Số véc tơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của hệ véc tơ đã cho... Hệ T gồm r véc tơ của hệ S được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu T độc lập tuyến t
Trang 1Bài 4.
HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VÉC TƠ,
HẠNG CỦA MA TRẬN
Trang 24.1 Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ 4.2 Hạng của ma trận
4.3 Cách tìm hạng của ma trận
Trang 34.1 Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
a Định nghĩa
Cho một hệ gồm m véc tơ của không gian véc tơ V, m≥1 Số véc tơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của
hệ véc tơ đã cho
Trang 4Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ S gồm m véc tơ(m≥ 1) của không gian véc tơ V trên trường K Hệ T gồm r véc tơ của hệ S được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu T độc lập tuyến tính và mọi véc tơ của hệ S đều biểu thị tuyến tính được qua hệ T.
Trang 5b Hệ quả.
- Hệ quả 1 Nếu thêm vào một hệ hữu hạn
véctơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho
- Hệ quả 2 Hai hệ hữu hạn véc tơ tương
đương có cùng hạng
Trang 6Định nghĩa: Hai hệ hữu hạn véc tơ của một không gian véc tơ V được gọi là tương
đương nếu mỗi véc tơ của hệ này biểu thị tuyến tính được qua hệ kia
Trang 74.2 Hạng của ma trận
a Định nghĩa 1
Cho ma trận A kiểu (m,n),
Coi mỗi dòng của ma trận như một vectơ trong
không gian véc tơ K n Thì hạng của hệ véc
tơ dòng
là hạng của ma trận A Ký hiệu hạng(A)
=
a a
a
a a
a a a a
mn m
m
n
n
A
2 1 2 22 21 1 12 11 ( ) (a a a ) a a a a a a mn m m m n n , ,
,
, ,
, ) , ,
, (
2 1
2 22
21 2
1 12
11 1
=
=
=
α α α
Trang 8b Định nghĩa 2 Cho ma trận A kiểu (m,n) Chọn k dòng và k cột của nó Các phần tử nằm ở giao của k dòng và k cột này lập
thành một ma trận vuông cấp k Định thức của ma trận vuông này được gọi là một
định thức con cấp k của ma trận A
Trang 9c Định lý.
Hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của
các định thức con khác 0 của nó
d Hệ quả Hạng của ma trận bằng hạng của
hệ vec tơ cột của nó
Trang 104.3 Cách tìm hạng của ma trận
Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0
- Giả sử đã tìm được định thức con D cấp s khác
0.
- Xét tất cả các định thức con cấp s+1 chứa D.
- Nếu tất cả các định thức này đều bằng 0 thì
hạng của ma trận bằng s.
- Nếu có một định thức con cấp s+1 khác 0 thì ta
lại tiếp tục làm như trên cho tới khi tìm được một định thức con cấp r mà tất cả các định thức con cấp r+1 đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r
Trang 11Ví dụ: Bài 16 Tìm hạng của ma trận
d
−
−
=
4 2
2 0
0 1
1 2
1 1
0 1
6 3
4 1
D
Trang 120 1
1 2
1 0
1
7 0
7
1 1
2
1 0
1
3 4
1
=
−
−
−
=
−
−
Trang 1310 0
1
10 7
0 1
2
1 0
1
10 0
7
0 1
2
1 0
1
6 4
1
≠
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
Trang 140 2
0
1
0 2 2
1 1
2 0
0
1 0
0 2 2
1 1
12 7
7
7 4
4 2
4 2
2 0
12 7
7 0
7 4
4 0
6 3
4 1
4 2
2 0
0 1
1 2
1 1
0 1
6 3
4 1
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
−
−
=
−
−
Trang 15Vậy hạng(D)= 3