C BÀI TỐN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG I CÁC BÀI TỐN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Người ta hay dùng dạng sau để viết phương trình đường thẳng Phương trinh tắc đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) có vectơ phương r x − xo y − yo u = ( a; b ) , a; b ≠ = a b Phương trinh tham số đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) có vectơ phương r x = xo + at u = ( a; b ) , a + b > y = yo + bt Phương trinh tổng quát đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) có vectơ phương r n = ( a; b ) , a + b > a ( x − xo ) + b ( y − y0 ) = Phương trình tổng quát Ax + By + C = ; A2 + B > r r Phương trình nhận n = ( A; B ) làm VTPT nhận u = ( − B; A ) làm VTCP Đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) có hệ số góc k có phương trình dạng y − y0 = k ( x − xo ) Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng cắt trục Ox, Oy A(a;0), B(0;b) vói x y a; b ≠ có dạng + = a b CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN LOẠI 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BIẾT VECTƠ CHỈ r PHƯƠNG u = ( a; b ) VÀ MỘT ĐIỂM M ( xo ; yo ) CỦA NÓ Đây nhứng phương pháp để viết phương trình đường thẳng nhiều toán quy trường hợp ( đặc biệt trường hợp đường thẳng qua điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; y B ) Như yếu tố cần xác định Vectơ phương đường thẳng Ta hay xác đinh VTCP saur r uuu a Tìm điểm A, B phân biệt thuộc đường thẳng Khi VTCP u = AB b Xác định xem đường thẳng cần tìm có song song hay vng góc với đường thẳng cho trước hay không Điểm M thuộc đường thẳng cần tìm xác định: a Giao điểm đường thẳng biết trước đo b Điểm có tính chất (Trung điểm đoạn thẳng, hình chiếu điểm đường thẳng,…) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG GIẢI Gọi đường cao AH : 6x – y – = đường trung tuyến AD : 7x – 2y – = Ta có A = AH ∩ AD = A ( 1; ) M trung điểm AB ⇒ B ( 3; − ) BC qua B vuông góc với AH ⇒ BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = ⇔ x + 6y + = −3 D = BC ∩ AD ⇒ D 0; ÷ D trung điểm BC ⇒ C (- 3; - 1) uuu r AC qua A (1; 2) có VTCP AC = ( −4; −3) nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = ⇔ 3x – 4y + = Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo Ac BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E canh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB Giải Ta có I (6; 2); M (1; 5) E ∈ ∆ : x + y – = ⇒ E(m; – m); Gọi N trung điểm đoạn AB Khi I trung điểm NE x = x N + xE ⇒ I ⇒ N (12 – m; m – 1) 2 yI = yN + yE uuuu r ⇒ MN = ( 11 – m; m – ) uu r ⇒ IE = ( m – 6; – m – ) = ( m – 6; – m ) uuuu uu r r Ta có MN vng góc với IE nên MN IE = ⇔ (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = ⇔ ( m − ) ( 14 − 2m ) = ⇔ m – = hay 14 – 2m = ⇔ m = hay m = uuuu r * Với m = ⇒ MN = ( 5;0 ) nên pt AB y = uuuu r *m = ⇒ MN = ( 4;1) nên pt AB x – – 4(y – 5) = ⇔ x – 4y + 19 = Vậy đường thẳng AB có phương trình y = x – 4y + 19 = Ví dụ 3:Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM đường phân giác CD có phương trình tương ứng x + y + = 0; x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC Giải Qua A kẻ đường vng góc với CD cắt BC E Giả sử đường vng góc cắt CD I Vì CD phân giác góc C nên IA = IE Do CD có phương trình x + y − = nên đường AE có phương trình x − y + m = Mà AE lại qua A(1;2) nen ta có + + m = ⇒ m = −1 Vậy AE có phương trình x − y − = x − y +1 = x = ⇔ ⇔ I ( 0;1) Tọa độ điểm I nghiệm hệ x + y −1 = y =1 xE = x I − x A x = −1 ⇔ E ⇔ E ( −1; ) Từ suy yE = yI − y A yE = Vì C nằm đường phân giác x + y − = nên ta có C ( xo ;1 − xo ) x + 1 − xo + xo + − xo ; Từ M trung điểm AC nên M o ; ÷= ÷ 2 Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG 2x + y +1 = Điểm M nằm trung tuyến BM nên ta có x + − xo 2 o + = ⇔ xo = −7 ⇒ C ( −7;8 ) ÷+ Đường thẳng BC qua E ( −1;0 ) C ( −7;8 ) nên có phương trình x + y + = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đỉnh A(4;-1), phương trình đường cao, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh x − y + 12 = x + y = Viết phương trình cạnh tam giác Giải x − y + 12 = x + y = nên đường cao Ta thấy đỉnh A không thuộc đường thẳng đường trung tuyến không qua A Giả sử đường cao đường trung tuyến vẽ từ B x − y + 12 = x = −3 ⇔ ⇔ B ( −3; ) Tọa độ B nghiệm hệ 2x + y = y=2 Cạnh AB qua A B nên phương trình canh AB x + y − = Do AC vng góc BH nên cạnh AC có phương trình x + y + m = Do A thuộc AC nên 3.4 + 2(−1) + m = ⇔ m = −10 Vậy phương trình cạnh Ac x + y − 10 = 3 x + y − 10 = x=6 ⇔ ⇔ M ( 6; −4 ) Tọa độ M nghiệm hệ y = −4 2x + y = Vì M trung điểm AC nên C ( 8; −7 ) Đường thẳng BC qua B C nen có phương trình x + 11 y + = Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d 1: x − y + = d2: x + y − = điểm P(2;1) Viết phương trình đường thẳng qua P cắt d 1, d2 tương ứng A B cho P trung điểm AB Giải A ( x1 ; x1 + 1) Vì A thuộc d1 nên Vì B thuộc d2 nên B ( x2 ; −2 x2 + 1) uuu r uuu r Ta có PA = ( x1 − 2; x1 ) ; PB ( x2 − 2; −2 x2 ) uur u uuu r x1 − = x2 − x2 = ⇔ Vì P trung điểm AB nên PA = − PB ⇔ x1 = −2 x2 x = 11 −5 Do A ; ÷B ; ÷ 3 3 Vậy phương trình đường AB x − y − = Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3) đường trung tuyến xuất phát từ B C x − y + = y − = Lập phương trình cạnh tam giác Giải Gọi G trọng tâm tam giác x − y +1 = x =1 ⇔ ⇒ G ( 1;1) Tọa độ G nghiệm hệ y −1 = y =1 Vẽ hình bình hành BGCE.Theo tính chát đường trung tuyến tam giác ta có GE=GA Từ suy E ( 1; −1) Do EC//BG nen EC có dạng x − y + m = E thuộc nên ta có + + m = ⇔ m = −3 Phương trình EC x − y − = Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG x − y − = x = ⇔ ⇒ C ( 5;1) Tọa độ C nghiệm hệ y −1 = y =1 Tương tự ta có B ( −3; −1) Biết tọa độ đỉnh A, B, C ta có phương trình cạnh AB, Ac, BC x − y + = ; x − y +1 = ; x + y − = LOẠI 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM M ( xo ; yo ) VÀ CÓ HỆ SỐ GÓC k Phương pháp thường dùng để viết viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) thỏa số yêu cầu ( thường yêu cầu liên quan đến khoảng cách) Chú ý đường thẳng qua M ( xo ; yo ) có dạng x = xo y − y0 = k ( x − xo ) Khi làm bài, trừ trường hợp có sẵn dạng y − y0 = k ( x − xo ) xét đủ trường hợp nói VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(1;4) N(6;2) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M cho khoảng cách từ N tới Giải Đường thẳng ∆ qua M (1;4) nen có dạng x = d ( N ; ∆ ) = Vậy ∆ : x = đường thẳng cần tìm ∆ có dạng y = k ( x − 1) + ⇔ kx − y + − k = 6k − + − k 21 = ⇔ ( 5k + ) = 25 ( k + 1) ⇔ k = Khi d ( N ; ∆ ) = ⇔ 20 k +1 ∆ có phương trình 21x − 20 y + 59 = Vậy có đường thẳng cần tìm x = 21x − 20 y + 59 = Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(1;2) B(5;-1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M(3;5) cách A,B Giải Đường thẳng ∆ qua M(3;5) có hai dạng x = d ( A; ∆ ) = 2; d ( B; ∆ ) = Vậy ∆ : x = đường thẳng cần tìm ∆ có dạng y = k ( x − 3) + ⇔ kx − y + − 3k = k − + − 3k 5k + + − 3k = Khi ta có d ( A; ∆ ) = d ( B; ∆ ) ⇔ k +1 k +1 −3 ⇔ − 2k = − 2k ⇔ k = ∆ có phương trình x + y − 29 = Vậy có đường thẳng cần tìm x = x + y − 29 = Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy rõ khơng xét trường hợp x = xo ó thể dẫn đến trường hợp nghiệm tốn LOẠI 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT Ax + By + C = ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Khi sử dụng phương trình dạng tốn quy tìm A,B,C Thơng thường từ kiện ban đầu ta có hai phương trình để tìm A,B,C Vì ta phải sử dụng điều kiện A2 + B > để từ hệ thức A, B cho A B giá trị cụ thể, từ tìm B A Lưu ý quy tắc chung để giải hệ phương trình mà số phương trình số ẩn Sử dụng phương pháp thích hợp cho tốn loại 2, mà không cần xét trường hợp x = xo y − y0 = k ( x − xo ) VÍ DỤ MINH HỌA Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(1;4) N(6;2) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M cho khoảng cách từ N tới Giải Gọi đường thẳng ∆ cần tìm Ax + By + C = với A2 + B > Do ∆ qua M nen ta có A + B + C = ⇔ C = − A − B Suy ∆ có dạng Ax + By − A − B = Ta có B=0 A + B − A − 4B 2 2 d ( N; ∆) = ⇔ = ⇔ ( A − B ) = 25 ( A + B ) ⇔ 21B + 20 AB = ⇔ 2 B = −20 A A +B 21 Thay B=0 vào phương trình ∆ ta x = −20 A vào phương trình ∆ ta 21x − 20 y + 59 = Thay B = 21 Vậy có đường thẳng cần tìm x = 21x − 20 y + 59 = Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(1;2) B(5;-1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M(3;5) cách A,B Giải Gọi đường thẳng ∆ cần tìm Ax + By + C = với A2 + B > Do ∆ qua M(3;5) nen ta có A + B + C = ⇔ C = −3 A − B Suy ∆ có dạng Ax + By − A − B = A + B − A − 5B A − B − A − B = Ta có d ( A; ∆ ) = d ( B; ∆ ) ⇔ A2 + B A2 + B B=0 2 ⇔ ( −2 A − 3B ) = ( A − B ) ⇔ B ( 3B − A ) = ⇔ B = A Thay B=0 vào phương trình ∆ ta x = Thay B = A vào phương trình ∆ ta x + y − 29 = Vậy có đường thẳng cần tìm x = x + y − 29 = LOẠI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THEO ĐOẠN CHẮN x y + =1 a b Người ta sử dụng cách viết phương trình theo đoạn chắn tốn mà u cầu đầu địi hỏi tính tốn giao điểm (a;0) (0;b) đường thẳng với trục hoành trục tung Chỉ cần lưu ý A(a;0), B (0; b) OA = a , OB = b VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;2) Viết phương trình đường thẳng qua M cho OAB tam giác vuông cân, A, B giao điểm đường thẳng với trục hồnh, trục tung Giải Giả sử d đường thẳng cần tìm qua M Gọi A(a;0), B(0;b) giao điểm d với trục hồnh, trục tung x y Khi theo phương trình đoạn chắn , d có dạng + = a b Vì M thuộc d nên ta có + = ( 1) a b ( 2) Do tam giác OAB vng cân đỉnh O nên ta có a = b 1 + =1 a = b = ⇔ Ta có hệ a b a = −1; b = a =b Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG x y x y + = + =1 3 −1 Ví dụ 2: Cho điểm M(4;3) Viết phương trình đường thẳng d qua M cho tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích Giải Giả sử d ∩ Ox = A ( a;0 ) , d ∩ Oy = B ( 0; b ) Vậy có đường thẳng cần tìm Khi theo phương trình đoạn chắn , d có dạng Vì M thuộc d nên ta có Ta có S ∆OAB = ⇔ + =1 a b x y + =1 a b ( 1) a.b OA.OB = ⇔ =3⇔ a b =6 2 (2) a = 2; b = −3 Giải hệ (1) (2) ta a = −4; b = x y x 2y =1 Vậy có đường thẳng cần tìm − = − + LOẠI 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH CHÙM ĐƯỜNG THẲNG Giả sử đường thẳng d1 : A1 x + B1 y + C1 = đường thẳng d : A2 x + B2 y + C2 = cắt I Khi đường thẳng d qua I có dạng α ( A1 x + B1 y + C1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = (1) với α2 + β2 > (1) phương trình chùm đường thẳng sinh d1 d2 Người ta sử dụng phương trình chùm đường thẳng để giái tốn có dạng sau: • Viết phương trình đường thẳng qua điểm I giao diểm đường thẳng cho trước thỏa yêu cầu Phương pháp giải + Viết phương trình (1) + Dựa vào điều kiện đầu lập hệ thức liên hệ α ; β + Từ hệ thức tìm dựa vào điều kiện α + β > để chọn giá trị thích hợp α ; β VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d1 : x − y + = d : x + y − = điểm P(2;1) Viết phương trình đường thẳng qua P giao điểm d1 d2 Giải Đường thẳng d qua giao điểm d1 d2 nên thuộc chùm α ( x − y + 1) + β ( x + y − 1) = Do d qua P(2;1) nên ta có α ( − + 1) + β ( 2.2 + − 1) = ⇔ α + β = Do α + β > nên chọn α = 2; β = −1 Thay vào phương trình (1) ta có phương trình d y = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Ba cạnh tam giác có phương trình x + y − 12 = ; x + y − 20 = ; Viết phương trình ba đường cao tam giác Giải x − y − 15 = Phương trình AA’: Phương trình BB’: x + y − = Phương trình CC’: x − 12 y − = II BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Phương pháp giải tốn loại ngồi việc sử dụng kiến thức đường thẳng sử dụng nhiều kiến thức tọa độ vectơ mặt phẳng LOẠI 1: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG Đây nhứng phương pháp để xác định điểm mặt phẳng Người ta dựa vào điều kiện đầu để quy điểm cần tìm giao điểm đường thẳng xác định Các đường thẳng có sẵn phải tìm phương trình VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , biết hình chiếu vng góc C lên Ab H(-1;-1) Đường phân giác A có phương trình x − y + = , đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y-1=0 Tìm tọa độ đỉnh C Giải Giả sử d1: x − y + = d : 4x + 3y − = Gọi H'(a;b) điểm đối xứng H qua d1 Khi H’ thuộc đường thẳng AC r u = ( 1;1) VTCP d1 uuuur r a −1 b −1 ; HH ' = ( a + 1; b + 1) vng góc với u trung điểm I ÷ HH’ thuộc d1 1 ( a + 1) + 1( b + 1) = ⇒ H ' ( −3;1) Do tọa độ H' nghiệm hệ phương tr.nh a − b − − +2=0 r Đường thẳng AC qua H’ vng góc d2 nên có vectơ pháp tuyến v = ( 3; −4 ) có phương tr.nh ( x + 3) − ( y − 1) = ⇔ 3x − y + 13 = 3 x − y + 13 = ⇒ A ( 5;7 ) Tọa độ A nghiệm hệ phương tr.nh x− y+2=0 r uuu Đường thẳng CH qua H ( −1; −1) với vectơ pháp tuyến HA = ( 3; ) nên có phương tr.nh ( x + 1) + ( y + 1) = ⇔ x + y + = 3x + y + = −10 ⇒C ; ÷ Tọa độ C nghiệm hệ phương tr.nh 4 3 x − y + 13 = Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1;-2) đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương tr.nh x + y − = x + y − = T.m toạ độ đỉnh A B Giải Giả sử AM : x + y − = , BH : x + y − = Ac vng góc BH : x + y − = nên Ac có phương trình dạng x − y + m = Vì C thuộc AC nên 3(−1) − (−2) + m = ⇔ m = Phương trình AC x − y + = 3x − y + = ⇔ A ( 1; ) A giao điểm AC AM nên tọa độ A nghiệm hệ 5 x + y − = B thuộc BH : x + y − = nên B ( − 3m; m ) − 3m m − ; M trung điểm BC nên M ÷ − 3m m − + −9 = ⇔ m = M thuộc AC ⇔ 2 Vậy B(5;0) Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(0;2) B ( ) 3; −1 Tìm tọa độ trực tâm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB (Đại học –khối A – 2004) Giải uuu r Đường thẳng qua O vuông góc với BA 3;3 có phương trình x + 3y = uuu r Đường thẳng qua B vng góc với OA ( 0; ) có phương trình y = −1 uuu r (Đường thẳng qua A vng góc với BO 3;1 có phương trình 3x + y − = ) ( ) ( ) Giải hệ hai ba phương trình ta trực tâm H ( 3; −1) Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = Đường trung trực cạnh OB có phương trình 3x + y + = (Đường trung trực cạnh AB có phương trình x + 3y = 0) Giải hệ hai ba phương trình ta tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB I (− 3;1) LOẠI 2: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHÉP TÍNH VECTƠ Các toán xác định điểm nhờ vào phép toán vectơ cơng thức khoảng cách, tích vơ hướng vectơ… VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - 2y -1 = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB (Đại học – khối B- năm 2004) Giải Phương trình đường thẳng AB x + y − = (1) Giả sử C(x,y) Ta có C thuộc đường thẳng d nên x - 2y -1 = 4x + 3y − x + y − 37 = (2) =6⇔ Mà d ( C ; ( AB ) ) = ⇔ 42 + 32 x + y + 23 = (2 ') Giải hệ (1) (2) ta C ( 7;3) −43 −27 ; Giải hệ (1) (2’) ta C ÷ 11 11` Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) đường thẳng: d1: x + y – = 0, d2: x + y – = 0.T.m tọa độ điểm B C thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vuông cân A (Đại học – khối B -2007) Giải Ta có B thuộc d1, C thuộc d2 nên B(b;2 − b),C(c;8 − c) Từ giả thiết ta có hệ: uuu uuu r r AB AC = bc - 4b - c + = ( b − 1) ( c − ) = ⇔ ⇔ 2 AB = AC b − 2b = c − 8c + 18 ( b − 1) − ( c − ) = xy = Đặt x = b −1, y = c − ta có hệ 2 x + y = Giải hệ ta x = −2, y = −1 x = 2, y =1 Suy ra: B(−1;3),C(3;5) B(3;−1),C(5;3) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng: d1 : x + y + = 0, d2 : x − y − = 0, d3 : x − 2y = 0.T.m tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 (Đại học – khối A – 2006) Giải T.m điểm M thuộc d3 cho d (M,d1 ) = 2d (M,d2 ) Vì M thuộc d3 nên M(2y; y) y + y − 3y − = Ta có: d ( M ; d1 ) = 12 + 12 Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG d ( M ; d2 ) = 2y − y − + (−1) 2 = d ( M ; d1 ) = d ( M ; d ) ⇔ y−4 3y − =2 y = −11 ⇔ y =1 y−4 Với y = -11 điểm M1 (-22;-11) Với y =1 điểm M2 (2; 1) Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d1 : x − y = d : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết A thuộc d1; C thuộc d2; B D thuộc trục hoành (đại học – khối A – 2005) Giải Vì A thuộc d1 : x − y = nên A(t;t) Vì B, D nằm trục hoành nên A C đối xứng với qua BD nên C ( t ; −t ) Mà C thuộc d : x + y − = nên 2t − t − = ⇔ t = Vậy điểm A(1;1), C (1; −1) IB = IA = Trung điểm AC I(1;0) Vì I tâm hình vng nên ID = IA = b = b −1 = B ∈ Ox B (b;0) b = ⇒ ⇒ ⇔ Ta có D ∈ Ox D(d ;0) d − = d = d = Suy B (0;0) B (2;0) , D(0;0) D(2;0) Vậy tọa độ đỉnh hình vng A(1;1), C (1; −1) , B (0;0) , D(2;0) Hoặc A(1;1), C (1; −1) , B (2;0) , D(0;0) hai đường thẳng : ∆1 x – y = 0, ∆ : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường tr.n ( C1 ) Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr.n (C) ( x − ) + y = biết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc ∆1 , ∆ tâm K thuộc đường trịn © ( Đại học – khối B- 2009) Giải x− y x −7y =± Phương tr.nh phân giác ( ∆1 , ∆ ): y = −2 x(d1 ) 5( x − y) = ( x − y) ⇔ ⇔ 5( x − y ) = ± ( x − y) ⇔ y = x(d ) 5( x − y) = − ( x − y) 2 Phương trình hồnh độ giao điểm d1 ©: ( x − ) + ( −2 x ) = ⇔ 25 x − 20 x + 16 = Phương trình vơ nghiệm x Phương trình hồnh độ giao điểm d2 ©: ( x − ) + ÷ = ⇔ 25 x − 80 x + 64 = 2 8 4 x= ⇒K ; ÷ 5 5 2 Vậy R = d ( K ; ∆1 ) = Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) D(3;5) Giả sử d đường thẳng có phương trình 3x-y-5=0 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB MCD có diện tích Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Ta có AB = 5; CD = 17 Gọi M ( x0 ; y0 ) Giải tọa độ điểm M Do M thuộc d nên ta có x0 − y0 = ( 1) Đường thẳng AB qua A, B có phương trình x + y − = Đường thẳng CD qua C D có phương trình x − y + 17 = Ta có x − y0 + 17 x + y0 − S ∆MAB = S∆MCD ⇔ = 17 ⇔ x0 + y0 − = x0 − y0 + 17 17 x0 = ; y0 = Từ (1) và(2) suy x0 = −9; y0 = −32 (2) 7 Vậy có điểm M cần tìm M ; ÷ M ( −9; −32 ) 3 hai điểm A(2;-3), B(3;-2) Trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng 3x-y-8=0 Tìm tọa độ đỉnh C tam giác Giải 5 5 Gọi M trung điểm AB ⇒ M ; ÷ 2 2 (1) Phương trình đường thẳng AB x − y − = 1 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên S ∆ABG = S ∆ABC = Giả sử G ( x0 ; y0 ) Trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng 3x-y-8=0 nên ta có x0 − y0 − = Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có diện tích Ta có AB = nên khoảng cách từ G đến AB d ( G; ( AB ) ) = x0 − y0 − S ∆ABG = AB 2 ⇔ x0 − y0 − = (2) 2 G ( 1;5 ) x0 = 1; y0 = ⇔ Giải hệ (1) (2) ta x0 = 2; y0 = −2 G (2; −2) ⇔ = Do G trọng tâm tam giác nên ta có C ( 2; −2 ) C ( 1; −1) BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho hình thoi có đường chéo có phương trình x + y − = , cạnh có phương trình x + y − = , đỉnh (0;1) Viết phương trình ba cạnh lại đường chéo thứ hai hình thoi Đáp án: đường chéo thứ hai x − y + = Ba cạnh lại x + y − 17 = 0;9 x + 13 y − 83 = 0;9 x + 13 y − 13 = Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;4) N(6;2) Lập phương trình đường thẳng qua N cho khoảng cách từ M đến Đáp án: y = 20 x + 21 y − 162 = Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt trục ox, oy tương ứng A, B cho OA+OB đạt giá trị bé x y + =1 Đáp án: + 1+ Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 10 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG 3 3 Vậy M ; ± ÷ 2 ÷ KHỐI A – 2010: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6).đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C , biết E(1;-3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Giải Gọi H trung điểm BC, D trung điểm AH, ta có AH vng góc BC x + y − = ⇒ D ( 2; ) ⇒ H ( −2; −2 ) Do tọa độ D(x; y) thỏa m.n hệ: x− y =0 Đường thẳng BC qua H song song d, suy BC có phương tr.nh: x + y + = Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x + y + = B, C đối xứng qua H(− 2; − 2), tọa độ B, C có dạng: B(t; − − t), C(− − t; t) uuu uuu r r Điểm E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác ABC, suy ra: AB.CE = ⇔ (t − 6)(5 + t ) + (− 10 − t )( − − t ) = t =0 ⇔ 2t + 12t = ⇔ t = −6 Ta được: B(0; − 4), C(− 4; 0) B(− 6; 2), C(2; − 6) KHỐI D - 2010 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) Δ đường thẳng qua O Gọi H h.nh chiếu vng góc A Δ Viết phương tr.nh đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Giải 2 Gọi tọa độ H (a; b), ta có: AH = a + ( b − ) khoảng cáchtừ H đến trục hoành | b |, suy ra: b = a + ( b − ) Do H thuộc đường tr.n đường kính OA, nên a + ( b − 1) = a − 4b + = Từ đó, ta có: 2 a + b − 2b = ( Suy ra: H ) ( ) − 2; − H −2 Vậy phương tr.nh đường thẳng Δ ( − 2; − ) −1 x − − y = ( ) ( −1 x + ) −2 y = 1 KHỐI B – 2011:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ;1÷.Đường tr.n nội 2 tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D ( 3;1) đường thẳng EF có phương tr.nh y – = T.m tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương Giải uuu r BD = ;0 ÷ ⇒ BD // EF ⇒ tam giác ABC cân A; 2 ⇒ đường thẳng AD vng góc với EF, có phương tr.nh: x – = F có tọa độ dạng F(t; 3), ta có: BF = BD 25 1 ⇔ t = – t = ⇔ t − ÷ + 22 = 2 • t = – ⇒ F(– 1; 3); suy đường thẳng BF có phương tr.nh: 4x + 3y – = −7 A giao điểm AD BF ⇒ A 3; ÷khơng thỏa m.n yêu cầu (A có tung độ dương) • t = ⇒ F(2; 3); suy phương tr.nh BF: 4x – 3y + = Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 24 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG 13 A giao điểm AD BF ⇒ A 3; ÷ thỏa mãn yêu cầu 3 13 Vậy A 3; ÷ 3 KHỐI D – 2011: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tr.n (C): x2 + y2 – 2x + 4y – = Viết phương tr.nh đường thẳng Δ cắt (C) hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A Giải Đường tr.n (C) có tâm I(1; – 2), bán kính R = 10 Ta có: IM = IN AM = AN ⇒ AI vng góc MN; suy phương tr.nh Δ có dạng: y = m Hồnh độ M, N nghiệm phương tr.nh x2 – 2x + m2 + 4m – = (1) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2, khi: m2 + 4m – < (*); ta có: M(x1; m) N(x2; m) AM vng góc AN uuuu uuu r r ⇔ AM AN = ⇔ ( x1 – 1) ( x2 – 1) + m = ⇔ x1x2 – (x1 + x2) + m2 + = Áp dụng định l Viét (1), suy ra: 2m2 + 4m – = ⇔ m = m = – 3, thỏa m.n (*) Vậy, phương tr.nh Δ: y = y = – MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1: Trong mp Oxy lập phương trình tổng quát đường thẳng biết đường thẳng qua điểm M(1; 3) chắn trục tọa độ đoạn thẳng có độ dài Giải Phương trình đường thẳng qua M(1;3) cắt tia Ox A(a;0),cắt tia Oy B(0;b), a,b>0 là: ⇒ + =1 a b C1: x y + = 1; a = ±b C2: d qua M có hsg k: y = k(x – 1) + 3, k ≠ 0, tìm d giao Ox, Oy a b PTĐT là: ( x + y – = x – y + = 0) Bài 2: : Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH trung tuyến CM có phương trình d: 2x - 5y + = d’: x + y - = Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh AC Giải 22 x = 2 x − y + = 22 13 ⇔ ⇒ D( ; ) Gọi D = d ∩ d ' nên tọa độ D nghiệm hệ 7 x + y − = y = 13 Goi d1 đường thẳng qua B song song với d’ nên phương trình d1 là: x + y – = 33 19 Gọi E = d ∩ d1 nên E ( ; ) Vì d’ đường trung tuyến qua C nên D trung điểm AE suy 7 A(1;1) Ta có cạnh BC ⊥ c với d nên phương trình cạnh BC 5x + 2y – 25 = 0Suy uuu −38 47 r −35 50 C = ( BC ) ∩ d ' ⇒ C ( ; ) ⇒ AC ( ; ) 3 3 x = − 38t Vậy phương trình cạnh AC y = + 47t Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M điểm (d ) : x − y + = Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) góc 450 tiếp xúc với (C) A, B Viết phương trình đường thẳng AB Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 25 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Giải Dễ thấy I ∈ (d ) Hai tiếp tuyến hợp với (d) góc 450 suy tam giác MAB vuông cân tam giác IAM vuông cân Suy ra: IM = uuu r a=0 M ∈ ( d ) ⇒ M ( a; a+2), IM = ( a + 1; a + 1) , IM = ⇔ a + = ⇔ a = −2 Suy có điểm thỏa mãn: M1(0; 2) M2 (-2; 0) + Đường tròn tâm M1 bán kinh R1=1 (C1): x + y − y + = Khi AB qua giao điểm (C ) (C1) nên AB: x2 + y − y + = x2 + y + 2x − y + ⇔ x + y − = + Đường tròn tâm M2 bán kinh R2=1 (C2): x + y + x + = Khi AB qua giao điểm (C ) (C2) nên AB: x2 + y + x + = x2 + y + x − y + ⇔ x + y + = + KL: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x + y − = x + y + = Bài 4: : Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho hình vng tâm I(2;3) , có cạnh nằm đường thẳng ( ∆ ) : x − 2y − = Viết phương trình cạnh hình vng Giải Gọi k hệ số góc đường chéo (d) hình vng ⇒ (d) : y = k(x − x I ) − y I ⇔ kx − y + − 2k = − k − 2k − 2k π = ⇒ = ±1 (· (d);( ∆ ) ) = ÷ ⇔ k = − ∨ k = Ta có: tan ( (d);( ∆ ) ) = 2+k 4 1+ k + k Vậy phương trình hai đường chéo hình vuông là: (d1 ) : x + 3y − 11 = (d ) : 3x − y − = x − 2y − = x = ⇔ ⇒ M(5;2) Gọi M = ( ∆ ) ∩ IM ⇒ tọa độ điểm M thỏa hệ: x + 3y − 11 = y = N I trung điểm MP ⇒ P( −1;1) Vậy phương trình cạnh hình vng là: (MQ) : x − 2y − = (chính ( ∆ ) ) P (MN) : 2x + y − 12 = ( ⊥ ( ∆) M ) I (PQ) : 2x + y − = (qua P ⊥ ( ∆ ) ) M (MQ) : x − 2y + = (qua P // ( ∆ ) ) (∆ ) 45 Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) Lập phương trình đường thẳng d qua A cắt Q chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự P, Q cho diện tích tam giác OPQ nhỏ Giải Từ gt ta có P (a;0); Q (0; b), a > 0, b > * d có pt: d qua A(3; 1) nên x y + =1 a b 3 + = ⇒ ≥ ⇒ ab ≥ Dấu bằng xảy và chỉ a b ab a = = ⇒ a b b = a.b ≥ Nên S∆OPQ nhỏ nhất ( = ) và chỉ x y Vậy d có pt: + = Có S ∆OPQ = a = b = Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 26 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Bài 6: Cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + = Phương trình đường cao vẽ từ B là: x − y − = Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình cạnh bên tam giác ABC Giải * Gọi D, E chân đương cao kẻ từ B, C Ta có toạ độ điểm B(0 ; -1) BM = ( 2;2 ) , suy MB ⊥ BC Kẻ MN // BC cắt BD N BCNM hình chữ nhật * Phương trình đường thẳng MN là: x + y − = 8 1 N = MN ∩ BD nên N ; Do NC ⊥ BC nên pt x − y − = 3 x + y +1 = 5 ⇒ C ;− * Toạ độ C nghiệm hpt: x− y− =0 3 8 Toạ độ vectơ CM = ; , nên phương trình AB là: x + y + = 3 * Một vectơ phương BN vectơ pháp tuyến AC, nên phương trình cạnh AC là: 6x + 3y + = A M N E B D C Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ( 0; ) Các đường phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình d1 : x − y + = 0,d : x − y = Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC Giải: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ( 0; ) Các đường phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình d1 : x − y + = ,d : x − y = Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC Ta có B = d1 ∩ d ⇒ B ( −2; −1) ⇒ AB : 3x − y + = Gọi A' đối xứng với A qua d1 ⇒ H ( 2; 3) , A' ( 4;1) Ta có A' ∈ BC ⇒ BC : x − y − = Tìm C ( 28; ) ⇒ AC : x − y + 35 = Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân A có chu vi 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2 x − y − 2 = B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm tam giác ABC Giải * B = d ∩ Ox = (1;0) Gọi A = (t;2 t - 2 ) ∈ d H hình chiếu A Ox ⇒ H(t;0) H trung điểm BC * Ta có: BH = |t - 1|; AB = (t − 1) + (2 2t − 2) = 3|t - 1| ∆ ABC cân A ⇒ chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| t = * ⇒ 16 = 8|t - 1| ⇔ t = −1 * Với t = ⇔ A(3;4 ), B(1;0), C(5;0) ⇒ G( ; ) Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 27 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG −4 Với t = -1 ⇔ A(-1;-4 ), B(1;0), C(-3;0) ⇒ G( −1 ; ) Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) Lập phương trình đường thẳng d qua A cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự P, Q cho diện tích tam giác OPQ nhỏ Giải Từ gt ta có P (a;0); Q (0; b), a > 0, b > * d có pt: d qua A(3; 1) nên x y + =1 a b 3 + = ⇒ ≥ ⇒ ab ≥ Dấu bằng xảy và chỉ a b ab a = = ⇒ a b b = a.b ≥ Nên S∆OPQ nhỏ nhất ( = ) và chỉ x y Vậy d có pt: + = Có S ∆OPQ = a = b = Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M ( 2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích Giải x y Gọi d ĐT cần tìm A ( a;0 ) , B ( 0; b ) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : + = Theo giả thiết, ta có: a b + = 1, ab = a b Khi ab = 2b + a = Nên: b = 2; a = ⇒ d1 : x + y − = Khi ab = −8 2b + a = −8 Ta có: b + 4b − = ⇔ b = −2 ± 2 ( ) ( ) 2x ) + ( 1− ) y + = Với b = −2 + 2 ⇒ d : − x + + y − = ( Với b = −2 − 2 ⇒ d3 : + Bài 11: Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ∆ABC Giải Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = Xác định tọa độ B C B M A H C r +AC qua A vng góc với BH có VTPT n = (3;1) AC có phương trình 3x + y - = AC + Tọa độ C nghiệm hệ …… ⇒ C(4;- 5) CM Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 28 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG + xB + yB + xB + y B = xM ; = yM ; M thuộc CM ta + +1 = 2 2 + xB + y B + +1 = + Giải hệ ta B(-2 ;-3) xB − y B − = + Tính diện tích ∆ABC + Tọa độ H nghiệm hệ 14 x = x − 3y − = ⇔ … Tính 3x + y − = y = − BH = 10 ; AC = 10 1 10 AC.BH = 10 = 16 ( đvdt) 2 Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (−2; 5) , đỉnh C nằm đường thẳng x − = , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x − y + = Tính diện tích tam giác ABC Giải 1− + + + yC y = 1, yG = = + C Điểm G nằm Ta có C = (4; yC ) Khi tọa độ G xG = 3 đường thẳng x − y + = nên − − yC + = , yC = , tức C = (4; 2) Ta có AB = (−3; 4) , AC = (3;1) , AB = , AC = 10 , AB AC = −5 Diện tích S = ( ) 1 15 AB AC − AB AC = 25.10 − 25 = 2 Bài 13: Cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: x + y + = phân giác CD: x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC Giải Điểm C ∈ CD : x + y − = ⇒ C ( t ;1 − t ) Suy trung điểm M Diện tích tam giác ABC S = t +1 − t ; AC M ÷ Điểm t +1 − t M ∈ BM : x + y + = ⇒ + = ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 ) Từ ÷+ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − = I (điểm K ∈ BC ) Suy AK : ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + = x + y −1 = ⇒ I ( 0;1) Tọa độ điểm I thỏa hệ: x − y +1 = Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK ⇒ tọa độ K ( −1;0 ) x +1 y = ⇔ 4x + 3y + = Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình: −7 + Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình 2x – y + = Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A tạo với d góc α có cosα = 10 Giải: PT đường thẳng (∆) có dạng: a(x – 2) + b(y +1) = ⇔ ax + by – 2a + b = Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 29 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Ta có: cos α = 2a − b 5( a + b ) 2 = ⇔ 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = ⇒ b = 1; b = 10 ⇒ (∆1): x + y – = (∆2): x + 7y + = Bài 15: Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao đường phân giác qua đỉnh A,C : 3x -4y + 27 =0 x + 2y – = Giải Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: ( BC ) qua B ⇔ ( BC ) : x + y − = BC ⊥ d1 4 x + y − = ⇒ C (−1;3) Tọa độ điểm C nghiệm hệ: x + y − = Gọi KAC, KBC, K2 theo thứ tự hệ số góc đường thẳng AC, BC, d2 1 − + − − K AC K BC − K d K − K AC = d2 ⇔ = 1 + K BC K d + K d K AC 1+ − K AC Ta có: Vậy pt đường thẳng AC K AC = ⇔ K AC = − (loai) qua C có hệ ssó góc k=0 là: y = + Tọa độ điểm A nghiệm hệ: 3 x − y + 27 = x+5 y −3 ⇒ A( −5;3) = ⇔ 4x + y −1 = Pt cạnh AB là: + −1 − y −3 = Vậy AB: 4x+7y-1=0 AC: y=3 BC: 4x+3y-5=0 ⇒ Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : x − y + = d2: 3x +6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Giải Cách 1: d1 có vectơ phương a1 (2;−1) ; d2 có vectơ phương a (3;6) Ta có: a1.a = 2.3 − 1.6 = nên d1 ⊥ d d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: d : A(x − 2) + B(y + 1) = ⇔ Ax + By − 2A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I d tạo với d1 ( d2) góc 450 A = 3B = cos 450 ⇔ 3A − 8AB − 3B = ⇔ A + B 2 + (−1)2 B = −3A • Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y − = * Nếu B = -3A ta có đường thẳng d : x − 3y − = Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = d : x − 3y − = • Cách 2: Gọi d đường thẳng cần tìm, d song song với đường phân giác đỉnh giao điểm d1, d2 tam giác cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 2x − y + 3x + 6y − 3x − 9y + 22 = ( ∆1 ) = ⇔ 2x − y + = 3x + y − ⇔ 2 + (−1)2 32 + 9x + 3y + = (∆ ) +) Nếu d // ∆1 d có phương trình 3x − 9y + c = Do P∈ d nên + + c = ⇔ c = −15 ⇒ d : x − 3y − = ⇔ 2A − B Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 30 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Nếu d // ∆2 d có phương trình 9x + 3y + c = Do P∈ d nên 18 − + c = ⇔ c = −15 ⇒ d : 3x + y − = Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = d : x − 3y − = Bài 17: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Giải Do B giao AB BD nên toạ độ B nghiệm hệ: 21 x = x − y +1 = 21 13 ⇔ ⇒ B ; ÷ 5 x − y + 14 = y = 13 uuu r Lại có:rTứ giác ABCD hình chữ nhật nên góc AC AB góc AB BD, kí hiệu uuu uuu r nAB (1; −2); nBD (1; −7); nAC ( a; b) (với a2+ b2 > 0) VTPT đường thẳng AB, BD, AC Khi uuu uuu r r uuu uuu r r ta có: cos nAB , nBD = cos nAC , n AB ( ) ( ) a = −b 2 2 ⇔ a − 2b = a + b ⇔ a + 8ab + b = ⇔ a = − b - Với a = - b Chọn a = ⇒ b = - Khi Phương trình AC: x – y – = 0, x − y −1 = x = ⇒ ⇒ A(3; 2) A = AB ∩ AC nên toạ độ điểm A nghiệm hệ: x − y +1 = y = Gọi I tâm hình chữ nhật I = AC ∩ BD nên toạ độ I nghiệm hệ: x = x − y −1 = 7 5 ⇔ ⇒I ; ÷ 2 2 x − y + 14 = y = 14 12 Do I trung điểm AC BD nên toạ độ C ( 4;3) ; D ; ÷ 5 - Với b = - 7a (loại AC khơng cắt BD) Bài 18: Bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh C Giải x y Gọi tọa độ điểm C ( xC ; y C ) ⇒ G (1 + C ; C ) Vì G thuộc d 3 x y ⇒ 31 + C + C − = ⇒ y C = −3 xC + ⇒ C ( xC ;−3 xC + 3) S ∆ABC Đường thẳng AB qua A có véctơ phương AB = (1;2) ⇒ ptAB : x − y − = xC + xC − − 11 11 11 = AB.d (C ; AB) = ⇔ d (C ; AB ) = ⇔ = 2 5 xC = −1 ⇔ xC − = 11 ⇔ ; xC = 17 TH1: xC = −1 ⇒ C (−1;6) Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 31 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG 17 17 36 ⇒ C ( ;− ) 5 Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành điểm B thuộc trục tung cho A B đối xứng với qua đường thẳng d :2 x − y + = Giải uuu r A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( a;0 ) , B ( 0; b ) , AB = ( −a; b ) r Vectơ phương d u = ( 1; ) TH2: xC = a b Toạ độ trung điểm I AB ; ÷ 2 A B đối xứng với qua d uuu r r −a + 2b = AB.u = a = −4 ⇔ b ⇔ Vậy A ( −4;0 ) , B ( 0; −2 ) I ∈ d b = −2 a − + = Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho đường thẳng ( d ) : x − y − = Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với trục tọa độ có tâm đường thẳng (d) Giải Gọi I ( m; 2m − ) ∈ ( d ) tâm đường trịn cần tìm Ta có: m = 2m − ⇔ m = 4, m = 2 4 16 Khi: m = PT ĐT x − ÷ + y + ÷ = 3 3 Khi: m = PT ĐT ( x − ) + ( y − ) = 16 2 2 Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y + x = Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết góc tiếp tuyến trục hoành 60 o Giải Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc 60 o ⇔ hệ số góc tiếp tuyến tan 60 o tan120o Do tiếp tuyến có dạng y = x + b y = − x + b (d) (d) tiếp xúc với đường tròn ⇔ d ( I , d ) = ⇔ ± 3.(−1) + b b = ±2 + =1⇔ b = ±2 − Vậy ta có tiếp tuyến : x − y − + = 0, x − y + + = 0, x + y − + = 0, x + y + + = 0, Bài 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + = điểm A(1; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C), B , C cho BA = BC Giải Đường trịn có tâm I(3;-1) ; bán kính R = 2.và IA = > = R ⇒ A ngồi đường trịn Gọi d đường thẳng qua A cắt (C) B,C cho AB=BC ta có : AB AC = AI − R ⇔ AB = 20 − = 16 ⇔ AB = 2 = BC = BE Với E trung điểm BC ⇒ BE = ⇒ d ( I , d ) = Mà phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc k là: y = k(x-1)+3 hay kx–y+3-k =0 3k + + − k d (I , d ) = = ⇔ k = −1; k − −7 k2 +1 Vậy có đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán x + y − = 0;7 x + y − 10 = Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 32 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy cho hai đường tròn (C1 ) (C2 ) nằm 2 phía trục tung Biết (C1 ) : (x − 1) + (y − 2) = (C2 ) tiếp xúc với trục tung gốc tọa độ, có đường kính Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1 ) (C2 ) Giải Đường trịn (C1 ) có tâm I(1;2) bán kính R = nên (C1 ) tiếp xúc với Oy (1) Do hai đường tròn (C1 ) (C2 ) nằm phía với trục tung đường trịn (C2 ) tiếp xúc với trục tung gốc tọa độ, có đường kính nên (C2 ) có tâm J( 2;0) nằm trục hồnh có bán kính R = (2) Mà: R − R < IJ < R + R ⇒ (C1 ) (C2 ) cắt hai điểm ⇒ (C1 ) (C2 ) có hai tiếp tuyến chung Từ (1) (2) suy trục Oy: x = tiếp tuyến chung (C1 ) (C2 ) x − xI y − yI x −1 y − = ⇔ = ⇔ 2x + y − = Đường nối tâm IJ có phương trình là: x J − x I yJ − yI −2 y x = x = ⇔ ⇒ M(0;4) Gọi M = Oy ∩ IJ ⇒ tọa độ điểm M thỏa hệ: 2x + y − = y = Gọi H = OH ∩ IJ ⇒ H trung điểm ON (với N ∈ (C2 ) ) M OH qua gốc tọa độ O OH ⊥ IJ ⇒ (OH) : x − 2y = I x = x − 2y = 8 4 16 N ⇔ ⇒ H ; ÷⇒ N ; ÷ Tọa độ điểm H thỏa hệ: 5 5 5 2x + y − = y = x J (C1 ) (C2 ) MN có phương trình: O Tiếp tuyến chung thứ hai x − xM y − yM x y−4 = ⇔ = ⇔ 3x + 4y − 16 = 16 x N − x M yN − yM −4 5 (C1 ) (C2 ) có hai tiếp tuyến chung là: ( ∆1 ) : x = ( ∆ ) : 3x + 4y − 16 = Vậy Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x + y2 – 6x + = Tìm điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến với (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 Giải Viết lại phương trình (C) dạng: (x – 3)2 + y2 = Từ đó, (C) có tâm I(3 ; 0) bán kính R = Suy trục tung khơng có điểm chung với đường trịn (C) Vì vậy, qua điểm tục tung ln kẻ hai tiếp tuyến (C) Bài 25: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1; phương trình: x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – = (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường tròn với m.Gọi đường tròn tương ứng (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C) Giải (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1, (Cm) có tâm I(m +1; -2m) bán kính R ' = (m + 1) + 4m2 + OI = (m + 1) + 4m , ta có OI < R’ Vậy (C) (Cm) tiếp xúc ⇒ R’ – R = OI ( R’ > R) Giải m = - 1; m = 3/5 Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm ∆ABC nằm đường thẳng (d): 3x – y –8 = Viết phương trình đường trịn qua điểm A, B, C Giải Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 33 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Tìm C1(1; −1) , C2 (−2; −10) 11 11 16 x + y + = 0 3 91 91 416 *Với C2 (−2; −10) ⇒(C): x + y − x + y + = 0 3 Bài 27: Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ): 2x + 2y − 7x − = hai điểm A(-2; 0), B(4; 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với đường thẳng AB Giải 7 65 2 2 Đường tròn (C ) : 2x + 2y − 7x − = ⇔ x + y − x − = ⇔ x − ÷ + y = 4 16 7 ⇒ (C ) có tâm I ;0 ÷ bán kính R = 65 4 x+2 y x+2 = , hay : y = + Đường thẳng AB với A(-2; 0) B(4; 3) có phương trình + Giao điểm (C ) với đường thẳng AB có tọa độ nghiệm hệ PT x+2 2 2x + 2y − 7x − = 5x(x − 2) = 2x + ÷ − 7x − = x = 0; y = ⇔ ⇔ ⇔ x+2 x+2 x = 2; y = y = y = x + y = *Với C1 (1; −1) ⇒ (C): x + y − Vậy có hai giao điểm M(0; 1) N(2; 2) uuu r uu r + Các tiếp tuyến (C ) M N nhận vectơ IM = − ;1÷ IN = ; ÷ làm 4 vectơ pháp tuyến , TT có phương trình : − (x − 0) + 1(y − 1) = , hay : 7x − 4y + = • (x − 2) + 2(y − 2) = , hay : x + 8y − 18 = • Bài 28: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ) vng góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 cắt đường tròn (C) A; B cho AB = Giải Đường trịn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 Gọi H trung điểm AB AH=3 IH AB suy IH =4 Mặt khác IH= d( I; Δ ) Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT Δ có dạng I 3x+4y+c=0 A H B d(I; Δ )= có đt thỏa mãn tốn: 3x+4y+29=0 3x+4y-11=0 Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M(1; 0) Viết phương trình 2 đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Giải d qua M có phương trình a ( x − 1) + b( y − 0) = ⇔ ax + by − a = 0, ( a + b ≠ 0)(*) + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 34 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Khi ta có: MA = 2MB ⇔ IA2 − IH = I ' A2 − I ' H '2 ⇔ − ( d ( I ;d ) ) = 4[9 − ( d ( I ';d ) ) ] , IA > IH 2 9a b2 36a − b − = 35 ⇔ = 35 ⇔ a = 36b 2 2 a +b a +b a +b a = −6 Dễ thấy b ≠ nên chọn b = ⇒ a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn ⇔ ( d ( I ';d ) ) − ( d ( I ;d ) ) = 35 ⇔ 2 Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) B(3;3), đường thẳng (∆): 3x – 4y + = Lập phương trình đường tròn qua A, B tiếp xúc với đường thẳng (∆) Giải Tâm I đường tròn nằm đường trung trực d đoạn AB uuu r d qua M(1; 2) có VTPT AB = (4;2) ⇒ d: 2x + y – = ⇒ Tâm I(a;4 – 2a) a = Ta có IA = d(I,D) ⇔ 11a − = 5a − 10a + 10 ⇔ 2a – 37a + 93 = ⇔ 31 a = 2 • Với a = ⇒ I(3;–2), R = ⇒ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 • Với a = 31 65 31 ⇒ I ; −27 ÷ , R = ⇒ (C): 2 31 4225 x − ÷ + ( y + 27) = 2 Bài 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trịn (C) có phương trình (x-1) + (y+2)2 = đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông Giải: Từ pt đường trịn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn AB ⊥ AC => tứ giác ABIC hình vng cạnh ⇒ IA = m −1 m = ⇔ = ⇔ m −1 = ⇔ m = Bài 32: Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ): 2x + 2y − 7x − = hai điểm A(-2; 0), B(4; 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với đường thẳng AB Giải 7 65 2 2 Đường tròn (C ) : 2x + 2y − 7x − = ⇔ x + y − x − = ⇔ x − ÷ + y = 4 16 7 ⇒ (C ) có tâm I ;0 ÷ bán kính R = 65 4 x+2 y x+2 = , hay : y = + Đường thẳng AB với A(-2; 0) B(4; 3) có phương trình + Giao điểm (C ) với đường thẳng AB có tọa độ nghiệm hệ PT x+2 2 2x + 2y − 7x − = 5x(x − 2) = 2x + ÷ − 7x − = x = 0; y = ⇔ ⇔ ⇔ x+2 x+2 x = 2; y = y = y = x + y = Vậy có hai giao điểm M(0; 1) N(2; 2) uuu r uu r + Các tiếp tuyến (C ) M N nhận vectơ IM = − ;1÷ IN = ; ÷ làm 4 vectơ pháp tuyến , TT có phương trình : Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 35 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG • − (x − 0) + 1(y − 1) = , hay : 7x − 4y + = (x − 2) + 2(y − 2) = , hay : x + 8y − 18 = Bài 33, Cho đường trịn (C) có phương trình : x + y − x − y + = đường thẳng (d) có phương trình : x + y – = 0.Chứng minh (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ độ điểm C đường trịn (C) cho diện tích tam giác ABC lớn Giải (C) có tâm I(2;2), bán kính R=2 Tọa độ giao điểm (C) (d) nghiệm hệ: y x = x + y − = y = C ⇔ x = M x + y − 4x − y + = y = I B Hay A(2;0), B(0;2) Hay (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt A,B H A Ta cú SVABC = CH AB (H hình chiếu C AB) O x C = (C ) ∩ (V) SVABC max ⇔ CH max Dễ dàng thấy CH max ⇔ xC > V⊥ d Hay V : y = x với V: ⇒ C (2 + 2; + 2) Vậy C (2 + 2; + 2) SVABC max I (2; 2) ∈V Bài 34: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d 1: x + y + = d 2: x + 2y – = Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải B ( xB ; yB ) ∈ d1 ⇒ xB = − y B − 5; C ( xC ; yC ) ∈ d ⇒ xC = −2 yC + Giả sử xB + xC + = Vì G trọng tâm nên ta có hệ: yB + yC + = Từ cácuuu phương trình uuucó: B(-1;-4) ; C(5;1) tar r Ta có BG (3; 4) ⇒ VTPT nBG (4; −3) nên phương trình BG: 4x – 3y – = 81 ⇒ phương trình đường trịn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 25 2 Bài 35: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1): x + y = 13 (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 cắt A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài Giải Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C1) (C2) M N Gọi M(x; y) ∈ (C1 ) ⇒ x + y = 13 (1) Vì A trung điểm MN nên N(4 – x; – y) 2 Do N ∈ (C2 ) ⇒ (2 + x) + (6 − y ) = 25 (2) Bán kính R = d(C; BG) = x + y = 13 Từ (1) (2) ta có hệ 2 (2 + x) + (6 − y ) = 25 −17 −17 Giải hệ ta (x = ; y = 3) ( loại) (x = ; y = ) Vậy M( ; ) 5 5 Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 36 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Đường thẳng cần tìm qua A M có phương trình : x – 3y + = Bài 36: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng ∆: mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Giải Đường trịn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB | m + 4m | | 5m | = IH = d ( I , ∆ ) = m + 16 m + 16 (5m) 20 = I m + 16 m + 16 ∆ Diện tích tam giác IAB S∆IAB = 12 ⇔ 2S ∆IAH = 12 H B A m = ±3 ⇔ d ( I , ∆ ) AH = 12 ⇔ 25 | m |= 3(m + 16) ⇔ 16 m = ± Bài 37: Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ): 2x + 2y − 7x − = hai điểm A(-2; 0), B(4; 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với đường thẳng AB Giải 7 65 2 2 ⇒ (C ) có tâm Đường trịn (C ) : 2x + 2y − 7x − = ⇔ x + y − x − = ⇔ x − ÷ + y = 4 16 7 I ;0 ÷ bán kính R = 65 4 x+2 y x+2 = , hay : y = + Đường thẳng AB với A(-2; 0) B(4; 3) có phương trình + Giao điểm (C ) với đường thẳng AB có tọa độ nghiệm hệ PT x+2 2x + 2y − 7x − = 5x(x − 2) = 2x + ÷ − 7x − = x = 0; y = ⇔ ⇔ ⇔ x+2 x+2 x = 2; y = y = y = x + y = AH = IA2 − IH = 25 − Vậy có hai giao điểm M(0; 1) N(2; 2) uuu r uu r + Các tiếp tuyến (C ) M N nhận vectơ IM = − ;1÷ IN = ; ÷ làm 4 vectơ pháp tuyến , TT có phương trình : − (x − 0) + 1(y − 1) = , hay : 7x − 4y + = • (x − 2) + 2(y − 2) = , hay : x + 8y − 18 = Bài 38: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Giải Gọi A giao điểm d1 d2 ta có A(3 ;0) Gọi B giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) Gọi BI đường phân giác góc B với I thuộc OA ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 Bài 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' :3 x − y + 10 = điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 37 A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Tâm I đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t) Giai Theo yc k/c từ I đến ∆ ’ k/c IA nên ta có 3( −3t − 8) − 4t + 10 +4 2 = (−3t − + 2) + (t − 1) Giải tiếp t = -3 Khi I(1; -3), R = pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 Bai 40: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : x + y − = hai điểm A(1; 0), B(3; uuu r uuu r 4) Hãy tìm đường thẳng ∆ điểm M cho MA + 3MB nhỏ Giải Gọi I trung điểm AB, J trung điểm IB Khi I(1 ; -2), J( ; −3 ) uuu r uuu r uuu uuu r r uuu r uuu uuu r r uuu r Ta có : MA + 3MB = ( MA + MB ) + MB = MI + MB = MJ uuu r uuu r Vì MA + 3MB nhỏ M hình chiếu vng góc J đường thẳng ∆ Đường thẳng JM qua J vng góc với ∆ có phương trình : 2x – y – = −2 x = x + y − = 19 −2 ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ M( ; ) 5 2 x − y − = y = 19 Đường khó khơng phải ngăn sơng cách núi mà khó lịng người ngại núi e sơng Trang 38 A10.4.2013 ... A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(1;4) N(6;2) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M cho khoảng cách từ N tới Giải Gọi đường thẳng. .. A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( x − 1) + ( y − ) = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường trịn... A10.4.2013 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;0) đường thẳng chúa đường cao kẻ từ B C có phương trình x − y