60 bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số điển hình - Phạm Văn Bình

Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T thì khi đó ta khảo sát một hàm số đặc trưng : y=f(t) trên T... Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất..[r]

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T ta khảo sát hàm số đặc trưng : y=f(t) T Nếu f(t) đơn điệu để f(x)=f(y) xảy x=y Trong phương pháp khó em phải xác định tập giá trị x y , tập giá trị chúng khác em khơng dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0

Khi ta xét trường hợp : x=y , trường hợp A(x,y)=0 Sau số mà em tham khảo

Bài 1 Giải hệ phương trình sau :

   

2

2

2

2 1

x y y x x

x y x

   

 

   



- Phương trình (1) x=0 y=0 khơng nghiệm ( không thỏa mãn (2) )

-Chia vế phương trình (1) cho  

3

3

0 y y

x x x

x x

   

            

-Xét hàm số : f t   2t t3 f ' t  2 3t2   0 t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình

có nghiệm xảy : y

x y x

x    -thay vào (2) :

x2 x2  1 x2 1 2x  t2 x 2t2x  0 t 2;tx

2

2

1 3

x x x

x x x

       

 

    



Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,  3;3 Bài 2. Giải hệ phương trình sau :

2

2

x

y x y

y

x x y x y

     



     



Giải

  

2

2 2 2

2 2 3 2

2

x

y x y x y y x y y x y y x y y

y

x x y x y x x y x y

x x y x y

           

    

  

  

    

            



-Trường hợp 1: 2 2

2 y

x y y

x y y

 

    

 



Thay vào (2)  x2y 4y25y  2 2y4y25y 2 4y27y 2

-Trường hợp : 2 2  *

2 9

y y

x y y

x y y x y y

 

 

   

   

 

Thay vào (2) :  9y22y3y 9y22y3y 2 9y25y 9y25y 2

2 2

2

1

2

9

9 4 16 4 264 88

9

9

2

9 91 9

y x

t

t y y

y y

y

y y

t t

      



    

  

      

     

 

   

 

Vậy hệ có nghiệm :   ; 7; , 88 4; x y    

 

Bài 3 Giải hệ phương trình sau :

2 2

1 xy

x y

x y

x y x y

   

 



   



Giải

a  

 

2

2

1 xy

x y

x y

x y x y

   

 



   



Từ (2) viết lại :  2

x   y x y x  x xy  x y x x

Ta xét hàm số f(t)=    

0 ' 0

t t t  f t     t t Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , ta có : x   y x y x2x (*)

Thay vào (1) :        

2

2

2 2 2

2

2

1 x x x 1

xy

x y x x x x x x x

x x



               

  2       

2

1

1

1 1 **

1

3 x

x x

x x x x

x x x x

x x x

  

  

 

         

     

     

 

Thay vào (*) : 1;      ; 1; , 1; 1;

x y

y x x x y

x y

  



      

 

Bài 4. Giải hệ phương trinh :    

2

2

1 2

2

3

2

2

y x

x y

y x

x y

 





  

 

   



Từ  

 

   

2

2

1 2

2

3

2

2

y x

x y

y x

x y

 





  

 

   



- Điều kiện :x y, 0- Từ (1) :      

4

2

2.2 x x 2.2 y y

   

-Xét hàm số : f t( )2.t43t t 0 f t'( )8t3 3 Chứng tỏ f(t) đồng biến

Do để phương trình (1) có nghiệm : x2 y  x 4y  * - Thay vào (2) :    

4

5

2

2

y

y

  Xét hàm số : f(t)= 3

2 '( )

2

t

t f t t

    

-Nhận xét : f(1)=2+3

2 Suy t=1 nghiệm  

4 5 4 1

; ;

4 5

5

5 y

x y

x y y

x

   

   

    

  

 

 



Bài 5. Giải hệ phương trình sau :   

2

1 1

6

x x y y

x x xy xy x

     

 

     



Từ :         

2

2 2

1 1 1

6 6

x x y y x x y y

x x xy xy x x x xy xy x



            

 

 

           

 

Xét hàm số :

2

2 2

1

( ) '( )

1 1

t t

t t t

f t t t f t t R

t t t

  

          

  

Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) :

2

2 2 25

6 6

2

x

x x x    x  x  x  x    x

 

2

2

2

x x x

x x x

   

 

    



* Trường hợp :

2 2

0

2 1;

2

x x

x x x x y

x x x x x

 

 

        

     

 

* Trường hợp :

2 2

0

2

2 6

x x

x x x

x x x x x

 

 

     

     

 

3 11 11 ;

2

x  y  

   Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( 11; 11

2

  

)

Bài Giải hệ phwpng trình :    

2

4

4

x x y y

x y x

     

 

   



Giải

Từ :      

 

2 2

4

4

x x y y

x y x

     

 

   

 (KA-2011)

- PT(1): 4x3  x y3 2 y 3 Đặt

2

5

5

2 2

t t t t

t  y y      t 

 

- Khi (2) :  

3

3

3

4 2

2 t t

x  x   x  x t t

- Xét hàm số : f(u)=u3 u f u'( )3u2  1 u suy f(u) ln đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy : 2x=t 2x 2 y 4x2  5 2y2y 5 4x2 4

- Thay vào (2) :

2

2

( ) 4 : 0;

2

x

g x  x      x  x 

 

  Ta thấy x=0 x=

3

4 không

nghiệm g'(x)=8 2 4 4 3 0;3

2 4

x x x x x x

x x

   

          

 

   

- Mặt khác : 1

2

g      x

  nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2

- Vậy hệ có nghiệm :  ; 1; 2 x y   

 

Bài 7.Giải hệ phương trình :    

2 2

4 2

x x y y

x y

      

 

   



Giải :

Từ :      

 

3

2 2

4 2

x x y y

x y

      

 

   



- Điều kiện : 2; 1 *

- Đặt : Từ (2) : 4x2y 6 362x y 152x 1 16y - Từ (1):Đặt : y     2 t y t2 2y 3 2t22 3 2t21

- Cho nên vế phải (1) : 2t21t2t3 t   1 : x1 3 2x 1 2t3t

- Xét hàm số : f u 2u3 u f ' u 2u2   1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t)

chỉ xảy : x=t

2

31 53

2 15

2 2

31 227

2 15 15 31 53

15

y

x y y

x y

y y

x y y y

y

 

  

      

  

   



  

     

  

   

 

- Vậy hệ có nghiệm :  ; 53 31; 53

4

x y     

 

Bài 8Giải hệ phương trình :     

   

3

3

2 1

4 ln 2

x x y x y

y x y x

     

 

    



Từ :     

   

3

3

2 1

4 ln 2

x x y x y

y x y x

     

 

    



- Điều kiện : y22x0(*)

- Phương trình (1) : 2x32x2y 1 x2y 1 2x x 22y1x22 - Do : x2  2 2x y 1(**)

- Thay vào (2) : y32y  1 lny2   y 1 f y y32y 3 lny2  y 1 -Ta có :  

2

2

'

1 y

f y y

y y



   

  Chứng tỏ hàm số đồng biến

- Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1) Bài 9Giải hệ phương trình :  

3

2

8

4 2

x x y y

x x y y y

     

 

     



Giải

Từ :    

 

3

2

8

4 2

x x y y

x x y y y

     

 

     



- Điều kiện :

2 x

- Từ (1) : 8x3 2x  1 y 4y3 *

- Đặt : t 2x 1 2x  t2 8x3 2x 1 4t2 1 3t4t21t4t3t - Do (*) : 4t3 t 4y3y

- Xét hàm số : f(u)= 4u3 u f ' u 12u2   1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương

trình có nghiệm : f(t)=f(y)

2x y 2x y 1(**)

     

- Thay vào (2) : y21 24 y2 1 2y3y22y  3 y42y3y22y0

        

2 2

y y y y y y y y y y y y

- Vậy : 2   2    

0 1

; ; , ; 1;1

1

1

2

2 y

y y y

x y x y

x x

x y x y

 

  

        

           



  

     

2

2

1

; 1; , 5 ; ;

1

2

2 y

y y y

x y x y

x x

x y x y

  

    

         

           



  

Bài 10.Giải hệ phương trình :

 

2

2

2

3

2

2

2

x y

x xy

x y x x y x





    



     



Giải :

Từ :  

   

2

2

2

3

2

2

2

x y

x xy

x y x x y x





    



     



- Từ (2) :  2    2

2 2 2 1

x y x  x y x    x y x    x y x x y  x

- Hay :

 

2

*

x y

x x xy

x

    

   

, thay vào (1) :

2

1

1 1 2

2 x x

x x x

x x

  

 

     

  (3)

- Nhận xét :

2

2 2

1 2 1

1

2

x x x x

x x x x x

          

 

 

Gọi :

2

2

1 1

,

2

x x

a b b a

x x x

   

       

 

- Cho nên (3)2a 2b 2b a 2a2a2b 2b

- Xét hàm số : f(t)=2t 2t f ' t 2 ln 2t    0 t R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm

khi : a=b , tức b-a=0 , hay : 1

2   x x Thay vào (*) ta tìm y=  ; 2;

4 x y

 

    

 

Bài 11 Giải hệ phương trình :

 

3

2

3 2

x y

x x y y

   

 

    



Giai

Đ/K : 2;

2 x y

Từ (2) 1 2 x 2  x 1 2y1 2 y 2y 1  2x3 2 x  2y13 2y1

Ta xét hàm số :

( ) '( )

f t   t t f t  t    t R Chứng tỏ hàm số ln đồng biến R

Do đẻ f  2x  f 2y1, xảy : 2

3

y x

x y

x y

  

      



Thay vào (1) x3 3 x  1 x3   x x1x2 x 2  0 x 1;y  3

Bài 12 Giải hệphương trình :

2 2

2 2

2

1 2

x y x y y

y x y xy x x xy y y

     

 

         



Giải Đ/K : x y 0;y   0 x y

Từ (2) : 2 2 2 2  2

1

y   x y y   y xyx  xy   y 

 2  2

2

1

y   yy   xy   x  y x y

Xét hàm số : 2  

2

1 1

( ) '( ) 2

2

1

t

f t t t t t f t t t

t t

t t

 

             

   

( Vì :

2

1

1 1

1

t

t t

       

  với t>0 )

Như hệ có nghiệm xảy : y x y hay x=2y

Thay vào (1) :  2y y2 2 y 22y25y  2 4y310y25y 2

  

2 2

y y y y

       : 4y22y 1 vơ nghiệm

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )

Bài 13. Giải hệ phương trình sau :  

 

2 6

2

x x y

x y y x x

    

 

     



Giải Điều kiện : y 2;x 6

Từ (2) :    

   

2

2

2

2

2

2

2

1

x x

y y

x y y x x

x y

y x

   

 

         

 

 

   

 

2

1

1 2

y x

y x

   

 

  Xét hàm số  

1 1

( ) '( ) '

1

2

t

f t t f t

t t

t t

 



        

  

Chứng tỏ hàm số nghịch biến

Để  2  

2

f x  f y xảy : y 1 x22 Thay vào (1) ta phương trình :

   2  

2

2

1 2

2 8

t x t x

x x x

t t t t t t

     

 

 

        

     

 

 

   2 4 3 2   3 2 

2

0 7

1 49 49

4 46 49

4

t x t x t x

t t t t

t t t

t t t

              

  

  

    

   

   

  



+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0)

+/ Trường hợp : 3 2 2  2

( ) 49 49 '( ) 49 52 0;

f t  t t  t   f t  t  t  t     t  

Hàm số nghịch biến f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với t0; 7 Phương trình vơ nghiệm Bài 14. Giải hệ phương trình sau :    

 

2

2 3

2012x 2 4024

y y x x x

y x x

   

 

    



Điều kiện : 2y2x 5

+/ Nếu x=0 suy y=0 lại không thỏa mãn(2) x khác Từ (1( chia hai vế cho x 

Khi :

   2 4  3

3

2 3 2 2 2 2

1 y y x x x y y x 3x y y x 3x

x x x x x x

          

              

        

Xét hàm số :

( ) '( ) 3

f t   t t f t  t   với t thuộc R Chứng tỏ hàm số đồng biến

Để f(2y) f x( )

x  , xảy :

2

2 y

x y x

x    Thay vào (2) ta :

    1  2  

2 2012x x 2x   5 x 40242012.2012x x1   4 x 4024

Lại đặt t=x-1 suy : 2012.2012t t2  4 t 4024 g t( )2012t t2  4 t

Lại xét hàm số :    

2

( ) 2012 '( ) 2012 ln 2012 2012

t t t t

g t t t g t t t

t

 

          



 

Hay :  

2 '( ) 2012 ln 2012

4 t

g t t t

t

 

     



 

Vì : t2  4 t

1

1 ln 2012

t

 

 suy g'(t)>0 với t thuộc R mà g(0)=2 với t=0

nghiệm : 1;  ; 1;1

2

t    x x y  x y   

 

Bài 15. Giải hệ phương trình sau :

3

2 2

12 16

4

x x y y

x x y y

     

 

     



Giải

Điều kiện :   2 x 2;0y4 Khi hệ    

3

2 2

12 12

4

x x y y

x x y y

     

  

     



Xét hàm số          

12 2; ' 12 2;

f t  t t t   f t  t   t     t

Chứng tỏ hàm số nghịc biến Cho nên để f(x)=f(y-2) xảy : x=y-2 , thay vào (2) ta :

  2 2    2 2 2 2

2 4x 2 4x 5 x  2 x   6 4x 2 4x 5 4x  6

 

2

2

2

2

4

4 4 0

4 3 19 11

4 22 0;

8

t x

t x t x

x x

t t t t t t

   

       

  

        

           

  

 

   

2

2 2 ; 0;

t x x y x y

           Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(0;2)

Bài 16. Giải hệ phương trình sau :

2

2

2

2

x y x y

x y x y

      

 

     



Giải

 

 

   

2 2

2 2

2 5

2 2 2

x y x y x x y y

x y x y x x y y

             

 

 

           

 

   

2

2

2

5

2

2 2

x x y y

x x y y

  

    

 

      



Do :   

  

2

2

2 2

3 3

x x x x

y y y y

     

 



     



- Suy : 2

2

2

2 ;

2

x x y y

x x y y

     

    Cho nên (1) xảy :

2 2

2

2

1

2 2

2

3 1

x x x x x x x x

y y y

y y y y y



             

   

   

   



      

   

  

- Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1) Bài 17 Giải hệ phương trình sau :

2 2

2

8

2 10

x y x y

x x y

   

 

   



Giải Hệ :

 

2

2 2

2

2

2

8

4

8 2

1 2

2

2 10

8

x x

y

x y x y y

x x y

y

x x y

y x

   

      

  

       

   

 

      



Bài 18. Giải hệ:

3

3 ( 1) 9( 1) (1)

1 1 (2)

x x y y

x y

     

 

   



Giải

- Từ điều kiện từ phương trình (2) có x1; y 1

- (1) x33x( y1)33 y1, xét hàm số f t( ) t3 3ttrên [1;) - Hàm số đồng biến [1;), ta có f x( ) f( y  1) x y1

- Với x y1thay vào (2) giải x1; x2 1,

2

x x

y y

 

 

    

 

Bài 19Giải hệ phương trình

(4 1) ( 3) (1)

2

4 (2)

x x y y

x y x

    

   

  

Giải

(1) (4x2 1)2x(2y6) 52y 0

 2  3

2

(2 )x (2 )x 2y 2y (2 )x 2x 2y 2y

              

 

(2 )x f( 5 2 )y

   với

( )

f t  t t f t'( )3t2     1 0, t ( )t ĐB Vậy

5

(2 ) ( ) ,

2 x

f x  f  y  x  y  y  x

Thế vào pt (2) ta

2

4 ( )

2 x

x      x    g x 

Với

2

5

2

( ) 4 7, 0;

2

x

g x  x      x  x 

 

  CM hàm g(x) nghịch biến

Ta có nghiệm

2

x  y

Bài 20.(Thử ĐT 2012)Giải hệphương trình :

 

5 10 (1)

2

4

x xy y y

x y

   

 

    



Giải

TH1 : Xét y0 thay vào hệ thây không thỏa mãn

TH2 : Xét y0, chia vế (1) cho y5 ta ( )x x y5 y (3)

y  y  Xét hàm số f t( )  t5 t f t'( )5t4 1 nên hàm sốđồng biến Từ (3) f( )x f y( ) x y x y2

y y

     

Thay vào (2) ta có PT 4x 5 x   8 x Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (1;1)

Bài 21 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :

2

2x 3x 2y 3y 18

2

x y xy 7x 6y 14

  

    

     

( )( )

( ,x y )

Giải

(2) x2 (y 7)xy26y140       0

x

x y

(2) y2 (x 6)yx27x140       0 10

y

y x

Xét hàm số

( ) 4, '( ) - 3, '( )

4

         

f t t t t R f t t f t t

Vì  

 

3 ;

4 hàm sốf(t) đồng biến

TH x 2 f x( ) f(2)6 Kết hợp vớiy1

     2    

( ) (1) ( ) ( ) (2 4)(2 4) 18

f y f f x f y x x y y

TH x2 hệ trở thành 2

1 1,

2

4 2

y y y y

y y y



     

 

 

  

   vô nghiệm

Vậy hệ cho vô nghiệm

Bài 22.Giải hệ phương trình :  

3 2

2

3 22 21 2

2 11

y y y x x x x

x x y

        

 

  



Giải

Điều kiện :

2

   3

3 2

2 2

3 22 21 2 3 2

4 22 18 4 22 18 4

y y y x x x x y y y x x y

x x y x x y



                 

 

 

  

 

    

     3  3    3

3

2

3 2 2 1 2 2

4 22 18 4 22 18

y y y y x x y y x x

x x y x x y

                 

 

 

       

 

Xét hàm số :

( ) '( )

f t   t t f t  t    t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R Để f y  1 f  2x1chỉ xảy :y 1 2x1 Thay vào (2) ta có :

   

2 2

2x 11x  9 2y 2 2x 11x 11 y 1 2x 11x 11 2x1 *

Đặt  

2

2 2

1 1

2 * 11 11

2 2

t t t

t x  x             t

   

   

4 2 2

2 11 11 22 12 4

t t t t t t t t t t t

                 

Suy : Với 1 1    ; 1;0

1 0

t x x x

x y

y t y y y



   

       

       

 

   

Với 3    ; 5;

1 2

t x x x

x y

y t y y y



   

       

       

 

   

Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví  2

4 0

t    t t   t )

Bài 23.Giải hệ phương trình sau :  

 

2

2 2

4

2

x x y y x

x x y y x

    

 

   



Giải

Hệ :

   

2

2

2 2

2

4

1

2

2

y x y

x xy y x x

y

x x y y x

x y

x

    



    

 

 



   

 

   



Đặt :

2 y u

x v x y

 

      

, hệ trở thành :

 

2

2

4

4 1;

9;

2

2 15

u v

u v u v u v

u v

v v

v u v v

 

      

   

    

 

   

      

  

* Với :      

2

2

1

1 1

; 2;1 , 5;

3 3

3 y

u y x y y

x y x

v x y x y

x y

 

       

       

    

   

      * Với :

9 u v

    

 Hệ vô

nghiệm

Câu 8 : ( 1điểm)Giải hệ phương trình:    

3 2

2

x y ln x x ln y y

(x, y R) x(x 1) (2 y) y 2y

       

 



     



Câu 8: Giải hệ phương trình:    

3 2

2

x y ln x x ln y y (1)

x(x 1) (2 y) y 2y (2)

       

 

     



 

   

3

2

3

1

(1) x ln x x y ln

y y

x ln x x ( y) ln ( y) ( y)

 

 

      

   

 

          

Xét  

f (t) t ln t  1 t , D = R (0.25)

2

f '(t) 3t 0, t R t

    



f đồng biến R.

Vậy (1)f (x)    f ( y) x y (0.25)

Thay vào (2) 2

x x (x 2) x 2x

     

2

2 2

(x x)(x 2)

(x x) (x 2x 3).(x 2)

   

  

    

 (0.25)

2

(x x)(x 2)

x

x 2x

   



   

  



KL: nghiệm hpt:(1 7; 1  7);(1 7;( 1  7) (0.25)

Câu (0,75 điểm)Giải hệ phương trình   

2

2 3

4

( ; )

12 10 2

x x y y

x y

y y x

     

 



    



Giải hệ phương trình   

2

2 3

4

( ; )

12 10 2

x x y y

x y

y y x

     

 



    



  

3

2

4 (1)

12 10 2 (2)

x x y y

y y x

     

 

    



Ta có: 2

(1) x x  4 ( ) y   4 ( ) (*)y

Xét hàm số đặc trưng 2

2 2

4

( ) '( )

4 4

t t

t t t

f t t t f t

t t t



 

        

  

Suy f(t) hàm số đồng biến R Từ (*) suy ra: f x( ) f( ) y   x 2y Thay vào phương trình (2) ta được:

     

3

2

3 3 3 3

3 2

1 1 (**)

x x x

x x x x

   

       

Xét hàm số ( )

g t  t t ta thấy g(t) đồng biến R nên từ (**) suy

3

1

1 x

x x

x

 

      

 Vậy hệ có hai nghiệm

1

( 1; ); (0;0)

Câu 7. Giải hệ phương trình  

 

7 1 1

1 13 12

x y x

x y y x x

     

 

     



Câu (1,0 điểm).

Giải hệ phương

trình:

 

2

2 2

2 34 15

x y x y

x y y xy y x

    

 

     



Ta kí hiệu phương trình hệ sau:

 

   

2

2 2

2 34 15

x y x y

x y y xy y x

    

 

     



Điều kiện: 2

0 x y

   

 



  2

1 2

2

x y

x x y y

x y

  

       

  



+ Với 2 x y thay vào (2) ta

   

2 x 2 2x 8 4x 34 15 x

Đặt 2

2 34 15

t x    x t  x x

Khi  3 trở thành 2

2 t t t

t

     

30 17

17 17 2

2



        

 

   

    

x x x y

x x

x y

+ Với 2  x 2y Vì y  0 2y0 mà 2 x nên

Giải hệ:    

   

7 1 1

1 13 12

x y x

x y y x x

     

 

     



Điều kiện: x 1, ,x y

   

1 1

7 y

PT y x y x

y



       

 (Do y7 khơng nghiệm

của phương trình)

Thay 1

7 y x

y

  

 vào (2) ta phương trình:

2

2 1

13

7 7

y y y

y y

y y y

         

      

   

 2      2 2

2

1 13

y y y y y y y

        

4

5 33 36

y y y y

     

   

1 12

y y y y

     

3 y y

    

Với

9 y   x Với y  3 x

Hệ phương trình có nghiệm x y;  8;1 , 0;3  

 

 

có thể xảy x2 y0 thử vào (2) thấy thỏa mãn.

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm:

30 17

2 17 17 x y

      

và x y

   



Câu (1,0 điểm).Giải hệ phương trình:

2

2 1

3 3 7

xy y y x y x

y x y x

       

 

     



Giải hệ phương trình …

Điều kiện: x0 1,  y 2, x3y 7 (*)

Nhận thấy

  

 

1 y x

không nghiệm hệ phương trình y 1 x 0

Khi đó, PT

1 1

1

y x

( ) x(y ) (y )

y x

 

    

 

1 1

y x

(y )(x y )

y x

 

    

 

1 1

(x y ) y

y x

 

 

      

 

 

      x y y x (do (*))

Thay vào PT (2) ta được: 5 x 5x 4 2x7 ĐK: 5/  x (**) 3 5   x (7 x) 3( x5   4 x)

2

4 5

0

3

x x ( x x )

x ( x) x x

     

  

    

3

 

      

    

 

( x x )

x ( x) x x

  x2 5x 4 (do (**)

4

x y

x y

   

    

 (thỏa mãn (*),(**))

Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( ; ), ( ; ).1

Câu (1.0 điểm) Giải hệ PT

 

    

3

2

1

, ( , ) 1

xy x x y x y

x y

y x y x x

     

 



       



Giải hệ PT   

  

3

2

1

, ( , ) 1

xy x x y x y

x y

y x y x x

     

 



       



ĐKXĐ  x

Ta có   3 2

1

  

2

1 y x

x y x y

y x

 

      

 



Với

1

yx  thay vào PT thứ ta

     

3 x 1 2 9x  3 4x 6 1 x x  1 Dễ thấy PT vô nghiệm Với yx thay vào PT thứ ta     

3x 2 9x  3 4x2 1 x x  1

      

      

2

2

3 3 2

3 3 2

x x x x

x x x x

        

         

Xét hàm số  

( ) 2

f t t t   ta có

2

2

'( ) 2

2 t

f t t

t

    

 suy hàm số đồng biến

Từ suy 1

x     x x Vậy HPT có nghiệm  ; 1; 5 x y    

 

Câu (1,0 điểm) Giải ̣phương trình:     

   

2

2 1

1 ,

3 1

x

x y x y

x x y

x x x y

     

  



     



Điều kiện:

1 x y

      

        

   

3

3 1

1 1

1 1

x x x

x x x

y x y y y

x x x

 

 

        

  

 

3

3

1

1

x x

y y

x x

 

      

 

 

Xét hàm số  

f t  t t có  

3

f t  t    t suy f(t)đồng biến Nên

 1

1

x x

f f y y

x x

      

   

  Thay vào (2) ta được

2

 2  2 2x x x

    

2

2

1

6 3

2 1

1 5 13

2 1

3 9

9 10

x

x x x

x x

x

x x x

x x

  



      

 

    



    

 

    

  

 

   

 Ta có

2 1 x y

x

 



Với 3 3

x   y  Với 13 41 13

9 72

x    y 

Các nghiê ̣m này đều thỏa mãn điều kiê ̣n

KL: Hê ̣phương trình có hai nghiệm  ; 3;4 3 x y    

 

  13 41 13

& ; ;

9 72

x y     

 

Bài 1. Giải hệ phương trình sau :

2

1 2x y 2x

x y y x

x y

 

   

 

  



Giải

  

2

2

1

1

0

2 2

1

1

2 2

2 2 2

x x x x

x y x x y x

x x

x y x y

x y x y

x y y x

x y x y

x y x y

x x

 

   

 

    

    

    

   

   

   

   

       

 

   

 

      

 

 Khi x=y , x=-1 Vậy nghiệm hệ : (x;y)=(-1;-1)

 Khi x+y=1 , (2) có nghiệm : x=1 , hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)

Chú ý: Tại ta không đưa chúng dạng : x2 x y2y, sau xét hàm số y f t( ) t2 t ?

Bài 2. Giải hệ phương trình sau :  

   

2

2

2

3

2

2

2 x

y x xy

x y x x y x





  

 

     



Giải

Từ (2) :   2  2  

1

2 2 *

1 x y

x

x y x x y x x y x

x xy

x

   

 

            

Thay vào phương trình (1):

2

2

1

1 2

2 x x x x

x

 

    Phương trình biết cách giải phần phương pháp

giải phương trình mũ Phương trình có dạng :

2

2

1 2 1 1

1

2 2

x x b a

b a

x x x x x

   

              

 

Do phương trình trở thành : 2 2

2 2

b a    b a b b aa

Xét hàm số :   '  ln

2

t t t

f t    f t     t R suy hàm f(t) đồng biến R Do để xảy

ra f(b)=f(a) xảy a=b :

2

2

2

1

1

x x

x x

x x

 

     

2

2

x x x

     ( x khác ) 2.2  ;  2;

4 4

y     x y   

 

Chú ý :Vì ta sử dụng phương pháp hàm số a,b thuộc R

Bài Giải hệ phương trình sau

   

2

12 20

ln ln

x xy y

x y x y

   



     



Giải

   

  

   

2 2 10 0

12 20

ln ln ln ln

x y x y

x xy y

x y x y x y x y

  



   

 

      

    

 

 

Từ (2) : ln 1 x x 1 ln(1 y) y 1 f t( ) lnt t f t; '( ) 1 tt 0

t t



             

Hàm số đồng biến với tthuoocj (0;1) nghịch biến khoảng t>1 đạt GTLN t=1 Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích "

 Nếu thay vào (2)

:

   

x=2y x=2y x=2y

x=2y

1

1 2

2

ln ln ln

1

1

y y

y y

e

y y y y y e

y

y y

  

   

               

    

         

 

,

Xét hàm số :

 2

1

( ) '( )

1 1

y y

f y e f y e

y y

     

  có nghiemj : y=0

 Nếu : x 10y    x y; 0; x y

 

 

 

 Tương tự ta có nghiệm y=0

Bài Giải hệ phương trình sau :

 

3

2

3

2

log log

1

y x

x x y y

x y

x

y x

    



 

      

   

    

 



Giải

 

     

3

3

2

3

1 3 3

2

log log

1

y x

x x y y

x x x y y x

x y

x

y x

    



        

       

 

    

 



 3    3    

1 3 1 3 *

x y y x x x y y

Đặt : x-1=t suy (*) trở thành : 3     2 

3

t y  ty   t y t  ty y  

+/ Trường hợp : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1

1 x

y



 



Thay vào (2) ta có : log log 1y  x x32x32   0 x Do nghiệm hệ phương trình : (x;y)=(3;2)

+/ Trường hợp : 2 2   2  2

3 2

t  ty y    x   x  yy  

  2   2

2 2

x y x y y

        

Bài 5 Giải hệ phương trình sau :

   

2

2

2

2 1

x y y x x

x y x

   

 

   



Giải

          

  

   

3 2 2 2 2 4

2 2

2 2 2

2

2 2

2 1 2 1 1 2 1 1

y x x y yx x

x y y x x x y x y x

x y x x y x x y x

      

       

  

  

       

      

  

-Trường hợp 1: y=

x , thay vào (2) : x2 x2 1 x2 1 2x  t2 x 2t2x  0 t 2;tx

2

2

1 3

x x x

x x x

       

 

    



-Trường hợp : 2x2y2yx2x4  0 y2yx22x2x40

 

4 4

4 0

y x x x x x x R y

             

2 2

(, ) ,

f y x y yx x x y

       Phương trình vơ nghiệm

Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,  3;3

* Chú ý : Ta cịn có cách giải khác

- Phương trình (1) x=0 y=0 khơng nghiệm ( không thỏa mãn (2) )

- Chia vế phương trình (1) cho  

3

3

0 y y

x x x

x x

   

        

   

- Xét hàm số : f t   2t t3 f ' t  2 3t2   0 t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình

có nghiệm xảy : y

x y x

x    Đến ta giải phần Bài 6. Giải hệ phương trình sau :

2

2

x

y x y

y

x x y x y

     



     



Giải

  

2

2 2 2

2 2 3 2

2

x

y x y x y y x y y x y y x y y

y

x x y x y x x y x y

x x y x y

           

    

  

  

    

            



- Trường hợp 1: 2 2

2

y

x y y

x y y

 

    

 



- Trường hợp : 2 2  *

2 9

y y

x y y

x y y x y y

 

 

   

   

 

Thay vào (2) :  9y22y3y 9y22y3y 2 9y25y 9y25y 2

2 2

2

1

2

9

9 4 16 4 264 88

9

9

2

9 91 9

y x

t

t y y

y y

y

y y

t t

      



    

  

      

     

 

   

 

 

Vậy hệ có nghiệm :  ;  7; , 88 4; x y    

 

Bài 7 Giải hệ phương trình sau :

2 2

1 xy

x y

x y

x y x y

   

 



   



Giải

a  

 

2

2

1 xy

x y

x y

x y x y

   

 



   



Từ (2) viết lại :  2

x   y x y x  x xy  x y x x

Ta xét hàm số f(t)=    

0 ' 0

t t t  f t     t t Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , ta có : x   y x y x2x (*)

Thay vào (1) :        

2

2 2

2 2 2

2

2

1 x x x 1

xy

x y x x x x x x x

x x



               

  2       

2

1

1

1 1 **

1

3 x

x x

x x x x

x x x x

x x x

  

  

 

         

     

     

 

Thay vào (*) : 1;      ; 1; , 1; 1;

x y

y x x x y

x y

  



      

 

Chú ý : Các em có nhận xét không giải Bây nêu thêm hai cách để em

kiểm nghiệm :

Cách

Đặt :   2 2  2

; xy xy

x y u xy v x y x y xy

x y x y

            

 

       

2

2 v 2 1

u v u u uv v u u v u u u u v

u

                   

  2 

2

1

2

x y u

u u v x y x y xy

  

 

     

    



 

* Nếu x+y=1 thay vào (2) ta :

       

2

1 ; 1; , 2;3

2

x y

x x x x x y

x y

   

              



+/ Với   2  2 2

2 0

Bài 8. Giải hệ phương trinh :    

2

2

1 2

2

3

2

2

y x

x y

y x

x y

 





  

 

   



Giải

Từ   

   

2

2

1

2

3

2

2

y x

x y

y x

x y

 





  

 

   



- Điều kiện :x y, 0

- Từ (1) :      

4

2

2.2 x x 2.2 y y

   

- Xét hàm số : f t( )2.t43t t 0 f t'( )8t3 3 Chứng tỏ f(t) đồng biến

Do để phương trình (1) có nghiệm : x 2 y  x 4y  * - Thay vào (2) :    

4

5

2

2

y

y

  Xét hàm số : f(t)= 3

2 '( )

2

t

t f t t

    

- Nhận xét : f(1)=2+3

22 Suy t=1 nghiệm  

1

4 5 4 1

; ;

4 5

5

5 y

x y

x y y

x

   

   

    

  

 

 



Bài 9. Giải hệ phương trình :

2

s inx

siny 0;

4

3 2

x y

e

x

x y y y





 

 

  

   

 

      



Giải

Từ :  

 

2

s inx

1

siny : 0;

4

3 2

x y

e

x

x y y y





 

  

  

      



- Từ (1) : s inx ( ) '( ) sin 2 ost 0;

siny s inx sin sin sin

t

x x y t

y

e t c

e e e e

f t f t t

e y t t



  

          

 

- Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Phương trình có nghiệm x=y

- Thay vào (2) : 8x2  3 2x22x 1 8x3 8x2  3 2x22x 1 8x1

     

2 2

9 36 2

8

3 2 2

x x x x

x x

x x x x x x

    

     

       

2

2

1

8

8

3 2

8 2

x x

x x x

x x x



  

 

 

    

      

- Với  ;  1;

8 8

x  x y   

 

- Ta có : với 0;

4 x  

 suy

2

2

2 3

8 2 1

2 2

2 2 x

x x x

x

  



     

  

      

  

- Vậy hệ có nghiệm :  ; 1; 8 x y   

 

Bài 10. Giải hệ phương trình sau :   

2

1 1

6

x x y y

x x xy xy x

     

 

     



Giải

Từ :         

2

2 2

1 1 1

6 6

x x y y x x y y

x x xy xy x x x xy xy x



            

 

 

           

 

( nhân liên hợp )

Xét hàm số :

2

2 2

1

( ) '( )

1 1

t t

t t t

f t t t f t t R

t t t

  

          

  

Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) :

2

2 2 25

6 6

2 x

x x x    x  x  x  x    x

 

2

2 6

x x x

x x x

   

 

    



* Trường hợp :

2 2

0

2 1;

2

x x

x x x x y

x x x x x

 

 

        

     

 

* Trường hợp :

2 2

0

2

2 6

x x

x x x

x x x x x

 

 

     

     

 

3 11 11 ;

2

x  y  

   Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( 11; 11

2

  

)

Bài 11. Giải hệ phwpng trình :    

2

4

4

x x y y

x y x

     

 

   



Giải

Từ :      

 

2 2

4 4

x x y y

x y x

     

 

   

 (KA-2011)

- PT(1): 4x3   x y 3 2 y 3 Đặt

2

5

5

2 2

t t t t

t   y y      t 

 

- Khi (2) :  

3

3

3

4 2

2 t t

x  x   x  x t t

- Xét hàm số : f(u)=u3 u f u'( )3u2  1 u suy f(u) đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy

khi : 2x=t 2 

2x 2y 4x 2y 2y 4x

        

- Thay vào (2) :

2

2

( ) 4 : 0;

2

x

g x  x      x  x 

 

  Ta thấy x=0 x=

3

4 không

nghiệm g'(x)=  

8 4 0;

2 4

x x x x x x

x x

   

          

 

   

- Mặt khác : 1

2

g      x

- Vậy hệ có nghiệm :  ; 1; 2 x y   

 

Bài 12. Giải hệ phương trình sau :

3

3

2

2

y xy

x y y

  

 

 



Giải :

- Đặt :  

 

3

2

2

2 x t t

y x t

  

   

 

 Lấy (1) +(2) :

3

3

x x t t

   

- Xét hàm số : y f u u33u f ' u 3u2   3 u R

- Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : x=t

  2

3

3

2

2

8

2

2

x

x

x y x

y

y y

y y

x y y y y y y

y

  

     



  

   

             

   

- Vậy hệ có nghiệm : (2;1);(-1;-2)

Bài 13.Giải hệ phương trình :    

2 2

4 2

x x y y

x y

      

 

   



Giải :

Từ :      

 

3

2 2 2

x x y y

x y

      

 

   



- Điều kiện : 2; 1 *

2 y x 

- Đặt : Từ (2) : 4x2y 6 362x y 152x 1 16y

- Từ (1):Đặt :  

2 2 2

y     t y t y  t    t 

- Cho nên vế phải (1) : 2t21t2t3 t   1 : x1 3 2x 1 2t3t

- Xét hàm số : f u 2u3 u f ' u 2u2   1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t)

chỉ xảy : x=t

2

31 53

2 15

2 2

31 227

2 15 15 31 53

15

y

x y y

x y

y y

x y y y

y

 

  

      

  

   



  

     

  

    



- Vậy hệ có nghiệm :  ; 53 31; 53

4

x y     

 

Bài 14 Giải hệ phương trình :     

   

3

3

2 1

4 ln 2

x x y x y

y x y x

     

 

    



Từ :     

   

3

3

2 1

4 ln 2

x x y x y

y x y x

     

 

    



- Phương trình (1) :     2       x 2x y x y 2x x y x

          

- Do : x2  2 2x y 1(**)

- Thay vào (2) :        

2 1 ln ln

y  y   y    y f y y  y  y   y

-Ta có : '  2 22 1 y

f y y

y y



   

  Chứng tỏ hàm số đồng biến

- Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1) Bài 15.Giải hệ phương trình :  

3

2

8

4 2

x x y y

x x y y y

     

 

     



Giải

Từ :    

 

3

2

8

4 2

x x y y

x x y y y

     

 

     



- Điều kiện :

2 x

- Từ (1) : 8x3 2x  1 y 4y3 *

- Đặt : t 2x 1 2x  t2 8x3 2x 1 4t2 1 3t4t21t4t3t - Do (*) : 4t3 t 4y3y

- Xét hàm số : f(u)= 4u3 u f ' u 12u2   1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương

trình có nghiệm : f(t)=f(y)

2x y 2x y 1(**)

     

- Thay vào (2) : y21 24 y2 1 2y3y22y  3 y42y3y22y0

        

2 2

y y y y y y y y y y y y

              

- Vậy : 2   2    

0

0 1

; ; , ; 1;1

1

1

2

2 y

y y y

x y x y

x x

x y x y

 

  

        

           



  

     

2

2

1

; 1; , 5 ; ;

1

2

2 y

y y y

x y x y

x x

x y x y

  

    

         

           

 



  

Bài 16.Giải hệ phương trình :

 

2

2

2

3 2

2

2 x

y

x xy

x y x x y x





   

 

     



Giải :

Từ :  

   

2

2

2

3

2

2

2 x

y

x xy

x y x x y x





   

 

     



- Hay :

 

2

*

x y

x x xy

x

    

   

, thay vào (1) :

2

1

1 1

2

2 x x

x x x

x x

  

 

     

  (3)

- Nhận xét :

2

2 2

1 2 1

1

2

x x x x

x x x x x

          

 

 

Gọi :

2

2

1 1

,

2

x x

a b b a

x x x

   

       

 

- Cho nên (3)2a 2b 2b a 2a2a2b2b

- Xét hàm số : f(t)=2t 2t f ' t 2 ln 2t    0 t R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm

khi : a=b , tức b-a=0 , hay : 1

2   x x Thay vào (*) ta tìm y=  ;  2;

4 x y

 

    

 

Bài 17. Giải hệ phương trình :  

 

2 2

3

1

4 ln

x y x y x y

y x y x

    

   

 

    



Giải :

Từ :    

   

2 2

3

1

4 ln 2

x y x y x y

y x y x

    

   

 

    



- Phương trình (1) :    

2

2

1

1 2.2 5.4 2.10

x y

x y a a a

x y a x y



 



        

 

5 2.10 54 5 10

5

a a a a a a

f a

         

- Xét : '  15 ln 210 ln10 ln 210 ln10 10 ln10 ln

5 5

a a a a a a

f a        

 

- Chứng tỏ hàm số đồng biến Mặt khác : f(1)=0 , nghiệm phương trình - Với a=1 suy 2x-y=1 , hay 2x=y+1 Thay vào (2) : y32y 1 lny2   y 1

     

2

2

2 ln '

1 y

f y y y y y f y y

y y



           

  (*)

- Xét :      

   

2

2

2 2 2

3

2

2 2

'

1 1 1

y

y y

y

g y g y

y y y y y y

 

   

 

  

   

     

- Nhận xét :

 

     

1

'

2

'

1

' 0 '

2

y f y

f y y R

y g y g f y

    



    

 

         

  



Bài 18 Giải hệ phương trình :

 

3

2

3 2

x y

x x y y

   

 

    



Giai

Đ/K : 2;

2 x y

Từ (2) 1 2 x 2  x 1 2y1 2 y 2y 1  2x3 2 x  2y13 2y1

Ta xét hàm số :

( ) '( )

f t   t t f t  t    t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R

Do đẻ f  2x  f 2y1, xảy : 2

3

y x

x y

x y

  

      



Thay vào (1) x3 3 x  1 x3   x x1x2 x 2  0 x 1;y  3

Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)

Bài 19.Giải hệ phương trình :

 3   

2

8

1

x y xy x y xy

x y

x y

     

 



  



( Ngô Trung Hiếu ) Giải

Đ/K : 2 2 0 *

0

x y x y

x y y x

   

 



    

 

Hệ          

 

3

2

8

8 x y xy x y xy

x y xy x y xy

x x y x x y

x y x y



          

 

 

    

  

 

 

Từ (2) : 2 2     

0

1 x t

t x y x x t t x t x t x t x t

x t

  

                     



+/ Trường hợp : x=t

2

y x x

x y x

x

  

    

 

thay vào (1) x68x2x x 2y28x2x x x68x38x2 2x28 x3 x2

 

 

6 2

8 16 2 2 24

x x x x x x x x x x x

           

     

2 2

2

2

2 24 2 6

2

x y

x x x x x x x x x x x y

x x

    

                

    

Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;2),(-2;6)

+/ Trường hợp :  1 2 12

2 1

x x

x x y x y x

x y x x y x x

   

 

          

      

 

   3      3    

1  xy 8xy16 xy 2xy xy  xy 16 xy 8xy2xy xy 0

 3    

16

x y x y xy x y

        

Thay vào (1) : x168x x 2  x 1 2x128x x 2 x 1

 

 6  2   2  2 

1 8

Bài 20 Giải hệ phương trình :

2 2

2 2

2

1 2

x y x y y

y x y xy x x xy y y

     

 

         



Giải Đ/K : x y 0;y   0 x y

Từ (2) : 2 2 2 2  2

1

y   x y y   y xy x xy   y 

 2  2

2

1

y   yy   xy   x  y x y

Xét hàm số : 2  

2

1 1

( ) '( ) 2

2

1

t

f t t t t t f t t t

t t

t t

 

             

   

( Vì :

2

1

1 1

1

t

t t

       

  với t>0 )

Như hệ có nghiệm xảy : y x y hay x=2y

Thay vào (1) :  2  2

2y y2 2y 2y 5y  2 4y 10y 5y 2

  

2 2

y y y y

       : 4y22y 1 vơ nghiệm

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )

Bài 21. Giải hệ phương trình sau :  

 

2 6

2

x x y

x y y x x

    

 

     



Giải Điều kiện : y 2;x 6

Từ (2) :    

   

2

2

2

2

2

2

2

1

x x

y y

x y y x x

x y

y x

   

 

         

 

 

   

 

2

1

1

y x

y x

   

 

  Xét hàm số  

1 1

( ) '( ) '

1

2

t

f t t f t

t t

t t

 



        

  

Chứng tỏ hàm số nghịch biến

Để  2  

2

f x  f y xảy : y 1 x22 Thay vào (1) ta phương trình :

   2  

2

2

1 2

2 8

t x t x

x x x

t t t t t t

     

 

 

        

     

 

 

   2 4 3 2   3 2 

2

0 0 2 7

1 49 49

4 46 49

4

t x t x t x

t t t t

t t t

t t t

              

  

  

    

   

   

  



+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0)

+/ Trường hợp : 3 2 2  2

( ) 49 49 '( ) 49 52 0;

f t  t t  t   f t  t  t  t     t  

Hàm số nghịch biến f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với t0; 7 Phương trình vơ nghiệm Bài 22. Giải hệ phương trình sau :    

 

2

2 3

2012x 2 4024

y y x x x

y x x

   

 

    



Điều kiện : 2y2x 5

+/ Nếu x=0 suy ray=0 lại không thỏa mãn (2) x khác Từ (1( chia hai vế cho x 

Khi :

   2 4  3

3

2 3 2 2 2 2

1 y y x x x y y x 3x y y x 3x

x x x x x x

          

              

        

Xét hàm số :

( ) '( ) 3

f t   t t f t  t   với t thuộc R Chứng tỏ hàm số đồng biến

Để f(2y) f x( )

x  , xảy :

2

2 y

x y x

x    Thay vào (2) ta :

   2  1  2  

2 2012x x 2x   5 x 40242012.2012x x1   4 x 4024

Lại đặt t=x-1 suy : 2012.2012t t2  4 t 4024g t( )2012t t2  4 t

Lại xét hàm số :    

2

( ) 2012 '( ) 2012 ln 2012 2012

4

t t t t

g t t t g t t t

t

 

          



 

Hay :  

2 '( ) 2012 ln 2012

4 t

g t t t

t

 

     



 

Vì : t2  4 t

1

1 ln 2012

t

 

 suy g'(t)>0 với t thuộc R mà g(0)=2 với t=0

nghiệm : 1;  ;  1;1

2

t    x x y  x y   

 

Bài 23. Giải hệ phương trình sau :

3

2 2

12 16

4

x x y y

x x y y

     

 

     



Giải

Điều kiện :   2 x 2; 0y4 Khi hệ    

3

2 2

12 12 4

x x y y

x x y y

     

  

     



Xét hàm số          

12 2; ' 12 2;

f t  t t t   f t  t   t     t

Chứng tỏ hàm số nghịc biến Cho nên để f(x)=f(y-2) xảy : x=y-2 , thay vào (2) ta :

  2    2 2

2 4x 2 4x 5 x  2 x   6 4x 2 4x 5 4x  6

 

2

2 2

2

2

4

4 4 0

4 3 19 11

4 22 0;

8

t x

t x t x

x x

t t t t t t

   

       

  

        

           

  

 

   

2

2 2 ; 0;

t x x y x y

           Vậy hệ cónghiệm : (x;y)=(0;2)

Bài 24. Giải hệ phương trình sau :

2

2

2

2

x y x y

x y x y

      

 

     



Giải

 

 

   

2 2

2 2

2 5

2 2 2

x y x y x x y y

x y x y x x y y

             

 

 

           

 

   

2

2

2

5

2

2 2

x x y y

x x y y

  

    

 

      



Do :   

  

2

2

2 2

3 3

x x x x

y y y y

     

 



     



- Suy : 2

2

2

2 ;

2

x x y y

x x y y

     

    Cho nên (1) xảy :

2 2

2

2

1

2 2

2

3

3 1

x x x x x x x x

y y y

y y y y y



             

   

   

   



      

   

  

- Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1) Bài 25 Giải hệ phương trình sau :

2 2

2

8

2 10

x y x y

x x y

   

 

   



Giải Hệ :

 

2

2 2

2

2

2

8

4

8 2

1 2

2

2 10

8

x x

y

x y x y y

x x y

y

x x y

y x

   

      

  

       

   

 

      



Bài 26. Giải hệ:

3

3 ( 1) 9( 1) (1)

1 1 (2)

x x y y

x y

     

 

   



Giải

- Từ điều kiện từ phương trình (2) có x1; y 1

- (1)x33x( y1)33 y1, xét hàm số f t( ) t3 3ttrên [1;)

- Hàm số đồng biến [1;), ta có f x( ) f( y  1) x y1

- Với x y1thay vào (2) giải x1; x2 1,

2

x x

y y

 

 

    

 

Bài 27. (A – 2010)Giải hệ phương trình

(4 1) ( 3) (1)

2

4 (2)

x x y y

x y x

    

   

  

Giải

(1) (4x2 1)2x(2y6) 52y 0

 2  3

2

(2 )x (2 )x 2y 2y (2 )x 2x 2y 2y

             

 

(2 )x f( 5 2 )y

   với

( )

f t  t t f t'( )3t2     1 0, t ( )t ĐB Vậy

2

(2 ) ( ) ,

2 x

f x  f  y  x  y  y  x

Thế vào pt (2) ta

2

4 ( )

2 x

x     x    g x 

 

 

 

Với

2

5

2

( ) 4 7, 0;

2

x

g x  x     x  x

   

   

   

  CM hàm g(x) nghịch biến

Ta có nghiệm

2

x  y

Bài 28.)Giải hệ phương trình :

 

5 10 (1)

2

4

x xy y y

x y

   

 

    



Giải

TH1 : Xét y0 thay vào hệ thây không thỏa mãn

TH2 : Xét y0, chia vế (1) cho y5 ta ( )x x y5 y (3)

y  y 

Xét hàm số

( ) '( )

f t   t t f t  t   nên hàm số đồng biến

Từ

(3) f( )x f y( ) x y x y

y y

     

Thay vào (2) ta có PT 4x 5 x   8 x Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (1;1)

Bài 29.Giải hệ phương trình

2

1 3 1 3 y

x

x x

y y

    



   

Giải

Trừ vế hai pt ta   2

1 1 3y 3x 1 3x 1 3y

x x   y y     x x    y y  

( ) ( )

f x  f y với

( ) 1 3t

f t  t t  

2

( ) 1 3 ln 3 0, 1

t

t f t

t

    



( )

f t

 đồng biến Bởi f x( ) f y( ) x y vàopt thứ ta

 

2

1 3x 1 3x 1 (0) ( )

x x     x   x  g g x

Với  

( ) 3x 1

g x  x  x  

2

'( ) ln 3

1

x x x

g x x x

x

 

      



 

 

2

1

3 1 ln 3 0,

1

x

x x x

x

 

       



 

2

1 0

x   x x2  1 1 Suy g x( ) đồng biến Bởi g x( )g(0) x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y =

Bài 30 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :

2

2x 3x 2y 3y 18

2

x y xy 7x 6y 14

  

    

     

( )( )

( ,x y )

(2) x2 (y 7)xy26y140       0

x

x y

(2) y2 (x 6)yx27x140       0 10

y

y x

Xét hàm số

( ) 4, '( ) - 3, '( )

4

         

f t t t t R f t t f t t

Vì  

 

3 ;

4 hàm số f(t) đồng biến

TH x 2 f x( ) f(2)6 Kết hợp vớiy1

       2  

( ) (1) ( ) ( ) (2 4)(2 4) 18

f y f f x f y x x y y

TH x2 hệ trở thành 2

1

2 1,

2

4 2

y y y y

y y y



     

 

 

  

   vô nghiệm

Vậy hệ cho vơ nghiệm

Bài 31 Giải hệ phương trình :  

3 2

2

3 22 21 2

2 11

y y y x x x x

x x y

        

 

  



Giải Điều kiện :

2

x Nhân hai vế (2) với sau lấy (1) trừ cho ta có hệ :

   3

3 2

2 2

3 22 21 2 3 2

4 22 18 4 22 18 4

y y y x x x x y y y x x y

x x y x x y



                 

 

 

  

 

    

     3  3    3

3

2

3 2 2 1 2 2

4 22 18 4 22 18

y y y y x x y y x x

x x y x x y

                 

 

 

       

 

Xét hàm số :

( ) '( )

f t   t t f t  t    t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R

Để f y  1 f  2x1chỉ xảy :y 1 2x1 Thay vào (2) ta có :

   

2 2

2x 11x  9 2y 2 2x 11x 11 y 1 2x 11x 11 2x1 *

Đặt  

2

2 2

1 1

2 * 11 11

2 2

t t t

t x  x             t

   

   

4 2 2

2 11 11 22 12 4

t t t t t t t t t t t

                 

Suy : Với 1 1    ; 1;0

1 0

t x x x

x y

y t y y y



   

       

       

 

   

Với 3    ; 5;

1 2

t x x x

x y

y t y y y



   

       

       

 

Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví  2

4 0