De tai phuong phap ham so giai va bien luan phuongtrinh he phuong trinh

Góp phần nâng cao hiệu quả học tập, đào tạo.[r]

ĐỀ À

PHƯƠNG PHÁP

Ầ ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình Đại số - Giải tích bậc THPT vấn đề giải biện luận phương trình , hệ phương trình có vị trí quan trọng Nó xun suốt chương trình bậc học

Lớp tốn giải biên luận phương trình , hệ phương trình đa dạng phong phú Để giải toán học sinh phải huy động tất các kiến thức Đại số - Giải tích , phải sử dụng nhiều phương pháp , thủ pháp khác Do địi hỏi học sinh phải có lực vận dụng linh hoạt , sáng tạo

Để đạt yêu cầu học sinh phải có tích cực rèn luyện , tích lũy kiến thức , kinh nghiệm với say mê tìm tịi , phát

Trong phạm vi chuyờn đề nêu phương pháp giải biện luận phương trình , hệ phương trình phương pháp ứng dụng biến thiên hàm số Gọi tắt phương pháp hàm số

Ầ NỘI DUNG

A CƠ SỞ

Cơ sở phương pháp hàm số giải biện luận phương trình , hệ phương trình mệnh đề sau ( Mỗi mệnh đề xem định lý)

Mệnh đề 1:

Phương trình ax + b = có nghiệm a ≠ a = b =0 vô nghiệm khi a = b ≠

Mệnh đề 2:

Phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ ) có nghiệm Δ ≥0 vô nghiệm khi Δ <

Mệnh đề 3:

Phương trình f(x) = k có nghiệm x thuộc D k thuộc tập giá trị f(x) trên D

Mệnh đề 4:

Nếu f(x) liên tục [a,b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm (a,b)

Mệnh đề 5:

f(x) liên tục [a,b] , phương trình f(x) = k có nghiệm m ≤ k ≤ M

  ( )   ( )

min

, f x f x

m

b

http://kinhhoa.violet.vn Vũ Ngọc Vinh Mệnh đề 6:

f(x) liên tục [a,b] , có đạo hàm (a,b) f(a) = f(b) phương trình f'(x) = có nghiệm (a,b)

Mệnh đề 7:

f(x) liên tục đơn điệu (a,b) phương trình f(x) =k có nhiều nghiệm trong (a,b)

HƯ qu¶ :

Nếu f(x) có n khoảng đơn điệu D phương trình f(x) = k có nhiều n nghiệm D

Mệnh đề 8:

Nếu f(x) g(x) liên tục D đơn điệu chúng ngược ( hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến ) phương trình f(x) = g(x) có khơng q nghiệm D.

Mệnh đề 9:

Hàm số f(x) đơn điẹu (a,b) , u v thuộc (a,b) f(u) = f(v) u = v

Mệnh đề 10:

Nếu f(x) = ax3 + bx2 + cx +d (a ≠ 0) Xét phương trình f(x) = (1)

a) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt f(x) có cực trị hai số cực trị trái dấu ( yct.ycđ < 0)

b) Phương trình (1) có hai nghiệm hàm số f(x) có hai cực trị có một cực trị ( yct.ycđ = 0)

c) Phương trình (1) có nghiệm hàm số khơng có cực trị hoặc có cực trị dấu

Mệnh đề 11:

Phương trùnh f(x) = k vô nghiệm k không thuộc tập giá trị hàm số

Mệnh đề 12:

f(x) liên tục [a,b] phương trình f(x) =k vơ nghiệm

B CÁC BÀI TỐN

Các phương trình phải vận dụng phương pháp hàm số để giải biện luận thường phương trình khơng mẫu mực phương trình khơng thể dùng phương pháp ''cổ điển'' để qui phương trình bậc , bậc hai phương trình '' bản''

Phương pháp hàm số thường sử dụng để giải tốn sau I BÀI TỐN 1: Giải phương trình dạng f(x) = k (1)

*Khảo sát hàm số y = f(x) (xác định khoảng đơn điệu) *''Nhẩm ''nghiệm phương trình (1)

*căn vào kết khảo sát hàm số để xác định tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình 3x + 4x = 5x (1)

mina,bf(x) k   f(x) k

f(x) nghịch biến R nên (1) có không nghiệm, x0 = nghiệm (1) 

phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3x + 5x = 6x + (2) (2)  3x + 5x - 6x - = (2')

xÐt hµm sè y = f(x) = 3x + 5x - 6x - D = R y' = 3x.ln3 + 5x.ln5 -

y'' = 3x(ln3)2 + 5x(ln5)2

y'' > với x thuộc R → y' hàm đồng biến R f'(0).f'(1) <

Suy bảng biến thiên hàm sè f(x) x

y' - + y

m thử thấy (1) cã hai nghiƯm lµ x = , x =

Căn biến thiên hàm số kết phương trình có hai nghiệm x = x =1

II BÀI TỐN 2: Giải phương trình dạng f(u) = f(v) (1)với f(t) hàm số đơn điệu D ( u,v  D)

Theo tính chất hàm đơn điệu nên (1)  u=v (2)

Ví dụ Giải phương trình: (1)

Giải

XÐt hµm sè f(t) = 3t +t D = R

f'(t) = 3t.ln3 + , f'(t) > với  tR f(t) đồng biến R (1) 2x2 - 5x + = 4x -  2x2 - 5x + =  x = 1

2 x =

Ví dụ Giải biện luận phương trình : Giải

XÐt hµm sè f(t) = 5t + t D = R

4 5 x x x x                                

(1)

5

3

xet hµm sè

5 ; D R

0 ) (x f' : (0,1) x

! 0 

 

  

 x0

  



x

x 5

4 )

1   

 

x 2(x2 2x

3

( )1 32x2 x 12x2  x 1 34x14x -1 (2)

http://kinhhoa.violet.vn Vũ Ngọc Vinh  tR f'(t) = 5t ln5 + > f(t) đồng biến R

nªn (2)  x2 - (m - 2)x + m = mx

 x2 - 2(m - 1)x + m + = ( Đây phương trình bậc

nên vấn đề giải biện luận dành cho học sinh)

VÝ dô (1) Giải

Chứng minh f(x) đồng biến R f(1) = nên (2) có nghiệm t = Suy (1) có nghiệm x =

III.BÀI TỐN 3: Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm D * Phương phỏp

* khảo sát hàm số f(x) D

* Xác định tập giá trị hàm số D * Suy điều kiện m

Ví dụ Tìm m để phương trình có nghiệm Giải:

1                   

log (x 1) log (4 x 2)

3

t Đặt t log (x 1) x

3

t t

(1) t log (4 - x 2)2 (2) t

t

Xet f(t)

m 1 x x 1 x

x2   2  

* 2 1 2 f x f                 2 2

X et hµm sè (x) x x 1 x x 1 ; D R

2x 1

* (x)

2 2

2 x x 1 x x 1

( ) ( )

( ) 0

0 0

f x f x

f x x

                   x

K h i x (a) lu « n th a m ·n

1

K h i x (a) x

2

V Ë y x lim Su y

Ta có bảng biến thiên sau x

y' - + y

Suy tập giá trị hàm số [2;+∞) Vậy với m ≥ phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Gii

Ta có bảng biến thiên sau

x

y ' + - y

-1 Phương trình có nghiệm -1 < m ≤ 10

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x4 + mx3 - (2m + 1)x2 + mx + = (1) Gii: Do x = nghiệm (1)

  



  



( ) ( )

( )

2

2 2 3

1 3

1 1

3 1

1

3 1 3

1 1

0 1 1

x x

x x

x x

y x y y

   

  



 



 



  

 

      

2

x x

x m x m

Xet hµm sè f(x) D R y

lim lim

  



1

10

( )1 x2   

  

      



     

 

2

2

1

m(x ) - 2m -

2 x

x

Đặt t x Đk t (*) x

3 - t

(2) m t ( - , - 2] (2 , ) t

3 - t

xt hµm sè f(t) t ( - , - 2] (2 , ) e t

f  4t3      

2

2

- t

http://kinhhoa.violet.vn Vũ Ngọc Vinh Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau

t - -2 + f'(t) - - + + -

f(t) + + -6

-2 - -

Phương trình (1) có nghiệm x  R  (2) có nghiệm t cho

t ≥  m ≥ v m ≤ -6

Ví dụ 4: Tìm a để phương trình sau có nghiệm cos6x + sin6x = asin2x  (1)

Giải

(1)  3sin22x + 4asin2x - = (2)

Đặt sin2x = t Đ/k t ≤

Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau

t y ' -

y +

Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  (0,1]  m ≥ Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Giải

( y x lim t víi y -y (0,1] t 3t -y ặt Đ 3t -2) 2                4 4 t t a t (1) ) ( ) (

2x2  m x m  x 

4 1 4  ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 2 2 2

2 4 5 2 3

2 1 2 2 5 2 1 2 5 5 4

m x m x

x x m x x x x x                         2

2x (2)

(1)

x (*)

5

( x nghiệm) 2

xet hµm sè f(x) x [3, )

2(x f (x)

)2

2x 5 y

          x x 1

Ta có bảng biến thiên sau

x - +

f'(x) + - - +

f(x) +

(1)cã nghiÖm  (2) cã nghiÖm x [3, +)  m ≥ IV.BÀI TOÁN 4:

Xác định điều kiện để phương trình f(x) = k có n nghiệm (n N) * Phương phỏp

Khảo sát hám số y = f(x) xác định khoảng đơn điệu

- Xác định giao tập giá trị hàm số khoảng - Suy điều kiện cần tìm

Ví dụ1: Tìm m để phương trình sau

x2 - 5x + = x2 -6x +m (1)

a) nghiệm d) có nghiệm b) nghiệm e) vô nghiệm

c) nghiệm

Giải (1)  x2 - 5x + - x2 +6x = m (2) Đặt f(x) = x2 - 5x + - x2 +6x

x - 8

3 +

x2 - 4x + -3x2 + 16x +

f(x) + 40

3 +

Căn vào bảng biến thiên hàm số

a) (1) có nghiÖm  < m <

b) (1) cã nghiÖm  m = c) (1) cã nghiƯm  m > hc m < d) (1) cã nghiÖm  m = e) (1) v« nghiƯm  m <

2

( )

f x      

    

 

2

x 4x 8 x hc x 4

2

3x 16x 8 x 4

3 40

http://kinhhoa.violet.vn Vũ Ngọc Vinh Ví dụ2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Gii

Ta có bảng biến thiên sau

x - +

f'(x) - + - +

f(x) + +

(1) cã nghiÖm  0< <

 < m2 + m + <

 -1 < m <

Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc

(4 - 6m)sin3x + 3(2m - 1)sinx + 2(m - 2)sin2xcosx - (4m - 3)cosx = (1) Giải

Do cosx = kh«ng tháa m·n (1)

(1)  tg3x - (2m + 1)tg2x + 3(2m - 1)tgx - (4m - 3) = (2) §Ỉt tgx = t víi x   t [0,1]

(2) t3 - (2m + 1) t2+ 3(2m - 1)t - (4m - 3) =  (t - 1)(t2 - 2mt + 4m - 3)=

(1) có nghiệm  (4) khơng có nghiệm [0,1)



lo g (

2

1 3

x

  

    

   

    

  

  

  

2

2

2

2

2

3

x 2 x

m m 1 ( )

( ) x m m 1 ) ( )

x 2 x k h i x h o Ỉ c x 2

f ( x ) x 2 x

x x k h i x 2

) 1 m

m2 

( log

3

3

] [

4 , o

  

 

4 ,

(4) m

2) -2(t

t (3)

1 t

(3)

3 4m 2mt t

2

 



   

[

] [

4

,

o

[ , )

( )

4 3

0 1 2

2 2 t

t t

 

 

     



2 t

xet hµm sè f(t) 2(t - 2) t [0,1)

t

Ta cã bảng biến thiên sau

t f'(t) +

f(t) (4) kh«ng cã nghiƯm [0,1)  m < hc m 

Ví dụ 4: Tìm a để phương trình x3 - x2 + 9ax - a = có nghiệm dương Giải:

Ta có bảng biến thiên sau

x - 1/9 1/3 +

y' + - - - y +

- - -

Căn biến thiên hàm số (0, +) khơng tồn a cho phương trình có nghiệm dương

V BÀI TOÁN 5: Chøng minh r»ng f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm (a,b) * Phương pháp

- Chøng minh f(x) liªn tơc trªn [a,b] Cho ,   (a,b) - ChØ f().f()≤

* Phương pháp

- Chọn F(x) nguyên hàm f(x) D - Xác định a, b D cho F(a) = F(b)

- áp dụng định lí Roll để suy điều phải chứng minh Ví dụ 1:

4

4

( )

})

( )

1 1

9 9

3

3

2

1 9 1

9 1

9 1

x

a x

x x

x

 

  

 



 



 



     



      

x

x x

2

2

x

x 1

xet h µm sè y ( D R \ { 9

-2 x(3 x - ) 1

y y x v x

3

-http://kinhhoa.violet.vn Vũ Ngọc Vinh Chứng minh phương trình a(x - b)(x - c) +b(x -a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = (1) ln có nghiệm với  a,b,c

Giải

Đặt f(x) = a(x - b)(x - c) +b(x -a)(x - c) + c(x - a)(x - b) ; f(x) liờn tục trờn R f(a).f(b).f(c) = -3a2b2c2(a - b)2(a - c)2(b - c)2 ≤  số f(a) , f(b) , f(c) có số khơng âm số không dương giả sử f(), f() ; ,  {a, b ,c ,d} ( ) ; f().f()≤  Điều phải chứng minh

VÝ dô 2:

Chứng minh  a,b,c,d phương trình acos4x + bcos3x + ccos2x + dcosx = (1) có nghiệm (0; )

Giải

f(x) = acos4x + bcos3x + ccos2x + dcosx

Thì F'(x) = f(x) F(0) = F() =  F(x) = 0cã Ýt nhÊt mét nghiƯm (0, ) VÝ dơ 3:

Cho m > vµ a, b, c tháa m·n:

Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0,1) Giải

f(0) = f(1) = (gt)

f'(x) = axm + + bxm + cxm -1

áp dụng định lí Roll  x0(0,1) cho ax0m + +bx0m + cx0m - =

 ax02 + bx0 + c =  x0 nghiệm phương trình (1)

VI BÀI TỐN 6: Chứng minh phương trình f(x) = k khơng có nghiệm D Phương phỏp

* Khảo sát hàm số y = f(x) để xác định tập giá trị f(x) D * Chỉ k không thuộc tập giá trị

VÝ dơ 1:

Cho n  N , n chẵn , a > chứng minh phương trình (n + 1)xn +2 -3(n + 2)xn +1 + an + = (1)

Gii: Đặt f(x) = (n + 1)xn +2 -3(n + 2)xn +1 + an + D = R

f'(x) = (n + 1)(n + 2)xn +1 -3(n + 2)(n + 1)xn = (n + 1)(n + 2)xn(x - 3) f'(x) =  x = hc x = Do n = 2k (k  Z)

Ta có bảng biến thiên sau

x - +

f'(x) - - + x

d x c

x b

x sin sin

2 sin

sin   



4 a F(x) vµ

0 m

c m

b m

a

    

m cx

m bx

m ax

f(x)  m  m  m

 

  

  y lim

f(x) + +

m m = an +2 - 3n + > (gt) VËy (1) v« nghiƯm VÝ dơ 2:

Cho a > , n  N chứng minh phương trình sau vơ nghiệm

(1) Giải: Xét

D = R f'(x) = x2n + - xn + + x = x(x2n - xn + 1)

Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau

x - +

y' - +

y + +

a Vây: miny = a > nên (1) vô nghiệm R

  

  y lim

x a x n x 2n

x2n n 2

     

 

 

 x2n 2  xn 2  x2 

f(x) 2n 2 n 2 2 a

 

          

2

2n n n 1

f (x) x (Do x x x víi R)

http://kinhhoa.violet.vn Vũ Ngọc Vinh * MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Bài Giải biện luận phương trình :

Bài Chứng minh phương trình có nghiệm Bài Giải phương trình :

Bài Giải bất phương trình: (3x – 9x) ( x3 - 2) > Bài Giải hệ phương trình:

Ầ KẾT LUẬN