SKKNUng dung cua ham so trong viec giai va bien luan phuong trinh bat phuong trinh

Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Phương trình , bất phương trình nội dung chương trình tốn THPT.Các tốn giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có ngiệm thường có đề thi tuyển sinh vào ĐH,CĐ Chính việc sâu nghiên cứu tìm tịi thêm phương pháp giải, biện luận phương trình, bất phương trình có ý nghĩa quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh kiến thức, kỹ giải tốn phương trình, bất phương trình Trong đề tài tơi sâu vào giải biện luận phương trình, bất phương trình II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1/ Cơ sở lý luận Hàm số vấn đề trọng tâm chương trình tốn học trường THPT Dạy học theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao khả tư Hàm số có ứng dụng rộng lớn nhiều lĩnh vực toán học mà ứng dụng việc giải biện luận phương trình, bất phương trình Các khái niệm phương trình, bất phương trình định nghĩa thông qua khái niệm hàm số việc sử dụng phương pháp hàm số việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình có ý nghĩa to lớn Một mặt tác dụng củng cố thêm kiến thức hàm số ngược lại kiến thức lại vận dụng trở lại tốn phương trình bất phương trình 2/ Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trường THPT thấy học sinh lúng túng việc giải tập mà cần đến kiến thức hàm số phần kiến thức phần hàm số tương đối trừu tượng muốn sâu nghiên cứu ứng dụng hàm số chưa coi trọng mức Trong số tốn phương trình, bất phương trình dùng phương pháp khác tốn trở nên phức tạp đơi khơng giải sử dụng phương pháp hàm số cách giải trở nên đơn giản 3/ Giải pháp tổ chức thực hiện: Trong đề tài tơi muốn trình bày với ý tưởng giúp học sinh khai thác kiến thức hàm số, phương trình, bất phương trình mà em học nhằm giúp em nắm kiến thức cách chắn, sâu sắc từ em vận dụng linh hoạt vào giải toán giải, biện luận phương trình hay bất phương trình Giải pháp tổ chức thực là: - Cho học sinh nghiên cứu đề tài (giáo viên dạy, học sinh học làm tập) - Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức học sinh trước sau nghiên cứu chuyên đề - Tổng kết mặt làm chưa làm chuyên đề để có hướng vận dụng chuyên đề cho khóa học sinh www.sangkienkinhnghiem.com Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn 4/ Nội dung chun đề: 4.1/ Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình: a) Sử dụng tính đơn điệu hàm số việc giải phương trình * Kiến thức Định nghĩa: Giả sử K khoảng, đoạn, hay nửa khoảng f hàm số xác định K Hàm số f gọi đồng biến K nếu:  x1,x2  K ,x < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f gọi nghịch biến K nếu:  x1,x2 K ,x1 < x2  f(x1) > f(x2) Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến: ĐL1: Cho hàm số y  f  x  xác định (a; b) x  (a; b) hàm số đồng biến (a; b) Nếu f '  x  0 x  (a; b) hàm số nghịch biến (a; b) Nếu f '  x  0 x  (a; b) Chú ý: f '  x  0 ĐL2: Giả sử hàm số U  x  V  x  hàm số Đồng biến (Nghịch biến) (a; b) hàm số y U  x   V  x  hàm số Đồng biến (Nghịch biến) (a; b) ĐL3: Gỉa sử U  x  V  x  hàm số Đồng biến ( Nghịch biến) (a; b) U  x   ; V  x   với x  (a; b) hàm số y U  x V  x  hàm số Đồng biến (Nghịch biến) (a; b) ĐL4: Nếu U  x  hàm số Đồng biến ( Nghịch biến) (a; b)  U  x   với x  (a; b) hàm số hàm số Nghịch biến (hoặc Đồng U  x biến) (a; b) ĐL5: Hàm số y  f  u  Đồng biến, hàm số u  g  x  Đồng biến hàm số hợp y  f  g  x   Đồng biến - Các hướng khai thác + Đưa phương trình dạng f  x   g  x  Trong f  x  hàm số đồng biến g  x  hàm số nghịch biến ngược lại Khi x = x0 thỏa mãn f  x   g  x  x = x0 nghiệm phương trình + Đưa phương trình dạng f  x   A Trong f  x  hàm số đơn điệu Nếu tồn x = x0 cho f  x0   A x = x0 nghiệm phương trình + Đưa phương trình dạng f  u   g  v  với u U  x  ; v V  x  f  t  hàm số đơn điệu phương trình tương đương với U  x  V  x  Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình x   x  0 www.sangkienkinhnghiem.com Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn Bài giải: phương trình cho tương đương với x  3  x Ta thấy hàm số f  x  5 x hàm số đồng biến f '  x  5 x ln f '  x   với x  R Hàm số g  x  3  x hàm số nghịch biến R f  2 g  2  x 2 nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình x (1) x 3  Bài giải: (1)    x 2x  1 x    x        1   x    x Ta thấy hàm số f  x       hàm số nghịch biến ( Tổng    2 hai hàm số nghịch biến) f  2 1  x 2 nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình x  x x  x  1 (Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001) Bài giải: x  x u x  v Thì u  v  x  1 Phương trình cho tương đương với :  v  u u  v u  u v  v Hàm số tương ứng hai vế là: f  t  t  t (*) t f '  t  1  ln 0 có Nên f  t  đồng biến, (*)  u v  x  x  x   x 1 Ví dụ 4: Giải phương trình: x  x 6 x  (Đề thi ĐHSP Hà Nội – Khối A năm 2001) Bài giải: viết phương trình dạng : x  x  x  0 f  x  3 x  x  x  Xét hàm số (1) f '  x  3 x ln  55 ln  f '  x  hàm số đồng biến ( tổng hai hàm số đồng biến số khơng đổi) liên tục có đổi dấu chẳng hạn:  f '   ln  ln   f ' 1 3 ln  ln  0 f '  x  0 có nghiệm x  đổi dấu từ âm sang dương Ta có bảng biến thiên www.sangkienkinhnghiem.com Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn   x f ' x -  + f  x Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành tối đa lần  phương trình (1) có tối đa nghiệm Ta thấy f  0 0; f 1 0 Do phương trình cho có nghiệm x 0 x 1 Ví dụ 5: Giải phương trình:   x  log x t log  x log x Bài giải: Đặt log 1  ứng với: 1  x 2 t   x 3t phương trình cho tương   3t 2 t   2 t t Từ ví dụ suy t 2 nghiệm phương trình  log x 2  x 9 Ví dụ 6: Giải phương trình x x           2 x  Bài giải: Chia hai vế phương trình cho x ta được: x (1) Ta thấy (1) x  2   2      1      2      2   1   2      (2) Nên vế trái phương trình (2) hàm số nghịch biến ( tổng hàm số nghịch biến) x 2 thỏa mãn phương trình (2) x 2 nghiệm phương trình Ví dụ 7: Giải phương trình log 2  x  x   log 2  x  x  3 (1) Bài giải: Tập xác định: x  x   (1) Đặt  log  log 84 8 3 x x 2   x  log  4  x  log 4 x x 2    x   x 3   2x    2x  a 7  1 ; t x  x  phương trình trở thành: log a 1  t  1 log a t (2) www.sangkienkinhnghiem.com Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn  t a y (2)    t   a  1 y Đặt log a t  y hay a y   a  1 y  Ta thấy y y  a        1  a 1   a 1  a 0 1 ;  1 a 1 a 1 (3) Vế trái (3) tổng hàm số nghịch biến y 1 thỏa mãn phương trình (3)  y 1 nghiệm phương trình (3)  t a Với y 1  log a t 1  x  x  7   x  x  10  0  x 1  11  Vậy phương trình có nghiệm: x 1  11  b Sử dụng phương pháp hàm số giải bất phương trình Các hướng khai thác - Đưa bất phương trình cho dạng f  x   f  a  (1) (hoặc f  x   f  a  ) f  x  hàm số đơn điệu từ suy nghiệm bất phương trình Nếu f  x  hàm số đồng biến (1)  x  a f  x  hàm số nghịch biến (1)  x  a - Đưa bất phương trình dạng f  x   g  x  nhẩm f  a   g  a  đưa vào tính đơn điệu hàm số f  x  g  x  suy nghiệm bất phương trình - Đưa bất phương trình dạng f  x   A (hoặc f  x   A ) Dựa vào việc khảo sát hàm số f  x  ta suy nghiệm bất phương trình Trong số toán để sử dụng phương pháp hàm số phải thơng qua bước đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải bất phương trình 21 x  x  (1)  x Bài giải: bất phương trình (1)   x  0 Xét hàm số y  f  x  21 x  x  có tập xác định R f '  x   21 x ln  0 x  R Nên hàm số f  x  nghịch biến R Ta thấy f 1 0 nên (1)  f  x   f 1 f  x  hàm số nghịch biến suy nghiệm bất phương trình x 1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình log     t 0 Bài giải: Đặt x  x  t Bất phương trình (1)  log  t  1  log t  2 2 www.sangkienkinhnghiem.com  x  x    log x   x 2 (1) (2) Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn   f  t  log  t  1  log t   0; 2t f 't    0 với t   0;  t  1 ln t  ln Nên f  t  đồng biến  0; Ta lại có f 1 2 nên bất phương trình (2)  f  t   f 1  t 1   x  x  1 Xét hàm số    x  x  0   x  x  0   5 1 x   5  x 4   Ví dụ 3: Giải bất phương trình  x   5  x     5   x   1 x 4    (1) log x  x  1 Bài giải: Tập xác định: x  x  0 x  log  x  x   2 (1) Đặt u 4 x  x  2 u '   x 0   2 x 2  (2) x 2 Ta có bảng biến thiên: x 2 + 2 u' u log u 2   log  x  x   1 Qua bảng biến thiên ta có x x  0  Mặt khác: 2 1 x log  x  x   2 Nên bất phương trình (2)  log  x  x  2 1 2 x  x 2 Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 2 Ví dụ 4: Giải bất phương trình x Bài giải: Tập xác định Xét hàm số f  x  2 x  x  www.sangkienkinhnghiem.com x  4  x 1 Ta có f   4  Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn f '  x  1 x 1 x   x x x  x  1 f '  x  0 x   x 1 x f ' x - x 4  + + f  x 4 3 Qua bảng biến thiên ta suy nghiệm bất phương trình cho x  Ví dụ 5: Giải bất phương trình x   x  5 Bài giải: Xét hàm số f  x   x   x  có tập xác định: x  1 f ' x   0 x 9 2x   Hàm số đồng biến   2; Ta thấy f  0 5 Vậy  bất phương trình vơ nghiệm Khi  x 0 f  x   f  0 5  x  nghiệm Khi x 0 f  x   f  0 5 Giới thiệu thêm số tập áp dụng: Giải phương trình bất phương trình sau: x  x 5 x lg x  x    x lg x    log  x  3log x  log x log  x  1  log  x   2 5 x  x 0 x  3x 1 lg 4.2 Ứng dụng hàm số việc biện luận tồn nghiệm phương trình bất phương trình a Sử dung tính liên tục hàm số để chứng minh tồn nghiệm phương trình ĐL: Nếu hàm số y  f  x  liên tục  a; b f  a  f  b  0  x0   a; b  cho f  x0  0 2a  3b  6c 0 Ví dụ 1: Biết (1) f  x  ax  bx  c có nghiệm  0;1 Chứng minh Bài giải: Cách Ta thấy f  x  liên tục R 1 1  Mặt khác f  0  f    f 1 c   a  b  c 4  a  b  c 2a  3b  6c 0  2 www.sangkienkinhnghiem.com 4  Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn 1  2 Suy tồn số f  0 , f   f 1 trái dấu trường hợp f  x  có nghiệm  0;1 Cách 2:  2   Ta có f  0 f   c a  b  c   3 9     c 2a  3b  c      c2  c  6c  c      2a  3b 0 * c 0 (1)  a 0  b 0 phương trình f  x  0 có nghiệm x  R a 0  phương trình có nghiệm x    0;1 c  2  2 * c 0  f  0 f    0  f  x  có nghiệm x   0;   3  3 Hay f  x  có nghiệm x   0;1 Ví dụ 2: Chứng minh phương trình: x  x  x  x  0 có nghiệm Bài giải: Viết phương trình dạng x  x  x  0  x  x  0 f  x  x  x  Xét hàm số f '  x  3x   x  hàm số f  x  đồng biến R f  x  liên tục R f   f 1  0 Suy phương trinhg f  x  có nghiệm x0   0;1 hay phương trình cho có nghiệm x0   0;1    Giới thiệu thêm số tập áp dụng: Biết 4a  3b  3c 0 chứng minh f  x  ax  bx  c 0 có nghiệm x0   0;2  Chứng minh với m thi phương trình: x  mx  0 ln có nghiệm dương Tìm m để phương trình có nghiệm Chứng minh phương trình: 64 x  96 x  36 x  0 có nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 x0  2 b Sử dụng định lí Lagrăng việc chứng minh tồn nghiệm phương trình, bất phương trình Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số y  f  x  liên tục  a; b có đạo hàm f b  f  a b a Ta lấy ví dụ phần trên: biết rằng: 2a  3b  6c 0 f  x  ax  bx  c có nghiệm  0;1 Chứng minh  a; b  c   a; b  cho www.sangkienkinhnghiem.com f ' c  Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn ax bx   cx hàm số có F '  x   f  x  F  x  liên tục  0;1 có dạo hàm  0;1 F 1  F   Theo định lí Lagrăng x0   0;1 cho: F '  x0   1 a b 2a  6b  6c 0 Hay x0   0;1 cho f  x0     c  Vậy phương trình f  x  0 có nghiệm x   0;1 Ví dụ 2: Chứng minh bất phương trình e x 1  x thỏa mãn với x  R Bài giải: + x 0 thỏa mãn bất phương trình + x  Xét hàm số f  t  e t  0; x Hàm số liên tục  0; x có đạo hàm  0; x  Theo định lí f  x   f  0 Lagrăng ta có c   0; x  cho f '  c   x x e 1 c   0; x  cho e c  c   0; x   c 0  e c e 1 hay x x e 1 1  e x 1  x nên x + x 0 Khi hàm số f  t  liên tục  x;0 có đạo hàm  x;0 f  0  f  x  Theo định lí Lagrăng ta có: c   x;0 cho f '  c   0 x    f x hay c   x;0 cho e c   x    f x 1   f  x   x (vì  x 0 )  e x 1  x c 0  e c 1 nên  x Vậy bất phương trình cho thỏa mãn với x  R Bài giải: Xét hàm số: F  x   Giới thiệu số tập áp dụng: Chứng minh phương trình: a0 x n  a1 x n   a n x 0 có nghiệm dương x1 phương trình: na0 x n   n  1 a1 x n   an  0 có nghiệm dương x2  x1 Chứng minh phương trình: a cos x  b cos 3x  c cos x  d cos x 0 ln có nghiệm khoảng  0;  với a; b; c; d Chứng minh: x  px  q 0 x  R  256q 27 p c Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm việc biện luận tồn nghiệm phương trình hay bất phương trình * Đối với phương trình ta sử dụng mệnh đề sau: Phương trình f  x  m có nghiệm miền D m thuộc miền giá trị hàm số y  f  x  D Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:  x   x    x   x  m (1) Có nghiêm Bài giải: Đặt t   x   x Với x    3;6 www.sangkienkinhnghiem.com Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn t' 6 x  3 x 0   x   x   x  6 x  3 x Ta có bảng biến thiên: x 3 + t' - t   x   x  t 9 t2  t2 m    t  m (2) Khi phương trình (1) trở thành: t  2 phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t  3;3 Do t  3;3   t2 t  2 y '  t  0  xét hàm số:  y  t y' + t 1 ta có bảng biến thiên: 3 - - - y 2     Qua bảng biến thiên ta có miền giá trị hàm số y là: 3  ;3 nên   phương trình cho có nghiệm m  3  ;3   Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: cos x  cos x  sin x  m 0 Bài giải: Ta biến đổi phương trình cho dạng: (1) có nghiệm cos x  cos x  m   t 1 phương trình trở thành y 3t  t    1;1 Đặt: cos x t Xét hàm số:  t Ta có bảng biến thiên: y ' 6t  0  t   y' y -1 - 3t  t  m (2)  + 25  12 Qua bảng biến thiên suy phương trình (2) có nghiệm t    1;1  25 m 2 12 www.sangkienkinhnghiem.com 10 Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn Hay phương trình (1) có nghiệm  25 m 2 12 * Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau: Để tìm điều kiện m cho bất phương trình f  x   m ( f  x   m ) có nghiệm ta tìm miền giá trị hàm số y  f  x  từ có kết luận m Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình: mx  x  m  (1) có nghiệm Bài giải: Đặt X  x   x   0;   m X   X 1  m  Phương trình (1) trở thành: X 1 X 2 (2) Bất phương trình (1) có nghiệm  bất phương trình có nghiệm X 0  có điểm đồ thị y  đường thẳng y m X 1 với X 0 khơng phía X 2  X  2X  X 1 0   X  X   Xét hàm số y  có y '  X 2 X2 2  X  1 Ta có bảng biến thiên:  X y'  1 -  +  1 +  - 1 y 1 Qua bảng biến thiên suy với m  bất phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m cho bất phương trình: x  x  mx 0 thỏa mãn với x 1 Bài giải: bất phương trình cho:  x  x  x  m  0  x  x  m 0 x 1 Xét hàm số f  x  x  x  m x 1  f '  x  2 x  0  x  Ta có bảng biến thiên: x   f ' x + +  f  x m 5 Suy bất phương trình f  x  0 có nghiệm m  0  m 5 Ví dụ 3: Tìm m cho x   2;3 nghiệm bất phương trình:  log  x  1  log  x  x  m   (*) 2 Bài giải: Ta có (*)  log  5 x  1  log  x  x  m     x   x  4x  m 0 www.sangkienkinhnghiem.com  11  x  x   m 0   x  x  m 0 (1) (2) Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn x   2;3 nghiệm bất phương trình (*)  x   2;3 đồng thời nghiệm (1) (2)  x  x   m    x  x  m 0 Xét hàm số trên f '  x  8 x  0  x  g '  x  2 x  0  x  Thì  2;3  2;3 Ta có bảng biến thiên: x  f ' x f  x x g'  x    13  m  2 g  x 12  m Suy f ( x)  g ( x)  với x  (2;3)  f (2) 0  13  m 0     12 m 13 g ( )  12  m    Giới thiệu số tập áp dụng: 1) Tìm m để phương trình : x  m  x  0 có nghiệm m 2) Tìm m để phương trình : log ( x  x  2)  m  log ( x  x  2) có nghiệm 3) Tìm m cho cos x  m cos x  0 với x d Sử dụng phương pháp max, việc biện luận tồn nghiệm phương trình, bất phương trình Để áp dụng phương pháp sử dụng số mệnh đề sau: Mệnh đề1: phương trình f ( x) m có nghiệm miền D khi: f ( x) m max f ( x ) D D Mệnh đề 2: bất phương trình f ( x)  m có nghiệm miền D khi: f ( x )  m D Mệnh đề 3: bất phương trình f ( x)  m có nghiệm với x  D  max f ( x)  m D Mệnh đề 4: bất phương trình f ( x)  m có nghiệm miền D khi: max f ( x )  m D Mệnh đề 5: bất phương trình f ( x)  m có nghiệm với x  D  f ( x)  m D Các ví dụ minh họa: www.sangkienkinhnghiem.com 12 Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn Ví dụ 1: Chứng minh n số tự nhiên chẵn a  phương trình: (n  1) x n 2  3(n  x) x n 1  a n 2 0 vô nghiệm Bài giải: Xét hàm số y  f ( x) (n  1) x n2  3(n  x) x n1  a n 2 f ( x ) (n  1)( n  2) x n ( x  3) Vì n số tự nhiên chẵn nên x n  với x nên y '0 với x 3 y '0 với x 3 Do y  f  3 a n1  3n2 0 (vì a 3 ) Suy phương trình f  x  0 vơ nghiệm    x   x  x  x  a  18 Ví dụ 2: Cho bất phương trình: (1) Bài giải: Đặt t    x   x    x  x  với  x 4 t 0  x 4 x  t 3 Khi  x 2  x  x 1 f  t  t  4t  10 (2) Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: t    x   x      x    x 3 Bất phương trình (1) trở thành: Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình (2) có nghiệm t   0;3 Ta có bảng biến thiên: t 10 f t  f  t  6 bất phương trình (2) có nghiệm Qua bảng biến thiên :  0;3 t   0;3 a 6 Hay với a 6 bất phương trình (1) có nghiệm 4.3 Ứng dụng hàm số việc biện luận số nghiệm phương trình hay bất phương trình Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) x  x  m  x  x  m 6 Giải: Đặt t 4 x  x  m (t 0 )  t 2 Phương trình (1) trở thành t  t  0   t  3( L) x  x  m 2  x  x  m 16   x  x  16 m Xét hàm số f ( x)  x  x  16 f ( x)  x   4( x  1) 0  x  Số nghiệm phương trình giao điểm đường thẳng y m với đồ thị y  f (x) Ta có bảng biến thiên: x   f ' ( x) + t 2  f (x) www.sangkienkinhnghiem.com  13 19  Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học mơn Tốn Suy ra: m  19 : Phương trình vơ nghiệm m 19 :Phương trình có nghiệm m  19 :Phương trình có nghiệm Để biện luận số nghiệm phương trình theo tham số m thường đưa phương trình dạng sau: (1): f ( x) m hay f ( x)  g (m) (2): f ( x) kx  m (k số) f ( x )  m ( x  x )  y (3): ( x0 , y số) 0 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị y  f (x) với đường thẳng y m y kx  m y m( x  x0 )  y Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm phương trình: e t  m  (m  4)e t Bài giải: Viết phương trình cho dạng: x  4x  m x e t 1 x x  4x  Khảo sát hàm số (0;+∞) 1 x  x 0  x  2x f ( x)  0   (1  x)  x 2 x   f ' ( x) + +  f (x)    f ( x)  Phương trình e t = x (x>0) có nghiệm với giá trị x>0 suy ra: m