Tài liệu Các bài toán khảo sát hàm số 25.05 (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 25-05  x  3x  Câu 1: Cho hàm số y  (1)  x  1 a Tìm đồ thị điểm A, B thuộc nhánh cho AB b Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên trục tọa độ Câu 2: Cho hàm số y   x 1 (C) x 1 a Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ đạt GTNN b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đạt GTNN c Tìm điểm A; B thuộc nhánh đồ thị hàm số cho AB ………………….Hết………………… BT Viên môn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN  BTVN NGÀY 20-05 Câu I: Cho hàm số y   x 1 (C) x 1 I.1 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận I.3 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M   C  , biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích I.4 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M   C  , biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác cân HDG 3  1  0, x  D Tập xác định: D R \   Ta có: y '  x     2 Bài 1: Vì đường thẳng x = không tiếp tuyến (C), nên phương trình đường thẳng qua M (2; 3) có hệ số góc k có dạng: y k  x    tiếp xúc với (C) hệ:   x 1  x 1 k  x     có nghiệm  3  k   x  1 Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:  x 1 3  x     x  x  0 : Vô nghiệm  x   x  1 Vậy khơng có tiếp tuyến qua M đến (C) Bài 2: Hàm số có: TCĐ: x  1  1 ; TCN: y   I   ;   2  2 Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hồng Đạo Thúy Vì đường thẳng x  Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 không tiếp tuyến (C), nên phương trình đường thẳng qua 1  1  I   ;   có hệ số góc k có dạng: y k  x    tiếp xúc với (C) hệ: 2   2   x 1 1   x  k  x       có nghiệm  3   k   x  1 Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:  x 1 3  1 3  x     x   x  1  2 2 x   x  1 :Vơ nghiệm Vậy khơng có tiếp tuyến qua I đến (C) Bài 3:  Gọi M  x0   1 ;     C  Tiếp tuyến M có dạng: x0  d:y 3 3 x  x    x     x0 x0 x0 2 x0  x0  x0  3    x0  ;0  ; B  0; Giả sử A d  Ox; B d  Oy suy ra: A   x0     OAB vuông tạo O  S OAB  OA.OB    x0  2   x0  1 6  x0  2 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn là: y  3 4 3 4 x x hay y  20 20 40  12 40  12 Bài 4: Tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác cân nên hệ số góc tiếp tuyến k 1 Gọi M  x0 ; y0    C  tiếp điểm Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy - Nếu k   3  x0  1 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408   x0    x0   1 Với x0   1  1  y0   tiếp tuyến là: y  x   2 Với x0   1  1  y0   tiếp tuyến là: y  x   2 3 - Nếu k   x  1   x0  1  : Vô nghiệm   Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn tốn là: y  x   y  x   Câu II: Cho hàm số y   m  1 x  m C  m x m II.1 CMR đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định II.2 Tiếp tuyến M   Cm  cắt tiệm cận A, B CMR M trung điểm AB II.3 Cho điểm M  x , y0    C3  Tiếp tuyến  C3  M cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh diện tích tam giác AIB khơng đổi, I giao tiệm cận Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ HDG Bài 1: Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định hàm số  y0   m  1 x0  m ; m x0  m  m  x0  y0  1   x0  x0 y0  0; m  x0  y0  0    x0  x0 y0 0  x0 0   y0  Với M  0;  1 , tiếp tuyến M là: y  y '   x   x  Vậy đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng cố định y  x  M  0;  1 Bài 2: Ta có: y m   m2  TCĐ: x m TCN: y m  x m Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  m2  Gọi M  a  m; m      Cm  , a 0 Tiếp tuyến M có dạng: a   m2 m2 m2 d : y y ' a  m  x  a  m  m  1   x  a  m   m   a a a Gọi A, B giao điểm đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:  2m  A  2a  m; m  1 ; B  m; m    a    x A  xB 2 xM  M trung điểm AB (đpcm) Nhận thấy  y  y  y  A B M Bài 3: Điểm M   C3  : y 2  9   M  ;   x   Phương trình tiếp tuyến M có dạng:  : y  18 27 x2  2    Gọi A, B giao điểm đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên: 18   A  2  3;  ; B  3;   a  Vì I giao điểm tiệm cận nên I  3;  1 18 18 (đvdt) + IAB vuông I nên: S IAB  IA.IB  2 2  + Chu vi tam giác IAB là: 18  18  p IA  IB  AB  2   4       2 18  18  2 2  4    12  2.2.18 12     Dấu = xảy  2   18   3  M  6;5  M  0;  1  BTVN NGÀY 22-05 Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Cho hàm số y  Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 x  2mx   3m Tìm tham số m để hàm số có: x m Câu Hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Câu Hai điểm cực trị với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông O Câu Hai điểm cực trị với điểm M(0; 2) thẳng hàng Câu Khoảng cách hai điểm cực trị m 10 Câu Cực trị tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX Câu Cực trị thỏa mãn: yCD  yCT  HDG: Tập xác định: D R \  m 1 x  xm  m2   y ' 1   Ta có: y  x  3m  2 x m  x  m  x  m Bài 1: Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung  y’ = có nghiệm trái dấu  g ( x)  x  xm  m  có nghiệm trái dấu khác m m      1 m 1 g ( m )   Vậy m    1;1 Bài 2:  x x1 m  Có: y ' 0    x x2 m  Do hàm số ln đạt cực trị x1 ; x2 Ta có: y1  y  x1  4m  2; y2  y  x2  4m  Gọi điểm cực trị A  m  1; 4m   ; B  m  1; 4m     OAB vuông O  OA  OB  OA.OB 0   m  1  m  1   4m    4m   0  17 m  0  m  85 17 Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Vậy m  Bài 3: Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 85 giá trị cần tìm 17   Ta có: MA  m  1; 4m   ; MB  m  1; 4m    A, M, B thẳng hàng  MA || MB  4m  m  1  m  1  4m    6m 2  m  Đáp số: m  Bài 4: Ta có: AB m 10   42 m 10  m  Bài 5: Mọi giá trị m hàm số ln có cực trị 0  y x  3m TCX hàm số Vì lim  y   x  3m    lim x   x   x  m Hàm số đạt cực tiểu x = m – Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là: h  m  1   4m    3m  Bài 6: Ta có: yCD  yCT  m    8m     m    Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy 3   Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  ;   Đáp số: m    ;         BTVN NGÀY 24-05 Câu 1: Cho hàm số y   x 1 (C) x 1 Tìm m để (C) cắt đường thẳng  d m  : y mx  2m  điểm phân biệt A, B: a Thuộc nhánh đồ thị (C) b Tiếp tuyến A, B vng góc với   c Thỏa mãn điều kiện 4OA.OB 5 HDG: Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x 1 mx  2m   f  x  mx   5m  1 x  2m  0 với x  2 x 1 C cắt  d m  điểm phân biệt A, B  f  x  0 có nghiệm phân biệt khác   m 0    17 m  2m     1  f     m  0    m 0 (*)  m  a Hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị  f  x  0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 mà x1    x2 3  1   mf    m   m     2  2  m 0 m    b Hệ số góc tiếp tuyến A B là: k A  y '  xA   3  xA  1 ; k B  y '  xB   3  xB  1 Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy  k A k B   xA  1  xB 1 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  nên hai tiếp tuyên A, B khơng thể vng góc với Vậy khơng tồn m thảo mãn tốn c Gọi x1 ; x2 nghiệm f(x) Giả sử A  x1 ; mx1  2m  1 ; B  x2 ; mx2  2m  1 5m    x1  x2  m Theo viet ta có:   x x  2m   m Có:     4OA.OB 5  OA.OB  0  x1 x2   mx1  2m  1  mx2  2m  1  0   m  1 x1 x2  m  2m  1  x1  x2    2m  1  0   m  1  2m    m  2m  1  5m  1  m  2m  1  0 0 3 2   2m  1  m   0 4  3  m  m  4m  m  m  1  3 Đáp số: m  ;  2  Câu 2: Cho hàm số y   x  3x  (1)  x  1 a Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) A B cho AB=2 Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 b Tìm m để đường thẳng d: y m  x    đường cong (1) cắt A, B phân biệt cho M(2; 3) làm trung điểm AB HDG a Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x  3x  m  f  x  x   2m  3 x   2m 0 ; với  x  1 x 1 Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt  f  x  0 có     2m  3    2m   m   nghiệm phân biệt khác   (*) f  m       Với điều kiện (*), gọi x1 ; x2 nghiệm f  x  0 Theo viet có:  x1  x2 3  2m   x1 x2 3  2m Tọa độ A, B là: A  x1 ; m  ; B  x2 ; m  Ta có: 2 AB 2   x1  x2  2   x1  x2   x1 x2 2 1    2m     2m  2  4m  4m  0  m  1 Đáp số: m  b Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x  3x  m  x     f  x   2m  1 x    2m  x  4m  0 ; với x 1  x  1 Để hàm số (1) cắt đường thẳng y m  x    điểm phân biệt  f  x  0 có nghiệm phân biệt khác Page 10 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  72 m  2m  0      9   2m    2m  1  4m      m      f       m   Với điều kiện trên, gọi x1 ; x2 nghiệm f  x  0  x1  x2    2m  2m  Gọi giao điểm A  x1 ; m  x1    3 ; B  x2 ; m  x2    3 Điểm M  2;3  d trung điểm AB  x1  x2 4   Vậy m    2m  4  m  2m  Câu 3: Cho hàm số y   m  1 x  m C  m x m Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m biện luận số nghiệm phương trình: a 2x   log m x b 2x   2m  0 x HDG Số nghiệm phương trình f  x   g  m  số giao điểm đường cong y  f  x đường thẳng y  g  m  song song với trục hoành Ox vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy a Vẽ đồ thị hàm số  C  : y  2x  sau: x Page 11 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 - Giữ nguyên phần đồ thị nằm trục hoành Ox  C3  - kí hiệu  Ct    ' - Lấy đối xứng phần đồ thị trục hồnh Ox qua Ox – kí hiệu Ct   C   Ct'    Ct  (Các bạn tự vẽ hình) Kết luận: m phương trình vơ nghiệm 1  m  ;  phương trình có nghiệm 2  1  m   ;    2;   phương trình có nghiệm phân biệt 2  b Vẽ đồ thị hàm số  C ' : y  2x  sau: x - Giữ nguyên nhánh phải  C3  - kí hiệu  C p  ' - Lấy  C p  đối xứng nhánh trái  C3  qua trục hoành Ox   C   C p'    C p  (Các bạn tự vẽ hình) Kết luận: m    m  phương trình có nghiệm 2 m  phương trình vơ nghiệm phương trình có nghiệm phân biệt BTVN NGÀY 25-05 Page 12 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  x  3x  Câu 1: Cho hàm số y  (1)  x  1 a Tìm đồ thị điểm A, B thuộc nhánh cho AB b Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên trục tọa độ HDG  x  3x   1  x 1  a Ta có: y   x  1 2  x  1  1    1     thuộc    thuộc nhánh trái, B    1; Gọi A    1; 2  2    nhánh phải đồ thị hàm số với     Ta có: AB           5    1  1            4      1   1 1  4         2  1   1 1           2             Dấu = xảy       4  1 1  1 1 A   1;   ; B  1;     ABmin 2  Vậy    4  45 2 2 5    b Hàm số có TCX:  : y  1 x 1 Gọi A   Ox  A  2;  ; B   Oy  B  0;1 Nên S OAB  OA.OB 1 (đvdt) Câu 2: Cho hàm số y   x 1 (C) x 1 Page 13 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 a Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ đạt GTNN b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đạt GTNN c Tìm điểm A; B thuộc nhánh đồ thị hàm số cho AB HDG  a Gọi M  x0   1 ;     C  ; x0 0 Tổng khoảng cách từ M đến trục x0  tọa độ là: d  x0    x0 1 Với x0 0  d   1 2 Với x0   d   x0  1  1       x0    3     x0   x0  Dấu = xảy x0     1 3  x0   M  ;  x0 2        1 ;  2   Vậy M  d   b Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ lượt là: d1  x0 ; d   d d1  d  x0  x0 3 2 x0  , dấu = xảy x0  x0 x0    1      1 ; ;  M   điểm cần tìm     Kết luận: M  1    c Gọi A  a  ;   thuộc nhánh trái, B  b  ;  4a  4b   đồ thị hàm số (C), với a   b Ta có: 1  thuộc nhánh phải 2 Page 14 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 2  4ab    b  a    6 AB  b  a      2  b  a       ab  4b 4a   4b 4a  ab 2  b  a a    2 Dấu xảy       b  a   4b  4a  b           1    1 ; ;  ; B  ABmin    2   Vậy hai điểm cần tìm là: A  ………………….Hết………………… BT Viên mơn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 15 of 15 ... m  Đáp số: m  Bài 4: Ta có: AB m 10   42 m 10  m  Bài 5: Mọi giá trị m hàm số ln có cực trị 0  y x  3m TCX hàm số Vì lim  y   x  3m    lim x   x   x  m Hàm số đạt cực... hàm số y   m  1 x  m C  m x m Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m biện luận số nghiệm phương trình: a 2x   log m x b 2x   2m  0 x HDG Số nghiệm phương trình f  x   g  m  số. ..  : Vơ nghiệm   Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn toán là: y  x   y  x   Câu II: Cho hàm số y   m  1 x  m C  m x m II.1 CMR đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định