x n : x1 1; x o) x n : x1 p) x n : x1 f x 3 x minh un 3x n 1 x1 i) ,n 0; x x1 h) 3un 2un GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn ,n 3xn xn ; n 2; n 2x n xn 2; xn ;x n ;x n x n 1 1 ;n xn xn ; n 3x n ; n x ; n Hướng dẫn: Xét hàm số n x , x 0;1 , f ' x 0; x 0;1 từ suy f x tăng 0;1 Chứng f un & un un dấu, 0;1 quy nạp Do f x tăng nên f un dấu với u2 16 u1 q) x n : x1 2; xn r) x n : x1 2; xn s) x n : x1 1982; x n 2 ;n un Từ suy un dãy giảm bị chặn xn ; n HD: Xét hàm số f x x ;x 0;2 x HD: Xét hàm số f x ;n 3x n 22 ; x HD: Xét hàm số f x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 1;2 3x ;x 0;1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x n : x1 t) 1; x n 1 ;n xn GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ BÀI TỐN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ u1 Bài Cho dãy số thực un xác định bởi: u u u , n n n n 1 Tìm giới hạn sau: (1) 1 lim n u u2 un 1 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un1 un un2 un tăng Tính tổng: un 1 un2 un 1 1 un 1 un un 1 un un 1 1 un un un 1 (n 1, 2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 2 u1 u2 un1 un1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a a a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un lim un1 lim n n 1 lim Vì từ (2) ta suy ra: lim 2 n u n u u u n 1 n 1 1 Vậy lim 2 n u u2 un 1 u1 Bài Cho dãy số thực un xác định bởi: un 1 un un 1, n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 Tìm giới hạn sau: lim n u un u1 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh rằng: un , n Xét tính đơn điệu n un Từ hệ thức (1) ta suy , un1 un un 1 , vậy un tăng Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 1 1 un 1 un un 1 un 1 un un 1 un un 1 un un un 1 (n 1, 2, ) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 u1 u1 un un 1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a a2 a a2 2a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un1 1 lim n n n un1 0 1 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim 1 1 n u un n un 1 u1 1 1 Vậy lim n u un u1 u1 Bài Cho dãy số un xác định un 1 un2 un , n 1; 2;3 a) Chứng minh dãy số un tăng không bị chặn ; n , n 1, 2,3 Tính lim Sn k 1 uk b) Đặt Sn Bài (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số x1 2012; xn1 xn2 5xn với n nguyên dương a) Chứng minh xn dãy số tăng; b) Chứng minh xn khơng có giới hạn hữu hạn; n c) Xét dãy yn xác định yn Tìm lim yn k 1 xk Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy xn xác định Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải a) Xét hiệu: xn1 xn x 5xn xn ( xn 3)2 n Do x1 2012 nên xn1 xn suy dãy cho dãy tăng b) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn, đặt limxn a(a 2012) Từ công thức truy hồi xn1 xn2 5xn Lấy giới hạn vế, ta được: a a2 5a a (khơng thỏa mãn) Do dãy cho khơng có giới hạn hữu hạn c) Ta có: 1 xn xn xn1 n 1 1 x1 xn1 2009 xn1 k 1 xn Do đó, ta có: yn 2009 u1 Mà limxn nên limyn Bài Cho dãy số un un n u1u2u3 un 1 1, 2, Đặt Sn ;n k Tìm lim Sn n uk Lời giải Ta có un un un 1 un 1 u1u2 un (n un , n un n u1 Sn un k 1 un uk 1 un n u1 1); un un un un un k uk Kết hợp với giả thiết suy Sn u1u2 un 1; n 1 uk un 1 , suy 1 u1 un 1 u2 un 1 1 un 1 Ta có u2 u1 ; u3 u1u2 u1 1 u1 u1 un u1 u1u2 un 1 u1 Mặt khác un un 1 un u1u2 un n 1 un u1u2 un u1 Bài Cho dãy số x n : x1 u1 n 1, xn 2n hay un tăng nên 1 lim un n xn xn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy xn lim Sn xn n Tính lim n n i 1 xi Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải Ta có x xn xn (xn với n 1, 2, xn 1)(xn 2)(xn xn2 xn xn 3) 3xn xn2 3xn xn2 3xn (1) Từ suy xn xn2 1 3xn xn 1 Từ (1) xk xi xk2 3xk xi 3.3k 3xk xn xi i 1 (vì (2) xn n 3n Suy a a a 1)(a a 1 xn 1 xn 1 xn 1 1 xn 1 (2) 3n ) với cách khác: Dễ thấy x n dãy tăng, giả sử lim xn a(a xn 3k Ta chứng minh lim xn Nên ta có a x1 1 Ta dễ dàng chứng minh quy nạp xn Nên lim yn 1 xn = n i 1 xn xn n Do yn 2)(a a 3) a (a 1) 1 hay a 6a 10a 6a Rõ ràng phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn a Vậy lim xn Bài Xét dãy số xn ; n n Đặt Sn 1, 2, 3, xác định x1 1, 2, 3, 1 x1 1 (x n 1) với Tìm lim Sn n xn x2 x n Lời giải Ta tổng qt hóa tốn sau: Cho dãy un thỏa mãn u1 un n Ta chứng minh Sn a un2 1 b c )un b c c2 u1 c2 c )un b c ui i (b c un c Thật vậy Ta có un Từ un2 (b un 1 c un suy un c un c un2 b Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy un (b c )un b c b un bc c un c (un b)(un b c c) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Khai triển ước lượng u1 b u1 u2 c u2 c b u2 c u3 c …………………… un b un c un c 1 Do Sn u1 c un c Từ vận dụng vào toán với b =1, c = - ta có Sn x1 Mà x n 1 1 x n – xn a2 > 2) Thì 2a xn 1 xn 1 N * nên dãy x n dãy tăng Giả sử lim xn >0 n n a (a suy a = Vô lý Vậy lim xn Do lim Sn n n Nhận xét Trong tốn tổng qt ta thay giá trị a, b, c khác để toán Chẳng hạn: (2x n 1)2012 Bài Cho dãy số x n xác định bởi: x1 = 1; x n x n Với n số nguyên 2012 (2x1 1)2011 (2x 1)2011 (2x 1)2011 (2x n 1)2011 dương Đặt un Tìm lim un 2x 2x 2x 2x n 1 Lời giải Ta có x n Suy n i 1 2x n 2(x n 2x n (2x i 1)2011 2x i 1 Mặt khác: xn (2x n 1)2012 , n 2012 – xn 1 (2x n n 1006 – xn i 1 xn ) 1)(2x n 2x i 1 1) 1 2x i 1 (2x n 1)2011 1006(2x n 1) 1006 nên dãy (xn) dãy số tăng n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 2x1 1 2x n 1 Nếu (xn) bị chặn limxn tồn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Đặt lim xn a hay lim xn a suy lim (a a 2x n 1 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1)2012 2012 a (vô lý) Suy x n không bị chặn =0 Suy lim un n 1006 u1 Bài Cho dãy số thực un xác định bởi: Tìm giới hạn sau: un2 u u , n n 1 n 2012 u u u lim n n u un 1 u3 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un2 , vậy un tăng 2012 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy u2 un 1 n un un2 2012 un 1 un 2012 u u u n 2012 n 1 n un 1 un un 1 n un : Từ hệ thức (1) ta suy , un 1 un 1 un 2012 un 1 un un 1 n 1, 2, (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 u u1 u2 n 2012 2012 1 u2 u3 un1 u1 un1 un1 (2) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a2 a a a (vô lý) 2012 không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un lim un1 lim n n u u u Vì từ (2) ta suy ra: lim n lim 2012 1 2012 n u un1 n u3 un1 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước u u u Vậy lim n 2012 n u un 1 u3 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn u1 Bài 10 Cho dãy số thực un xác định bởi: un2 2011un u , n n 1 2012 u un u sau: lim n u u3 un 1 (1) Tìm giới hạn Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu n un : Từ hệ thức (1) ta suy u u 1 , un 1 un n n , vậy un tăng 2012 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2 2011un un2 2012un 2012un 1 un un 1 2012 un 1 un 2012 u 1 un 1 un 2012 n 1, 2, (*) un 2012 n 1 un 1 un1 1 un 1 un1 un un 1 un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: un u1 u 2012 1 u2 u3 un1 un1 (2) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n a(a 1) a a(a 1) a a (vô lý) 2012 không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy un lim un lim un1 1 lim n n n un1 0 u un u lim 2012 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim 2012 n u u3 un1 n un1 u un u Vậy lim 2012 n u u u n 1 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 10 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn u1 Bài 11 Cho dãy số thực un xác định bởi: u un 1 4un 1 un 1 , n n 1 hạn sau: lim n u un u2 Tìm giới (1) Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un un 1 un : Từ hệ thức (1) ta suy un21 xn 1 un 1 un 1 un21 xn 1 un 1 2un 1 un21 xn 1 un 1 0 Suy ra: un tăng Tính tổng: un un1 2un1 un21 xn1 un1 un2 un 1 un1 1 un2 un1 un (n 1,2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1 (2) u1 u2 un u1 u1 un un Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n a 4a a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy un lim un lim n n 0 un 1 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim n u un n un u2 1 Vậy lim n u un u2 u1 2012 Bài 12 Cho dãy số thực un xác định bởi: un 2011un 2013un 1 0, n 1 giới hạn sau: lim n u 2012 u2 2012 un 2012 Lời giải Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 11 (1) Tìm Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2012 , n Xét tính đơn điệu u 1 n un tăng 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy u 2011un un2 2011un 2013un 1 un 1 n 2013 u 2011un un 1 n 1 2013 u 1 un 2012 un 1 n 2013 1 (n=1,2, ) un 2012 un un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1 u1 2012 u2 2012 un 2012 u un1 2011 un1 un 1 un un : Từ hệ thức (1) ta suy (*) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a 2012 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a2 2011a 2012a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un1 1 lim n n n un1 0 Vì từ (2) ta suy ra: 1 1 lim lim n u 2012 n u2 2012 un 2012 2011 un1 2011 1 1 Vậy lim n u 2012 u2 2012 un 2012 2011 1 u1 2012 Bài 13 Cho dãy số thực un xác định bởi: u 2012u u , n n n n 1 u u u sau: lim n n u un 1 u3 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 12 Tìm giới hạn (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Xét tính đơn điệu GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn un : Từ hệ thức (1) ta suy un1 un 2012un2 un tăng Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 2012un2 un 1 un 2012un2 un 1 un u 1 n unun 1 unun 1 un 1 2012 un un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 u u1 u2 1 1 n u2 u3 un 1 2012 u1 u2 u2 u3 un un 1 (n=1,2, ) 2012 2012 un 1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a 2012a2 a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un1 lim n n n 0 un1 u u u Vì từ (2) ta suy ra: lim n lim 2012 n u un 1 n 2012 un 1 u3 u u u Vậy lim n n u un1 u3 u1 Bài 14 Cho dãy số thực un xác định bởi: Tìm giới hạn sau: un2 2009un u , n n 1 2012 u u2 u 1 lim n n u u3 un 1 Lời giải Biến đổi un1 u 2009un (u 1)(un 2) un 1 un n 2012 2012 n ( 1) Vì u = nên = u < u 3) 0 n u n Do {u n } khơng bị chặn hay lim u n = + hay lim Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 13 (*) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Biến đổi (1) (u n -1)(u n -2) = 2012(u n1 -un) un 1 = 2012 ( ) (*) un 1 un un 1 Cho n nhận giá trị 1, 2, 3, ….n, sau cộng vế theo vế ta được: n Sn = Vậy lim S n = 2012 ui 1 = 2012 ( 1) un 1 i 1 u i 1 Bài 15 Cho dãy số ( xn ) xác định sau x1 xn1 số nguyên dương n, đặt yn Lời giải Do xn1 n x i 1 i xn3 xn với n 1,2, Với xn2 xn Tìm lim yn 4 ( x 4)( xn 2) (1) xn2 xn n x1 nên qui nạp chứng minh (x n 2)2 xn1 xn ( xn ) dãy tăng (2) xn xn Giả sử dãy ( xn ) bị chặn a để xn với n lim xn a a 2a a 4a a (loại) a a6 Do đó: lim xn (3) 1 1 1 Từ (1) suy : xn1 xn xn xn xn xn1 n 1 1 (4) yn xn1 i 1 xi Từ (3) (4) suy : lim yn 2017 x Bài 16 Cho dãy số ( xn ) xác định sau x x2 5x ; n n n n1 n nguyên dương n, đặt un Tính lim un k 1 xk a Khi Với số * Lời giải 9 Khi f ( x) x x x x x 2 Vậy hàm số có điểm bất động x 3 Ta có xn1 xn2 xn xn1 xn xn 1 2 2 1 1 1 1 Từ suy xn 3 xn x x xn1 xn xn 1 xn n n 1 2 2 2 Xét hàm số f ( x) x x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 14 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn n 1 1 3 x 1007 k 1 k x1 xn1 xn1 2 2017 Chứng minh dãy tăng Do x1 nên qui nạp chứng minh xn với 2 n * Xét hiệu xn1 xn xn 3 n * ( xn ) dãy tăng Chứng minh dãy xn không bị chặn un Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn Vì dãy tăng bị chặn nên a để lim xn a Khi a a (khơng thỏa mãn) Do : lim xn 2 Vậy lim un 1007 Bài 17 (Olympic 30-4-2012) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: x1 xn4 x n1 x3 x ; n n n n Với số nguyên dương n, đặt yn Tính lim yn k 1 xk 2a 5a Lời giải x4 x4 x x Khi f ( x ) x x3 x x3 x Vậy hàm số có điểm bất động x xn3 3 xn 3 xn4 xn1 + Ta có xn1 xn3 xn xn xn + Xét hàm số f ( x) xn3 3 xn 3 1 xn1 xn3 3 xn 3 xn 3 xn3 3 1 x xn xn1 n 1 1 1 yn x1 xn1 xn1 k 1 xk n + Chứng minh dãy tăng Do x1 nên qui nạp chứng minh xn với n xn 3 xn1 xn 0 xn xn2 xn 3 Xét hiệu ( xn ) dãy tăng + Chứng minh dãy ( xn ) không bị chặn Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn Vì dãy tăng bị chặn nên a để lim xn a Khi Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 15 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn a 9 a a (không thỏa mãn) a a6 Do : lim xn Vậy lim yn Bài 18 (HSG BP 12-13) Cho dãy số (un ) xác định: 2013 un2 (2 9un ) u1 2un 1(2 5un ), n u1 u1 Xét dãy số u2 u2 un Tìm un lim Lời giải Ta có un Khi un2 Đặt x n 9un un n x1 xn 0; n 2un 1 9un 5un un 2 un2 1 5un un un2 10 un Khi ta có dãy x n xác định bởi: 2013 x n2 5x n n Chứng minh x n dãy tăng: Xét hiệu: xn xn2 xn Do x1 2013 5xn xn xn nên xn xn suy dãy x n dãy tăng Chứng minh x n không bị chặn hay lim xn : Giả sử x n bị chặn, dãy tăng bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử dãy x n có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn Từ công thức truy hồi xn xn2 5xn a, a 2013 Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a 5a a (không thỏa mãn) Do dãy cho khơng có giới hạn hữu hạn Ta có: u1 u1 Mà un un xn 2 u1 xn Do đó, ta có: 2 un 2 x1 xn n 1 xn x1 3 xn 2013 xn 1005 Bài 19 (Quảng Ngãi) Cho dãy số an thỏa mãn điều kiện: a1 2, an an1 24 Mà lim xn nên lim Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 16 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Tính S2012 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 a1 a2 a2012 HD giải: Từ công thức truy hồi ta suy an Đặt tn 4an1 an1 3an1 an 3an1 1 1 (t1 ) tn tn1 tn (tn1 ) an 2 2 3 Đặt un tn (u1 1) un un1 Sn 2[( )n 1] 2 2012 Cho n 2012 , ta có S2012 2[( ) 1] 1006 u1 Bài 20 Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u u u n n1 n u1 Bài 21 Cho dãy số: un2015 un u n1 u 2014 u n n n n 1 Tìm lim u k 1 k * (n N * ) * a) Chứng minh un 1, n N (un ) dãy số tăng n b) Tìm lim u i 1 2014 i 2 Bài 22 Cho dãy số un thỏa mãn u1 2017; un1 un Bài 23 Cho dãy số x n : x1 1, Bài 24 Cho dãy số x n : x1 Bài 25 Cho dãy số x n n xn xn 3, xn 1 n un ; n 1, 2,3 Tính lim x n2014 n i 1 Tìm lim n xn n xác định x1 12, x n Tìm lim n xn 1 n n ,x 24 n Bài 26 Cho dãy số x n xác định x1 x1 x2 x 22014 x3 n x n x n dãy số tăng khơng bị chặn Tìm lim Sn x12014 x2 k n xk k x n2014 xn 1 xk Chứng minh xn ui 1 n n 2x n2 1, n xn Đặt xn Tính lim Sn n Bài 27 Cho dãy số x n xác định x n : x1 Bài 28 Cho dãy số x n : x1 1; x n x n2 1 xn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 17 ,n ;x n Tìm lim x n n Tìm lim n xn n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước ;x n Bài 29 Cho dãy số x n : x n : x1 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn x n x1 Bài 30 (HSG QG 2012) Cho dãy số x n : x1 Bài 31 Cho dãy số x n : xn 3n 1 Tìm lim x n n Tìm lim x n n 2012 x n3 xn x1 Bài 32 Cho dãy số x n : n xn ,n 4n x n2 3x n Tìm lim x n 3x n n 2012 xn 2012 Tìm nlim x n xn x n Bài 33 Cho dãy số un xác định u1 2014 un un2 2un Tính nlim un HD: Chứng minh dãy un giảm bị chặn Bài 34 Cho un : u1 un un2 un Bài 35 Cho dãy số un thỏa mãn un Bài 37 Cho dãy số x n xác định u1 2 u2 n n u 4un u1 thỏa mãn 1 u1 un Bài 36 Cho dãy số un Đặt Sn un Tìm lim n k un uk n u n u1 un un Tìm lim n k 1 uk un2 2014 2013 ;n 2014 1, a) Chứng minh un dãy số tăng b) Với n v1 v2 1, n N , đặt 2014 , n un un 1 Chứng minh 1, Bài 38 Cho dãy số un xác định u1 a) n2 ; n 1, 2013 Chứng minh dãy số un tăng không bị chặn b) Đặt Sn un n i ui un Tính lim Sn n 2013 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 18 Tìm lim Sn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước u1 Bài 39 Cho dãy số un : u u1 16 ;n 1 Tính lim n n u 7un 13 ;n 2014 2013 un2 2un ;n Bài 42 Cho dãy số x n : x1 n n n 1, x1 Bài 43 Cho dãy số un xác định u1 x2 xn 10 xn Tính lim Tìm lim n i 1 xn n n un ui ,n ui i 2, un n i n 2 Đặt lim Đặt lim 2n 1; x n 1, ui i 20 un un 2un u1 Bài 41 Cho dãy số un n n un Bài 40 Cho dãy số un : GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn ui HD Bước Chứng minh lim un n n Bước Tính i n , tính lim n ui i 1 ui Lời giải chi tiết trang 64- Tài liệu x Bài 44 Cho dãy số x n : x n 2014x n2 Bài 45 Cho dãy số x n : x1 lim n x1 1 x2 Bài 46 Cho dãy số x n : x1 3, xn xn a 3xn 1, xn 4n un ; wn xn xn Tìm xn2 Tìm lim n Bài 47 Cho dãy số x n xác định n x2 x3 1 xn2 1 xn x1 x2 Tính lim x0 x1 x2 1; x n x2 1 x3 xn 1 xn xn 1 Đặt u1u2 un Hãy tính lim ; lim wn Bài 48 Cho dãy số x n : x1 Bài 49 Cho dãy số x n : x1 8, x n 2009, x n Bài 50 Cho dãy số thực an : a1 Bài 51 Cho dãy số x n : x1 x n 2, x n n 2009x n2 an x n n xn ;n an i x n2 xi Tính lim n n 2009 x i2 n i x i2 an Chứng minh lim n n Đặt Sn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 19 25 Tính lim 2009x n 1;an 7x n k 1 xk n Tính Sn ; lim Sn n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước xn Bài 52 Cho dãy số x n : x1 ,x n Bài 53 Cho dãy số x n : x1 a 1, xn Bài 54 Cho dãy số x n : x1 a 0, xn lim n 1 x1 x2 1 2n Bài 55 Cho dãy số x n : x1 1, x n Bài 56 Cho dãy số (un ) u1 21 ,u 10 n xn xn2 xn 1n xn2 xn n x n2 n 2014 xn un un2 n b) Đặt x n k uk k x k Tính lim Sn n Tìm lim n x1 x2 xn x2 x3 xn xn 1 Tìm n x1 x2 Tìm lim n 8un Bài 57 Cho dãy số un xác định u1 a) Chứng minh un n Đặt Sn xn GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 2008, un , n un2 n * lim n i i u 20072 ; n 4013un 2007 ; tính lim x n n 2006 Bài 58 (HSG BP 11-12) Cho dãy số un xác định u1 n u 2013 2011un 2013un n Tìm lim n u1 2012 Bài 59 to be continued Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 20 u2 2012 un 2012 ... có x n Suy n i 1 2x n 2(x n 2x n (2x i 1) 2 011 2x i 1 Mặt khác: xn (2x n 1) 2 012 , n 2 012 – xn 1 (2x n n 10 06 – xn i 1 xn ) 1) (2x n 2x i 1 1) 1 2x i 1 (2x n 1) 2 011 10 06(2x n 1) 10 06 nên dãy (xn)... hồi (1) ta suy u 2 011 un un2 2 011 un 2 013 un ? ?1 un ? ?1 n 2 013 u 2 011 un un ? ?1 n ? ?1 2 013 u 1? ?? un 2 012 un ? ?1 n 2 013 1 (n =1, 2, ) un 2 012 un un ? ?1 Thay... un un 1 un 1 u1u2 un (n un , n un n u1 Sn un k 1 un uk 1 un n u1 1) ; un un un un un k uk Kết hợp với giả thiết suy Sn u1u2 un 1; n 1 uk un 1 , suy 1 u1 un 1 u2 un 1 1 un 1 Ta có u2 u1 ; u3