Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng để giải và biện luận một số hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

MỤC LỤC Nội dung TT Trang Mục lục Mở đầu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 19 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Đứng trước toán giải biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình phải xác định phương pháp giải nó, đa số giáo viên giảng dạy thấy học sinh thường hướng lời giải tới cách làm đại số phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ mà để ý tới mối liên hệ với hình học Nhiều lúc làm theo cách đại số phức tạp, chia nhiều trường hợp, nhiều thời gian mà chưa xét hết trường hợp đưa kết Đường tròn đường cong thường gặp môn toán bậc trung học phổ thông, kiến thức đường tròn phương trình đường tròn không nhiều, hệ thống tập đa dạng phong phú vô Những ứng dụng quan trọng giải biện luận số nghiệm hệ phương trình, hệ bất phương trình… Đó công việc “hình học hóa môn đại số” Sử dụng phương pháp lời giải “đẹp, dễ nhớ không phức tạp” Hiện có nhiều đầu sách tập từ đến nâng cao môn toán nhiều tác giả nghiên cứu cách giải biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình đa số dùng định lý thuận dấu tam thức bậc hai; tách ghép đánh giá; dùng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpski, phương pháp hàm số…Song khai thác triệt để có hệ thống việc sử dụng phương trình đường tròn, đường thẳng vào việc biện luận hệ phương trình đề cập Rất nhiều toán nhờ ứng dụng phương pháp mà giải cách ngắn gọn dễ dàng Vì lý mà chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Bên cạnh thông qua đề tài : Cung cấp cho học sinh phương pháp giải số toán đại số nhờ công cụ hình học phát triển tư sáng tạo cho học sinh Giúp học sinh cách nhìn logic chương trình toán phổ thông, có mối liên hệ đại số hình học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu mối liên hệ hình học đại số việc tìm lời giải toán đại số dựa kiến thức hình học, cụ thể nghiên cứu mối liên hệ đường thẳng đường tròn mặt phẳng việc giải biện luận số hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số 1.4 Phương pháp nghiên cứu: phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, sở kiến thức đường thẳng, đường tròn mặt phẳng tọa độ, tương giao đường thẳng đường tròn, liên hệ với hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Về kiến thức lớp học sinh biết vị trí tương đối hai đường tròn điều kiện để có vị trí tương đối đó, lớp 10 học sinh trang bị kiến thức môn hình học “Phương pháp tọa độ mặt phẳng” có phương trình đường thẳng đường tròn; môn đại số biết cách giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Cụ thể số kiến thức liên quan đến đề tài như: Dạng tổng quát phương trình đường thẳng : Ax + By + C = , ( A2 + B > 0) Đường tròn tâm I(a,b) bán kính R có phương trình : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 2 Điều kiện để phương trình : x + y + 2ax + 2by + c = phương trình đường tròn : a2 + b2 - c > Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x 0; y0) đến đường thẳng (d) có phương trình : Ax + By + C = , ( A2 + B > 0) d ( M,d ) = Ax + By + C A + B2 Điều kiện để đường thẳng d : Ax + By + C = tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R d(I;d) = R Sự tương giao hai đồ thị y = f(x) y = g(x), hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình : f(x) = g(x) Biểu diễn đường tròn, đường thẳng mặt phẳng tọa độ, cách xác định miền nghiệm thỏa mãn bất phương trình, hệ bất phương trình Cho hai đường tròn C1(I1, R1) C2(I2, R2) + Hai đường tròn cắt điểm phân biệt ⇔ R2 − R1 < I1 I < R2 + R1 + Hai đường tròn tiếp xúc ⇔ I1I = R2 + R1 + Hai đường tròn tiếp xúc ⇔ I1I = R2 − R1 + Hai đường tròn ⇔ I1I > R2 + R1 + Hai đường tròn đựng ⇔ I1 I < R2 − R1 Cách tìm miền nghiệm bất phương trình bậc ẩn dạng ax + by + c > (trong a + b > ) + Vẽ đường thẳng d: ax + by + c = ( d chia mặt phẳng Oxy làm miền (I) (II) có chung bờ d) + Lấy điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( I ) ax0 + by0 + c > đúng, (I) miền nghiệm bất phương trình, ngược lại (II) miền nghiệm bất phương trình ( Các bất phương trình: ax + by + c < 0; ax + by + c ≥ 0; ax + by + c ≤ có cách giải tương tự; hệ bất phương trình bậc ẩn miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phương trình hệ) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong số kỳ thi cấp trường, cấp tỉnh, cấp quốc gia toán biện luận số nghiệm hệ phương trình hệ bất phương trình dạng toán thường gặp, nhiều học sinh đứng trước toán lúng túng việc tìm lời giải, thông thường em ý đến sử dụng phương pháp đại số toán này, không giải toán giải lời giải dài, chia nhiều trường hợp, nhiều thời gian; biết vận dụng kiến thức đường thẳng đường tròn mặt phẳng toán ngắn gọn dễ hiểu Ví dụ kỳ thi HSG môn toán lớp 12 tỉnh Thanh hóa năm 2014 có toán sau: Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình  log ( x + y ) ≤ có nghiệm thực  x + y + 2xy + m ≥   Bài toán quy tìm giá trị thực tham số m để hệ bất x + y − ≤ phương trình  có nghiệm thực nhất, 2 (x − 1) + (y − 1) ≤ m + Đây toán học sinh giải dễ dàng ngắn gọn, liên hệ với kiến thức đường thẳng đường tròn măt phẳng; nhiên kỳ thi nhiều học sinh không làm Có nhiều lí không làm số học sinh cho em chưa làm dạng kiến thức hình học, số học sinh khác nói em loay hoay dùng cách làm đại số phương pháp cộng, sử dụng bất đẳng thức bản, thời gian nhiều cuối không kết quả! Do sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến vấn đề giúp học sinh khai thác nhiều cách giải biện luận hệ phương trình hệ bất phương trình, phát triển tư logic cho học sinh, đặc biệt thấy mối liên hệ gần gủi đại số hình học, từ nâng cao chất lượng dạy học 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Sử dụng đường thẳng, đường tròn để giải hệ phương trình a) Cơ sở lý luận : Một số hệ phương trình mà phương trình hệ biểu diễn biểu thức đường cong biểu diễn chúng mặt phẳng tọa độ ta xét tương giao chúng để giải hệ phương trình ban đầu b) Phương pháp B1: Đưa phương trình hệ phương trình đường thẳng đường cong biết B2: Biểu diễn đường thẳng đường cong mặt phẳng tọa độ B3: Xét tương giao đường thẳng đường cong để tìm số giao điểm B4 : Kết luận c) Bài toán cụ thể Bài toán : Cho hệ phương trình :  x − ay − a = ( 1)  2  x + y − x = ( ) a) (I) Tìm a để hệ có nghiệm phân biệt Trong trường hợp hệ có hai nghiệm phân biệt (x 1;y1), (x2;y2) chứng 2 minh : ( x − x1 ) + ( y − y1 ) ≤ b) Dấu xảy ? * Cơ sở + Phương trình (1) hệ có dạng phương trình đường thẳng 12 + a2 >0 + Phương trình (2) hệ có dạng phương trình đường tròn Do biểu diễn hệ cho mặt phẳng tọa độ để xét tương giao chúng * Lời giải a) Xét tập hợp điểm hệ điểm M(x;y) thỏa mãn hệ (I).Chính giao điểm đường thẳng (d): x + ay - a = đường tròn (C) có tâm I(1/2;0) có bán kính R = 1/2 Để hệ (I) có nghiệm phân biệt ⇔ ( d ) ∩ ( C ) điểm phân biệt ⇔ d(I;d) < R v −a ⇔ < 1+ a2 (C) ⇔ − 2a < + a ⇔ − 4a + 4a < + a ⇔0 tìm m, nhiên câu b) không sử dụng kiến thức hình học khó giải * Khai thác mở rộng toán + Thay việc tìm a để hệ (I) có nghiệm phân biệt tìm a để hệ có nghiệm nhất, hệ vô nghiệm + Thay việc cho đường thẳng thay đổi (phương trình đường thẳng chứa tham số m) ta cho đường tròn có bán kính chứa tham số m ta lớp toán  x − y + x + y = + Bài tập tương tự: Cho hệ phương trình  x+y+x=m  ( 1) ( I) ( 2) Tìm m để hệ (I) a) Có nghiệm b) Có nghiệm c) Vô nghiệm ( gợi ý: đặt u = x − y ≥ 0; v = x + y ≥ nên x = u + v2 ) Bài toán : Tìm m để hệ sau có nghiệm ( x + y ) =  2  x + y = 2(1 + m) ( 1) ( I) ( 2) * Cơ sở Ta thấy phương trình (2) hệ có dạng phương trình đường tròn,còn x + y = phương trình (1) sau biến đổi  phương trình hai  x + y = −2 đường thẳng song song.Do ta giải toán nhờ việc xét tương giao đường thẳng đường tròn * Lời giải  x + y = ( 1')  ( I ) ⇔   x + y = −2 ( 1'')  2  x + y = 2(1 + m) ( 2) Từ (2) ta thấy ( + m ) ≤ ⇔ + m ≤ ⇔ m ≤ −1 phương trình (2) vô nghiệm hệ cho vô nghiệm ⇒ m ≤ −1 không thỏa mãn + Nếu m + > ⇒ m > −1 (2) phương trình đường tròn (C ) tâm O(0;0) bán kính R = ( m + 1) Còn (1’) phương trình đường thẳng (d): x + y = (1’’) phương trình đường thẳng (d’): x + y = -2 Ta thấy (d)//(d’) đối xứng qua gốc tọa độ, suy (d) cắt (C ) (d’) cắt (C ), (d) không cắt (C ) (d’) không cắt (C ), (d) tiếp xúc với (C ) (d’) tiếp xúc với (C ) Vậy để hệ phương trình có nghiệm phân biệt (d) (d’) tiếp tuyến ( C ) ⇔ d ( O;d ) = d ( O;d ' ) = R ⇔ y = 2(m + 1) ⇔ 2(m + 1) = ⇔m=0 -2 Vậy với m=0 hệ phương trình cho có nghiệm phân biệt 1 O x -1 -2 * Mở rộng toán 1.Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm ( x + y ) =  2  x + y = 2(1 + m) 2.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ( x + y ) =  2  x + y = 2(1 + m) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ( x + y ) =  2  x + y = 2(1 + m) 4.Cho hệ phương trình sau : 2x + y = m   x + y = 2m + x + y2 =  Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm, có nghiêm,có nghiệm, có nghiệm,có nghiệm Bài toán : Biện luận theo tham số m số nghiệm hệ phương trình sau :  x + y =  2  x + y = m ( 1) ( 2) ( I) * Cơ sở lý luận Phương trình (2) hệ có dạng phương trình đường tròn (với m ≠ ) phương trình (1) hệ biểu diễn hình vuông với đỉnh A(4;0), B(0;4) C(-4;0), D(0-4) Vì ta sử dụng việc xét tương giao để giải * Lời giải + Với m = Từ (2) suy : x = y = 0.Khi (1) trở thành : = (vô lý) ⇒ m = hệ cho vô nghiệm + Với m ≠ Gọi M(x;y) tập hợp điểm thỏa mãn (I) giao điểm đường tròn (C) tâm O(0;0) bán kính R = m đường gấp khúc có phương trình x ≥  y ≥0  x + y =  x ≥ y ≤0   x + y = ( 1) ⇔ x ≤  y ≥0  x + y =  x ≤0   y ≤0  x + y = y ( 1') B M N ( 1'' ) A C -4 -1 O x -1 Q P ( 1''' ) -4 D (1'''') Các điểm thỏa mãn (1’) đoạn AB với A(4;0), B (0;4) Các điểm thỏa mãn (1’’) đoạn AD với A(4;0), D (0;-4) Các điểm thỏa mãn (1’’’) đoạn BC với B(0;4), C (-4;0) Các điểm thỏa mãn (1”’’) đoạn CD với C(-4;0), D (0;-4) Vậy tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn (1) thuộc hình vuông ABCD Còn đường tròn (C) có bán kính thay đổi Gọi M, N, P, Q giao điểm hai đường phân giác góc phần tư thứ góc phần tư thứ hai với hình vuông ABCD ⇒ OM = ON = OP = OQ = 2 Tùy theo biến đổi m ta có thay đổi tương ứng giao điểm hình vuông đường tròn Từ đồ thị ta có kết sau : 0 < m < 2 + Nếu   m > ( C ) ∩ ABCD ⇒ hệ vô nghiệm + Nếu m = ( C ) ∩ ABCD điểm phân biệt A, B, C, D Do hệ có nghiệm phân biệt A(4;0), B(0;4), C(-4;0), D(0;-4) + Nếu m = 2 ⇒ m = ±2 ⇒ ( C ) ∩ ABCD điểm M, N, P, Q Do (I) có nghiệm phân biệt (2;2), (-2;2), (2;-2), (-2;-2) + Nếu 2 < m < (C ) cắt ABCD điểm phân biệt Hệ (I) có nghiêm phân biệt * Mở rộng toán + Cho đường tròn cố định, thay đổi hình vuông ABCD tức ta có toán sau: tùy x + y =m theo m biện luận số nghiệm hệ phương trình :  2 x + y = + Cho đường tròn có bán kính thay đổi ta thay hình vuông ABCD hình elip, hình chữ nhật, hình thoi toán sau : 1.Giải biện luận hệ phương trình sau : x +2 y =4 a)  2 x + y = m  4x + 9y = 36 b)  2 x + y = m Tất toán chuyển thành toán quen thuộc sau : tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, có nghiệm Bài toán : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : ( x − 1) + ( y + ) = m  2  x + (y − 1) = (m + 1) * Cơ sở lý luận Hai phương trình hệ có dạng phương trình đường tròn nên ta dựa vào tương giao hai đường tròn để giải hệ cho 10 * Lời giải + Nếu m = từ (1) ta có : ( x − 1) + ( y + 2) = x = ⇔  y = −2 Thay vào (2) ta : 10 = (vô lý ).Do m = không thỏa mãn Nếu m + = từ (2) ta có : x + (y − 1) = x = ⇔ y = Thay vào (1) ta 10=1 (vô lý ) Do m = -1 không thỏa mãn m ≠ Khi (1) phương trình đường tròn ( C) tâm I(1;-2) bán kính m ≠ −1 + Nếu  R= m, (2) phương trình đường tròn tâm I’(0;1), bán kính R’= m+1 Từ vị trí tương đối hai đường tròn để hệ có nghiệm (C ) phải tiếp xúc tiếp xúc với (C’)  I 'I = R + R ' ⇔  I 'I = R + R '  10 = 2m + ⇔  10 = ( vô lí ) ⇔m= 10 − Vậy với m = y I' 1 x O 10 − hệ phương -2 I trình cho có nghiệm * Mở rộng toán Các toán sau mở rộng toán trên: Bài : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt : 11 ( x − 1) + ( y + ) = m  2  x + ( y − 1) = ( m + 1) Bài : Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm : ( x − 1) + ( y + ) = m  2  x + ( y − 1) = ( m + 1) Bài : Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có nghiệm nghiệm nhất, có nghiệm phân biệt : ( x − 1) + ( y − m ) =  2 ( x − 2m − 1) + ( y − m + 1) = * Bài tập tương tự: ( x + y ) = Bài : Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt  2  x + y = 2(m + 1) Bài : Biện luận theo tham số a số nghiệm hệ phương trình : x + y = a  2 x + y = (2m + 1)x + my + m − = Bài : Cho hệ phương trình :  2 x + y = Xác định m để hệ phương trình có nghiệm phân biệt (x1;y1), (x2;y2) cho A= (x2 - x1)2 + (y2 - y1 )2 lớn Bài : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :  − x = y   y − my + 3m = m 2.3.2 Sử dụng đường tròn để giải hệ bất phương trình a) Cơ sở lý luận Một số hệ bất phương trình mà bất phương trình hệ xuất dạng phương trình đường cong thường gặp biểu diễn chúng mặt phẳng tọa độ ta giải hệ bất phương trình ban đầu nhờ vào việc xét tương giao đường cong 12 b) Phương pháp B1 : Biểu diễn miền điểm thỏa mãn bất phương trình hệ mặt phẳng tọa độ B2 : Xét tương giao miền B3 : Dựa vào hình vẽ biện luận hệ bất phương trình c) Một số toán cụ thể Bài toán 1: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : ( x + 1) + y ≤ m  2 ( y + 1) + x ≤ m ( 1) ( 2) * Cơ sở lý luận Vế trái bất phương trình (1) (2) có dạng phương trình đường tròn Còn vế phải phụ thuộc vào m xét tương giao hai bất phương trình trường hợp chúng phương trình đường tròn Miền thỏa mãn hai bất phương trình giao hệ có nghiệm * Lời giải Xét phương trình : (x+1)2 + y2 = m (1’) + Nếu m < (1’) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm ⇒ hệ cho vô nghiệm  x = −1 y = + Nếu m = ta có (x+1)2 + y2 =0 ⇔  thay vào (2) ta có + ≤ (vô lý ) Suy hệ vô nghiệm + Nếu m > (1’) phương trình đường tròn (C1) tâm I1(-1 ;0) bán kính R = m Xét phương trình x2+(y+1)2=m (2’) trường hợp m > (2’)là phương trình đường tròn (C2) tâm I2(0 ;-1) bán kính R = m + Ta có tập hợp điểm thỏa mãn (1) làm phần bên đường tròn (C1) + Ta có tập hợp điểm thỏa mãn (2) làm phần bên đường tròn (C2) + Ta thấy (C1) (C2) cắt hệ có nhiều nghiệm 13 Vậy để hệ bất phương trình có nghiệm (C1) tiếp xúc (C2) y ⇔ I1I = R + R -1 O x ⇔ 2=2 m ⇔m= Vậy với m = -1 hệ bất phương trình cho có nghiệm * Khai thác mở rộng toán Bài : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : ( x + 1) + y ≤ m  2 ( y + 1) + x ≤ m ( 1) ( 2) Bài : Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm : ( x + 1) + y ≤ m  2 ( y + 1) + x ≤ m ( 1) ( 2) Thay việc cho bán kính thay đổi ta cho tâm thay đổi bán kính không đổi Bài toán : Tìm a để hệ sau có nghiệm :  x + y ≤   x + y + 2x(y − 1) + a = ( 1) ( 2) * Cơ sở lý luận Nếu xét dấu bất phương trình (1) ta có phương trình đường thẳng.Còn (2) sau chuyển vế bình phương xuất phương trình đường tròn Nên ta đưa toán việc xét tương giao đường thẳng đường tròn * Lời giải 14 ( 1) ⇔ x + y − ≤ tập hợp điểm thỏa mãn bất phương trình nằm mặt phẳng kể đường thẳng x + y - =0 Phần mặt phẳng phần không bị gạch chéo hình vẽ ( 2) ⇔ 2x(y − 1) + a = − x − y Theo (1) (x;y) thỏa mãn (1) ⇒ x + y ≤ 2⇒ 2−x− y≥ ( ) ⇔ 2xy − 2x + a = + x + y + 2xy ⇔ ( x − 1) + ( y − ) = a + ( 2' ) 2 2 + Nếu a+1< (2) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm + Nếu a+1= ⇒ a= -1 x = y = Ta có: ( x − 1) + ( y − ) = ⇔  2 thay vào (1) ta có : 1+2-2=1< (vô lí) ⇒a= -1 không thỏa mãn + Nếu a+1 > tập hợp điểm (x;y) thỏa mãn (2) nằm đường tròn (C) tâm I(1;2) bán kính R = a + ⇒ hệ có nghiệm (d) tiếp xúc với (C ) (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt d ( I,d ) = R ⇔ ⇔ d ( I,d ) ≤ r d(I,d) < R  1+ − ⇔ ≤ a +1 ⇔ ≤ a +1 ⇔a≥− y I O d Kết hợp với điều kiện x a > −1 ⇒ a ≥ − thỏa mãn Vậy a ≥ − hệ cho có nghiệm 15 * Khai thác mở rộng toán Thay cho việc xét tương giao hai đường ta xét tương giao nhiều đường  x + y ≤ Bài tập Cho hệ phương trình:   x + y + 2x(y − 1) + a = ( 1) ( 2) Tìm m để hệ phương trình a) Có nghiệm b) Có nghiệm c) Vô nghiệm Bài toán : Tìm m để hệ bất phương tình sau có nghiệm  x + y ≥ 2m +  2  x + (y − 1) ≤ m ( 1) ( 2) * Cơ sở lý luận (1) (2) có dạng phương tròn đường tròn, nên ta chuyển việc giải toán việc xét tương giao hai đường tròn * Lời giải + Ta thấy với m < hệ (I) vô nghiệm y + Với m ≥ x2 + y2 = 2m+1 phương trình đường tròn (C ) tâm O(0;0) bán kính R = 2m + x2 + (y-1)2 = m phương trình đường tròn (C’) tâm I(0;1) bán kính (C') O R'= m x (C) + Phần điểm thỏa mãn (1) phần bên đường tròn (C ) ,còn điểm thỏa mãn (2) nằm bên đường tròn (C’) hình vẽ Từ hình vẽ ta thấy : 16 + Nếu ( C ') bị chứa (C) hệ vô nghiệm + Nếu ( C ') ∩ ( C ) ≠ ∅ hệ có nhiều nghiệm Vậy để hệ bất phương trình có nghiệm (C ) phải tiếp xúc với (C’) ⇔ OI = R − R ' ⇔ = 2m + − m ⇔ + m = 2m + m = ⇔ m = Vậy với m = m = hệ bất phương trình cho có nghiệm Bài toán : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :  x − 2x + y − 6y ≤  log ( x − y ) ≥ m ( 1) ( 2) * Cơ sở Bất phương trình (1) có dạng phương trình đường tròn,còn bất phương trình (2) có dạng phương trình đường thẳng nên ta xét tương giao hai đường mặt phẳng tọa độ * Lời giải + Xét bất phương trình (1) : ( 1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 3) ≤ ( 1') y Tập hợp điểm (x;y) thỏa mãn (1) nằm miền đường tròn -1 + Xét bất phương trình (2) : TXĐ : x ≠ y thì: O (C): ( x − 1) + ( y + 3) ≤ bao gồm đường tròn (C) x -1 d1 -3 I d2 d0 ( ) ⇔ log ( x − y ) ≥ log ⇔ ( x − y) ≥ 2 2m m Tập hợp tất điểm (x;y) thỏa mãn (2’) phần không bị gạch chéo hình vẽ , bỏ phần nửa mặt phẳng chứa điểm O(0;0) 17 Tìm điểm m để d tiếp tuyến ( C) : ⇔ d ( I;d ) = R ⇔ − 2m =3 ⇔ − 2m =  2m = − ⇔  2m = + ( ⇔ m = log + ) Ta thấy d1 xảy ra, để hệ bất phương trình có nghiệm ⇔ d ∩ (C) ( ) d tiếp xúc với (C ) d ≡ d Từ hình vẽ ta thấy m ≤ log + d tiếp xúc cắt (C) tức hệ phương trình cho có nghiệm * Mở rộng toán + Ta thay đổi dấu bất phương trình ta toán mở rộng + Ta xét bất phương trình phương trình ta có lớp toán xét tương giao đường mặt phẳng tọa độ * Bài tập tương tự: Bài Cho hệ bất phương trình : x − y = k  2  x + y + 2x ≤ Tìm k để hệ có nghiệm Bài Định m để hệ sau có nghiệm :  x + y + 4y + ≤ m  2  x + y + 4x + ≤ m Bài a) Tìm m để hệ sau có nghiệm : log x + y ( 2x + y ) ≥   x + 2y = m 2 b) Trong tất nghiệm (x;y) bất phương trình : 18 log x + y ( 2x + y ) ≥ 2 Hãy nghiệm (x;y) có tổng x+2y lớn Bài Giải hệ bất phương trình : x + y2 ≥ m  sin( x + y ) =1 2 Bài ( HSG Toán 12 Thanh hóa năm 2014) Tìm giá trị thực tham số m log ( x + y ) ≤ để hệ bất phương trình  có nghiệm thực  x + y + 2xy + m ≥ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Đối với hoạt động giáo dục: Qua năm giảng dạy thử nghiệm nhiều đối tượng học sinh Đối với học sinh trung bình, học sinh khá, giỏi đọc số toán : Ví dụ: ( Bài kiểm tra thực hành) Biện luận theo m số nghiệm hệ :  x + y =  2  x + y = m ( 1) ( 2) Rất nhiều em loay hoay, tìm cách giải hệ rắc rối phá dấu giá trị tuyệt đối kết hướng giải Sau giáo viên nhấn mạnh vào phương trình đường tròn phương trình đường thẳng Rất nhiều em không vẽ đồ thị x + y = Nhưng học sinh giỏi cần gọi ý lưu ý cách phá dấu giá trị tuyệt đối em hoàn thành toán Sau cho học sinh tập tương tự em ứng dụng, khai thác phương trình đường tròn nhanh Kết kiểm tra sau : + Lớp 10C1 (Trường THPT Thường Xuân 2): hướng dẫn sử dụng đường thẳng, đường tròn : Sĩ số Điểm (8 đến 10) 44 (2,2%) Điểm (5 đến 7) (18,1%) Điểm 35 (79,7%) + Lớp 10C1 (Trường THPT Thường Xuân 2): có hướng dẫn sử dụng đường thẳng, đường tròn : 19 Sĩ số Điểm (8 đến 10) Điểm (5 đến 7) Điểm 44 25 (58%) 14 (31,8%) (10,2%) - Với thân, đồng nghiệp nhà trường: Đây tài liệu tham khảo bổ ích để bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THPT KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Do thời gian có hạn, phạm vi nghiên cứu đề tài nhỏ nên đề tài trọng khai thác ứng dụng đường thẳng, đường tròn vào giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Tuy khó để tìm lời giải hay ngắn gọn đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức thật kỹ tính toán thành thạo Trong đề tài nghiên cứu việc sử dụng hình học để giải toán đại số, cụ thể sử dụng đường thẳng đường tròn trường trung học phổ thông, toán đưa nhiều phương pháp giải khác nhau, thân trình nghiên cứu nên chưa nêu hết đầy đủ hệ thống phương pháp giải chúng Mỗi tính chất khai thác có sở đắn vài ví dụ minh họa có lựa chọn ví dụ đặc sắc hệ phương trình hệ bất phương trình, người học cần tìm tòi nhiều ví dụ phong phú mà áp dụng phương pháp Ở đề tài chủ yếu tập trung vào hệ phương trình hệ bất phương trình nhiên phương trình, bất phương trình phép biến đổi đặt ẩn phụ mà có đưa hệ phương trình hệ bất phương trình ta áp dụng cách này, hạn chế số trang đề tài giới thiệu cách làm đề tài sau 3.2 Kiến nghị: Trong trình thực đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong góp ý, bổ sung quý đồng nghiệp cấp lãnh đạo XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thường Xuân, ngày 05 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Đỗ Văn Hào 20 ... dạy học 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Sử dụng đường thẳng, đường tròn để giải hệ phương trình a) Cơ sở lý luận : Một số hệ phương trình mà phương trình hệ biểu diễn biểu thức đường. .. hệ hình học đại số việc tìm lời giải toán đại số dựa kiến thức hình học, cụ thể nghiên cứu mối liên hệ đường thẳng đường tròn mặt phẳng việc giải biện luận số hệ phương trình, hệ bất phương trình. .. sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Bên cạnh thông qua đề tài : Cung cấp cho học sinh phương