Các bài toán giải hệ phương trình (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 12-05 Giải hệ phương trình sau:  2x + =  y x  1,  2 y + =  x y  1  x− = y−  y x 2,  2 y = x3 +   x(3 x + y )( x + 1) = 12 3,  x + y + 4x − =  x2 + y2 + x + y = 4,   x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 5,  x2 + y2 =   2  x − x y + y = 13  ( x + 1) + y ( y + x ) = y  7,  ( x + 1) ( y + x − ) = y   x ( x + y + 1) − =  9,  ( x + y ) − + = x   x − xy + y = 3( x − y ), 11,  2  x + xy + y = 7( x − y ) 6, 3x − xy = 16   2  x − xy − y =   xy + x + = y 8,  2  x y + xy + = 13 y 2 xy + 3x + y = −6 10,  2  x + y + x + 12 y =  x3 − x = y + y  12,  2  x − = ( y + 1)  ………………….Hết………………… BT Viên mơn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 12-05  2x + =  y x  1,  2 y + =  x y  - hệ đối xứng loại II - Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 1 1 x = y ( x − y ) =  − ÷⇔  x y  xy = −2 - Trừ vế theo vế ta được: Với x = y , hệ tương đương với x = ⇔ x = ±1 x Với xy = −2 ⇒ y = x = → y = − x 3x −2 = ⇔ , vào pt đầu được: x − = ⇔ x x x x = − → y =  { - Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1) , ( )( 2; − , − 2, )}  1    x− = y− ( x − y ) 1 + ÷ =   y x ⇔ 2,   xy  2 y = x3 +   2 y = x + ⇒   −1 ± −1 ±     ; ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  ÷  2 ÷     ( x + y ) ( x + x ) = 12  x(3x + y )( x + 1) = 12  ⇔ 3,  2 x + y + 4x − = ( x + y ) + ( x + x ) =  Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 uv = 12 u = u = ⇔ ∨ Đặt u = 3x + y; v = x + x suy ra:  u + v = v = v = Giải trường hợp ta dẫn tới đáp số:  3  11   ÷, ( 2; −2 ) ,  −3, ÷   2  ( x; y ) = ( −2;6 ) , 1;   ( x + y ) + x + y − xy =  x2 + y + x + y =  x + y = ∨ x + y = −1  ⇔ ⇔ 4,   xy = −2  xy = −2  x( x + y + 1) + y ( y + 1) =  ⇒ ĐS: ( x; y ) = {( )( ) 2; − , − 2, , ( −2,1) , ( 1, −2 ) }  x2 + y2 =  5,  2  x − x y + y = 13  - Đây hệ đối xứng loại I x y - Đáp số: ( x; y ) = { ( 2; ±1) , ( −2; ±1) , ( 1; ±2 ) , ( −1, ±2 ) } 3x − xy = 16  6,  2  x − xy − y =  - Đây hệ đẳng cấp bậc - Nhận xét x = không thỏa mãn hệ, ta xét x ≠ , đặt y = tx  x ( − 2t ) = 16  Hệ trở thành:  2  x ( − 3t − 2t ) =  - Giải hệ tìm t, x - Đáp số: ( x; y ) = { ( 2; −1) , ( −2,1) }  x2 +  x2 +  y + ( y + x) = ( x + 1) + y ( y + x ) = y =1    ⇔ ⇔ y 7,  ( x + 1) ( y + x − ) = y  x + ( y + x − 2) =  y + x =    y  ⇒ ĐS: ( x; y ) = { ( 1; ) ; ( −2;5 ) } Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  1 x x  x+ + =7  x + ÷+ =  y y  xy + x + = y y y   ⇔ ⇔ 8,  2 2 1 x  x y + xy + = 13 y  x + + x = 13    x + y ÷ − y = 13 y2 y       x ( x + y + 1) − = x + y = x + y = ( x + y ) − x = −1     ⇔ ⇔ 1 ∨ 9,  ( x + y ) − + = ( x + y ) − = −1  x =1 1 =  x  x  x      ⇒ ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  2; −   ÷  ( x + ) ( y + 3) =  ⇔ 2 2  x + y + x + 12 y =  x + y + x + 12 y =  2 xy + 3x + y = −6 10,    1  2  3  2  3  2    ⇒ ĐS: ( x; y ) =  −2; ÷;  −2; − ÷;  2; − ÷;  −6; − ÷  x − xy + y = 3( x − y )  x − xy + y = 3( x − y )  x − xy + y = 3( x − y )   ⇔ ⇔ 11,  y 2 2 x − xy + y =  x + xy + y = 7( x − y )  x = y ∨ x =  ⇒ ĐS: ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1; ) ; ( −1; −2 ) } Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 12,  x3 − x = y + y    x − y = x + y (1) ⇔  2 x − = ( y + 1)  x − y = 6(2)     x ( x2 − 8) =  x3 − x = x =   *) Xét y = ⇒  ⇔ ⇔ (Vô lý) x =6 x −3 =    x =  *) Chia vê ' (1) cho y vê ' (2) cho y ta có :  x 3 x y 8t + 3  ÷ − = + t −1 =  y y y x t2 −  y   Coi : t = ⇒  ⇒ t − = (8t + 2)  y  x  t − = 6 −3 =  y ÷  y  y   t = ⇔ 3t − = (4t + 1)(t − 3) ⇔ t + t − 12t = ⇔ t (t + t − 12) = ⇔ t = −4  t =  +) t = ⇒ x = ⇒ y = −2 < 0(loai ) +)t = ⇒ x = y ⇒ y − y = ⇔ y = ±1 ⇔ (3;1), (−3; −1) +)t = −4 ⇒ x = −4 y ⇒ 16 y − y = ⇒ y = ± 6 6 ⇒ ( −4 ; );(4 ;− ) 13 13 13 13 13   6    Vây S = ( ±3; ±1) ,  ±4 ;m ÷  13 13 ÷     • 1, BTVN NGÀY 14-05 x − = − 3x + - Điều kiện: x≥3 Với điều kiến ta biến đổi dạng: dạng f ( x) = g ( x) ta giải tiếp x − + x + = sau bình phương vế, đưa - Đáp số: x = 2, x + x + = ( x + 4) x + x + Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 - Đặt t = x + x + > , pt cho trở thành: t = x t − ( x + 4) t + 4x = ⇔  t = Với t = x ⇔ x + x + = x : vô nghiệm Với t = ⇔ x + x − 15 = ⇔ x = −1 ± 61 - Vậy phương trình có nghiệm: x = 3, −1 ± 61 18 − x = − x − - Ta đặt u = 18 − x ≥ 0; v = x − ≥ ⇒ u + v = 17 , ta đưa hệ đối xứng loại I u, v giải hệ tìm u, v suy x - Đáp số: Hệ vô nghiệm ( ) 4, + x − = x + x + ( *) - Điều kiện: x ≥ - Ta có: ( *) ⇔ ( x − 3) = ( x − 3) x = ⇔ x−2 + x+6 3 x − + x + =  108 + 254    25      - Đáp số: x = 3; 5, x2 + 8x + + x2 − = x + - Điều kiện:  x = −1 2 x + x + ≥  ⇔ x ≥   x −1 ≥   x ≤ −3  - Dễ thấy x = -1 nghiệm phương trình - Xét với x ≥ , pt cho tương đương với: ( x + 3) + x − = x + Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm trường Bình phương vế, chuyển dạng hợp nghiệm x = - Xét với x ≤ −3 , pt cho tương đương với: f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm trường Bình phương vế, chuyển dạng hợp là: x = − −2 ( x + 3) + − ( x − 1) = − ( x + 1) 25  - Đáp số: x = − 25  ; ±1   6, x( x − 1) + x( x + 2) = x 7,  9 ĐS: x = 0;   8 x +4 − x −3 =1 - Sử dụng phương pháp hệ để giải tốn, thử lại nghiệm tìm - Đáp số: x = { −5; 4}  −2 − 14      2 8, x + − x = + 3x − x → t = x + − x ⇒ t = − ;  ⇒ x = 0; 2;        9, x − 3x + + x − 3x + = - Đặt t = x − 3x + > ⇒ x − 3x + = t 3 ≥ t  2 - Phương trình thành: t + t + = ⇔ t + = − t ⇔  2 ⇔ t =1 t + = ( − t )  Suy x − 3x + = ⇔ x = { 1; 2} - Vậy tập nghiệm phương trình x = { 1; 2} 10, x + x + = x + x - Điều kiện: x ≥ Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 u = v + u = v +   ⇒ - Đặt u = x + ≥ 2; v = x ≥ ⇒  2 u + 2v = 3uv ( u − v ) ( u − 2v ) =   Giải ta x = (thỏa mãn) 11, 3x − + x − = x − + x − x + - Điều kiện: x ≥ - Khi đó: 3x − + x − = x − + 3x − x + Đặt t = 3x − + x − (t > 0) ta có: t = t − ⇔ t − t − = ⇔ t = 3; t = −2(< 0) 3x − + x − = Giải tiếp phương pháp tương đương, ta nghiệm x = 12, − x = 1− x −1 - Điều kiện: x ≥ u = − v - Đặt u = − x ; v = x − ≥ dẫn tới hệ:  u + v = Thế u vào phương trình được: v ( v − 1) ( v − 3) = - Đáp số: x = { 1; 2;10} 13, x + = 2 x − 3  y3 + = x     −1 ±  → y = 2x −1 ⇒  ⇒ x = y ⇒ x = 1;    x +1 = 2y    14, x + 14 x + − x − x − = x +   ĐS: x =  −1; ;11   15, 3 x − + − x = - Giải hoàn toàn tương tự ý 1.12 Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 - Đáp số: x = { −2} 16, x + − − x = 3x − - Điều kiện: ≤ x≤5 - Chuyển vế cho vế dương, bình phương vế ta dẫn tới phương trình Sau giải học  14    3 - Đáp số: x = 1; 17, x + − x = x − + − x + x − + - Điều kiện: ≤ x ≤ - Ta có: x + − x = x − + − x + x − + ⇔ x −1 ( ) ( x −1 − − x = x −1 − − x )  x −1 = x = ⇔ ⇔ x =  x −1 = − x  - Đáp số: x = { 4;5} x+3 ⇔ ( x + 1) − = 18, x + x = x+3  x + ⇒ 2 ( x + 1) = y +  2 2 ( y + 1) = x +  - Đặt y + =  −3 ± 17 −5 ± 13    ;  4     - Đáp số: x =  19, −4 x + 13 x − = x + ⇔ − ( x − 3) + x + = x + ( y − 3) = x +  - Đặt y − = x + ⇒  − ( x − 3) + x + = y −  Page of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 15 − 97 11 + 73    ;  8     - Đáp số: x =  5 − x + − x2 + − x − 1− x2 = x + 4 20, - Điều kiện: x ≤ - PT cho ⇔ − x + 1 + − x2 − = x + 2 3  - Đáp số: x =  ; −1 5   x+5 + y−2 =  21,   y+5 + x−2 =  ⇒ ĐS: ⇒ x+5 + y −2 = y+5 + x−2 ⇔ x = y ( x; y ) = ( 11;11)  2x + y +1 − x + y =  3x + y =  22,  u = x + y + ≥  - Đặt  v = x + y ≥  u − v = u = ⇒ 2 ⇒ ∨ u + v = v = u = −1   v = −2 - Đáp số: ( x; y ) = ( 2; −1) xy  x+ = x2 + y  x − 2x +  23,  xy y + = y2 + x  y2 − y +  ⇒ ĐS: • ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1;1) } BTVN NGÀY 16-05 Page 10 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 13   ĐS: x ∈ ∪  −∞; −  ∪ [ 3; ∞ ) 6  1, ( x − 3) x − ≤ x − 2, ĐS: x ∈ [ 4;5] ∪ [ 6;7] x + ≥ 2x − + − x − − x2 4x x − 3, x 1+ 1− 4x 4, x + x < 2x +  1 ĐS: x ∈  − ;  \ { 0}  2 1 − → t = 2x + ≥2 2x 2x  ĐS: x ∈  0;   8−3    8+3  ;∞÷ ÷∪  ;1÷∪  ÷ ÷ 4      x ∈ ( 0; ∞ ) 5, x +1 > 3− x + 6, x + 10 x + ≥ − x − x → t = x + x ĐS: x ∈ ( 1; ∞ ) ∪ ( −∞; −3) \ −1 ± 2 7, 8x2 − 6x + − 4x + ≤   1  ĐS: x ∈  ; ∞ ÷∪   2  4 8, x − + 3x − < x − + x − - Điều kiện: x > ĐS: { } - ( *) ⇔ x − − x − < x − − x − ⇔ ( x − 1) 1− x < 3x − + x − 5x − + x −1 Nếu x ≤ ⇒ VT ≥ ≥ VP : BPT vô nghiệm Nếu x > ⇒ VT < < VP : BPT - Đáp số: x ∈ ( 1; ∞ ) • BTVN NGÀY 18-05 Bài Tìm tham số m để phương trình: Page 11 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 1, 2, x + − x = m có nghiệm x − 13x + m + x − = có nghiệm HDG: 1, x + − x = m có nghiệm - Điều kiện x ≥ f t = t +1 − t = m - Đặt t = x ≥ , pt cho thành: ( ) PT cho có nghiệm f(t)=m có nghiệm t ≥ ⇔ < m ≤1 2, x − 13x + m + x − = có nghiệm - Ta có: x − 13x + m + x − = ⇔ x − 13 x + m = − x x ≤   x ≤ ⇔ 4 ⇔  4 x − x − x = − m, ( 1)  x − 13 x + m = ( − x )   - PT cho có nghiệm ⇔ ( 1) có nghiệm thảo mãn x ≤ ⇔ đồ thị hàm số y = x − x − x với x ∈ ( −∞;1] giao với đường thẳng y = − m điểm - Xét hàm y = x − x − x với x ∈ ( −∞;1] , lập bảng biến thiên từ ta dẫn tới đáp số toán là: − m < −11 ⇔ m > 10 Bài Tìm tham số m để bất phương trình: m ( ) x − x + + + x (2 − x) ≤ có nghiệm x ∈ 0;1 +    HDG: Page 12 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 m ( ) x − x + + + x (2 − x ) ≤ có nghiệm x ∈  0;1 +    - Đặt t = x − x + , với x ∈  0;1 +  ⇒ t ∈ [ 1; 2] Hệ trở thành:   m ( t + 1) + − t ≤ ⇔ m ≤ t2 − = f ( t ) , ( *) t +1 - BPT cho có nghiệm x ∈ 0;1 +  ⇔ ( *) có nghiệm t ∈ [ 1; 2]   ⇔ m ≤ max f ( t ) ⇔ m ≤ [ 1;2] Bài Tìm tham số m để hệ phương trình: 2 x − y − m =    x + xy = có nghiệm  HDG: 2 x − y − m =  có nghiệm  x + xy =    2 x − y − m =   y = 2x − m ⇔  x + xy =  x ( 2x − m) = 1− x   - Ta có:   y = 2x − m  y = 2x − m    ⇔ x ≤ ⇔ x ≤   2 x ( 2x − m) = ( 1− x)  f ( x ) = x − ( m − 2) x −1 =  - Hệ cho có nghiệm ⇔ f(x) có nghiệm nhỏ 1, (*) Vì ∆ = ( m − ) + > 0, ∀m nên f(x) ln có nghiệm phân biệt; (*) xảy af ( 1) = − m ≤ ⇔ m ≥ - Đáp số Page 13 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 ………………….Hết………………… BT Viên mơn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 14 of 14 ... 0) 3x − + x − = Giải tiếp phương pháp tương đương, ta nghiệm x = 12, − x = 1− x −1 - Điều kiện: x ≥ u = − v - Đặt u = − x ; v = x − ≥ dẫn tới hệ:  u + v = Thế u vào phương trình được: v (... ± 61 - Vậy phương trình có nghiệm: x = 3, −1 ± 61 18 − x = − x − - Ta đặt u = 18 − x ≥ 0; v = x − ≥ ⇒ u + v = 17 , ta đưa hệ đối xứng loại I u, v giải hệ tìm u, v suy x - Đáp số: Hệ vô nghiệm... 3x + > ⇒ x − 3x + = t 3 ≥ t  2 - Phương trình thành: t + t + = ⇔ t + = − t ⇔  2 ⇔ t =1 t + = ( − t )  Suy x − 3x + = ⇔ x = { 1; 2} - Vậy tập nghiệm phương trình x = { 1; 2} 10, x + x + = x