bài giảng liên tục của hàm số

3 Liên tục hàm số Định nghĩa Hàm y = f ( x) ñược gọi liên tục x0 , xác ñịnh ñiểm lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Định nghĩa Nếu hàm không liên tục x0, ta nói hàm gián đoạn điểm f(x) tiến ñến f(a) Khi x tiến ñến a ñồ thị liền nét (khơng đứt đoạn) điểm (a, f(a)) Định nghĩa Cho x0 ñiểm gián ñoạn ñồ thị hàm số y = f ( x) 1) Điểm gián ñoạn loại một: giới hạn trái f(x0-) phải f(x0+) tồn hữu hạn x0 ñiểm khử ñược: f(x0-) = f(x0+) x0 ñiểm nhảy: f ( x0 + ) ≠ f ( x0 − ) bước nhảy: h = f ( x0+ ) − f ( x0− ) 2) Điểm gián đoạn loại hai: khơng phải loại Một hai giới hạn (trái phải) không tồn tồn vơ x = điểm gián đoạn loại khử ñược f ( x) = [ x ] x = ñiểm nhảy: gián ñoạn khơng khử x = điểm gián ñoạn loại hai Tính chất hàm số liên tục Cho y = f ( x), y = g ( x) hai hàm liên tục x0 , 1) α f ( x); f ( x) + g ( x); f ( x) ⋅ g ( x) liên tục x0 f ( x) 2) Nếu g ( x0 ) ≠ , liên tục x0 g ( x) Định lý Nếu hàm f(x) liên tục x0 f ( x0 ) > 0, tồn lân cận x0, cho f(x) > với x thuộc lân cận Định lý (Bozano- Côsi) Nếu y = f ( x) liên tục ñoạn [a,b] f(a) = A, f(b) = B ∀C ∈ [ A, B] tồn x0 ∈ [ a, b ] cho f ( x0 ) = C Hệ Nếu hàm f(x) liên tục ñoạn [a,b] f(a).f(b) < 0, tồn x0 thuộc [a,b] cho f(x0) = Định nghĩa Các hàm sau ñây ñược gọi hàm sơ cấp bản: 1/ hàm α 2/ hàm lũy thừa y = x x y = a ; a > 0, a ≠ 3/ hàm mũ 4/ hàm logarit y = log a x; (a > 0, a ≠ 1) 5/ hàm lượng giác 7/ hàm hyperbolic 6/ hàm lượng giác ngược Định nghĩa Hàm sơ cấp hàm thu ñược từ hàm sơ cấp cách sử dụng hữu hạn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai phép hợp Định lý Hàm sơ cấp liên tục miền xác định   y = sin x + ln   2+ x hàm sơ cấp Vậy liên tục tồn miền xác định: x > -2 Ví dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  x , x≠0 f ( x) =   1, x=0  sin x ∀x ≠ 0, f ( x) = hàm sơ cấp nên liên tục MXĐ x sin x sin x Tại x = 0: lim =1 lim = −1 x →0 + x x →0 − x x = ñiểm nhảy ( ) ( ) Bước nhảy: h = f 0+ − f 0− = − (−1) = Ví dụ Khảo sát ñiểm gián ñoạn f ( x) = arctan x Tập xác ñịnh: D f = R \ {0} π Tại x = 0: lim arctan = x →0 + x π lim arctan = − x →0 − x x = ñiểm nhảy π π ( ) − f ( ) = − (− ) = π Bước nhảy: h = f + − Ví dụ Khảo sát ñiểm gián ñoạn f ( x) = x arctan x Tập xác ñịnh: D f = R \ {0} Tại x = 0: lim x arctan = x →0 + x lim x arctan = x →0 − x x = ñiểm gián đoạn khử Ví dụ Tìm a, b ñể hàm liên tục [ −π / 2;3π / 2]  x cos( x / 2)  sin x , x ∈ [ −π / 2,3π / 2] , x ≠ 0, x ≠ π  f ( x) =  a, x=0  b, x =π   x cos( x / 2) =1 x →0 sin x lim f ( x) = lim x →0 lim f ( x) x →π ⇒ a = x cos( x / 2) π = lim = x →π sin x ⇒b= π Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục tồn TXĐ x, | x |≤  f ( x) =   x + ax + b, | x |> ( ) = lim x + ax + b = a + b + lim+ f ( x) + x →1 x →1 lim− f ( x) = lim− x = = f (1) x →1 x →1 lim+ f ( x) = lim+ x = −1 = f (−1) x →−1 x →−1 ( ) lim− f ( x) = lim− x + ax + b = − a + b x →−1 ⇒ a + b + = x →1 Vậy a = 1, b = -1 ⇒ − a + b + = −1 Ví dụ Khảo sát ñiểm gián ñoạn Tập xác ñịnh: x f ( x) = sin x D f = R \ {kπ , k ∈ Z } Tại x0 = k0π , k0 ≠ : x lim không tồn x → k0π sin x Các ñiểm ñiểm gián ñoạn loại hai Tại x0 = : x lim =1 x →0 sin x x0 = ñiểm gián đoạn khử Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn 1, x số hữ u tỷ f ( x) =  0, x số vô tỷ Tập xác định: R Hàm khơng có giới hạn điểm (Vì sao??) Tất điểm điểm gián đoạn loại hai Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn  x, x số hữ u tyû f ( x) =   0, x số vô tỷ Tập xác định: R Hàm khơng có giới hạn điểm khác Các điểm khác khơng điểm gián đoạn loại hai Tại ñiểm x = 0: lim f ( x) = = f (0) x →0 Hàm liên tục x = Bài tập I) Chứng tỏ hàm sau không liên tục x0  x + 1, x > 1) f ( x) =   x , x≤0 x0 = 1  , x≠0 2) f ( x) =  x  0, x = x0 = 1  2, x≠0 3) f ( x) =  x  1, x = x0 = 4) f ( x) = sign( x + 1) x0 = −1 II) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng x2  2) f ( x) = cos x | x+2| 3) f ( x) = x+2 | x − 1| 4) f ( x) = x − x3 x = π / + nπ loại hai x= -2, ñiểm nhảy, h =2 x= 0: loại hai, x= 1: điểm nhảy, h = -2 III) Tìm điểm gián ñoạn ñồ thị, phân loại chúng arcsin x 1) f ( x) = sin x x 2) f ( x) = cos x 3) f ( x) = ln | x − 1| 4) f ( x) = x /(1− x ) 5) y = e −1/| x| x= 0, khử ñược x = π / + nπ loại hai x= 0, x= 2: loại hai, x = 1: khử ñược x= -1, x= 1: loại hai x= 0, khử IV) Tìm ñiểm gián ñoạn ñồ thị, phân loại chúng 1) f ( x) = arctan x x= 0, khử ñược 2) f ( x) = sin( x − lg( x − 1)) liên tục MXĐ 1+ x 3) f ( x) = ln x 1− x x= 0, khử ñược | x| 4) f ( x) = arctan x x= 0, ñiểm nhảy, h=2 x +1 5) y = arctan(1/ x) x= 0, ñiểm nhảy, h= / π V) Tìm điểm gián đoạn ñồ thị, phân loại chúng 1) f ( x) = ln ln(1 + x ) 2) f ( x) = sign( x − x + 3) 31/ x + 21/ x 3) f ( x) = 1/ x 1/ x −2 x −5 / − cos x 4) f ( x) = tan(arcsin | x |) 5) y = (sin x)sin x x= 0, loại hai x= -1, ñiểm nhảy, h = -2 x= 3, ñiểm nhảy, h = x= 0, ñiểm nhảy, h = liên tục MXĐ x= 0, khử V) Tìm giá trị a để hàm liên tục  (1 + x) n − , x ≠ 0, n ∈ N  1) f ( x) =  x R  a, x=0  a=n a = 1/  x cot(2 x), x ≠ 0,| x |< π / 2) f ( x) =  (−π / 2, π / 2) a, x=0  (arcsin x)cot x, x ≠ 3) f ( x) =  a, x=0   sinh x , x≠0  4) y =  x  a, x=0 R (-1,1) a =1 a =1 VI) Chứng minh pt sau có nghiệm 1) x ⋅ x = 3) x ⋅ arctan x = a; a ≠ 2) x ⋅ e = 4) x = α sin x + 1, < α < x VII) CMR pt 2x = x VIII) CMR pt x sin x = 1/ có vơ số nghiệm có hai nghiệm thực IX) CMR pt 10 x −1 = x có nghiệm x0 ≠ ... hàm số liên tục Cho y = f ( x), y = g ( x) hai hàm liên tục x0 , 1) α f ( x); f ( x) + g ( x); f ( x) ⋅ g ( x) liên tục x0 f ( x) 2) Nếu g ( x0 ) ≠ , liên tục x0 g ( x) Định lý Nếu hàm f(x) liên. .. sin x hàm sơ cấp nên liên tục MXĐ ∀x ≠ 0, f ( x) = x Tại x = 0: sin x sin x lim = = lim = f (0) x →0+ x x →0 − x Hàm liên tục x = Vậy hàm liên tục R Ví dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  x , x≠0... lý Hàm sơ cấp liên tục miền xác ñịnh   y = sin x + ln   2+ x hàm sơ cấp Vậy liên tục tồn miền xác định: x > -2 Ví dụ Khảo sát tính liên tục  sin x , x≠0  f ( x) =  x  1, x=0 sin x hàm