Hệ phương trình Ax=0 có thể thu gọn về một hệ phương trình tuyến tính tương đương mà có số phương trình ít hơn. Chẳng hạn, khi Ax=0 có hai phương trình giống nhau, ta có thể loại đi một phương trình.Ta muốn tìm hiểu xem Ax=0 có thể thu gọn về ít nhất bao nhiêu phương trình. Ngoài ra ta muốn tìm tiêu chuẩn để Ax = b có nghiệm.
4.3 HẠNG CỦA MA TRẬN Hệ phương trình Ax=0 thu gọn hệ phương trình tuyến tính tương đương mà có số phương trình Chẳng hạn, Ax=0 có hai phương trình giống nhau, ta loại phương trình.Ta muốn tìm hiểu xem Ax=0 thu gọn phương trình Ngồi ta muốn tìm tiêu chuẩn để Ax = b có nghiệm Trong 1.3 ta đưa ma trận A ma trận U có dạng bậc thang nhờ phép toán hàng sau (xem lại 1.3): (i) Đổi chỗ hàng (ii) Thay hàng hiệu hàng với bội hàng khác Ngồi ra, để đơn giản hóa tính tốn, đơi ta dùng thêm phép tốn hàng sau (iii) Nhân hàng với số khác không Định nghĩa Cho ma trận A Dùng phép toán hàng ta biến đổi A ma trận bậc thang U Số tất trụ U gọi hạng A, ký hiệu r(A) Chú ý 1) r(A) = A = O 2) Nếu A ma trận m×n r(A) ≤ min{m, n} Ví dụ 1 1 3 A = 2 10 → 0 4 → U = 3 10 13 0 4 1 3 0 4 , 0 0 0 nên r(A) = Mối quan hệ hạng định thức Định nghĩa Cho ma trận A Giữ lại số hàng số cột A, bỏ hàng cột lại, ta có ma trận gọi ma trận A Nếu ma trận A ma trận vng, định thức gọi định thức A Định lý 4.3.1 A ma trận có r(A) = r > A có định thức khác cấp r đó, định thức cấp lớn r A (nếu có) Nói cách khác, r(A) cấp cao định thức khác không A Chứng minh Thật vậy, r(A) = r >0 sau phép toán hàng (i) (ii) A đưa ma trận bậc thang U có r trụ d1, d2, , dr Ta giữ lại r hàng r cột A mà sau thực phép toán hàng chứa r trụ Theo tính chất định thức, ma trận gồm r hàng r cột có định thức ±d1d2 ⋅⋅⋅ dr ≠ Như A có định thức khác cấp r Giả sử M ma trận k×k A với k > r Khi A đưa U M đưa M' ma trận U U có hàng r+1cho đến hàng cuối chứa tồn 0, M' có số hàng vượt q r , nên M' phải có hàng tồn Suy detM' = Theo tính chất định thức ta có detM = detM', nên detM = ☺ Nhận xét 1) Nếu A ma trận n×n r(A) = n detA ≠ 0, định thức cấp n A detA 2) Nếu ma trận A ma trận ma trận B r(A) ≤ r(B) Thật vậy, r(A) = bất đẳng thức hiển nhiên Còn r(A) > theo Định lý A có định thức detM khác không với cấp r(A) A ma trận ma trận B nên detM định thức B Vì vậy, theo Định lý r(A) ≤ r(B) 3) r(A) = r(AT) định thức detM A định thức detMT AT Thu gọn hệ Định nghĩa Một hàng (cột) A gọi hàng trụ (cột trụ, tương ứng), sau phép toán hàng để đưa A ma trận bậc thang chứa trụ Trong Ví dụ hàng hàng hai hàng trụ, cột cột hai cột trụ Định lý 4.3.2 Nếu r(A) = r, Ax = tương đương với Bx = 0, B gồm tất hàng trụ A Ví dụ Cho hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 + 8x3+10x4 = 3x1 + 3x2 +10x3+13x4 =0 Do hàng sau phép toán hàng chứa trụ nên theo Định lý hệ tương đương với hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 + 8x3+10x4 = Tiêu chuẩn có nghiệm Ax =b Định lí 4.3.3 (Định lý Kronecker - Capelli) Nếu A ma trận m×n r(A) = r, điều kiện cần đủ để Ax = b có nghiệm là: sau phép tốn hàng đưa [A b] ma trận bậc thang có m - r hàng cuối tồn số Nói cách khác, Ax = b có nghiệm r(A) = r([A b]) Leopold Kronecker (1823 - 1891) Ví dụ Tìm điều kiện b1, b2, b3 để hệ sau có nghiệm x1 + 2x2 + 3x3+ 5x4 = b1 2x1 + 4x2 + 8x3 + 12x4 = b2 3x1 + 6x2 + 7x3 + 13x4 = b3 Giải b1 1 1 b1 1 b1 2 12 b → 0 2 b2 − 2b1 → 0 2 b2 − 2b1 2 3 13 b3 0 − − b3 − 3b1 0 0 b3 + b2 − 5b1 Do hệ có nghiệm b3 + b2 - 5b1 = Hệ 4.3.4 Giả sử A ma trận m×n Nếu r(A) = m, Ax = b có nghiệm với b thuộc Rm Chứng minh A ma trận [A b] nên m = r(A) ≤ r([A b]) ≤ số hàng [A b] = m, nên r(A) = r([A b]) = m Theo Định lý trên, Ax = b có nghiệm ☺ 4.4 CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = Đối với hệ Ax = 0, trình đưa ma trận mở rộng [A 0] ma trận bậc thang ta thấy cột cuối luôn nên ta cần làm việc với A Ví dụ Giải hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 + 8x3 +10x4 = 3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 =0 Giải 1 1 3 1 3 A = 2 10 → 0 4 → 0 4 0 0 3 10 13 0 4 nên hệ ban đầu tương đương với hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 4x3 + 4x4 = Biến trụ x1 x3, biến tự x2 x4 Chuyển số hạng chứa x2 x4 sang vế phải x1 + 2x3 = -x2 - 3x4 4x3 = -4x4 Cho x2 x4 giá trị thực phép ngược tìm giá trị x1 x3 x3 = -x4, x1 = -x2 - x4 Mọi nghiệm hệ có dạng − x2 − x4 x x= − x4 x4 Nhận xét Trong Ax = 0, số biến trụ = r(A), số biến tự = (số cột A) - r(A) Định nghĩa Khi giải Ax = 0, cho biến tự 1, cho biến tự lại 0, ta nghiệm gọi nghiệm đặc biệt Trong ví dụ trên, cho x2 = 1, x4 = 0, thu nghiệm đặc biệt − 1 1 s1 = 0 0 Cho x2 = 0, x4 = 1, thu nghiệm đặc biệt − 1 0 s2 = − 1 1 Mỗi nghiệm hệ tách sau − x2 − x4 − x2 − x4 x x = + x= − x4 − x4 x4 x4 − 1 − 1 1 0 = x2 + x4 = x2s1 + x4s2 0 − 1 0 1 Nghiệm Ax = tổ hợp tuyến tính s1 s2: x = x2s1 + x4s2 Định nghĩa Nếu s1, , sk tất nghiệm đặc biệt Ax = 0, gọi c1s1+⋅⋅⋅+cksk, với c1, , ck số thực bất kỳ, nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát Ax = Nghiệm tổng quát hệ ví dụ x = x2s1 + x4s2 Định lý 4.4.1 Cho Ax = hệ n ẩn * Nếu r(A) = n, hệ có nghiệm (N(A) = {0}) * Nếu r(A) < n, hệ có tất n - r(A) nghiệm đặc biệt s1, , sn-r(A) N(A) gồm tất tổ hợp tuyến tính s1, , sn-r(A) (Trường hợp hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự do) Hệ 4.4.2 Nếu Ax = có số phương trình nhỏ số ẩn có vơ số nghiệm Chứng minh Giả sử A ma trận m×n Theo giả thiết, m < n, nên min{m, n} = m Mặt khác, r(A) ≤ min{m, n}, nên r(A) < n Từ định lý suy Ax = có vơ số nghiệm.☺ 4.5 CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = b Nghiệm riêng Định nghĩa Một nghiệm Ax= b gọi nghiệm riêng Cách tìm nghiệm riêng Dùng phép khử để đưa [A b] dạng bậc thang [U c] Trong hệ Ux = c, ta gán cho biến tự giải biến trụ, tìm nghiệm riêng Ví dụ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 + 8x3 +10x4 = 3x1 + 3x2 + 10x3 +13x4 =7 Giải Thực phép khử ma trận 1 1 [A b]= 2 10 3 10 13 1 [U c]= 0 4 4 0 0 0 Gán cho x2 x4, ta nhận x1 = -1 x3 = Vậy nghiệm riêng xp = (-1, 0, 1, 0) Nghiệm đầy đủ Định lý 4.5.1 Giả sử Ax = b có nghiệm riêng xp Khi ấy, tập nghiệm Ax = b {x = xp + xn | xn ∈N(A)} Chứng minh Với x = xp + xn, Ax = Axp + Axn = b + = b, nên x = xp + xn nghiệm Ax = b Ngược lại, x nghiệm Ax = b, ta đặt xn = x - xp Do Axn = Ax - Axp = b - b = 0, nên xn ∈N(A) ☺ Định lý sở cho định nghĩa sau Định nghĩa Nếu xp nghiệm riêng Ax = b, xn nghiệm đầy đủ Ax = 0, ta gọi x = xp + xn nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát Ax = b Ví dụ Hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = 3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 = có nghiệm đầy đủ x = xp + xn = xp + x2s1 + x4s2 − 1 − 1 − 1 − − x2 − x4 0 1 0 x2 = = +x2 +x4 1 0 − 1 − x4 x4 0 0 1 Hệ 4.5.2 Giả sử A ma trận m×n Ax = b có nghiệm xp * Nếu r(A) = n, xp nghiệm Ax = b * Nếu r(A) < n, Ax = b có vơ số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự Chứng minh Xét hệ Ax = Do Định lý 4.4.1: * Nếu r(A) = n, Ax = có nghiệm đầy đủ xn = * Nếu r(A) < n, Ax = có tất n - r(A) nghiệm đặc biệt s1, , sn-r(A) nên nghiệm đầy đủ xn = c1s1+ ⋅⋅⋅ + cn-r(A)sn-r(A) Ký hiệu xp nghiệm Ax = b Từ Định lý suy nghiệm đầy đủ Ax = b hai trường hợp tương ứng * x = xp + = xp Tức Ax = b có nghiệm * x = xp + c1s1+ ⋅⋅⋅ + cn-r(A)sn-r(A) Tức Ax = b có vơ số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự ☺ NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN Hạng ma trận cách tìm Tiêu chuẩn có nghiệm hệ Ax = b (Định lý Kronecker - Capelli) Cấu trúc nghiệm hệ Ax = Biện luận hệ Ax = Cấu trúc nghiệm hệ Ax = b Biện luận hệ Ax = b NỘI DUNG ƠN TẬP TÍN CHỈ I Giải hệ phương trình tuyến tính * Phương pháp khử Gauss * Qui tắc Cramer * Tiêu chuẩn có nghiệm (Định lý Kronecker - Capelli) * Biện luận hệ phương trình tuyến tính: Khi vơ nghiệm Khi có nghiệm Khi có vơ số nghiệm * Cấu trúc nghiệm hệ tuyến tính Ax = Ax = b II Ma trận * Các phép tốn ma trận tính chất * Ma trận nghịch đảo cách tìm Tiêu chuẩn để ma trận khả nghịch * Ma trận khử, ma trận hốn vị Phân tích ma trận: A = LU III Định thức * Các tính chất định thức * Cách tính gián tiếp định thức dựa vào tính chất định thức * Cách tính trực tiếp định thức theo Công thức Phần phụ đại số Công thức Quan trọng * Áp dụng định thức việc tính ma trận nghịch đảo giải hệ tuyến tính IV Khơng gian vectơ * Định nghĩa khơng gian vectơ định nghĩa không gian * Bốn không gian chủ yếu liên quan đến ma trận * Hạng ma trận cách tính ... nghiệm hệ tuyến tính Ax = Ax = b II Ma trận * Các phép tốn ma trận tính chất * Ma trận nghịch đảo cách tìm Tiêu chuẩn để ma trận khả nghịch * Ma trận khử, ma trận hoán vị Phân tích ma trận: A =... việc tính ma trận nghịch đảo giải hệ tuyến tính IV Khơng gian vectơ * Định nghĩa khơng gian vectơ định nghĩa không gian * Bốn không gian chủ yếu liên quan đến ma trận * Hạng ma trận cách tính ... thức ta có detM = detM', nên detM = ☺ Nhận xét 1) Nếu A ma trận n×n r(A) = n detA ≠ 0, định thức cấp n A detA 2) Nếu ma trận A ma trận ma trận B r(A) ≤ r(B) Thật vậy, r(A) = bất đẳng thức hiển