Theo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luận các hệ phương trình bậc nhất. Về sau để có thể hiểu rõ cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình bậc nhất có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian vectơ và phép biến đổi tuyến tính. Người ta cũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, trong đó có thể có khái niệm độ dài và góc. Ngày nay Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, Kinh tế, ... Vì thế, nó trở thành một môn học cơ sở cho sinh viên các chuyên ngành khoa học cơ bản và công nghệ trong tất cả các trường đại học.
Trang 1TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Strang, Gilbert, Introduction to Linear Algebra, 3rd ed., Wellesley-Cambridge
press, 2005
[2] Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications, Academic press, 1976
[3] Leon, Steven J., Linear Algebra with Applications, Upper Saddle River, N.J.:
Prentice Hall, 1998
[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - Tập 1,
Nhà xuất bản giáo dục, 2007
Trang 2
TUẦN 1
Trang 3
GIỚI THIỆU MÔN HỌC
Theo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luận các hệ phương trình bậc nhất Về sau để có thể hiểu rõ cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình bậc nhất có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian vectơ và phép biến đổi tuyến tính Người ta cũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, trong đó có thể có khái niệm độ dài và góc
Ngày nay Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, Kinh tế, Vì thế, nó trở thành một môn học cơ sở cho sinh viên các chuyên ngành khoa học cơ bản và công nghệ trong tất cả các trường đại học
Trang 4Chương 1
TUYẾN TÍNH
_
1.1 GIỚI THIỆU VECTƠ Các phép toán vectơ
Vectơ hình học là đoạn thẳng được định hướng
•
•→→→
gốc ngọn
Các vectơ hình học có hai phép toán cơ bản là phép cộng vectơ và phép nhân
ĐỊNH NGHĨA
1 Tổng v + w của hai vectơ v và w được xác định theo Quy tắc ba điểm hoặc Quy tắc
2 Tích xv của vectơ v với số thực x, được xác định như sau:
* Nếu x ≥ 0 thì xv cùng hướng với v Nếu x < 0 thì xv ngược hướng với v;
* |xv| = |x|⋅|v|
Ngoài ra, hiệu của hai vectơ v và w là v - w := v + (-w) Phép toán tìm hiệu của
hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ
ĐỊNH NGHĨA Với những vectơ v1, v2, ,v n và các vô hướng x1, x2, , xn , gọi
x1v1+x2v2+ +xn v n
là một tổ hợp tuyến tính của v1, v2, ,v n
Trang 5
VÍ DỤ
Nhận xét
1) Khi vectơ v ≠ 0, tập tất cả các tổ hợp xv lấp đầy một đường thẳng
2) Khi những vectơ v1 và v2 không cùng phương, tập tất cả các tổ hợp x1v1 + x2v2 lấp đầy một mặt phẳng
Trang 63) Khi ba vectơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, tập tất cả các tổ hợp x1v1+x2v2+x3v3 lấp đầy không gian
ĐỊNH NGHĨA Tích vô hướng của hai vectơ v và w là số thực
v⋅w := |v|⋅|w|cosϕ,
trong đó ϕ là góc giữa hai vectơ v và w
Hermann Grassmann (1808-1877) cha đẻ của tích vô hướng
Biểu diễn vectơ hình học theo toạ độ
Việc tìm một tổ hợp tuyến tính của nhiều vectơ hình học theo định nghĩa của hai phép toán vectơ nói chung là cồng kềnh Tuy nhiên, việc này được giải quyết rất gọn khi biểu thị các vectơ hình học dưới dạng tọa độ.
Với mỗi vectơ hình học v trong mặt phẳng tọa độ Oxy luôn luôn tồn tại duy nhất hai số x và y sao cho v = x i + y j Ta gọi cặp số (x, y) là tọa độ của v Để tiện làm
việc về sau, cặp số này còn được viết ở dạng
Trang 7
y
x
Ta đồng nhất v với cặp số này:
v =
y
x
Với mỗi vectơ hình học v trong không gian Oxyz luôn luôn tồn tại duy nhất ba
số x, y và z sao cho v = x i + y j + z k Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của v Để tiện
làm việc về sau, bộ ba số này còn được viết ở dạng
z y
x
Ta đồng nhất v với bộ ba số này:
v =
z y
x
Giả sử
v =
y
x
, w =
'
'
y
x
và c là một vô hướng Ta có
v + w =
+
+ '
'
y y
x x
, cv =
cy
cx
, v⋅w = xx' + yy'
Đối với các vectơ hình học trong không gian ta cũng có những điều tương tự trên
Mở rộng khái niệm vectơ
Từ biểu diễn toạ độ của vectơ hình học ta có thể mở rộng khái niệm vectơ hình học một cách tự nhiên như sau:
ĐỊNH NGHĨA Gọi dãy gồm n số thực
n
x
x x
M
2 1
(x1, x2, , xn),
nhưng không được hiểu là vectơ hàng
Trang 8Ta ký hiệu các vectơ cột bởi những chữ cái nhỏ viết nghiêng và đậm, còn các số thực bởi những chữ cái nhỏ viết nghiêng không đậm
Trên tập Rn ta định nghĩa các phép toán, tổ hợp tuyến tính, tích vô hướng, độ dài của vectơ theo các công thức tương tự với những công thức trong hình học nói trên
ĐỊNH NGHĨA
1 Cộng hai vectơ theo từng thành phần:
n
x
x x
M
2 1
+
n
y
y y
M
2 1
=
+
+ +
n
n y x
y x
y x
M
2 2
1 1
2 Nhân một vectơ với một vô hướng (là số thực) theo từng thành phần:
c
n
x
x x
M
2 1
=
n
cx
cx cx
M
2 1
3 Với các vectơ v1, v2, ,v m thuộc R n và các vô hướng x1, x2, , xm, gọi
x1v1+x2v2+ ⋅⋅⋅ +xmv m
là một tổ hợp tuyến tính của v1, v2, ,v m
4 Tích vô hướng của hai vectơ v = (x1, x2, , xn) và w = (y1, y2, , yn) là số thực
v⋅w = x1y1 + x2y2 + ⋅⋅⋅ + xnyn
5 Độ dài của vectơ v = (x1, x2, , xn) là số |v| = (v⋅v)1/2 = (x12 + x22 + ⋅⋅⋅ + xn2)1/2 Sau này ta gọi Rn là một không gian n-chiều Như vậy, tập các vectơ hình học trên mặt phẳng, hay không gian 2-chiều, là
R2 =
∈
R
2 1 2
1 x , x
x
x
Tập các vectơ hình học trong không gian, hay không gian 3-chiều, là
R3 =
∈
R
3 2 1 3 2
1
,
x x x
x
Ứng dụng Trong một siêu thị có n mặt hàng, ký hiệu q i là lượng mặt hàng thứ i
doanh thu = q⋅p = q1p1 + q2p2 + ⋅⋅⋅ + q npn
Trang 9
1.2 ĐỊNH NGHĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Một số bài toán dẫn đến
hệ phương trình tuyến tính Bài toán Mạng điện Cho mạng điện
Thiết lập hệ phương trình Áp dụng Định luật Kirchhoff về dòng điện "Tổng đại số
các dòng điện tại một nút bằng 0", ta có
bằng 0", ta có
i1 - i2 + i3 = 0
Trang 10-i1 + i2 - i3 = 0
Bài toán Lưu lượng giao thông Dưới đây là các đường một chiều giao nhau và
Thiết lập hệ phương trình Tại mỗi giao lộ, số xe vào phải bằng số xe ra Chẳng
ĐỊNH NGHĨA Một phương trình tuyến tính n ẩn là một phương trình có dạng
a1x1 + a2x2 + ⋅⋅⋅ + a x = b,
Trang 11trong đó a1, a2, , a n và b là những số thực, x1, x2, , x n là các ẩn Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn (hay hệ m×n) là một hệ có dạng
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a 1nx n = b1
a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a 2n x n = b2
a m1x1 + a m2x2 + ⋅⋅⋅ + a mn x n = b m
trong đó tất cả aij và bj là những số thực, x1, x2, , x n là các ẩn
Những dạng khác của hệ phương trình tuyến tính
v j =
mj
j j
a
a a
M
2 1
m
b
b b
M
2 1
cột
h =
a
a a
M
2 1
x
x x
M
2 1
Trang 12
Dễ thấy vế trái của phương trình này là tích vô hướng h⋅x Do đó phương trình này có
A =
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
L
M M
M
L L
2 1
2 22
21
1 12
11
là ma trận hệ số của hệ này
n
x
x x
M
2 1
m
b
b b
M
2 1
Ax =
+ + +
+ + +
+ + +
n mn m
m
n n
n n
x a x
a x a
x a x
a x a
x a x
a x a
L M L L
2 2 1 1
2 2
22 1 21
1 2
12 1 11
=
⋅
⋅
⋅
x h
x h x h
m
2 1
Ví dụ
x1
6 2
1
− 3 5
2
1 2
3
=
2 4
6
Trang 13
−3 1 6
2 5 2
3 2 1
3 2 1
x x
x
=
2 4
6
1.3 PHÉP KHỬ GAUSS
Ma trận bậc thang và trụ
− 5 0 0
1 2 0
2 4 1
,
0 0 0
2 0 0
3 4 5
,
0 2 0 0 0 0
3 0 0
4 2 1
,
0 0 1 2
0 0 0 4
0 0 0
5
Chúng có các đặc điểm chung là
(1) Nếu hàng k không phải toàn 0, thì số các 0 đứng đầu hàng k+1 lớn hơn số các 0
đứng đầu hàng k
(2) Nếu có các hàng gồm toàn 0, thì chúng nằm dưới những hàng chứa số khác 0
ĐỊNH NGHĨA Ma trận bậc thang là ma trận có đặc điểm (1) và (2) Số khác
Ví dụ 1
− 5 0 0
1 2 0
2 4 1
có các trụ 1, 2, 5
0 2 0 0 0 0
3 0 0
4 2 1
có các trụ 1, 3
Ma trận mở rộng
ĐỊNH NGHĨA Đối với hệ
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a 1n x n = b1
a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a 2n x n = b2
am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amn x n = bm
ta gọi bảng số
Trang 14[A b] =
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
L
L L
2 1
2 22
21
1 12
11
m
b
b b
2 1
là ma trận mở rộng của nó
ĐỊNH NGHĨA Hệ dạng bậc thang là hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng dạng bậc thang Ẩn có hệ số là trụ được gọi là biến trụ Những ẩn còn lại được gọi là biến tự do
Ví dụ 2
1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
1x3 + x4 + 2x5 = 0
1x5 = 3
Ta thấy 3 trụ là 1 1 1 nên x1, x3, x5 là các biến trụ, x2 và x4 là các biến tự do
Một trường hợp đặc biệt của hệ dạng bậc thang là hệ dạng tam giác
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1n xn = b1
a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2n xn = b2
annxn= bn trong đó các hệ số aii khác 0 (i = 1, , n) Ta thấy ma trận mở rộng của hệ này có các trụ là aii (i = 1, , n) Những biến trụ là x1, x2, …, xn Hệ dạng tam giác không có biến
tự do
Phương pháp giải hệ dạng bậc thang
Cách giải hệ dạng tam giác
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1n xn = b1
a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2n x n = b2
annxn= bn Giải hệ này bằng phép thế ngượctừ dưới lên Từ phương trình một ẩn cuối cùng tìm được xn = bn −1
nn
a Tiếp theo, thay xn = bn −1
nn
a vào phương trình thứ n-1 ta lại có phương trình một ẩn xn-1 cho phép tính xn-1 Lặp lại liên tiếp thủ tục này cho đến lúc gặp phương trình đầu tiên, ta tìm được nghiệm của hệ này.Rõ ràng hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3 Hệ
3x1 + 2x2 + x3 = 1
x2 - x3 = 2
2x3 = 4
có nghiệm duy nhất (-3, 4, 2)
Trang 15
Cách giải hệ dạng bậc thang
Trường hợp hệ chứa phương trình dạng 0 = b i vớ b i khác 0: hệ vô nghiệm
Trường hợp còn lại: Trước hết ta loại đi tất cả các phương trình dạng 0 = 0 (vì chúng
là hằng đẳng thức) Trong mỗi phương trình còn lại, chuyển những hạng tử chứa biến
tự do (nếu có) sang vế phải rồi gán cho các biến này giá trị thực tùy ý Ta có hệ dạng tam giác đối với những biến trụ Giải hệ dạng tam giác này, ta tìm được giá trị của những biến trụ
Ví dụ 4 Giải hệ
1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
1x3 + x4 + 2x5 = 0
1 x5 = 3 Chuyển hệ về
x1 + x3 + x5 = 1 - x2 - x4
x3 + 2x5 = -x4
x5 = 3
Gán cho x2 và x4 giá trị thực tùy ý, rồi giải hệ này ta được x1 = 4 - x2,
x3 = -6 - x4, x5 = 3 Nghiệm của hệ là
(4 - x2, x2, -6 - x4, x4, 3)
Chẳng hạn, nếu x2 = x4 = 0, thì một nghiệm của hệ là
(4, 0, -6, 0, 3)
Giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ
C.F.Gauss đã đề xuất ra phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ, có tên là
phép khử Gauss Đó là chuyển hệ cho trước về hệ phương trình tương đương có dạng bậc thang nhờ sử dụng những phép toán sau đây
I Đổi chỗ hai phương trình của hệ
II Lấy một phương trình của hệ trừ đi bội của một phương trình khác trong hệ III Nhân cả hai vế của một phương trình trong hệ với một số khác 0
Trang 16Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Chú ý Trong quá trình thực hiện phép khử, nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = 0,
ta có thể loại nó khỏi hệ Còn nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = b với b khác 0, thì
hệ vô nghiệm
Ví dụ 5 Giải hệ trong Bài toán Mạng điện
i1 - i2 + i3 = 0
-i1 + i2 - i3 = 0
4i1 + 2i2 = 8
2i2 + 5i3 = 9
Bước 1:
phương trình 2 - (-1)×phương trình 1 phương trình 3 - 4×phương trình 1
ta được
i1 - i2 + i3 = 0
0 = 0
6i2 - 4i3 = 8
2i2 + 5i3 = 9
Bước 2:
Đổi chỗ ba phương trình cuối, ta được hệ
i1 - i2 + i3 = 0
2i2 + 5i3 = 9
6i2 - 4i3 = 8
Trang 170 = 0
(Thực ra ta có thể loại đi 0 = 0)
Bước 3: phương trình 3- 3×phương trình 2
ta có
i1 - i2 + i3 = 0
6i2 - 4i3 = 8
-19i3 = -19
0 = 0
Bước 4: Giải hệ này bằng phép thế ngược, ta có nghiệm
i1 = 1, i2 = 2, i3 = 1
Nhận xét Quá trình giải hệ trên bằng phép khử Gauss có thể trình bày theo cách ghi lại sự biến đổi của ma trận mở rộng
−
−
−
5
0
1 1
2
2
1
1
0
4
1
1
9 8 0
0
→
−
−
5 4 0 1
2 6 0 1
0 0 0 1
9 8 0
0
→
−
−
0 4 5 1
0 6 2 1
0 0 0 1
0 8 9
0
→
−
−
0 19 5 1
0 0 2 1
0 0 0 1
− 0 19 9
0
Ngoài ra, ta thấy các trụ là 1, 2, -19
Trụ dùng để khử những số cùng cột nằm bên dưới
Khi trụ thuộc cột j và ta muốn khử số cùng cột ở hàng i thì ta phải lấy hàng chứa
số này trừ đi tích của hàng chứa trụ với một số thích hợp Số thích hợp này được gọi
là số nhân, ký hiệu là l ij Chẳng hạn, trụ 2 thuộc cột 2 và ta muốn khử số 6 cùng cột
thuộc hàng 3 thì ta lấy hàng 3 (chứa trụ) trừ đi 3 lần hàng 2 Số nhân l32 =
2
6 = 3
Số nhân l ij = (phần tử cần khử trong hàng i, cột j) chia cho (trụ trong cột j)
Phương pháp khử Gauss trừ phương trình thứ i đi l ij lần phương trình thứ j
Ví dụ 6 Giải hệ trong Bài toán Lưu lượng giao thông
x1 - x2 = 160
x2 - x3 = -40
x3 - x4 = 210
-x1 + x4 = -330
−
−
−
1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
−
−
330 210 40
160
→
−
−
−
−
1 1 0 0
0 1 1 0
1 0 1 1
0 0 0 1
−
−
170 210 40 160
→
Trang 18
−
−
−
−
1 1 0 0
1 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
−
−
210 210 40
160
→
−
−
−
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
−
0 210 40
160
Hệ có vô số nghiệm
(x4 + 330, x4 + 170, x4 + 210, x4)
Sơ đồ lưu lượng giao thông đã không cho đủ thông tin để xác định duy nhất x1, x2, x3,
x4 Nếu biết thêm lưu lượng xe ở đường nối một cặp giao lộ bất kỳ, thì dễ dàng tính được lưu lượng xe ở các nhánh còn lại Chẳng hạn khi biết lưu lượng xe ở đường nối
giao lộ C và D là 200 xe/giờ, thì x4 = 200 Suy ra x1 = 530, x2 = 370, x3 = 410
Ví dụ 7 Giải hệ
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
-x1 - x2 + x5 = -1
-2x1 - 2x2 + 3x5 = 1
x3 + x4 + 3x5 = -1
x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + 4x5 = 1
Giải
−
−
−
−
−
−
1 1 1 1 1
4 2 2 1 1
3 1 1 0 0
3 0 0 2 2
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
→
− 0 1 3 0 1
3 1 1 0 0
3 1 1 0 0
5 2 2 0 0
2 1 1 0 0
1 1 1 1 1
→
− 0 1 3 0 1
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
2 1 1 0 0
1 1 1 1 1
→
−
− 3 4 3 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
2 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Từ ma trận cuối suy ra hệ vô nghiệm
Chú ý
1) Hệ tuyến tính chỉ có một trong ba khả năng: duy nhất nghiệm, có vô số nghiệm, vô
nghiệm Hệ n×n mà có nghiệm duy nhất được gọi là hệ không suy biến, còn trong trường hợp ngược lại nó được gọi là hệ suy biến
2) Khi đưa được ma trận mở rộng về dạng bậc thang, để lấy ra nghiệm ta có thể không cần dùng phép thế ngược, mà đem chia mỗi hàng chứa trụ cho trụ ấy rồi dùng phép