Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2010 BTVN NGÀY 17-04 Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng. Bài 1: Một hình thoi có một đường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh có phương trình: x+3y-3=0. Một đỉnh là (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và đường chéo thứ 2 của hình thoi. Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua N sao cho khoảng cách từ M tới đó bằng 2. Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là: 2x+y+1=0 và x+y-1=0. Viết phương trình đường thẳng BC. Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x+3y+1=0 2x+3y+1=0 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M tạo với d một góc 45 0 ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 17-04 Bài 1: Một hình thoi có một đường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh có phương trình: x+3y-3=0. Một đỉnh là (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và đường chéo thứ 2 của hình thoi. Giải: Giả sử A(0;1) và tọa độ B là nghiệm của hệ PT: 3 3 0 (15; 4) 2 7 0 x y B x y + − =  ⇒ −  + − =  Gọi C(a;b) ta có tâm 1 ( ; ) à ( 15; 5) 2 2 a b O v D a b + − + ( ) ( ) ; 1 30; 9 ( 30) ( 1)( 9) 0(1) à : 15 2( 5) 7 0 12 2 (2) AC a b BD a b a a b b AC BD M D BD a b a b  = −   ⇒ = − + ⇒ − + − + =   ⊥   ∈ ⇒ − + + − = ⇒ = − uuur uuur Thế (2) vào (1) ta có: b=-9 hay b=5 -9 (30; 9) (15; 4) ( ) (2;5) (1;3) ( 13;10) : ( 2) 3( 5) 0 : 3 17 0 (2;4) (2; 1) : 2 ( 1) 0 2 1 0 ( 13;9) (9;13) :9 13( 1) 0 :9( 2) 1 AB CD AC AD BC b C D B loai C O D Do n n CD x y hay x y AC n AC x y x y AD n n AD x y BC x = ⇒ − ⇒ − ≡ ⇒ ⇒ ⇒ − = ⇒ − + − = + − = ⇒ = − ⇒ − − = ⇒ − + = = − ⇒ = = + − = ⇒ − + r r uuur r uuur r r :9 13 13 0 3( 5) 0 :9 13 83 0 AD x y y BC x y + − =   ⇒   − = + − =   Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua N sao cho khoảng cách từ M tới đó bằng 2. Giải: • Xét trường hợp đường thẳng cần tìm song song với trục tung là: ( ) : 6 0 5 2( )x d M loai∆ − = ⇒ → ∆ = ≠ • Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: ': ( 6) 2y k x ∆ = − + Page 2 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 ( ) 2 2 6 2 6 0 ' 2 1 0 2 ': 20 20 21 162 0 21 kx y k kx y k d M k k y x y k − + − ⇒ − + − = ⇒ → ∆ = = + =  =   ⇒ ⇒ ∆   + − = = −   Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1. : ;0 à 0; 3 1 1 3 1 ( 3 1) ( ) ( 3 1) 3 1 3 3 3 3 0 : 1 3 3 1 3 x y Voi A a v B b a b a b OA OB a b a b a b a b a b Min OA OB a b b a ab x y PT + =  + =   ⇒     + = + ≥ + = + + ≥ +  ÷      =  ⇒ + = + ⇔ ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +   ≥  ⇒ + = + + Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là: 2x+y+1=0 và x+y-1=0. Viết phương trình đường thẳng BC. Giải: Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua CD và AA’ cắt CD ở I ta có: A’ thuộc BC Ta có: AA' (1; 1) AA': 1 ( 2) 0 1 0 CD u n x y hay x y = = − ⇒ − − − = − + = r r Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 1 0 (0;1) '( 1;0). ( ; ). 1 0 1 0 x y I A Goi C a b Do C CD a b x y − + =  ⇒ ⇒ − ∈ ⇒ + − =  + − =  Page 3 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Mà trung điểm M của AC có tọa độ là: 1 1 1 1 ( ; ) 2. 1 0 2 6 0 2 2 2 2 a b a b M BM a b + + + + ∈ ⇒ + + = ⇒ + + = Tọa độ C là nghiệm của hệ PT: 1 0 ( 7;8) ' ( 6;8) (4;3) 2 6 0 : 4( 1) 3 0 4 3 4 0 BC a b C A C n a b BC x y hay x y + − =  ⇒ − ⇒ = − ⇒ =  + + =  ⇒ + + = + + = uuuur r Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x+3y+1=0 2x+3y+1=0 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M tạo với d một góc 45 0 Giải: Xét đường thẳng cần tìm song song với trục tung là: 2 1 : 1 0 (1;0) ( ; ) 13 2 x n d d ∆ ∆ − = ⇒ = ⇒ ∆ = ≠ r Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: ( ) ' 2 ': 1 1 1 0 ( ; 1) 1 5 4 0 2 3 1 os( '; ) 5 5 6 0 2 14. 1 5 y k x kx y k n k x y k k c d x y k k ∆ ∆ = − + ⇒ − + − = ⇒ = −  − + = − =   ⇒ ∆ = = ⇔ ⇒   + − = +  = −  r BTVN NGÀY 11-04 Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và 2 đường thẳng lần lượt chứa đường cao kẽ từ B và C có phương trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0. Tính diện tích tam giác ABC . Giải: Ta có: (1; 3) : 3 1 0 CK AB u n AB x y= = − ⇒ − − = r r Tọa độ B là nghiệm của hệ: ( ) 3 1 0 ( 5; 2) 2 1 0 à : 2;1 2( 1) 0 2 2 0 BH AC x y B x y V u n x y x y − − =  ⇒ − −  − + =  = = ⇒ − + = ⇒ + − = r r Page 4 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Và tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 0 ( 3;8) 4 8 4 5 3 1 0 14 1 1 14 . .4 5. 28 2 2 5 5 ABC x y C AC y d B AC BH S AC BH ∆ + − =  ⇒ − ⇒ = + =  + + =  → = = ⇒ = = = Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC = 90 0 . Biết M(1;-1) là trung điểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh ABC. Giải: Gọi ( ) 0 0 0 0 2 ; 3 1 ( ; ) ; 1 0;2 3 2 AG x y A x y GM M AG GM    = − −  ÷        ⇒ = − ⇒   ÷     =   uuur uuuur uuur uuuur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 2 ; 4 ( ; ) (2 ; 2 ) 2 2 ; 2 2 (1; 3) (2 ) 2 4 0 0 (4;0); ( 2; 2) ì : 2 ( 2; 2); (4;0) 2 2 3(2 2 ) 0 AB a b AC a b Goi B a b C a b BC a b AM a a b b AB AC b B C V AM BC b B C a b  = −   = − − −  ⇒ − − − ⇒  = − − −   = −   − + − − − = ⊥ = ⇒ − −    ⇒ ⇒    ⊥ = − ⇒ − − − + + =     uuur uuur uuur uuuur Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A. Có trọng tâm là G(4/3;1/3), Phương trình đường thẳng BC là: x-2y-4=0, phương trình đường thẳng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C. Giải: Hoàng độ giao điểm B là nghiệm của hệ PT: 7 4 8 0 (0; 2) 2 4 0 x y B x y − − =  ⇒ −  − − =  Do C thuộc BC nên: 4 2(3 ) 4 0 2 6a b a b − − − − = ⇔ − = − Nhưng do tam giác ABC cân nên: Page 5 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 ( ) 4 1 ; 3 3 . 0. à : 2 3 0 2;1 BC BC AG a b AG BC AG u M a b u    = − −  ÷    ⊥ ⇒ = ⇒ + − =   =  uuur uuuurr r Tọa độ A là nghiệm của hệ PT: 2 6 0 (0;3) (4;0) 2 3 0 a b A C a b − + =  ⇒ ⇒  + − =  Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật có tâm I(1/2;0). Phương trình đường thẳng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D. Biết rằng A có hoành độ âm. Giải: • Phương trình đường thẳng qua I vuông góc với AB là d:2x+y-1=0 • Tọa độ giao điểm M của d và B là nghiệm của hệ: 2 1 0 5 (0;1) 2 5 2 2 0 2 x y M MI AD MI AM x y + − =  ⇒ ⇒ = ⇒ = = =  − + =  Gọi A(a;b) với a<0 ta có: 2 2 ( 1) 5AM a b = + − = Do A thuộc AB nên a-2b+2=0 => a=2(b-1) ( ) 2 0 2 5 1 5 ( 2;2) 2 2( ) (2;2) (3;0) ( 1; 2) b a b A b a loai B C D = ⇒ = −  − = ⇒ ⇒ −  = ⇒ =    ⇒   − −  Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x-2y+2=0. Tìm trên d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC. Giải: Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d là: 2x+y-2=0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 0 2 6 ( ; ) 2 2 0 5 5 x y B x y + − =  ⇒  − + =  Page 6 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Ta có: 2 ( ) 5 d A d → = Gọi C(a;b) là điểm trên d, ta có: a-2b+2=0 (1) và: 2 2 2 2 2 6 4 ( ) (2) 5 5 5 d A d BC a b     → = = − + − =  ÷  ÷     Từ (1) và (2) ta có: C(0;1) hoặc C(4/5;7/5) ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 7 of 7 . NGÀY 17-04 Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng. Bài 1: Một hình thoi có một đường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh có phương trình: x+3y-3=0 (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và đường chéo thứ 2 của hình thoi. Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua