Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chương 3 Tích phân Mặt

Chương 3: TÍCH PHÂN MẶT CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT - LOẠI I TP MẶT - Trường ĐH Công Nghệ Thơng Tin – ĐHQG Tp.HCM - Tính chất Phương pháp tính Các ví dụ Khái niệm LOẠI II Định nghĩa Mặt trơn Mặt định hướng Tích phân mặt loại Phương pháp tính Ví dụ CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT   3.1 Định nghĩa: - Xét hàm - Chia S thành n mặt không chồng lên - Gọi diện tích đường kính mặt thứ i di , với - Lấy tùy ý - Lập tổng tích phân :   xác định mặt cong S     Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT   3.1 Định nghĩa: - giới hạn : tồn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia S cách chọn Mi I gọi tích phân loại I f(x,y,z) S Kí hiệu : I = ∫ ∫f ( x, y, z )dS S Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT 3.2 Tính chất: (tương tự tích phân đường) - Nếu f, g khả tích S kf+g khả tích S:     - Nếu S chia thành phần S = S1 + S2 thì:   Diện tích mặt S: Trường ĐH Cơng Nghệ Thơng Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT 3.3 Cách tính: theo nguyên tắc: dựa vào pt mặt cong lấy tích phân z = z ( x, y ) a/ Trường hợp S có pt (chiếu S lên Oxy) Dxy Giả sử S có hình chiếu lên mp Oxy Khi I= ∫ Dxy 2 f [ x , y , z ( x , y )] + ( z ' ) + ( z ' ) dxdy x y ∫ x = x( y, z ) b/ Trường hợp S có pt tương tự, ta có: diện tích Dxy khác (chiếu S lên Oyz) I = ∫ ∫f [ x( y, z ), y, z )] + ( x' y ) + ( x' z ) dydz D yz Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT 3.3 Cách tính: y = y ( x, z ) c/ Trường hợp S có pt (chiếu S lên Oxz) Ta có I = ∫ ∫f [ x, y ( x, z ), z ] + ( y ' x ) + ( y ' z ) dxdz Dxz Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT 3.4 Ví dụ: a Vd 1: Tính I = ∫ ∫zdS z = x2 + y với S phần mặt nón S z=2 nằm mp Hình chiếu S xuống mp Oxy Dxy = prjOxy S : x + y = z'x = Và đồng thời z' y = Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM 2x x +y 2 2y x2 + y2 = = x x2 + y2 y x2 + y2 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT ⇒I= ∫∫ x2 + y ≤4 x +y 2 2 x y 1+ + dxdy 2 x +y x +y = ∫∫ x + y ( )dxdy x + y ≤4 = 2π 0 ∫ dϕ ∫ r dr = ⋅ 2π Trường ĐH Công Nghệ Thơng Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT b Vd 2: tính I = ∫∫ xyzds S S mặt hình lập phương ≤ x ≤1 ≤ y ≤1 ≤ z ≤1 Do S mặt hình lập phương, xyz = mặt nằm mặt phẳng tọa độ (xy, yz, xz) nên ta cần tích phân mặt (a), (b), (c) hình : ∫∫ xyzds = ∫∫ xyzds + ∫∫ xyzds + ∫∫ xyzds S a Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM b c CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II   Tích phân mặt loại hai Phương pháp tính: Việc tính tích phân mặt loại hai đưa tính tích phân kép theo biến số phụ thuộc vào phương trình mặt cong lấy tích phân hướng mặt cong Khi z=z(x, y) D: Hình chiếu S xuống mặt phẳng Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II   Tích phân mặt loại hai Khi y=y(x, z) D: Hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxz Khi x=x(y, z) D: Hình chiếu S xuống mặt phẳng Oyz Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II   Tích phân mặt loại hai Ví dụ 1: Tính trường hợp: Hướng x +“+”y + z = a  z ≥ TH1: S nửa mặt cầu:   Ta có pt S x2 + y ≤ a2 Dxy :  z = Do vậy, hình chiếu S xuống mp Oxy ⇒I = ∫ ∫ a − x − y dxdy D xy = 2π a 0 ∫ dϕ ∫ Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM a − r rdr CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai 2 TH2: S mặt cầu: x + y + z = a S1 Lúc này, ta gọi Do vậy, S2 S1 có pt S2 có pt (a>0) lấy theo phía ngồi nửa mặt cầu trên, ứng với z > nửa mặt cầu dưới, ứng với z < z= a2 − x2 − y2 z = − a2 − x2 − y2  có hướng “+”  có hướng “-” Đồng thời, hình chiếu S1 S2 xuống mp Oxy hình trịn Dxy Trường ĐH Cơng Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM x2 + y ≤ a2 = z = CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai Suy ra, I =∫ S1 =∫ Dxy ∫ +∫ ∫ S2 ∫ = 2∫ Dxy a − x − y dxdy − ∫ ∫− a − x − y dxdy Dxy ∫ a − x − y dxdy 2π a 0 = ∫ dϕ ∫ a − r rdr Trường ĐH Cơng Nghệ Thơng Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai I = ∫ ∫xdydzvới+S làyphía dxdz + z dxdy Ví dụ 2: Tính S ngồi nửa mặt cầu : Tính I1 = ∫ ∫xdydz x2 + y + z = a  z ≥ S Lúc này, ta tách S thành S1 S2 S1 1/4 mặt cầu  S1 có hướng dương x2 + y + z = a  z ≥ x ≥  ( xét theo góc Trường ĐH Cơng Nghệ Thơng Tin – ĐHQG Tp.HCM α = (nM , Ox) ) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II S2 Tích phân mặt loại hai x2 + y + z = a  z ≥ x <  1/4 mặt cầu D yz Hình chiếu S1 S2 lên mp Oyz Do vậy, I1 = ∫∫ D yz = 2∫ D yz  S2 mang dấu âm KL: I = I1 + I + I a − y − z dydz − ∫ ∫− a − y − z dydz D yz ∫ a − x − y dydz π a 0 = ∫ dϕ ∫ ( ) a − r rdr Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai Tính tương tự cho I = ∫ ∫y dxdz S Và I = ∫ ∫z dxdy S Chú ý: I2 Hàm y nên I2=0 I3 Hàm z nên có hướng “+” Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai Cơng thức Gauss – Ostrogradski Cho P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) đạo hàm riêng cấp liên tục tập mở chứa Ω có biên mặt cong kín S Lúc : I = ∫ ∫Pdydz + Qdxdz + Rdxdy S = ± ∫ ∫( P ∫ ' x +Q' y + R'z )dxdydz Ω lấy dấu “+” , xét S phía ngồi, ngược lại, lấy dấu “-” Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai Ví dụ 1: Tính I = ∫ ∫yzdydz + xzdxdz + xydxdy S với S phía ngồi tứ diện OABC, có đỉnh O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) C O B ⇒I =∫ Ω ∫(0∫ + + 0)dxdydz = A Trường ĐH Công Nghệ Thơng Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai Định lý Stokes: Nếu hàm số P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) đạo hàm riêng cấp liên tục mặt cong S có biên đường cong kín (C) thì: ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ ∫( R ' −Q' (C ) y z )dydz + ( P ' z − R ' x )dxdz + (Q' x − P ' y )dxdy S Lưu ý: Các tích phân lấy theo hướng dương (C) S Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai Định lý Stokes: Ví dụ: Tính I= ∫ ( y + x)dx + (2 z − y )dy + (3x − z )dz (C ) với (C) đường tròn x2 + y + z = a  z = ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz Trường ĐH Cơng Nghệ Thơng Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai Định lý Stokes: Ví dụ: Gọi S hình trịn Đặt P = y + x  Q = z − y  R = 3x − z  x + y ≤ a  z = S có biên (C)  thỏa điều kiện định lý Stokes Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II Tích phân mặt loại hai ⇒ I = ∫ ∫(0 − 1)dxdy + (0 − 2)dydz + (0 − 3)dxdz S = ∫ ∫− dxdy − 2dydz − 3dxdz S = I1 + I + I Trong đó, I1 = − ∫ ∫dxdy = − S Dxy = −πa Dxy z =  dz = ⇒ I = I3 = ⇒ I = I1 + I + I = −πa Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM Cảm ơn cô bạn theo dõi ^^ ... Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT II   Tích phân mặt loại hai Phương pháp tính: Việc tính tích phân mặt loại hai đưa tính tích phân kép theo biến số phụ thuộc vào phương trình mặt cong lấy tích phân. .. – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT 3. 2 Tính chất: (tương tự tích phân đường) - Nếu f, g khả tích S kf+g khả tích S:     - Nếu S chia thành phần S = S1 + S2 thì:   Diện tích mặt S: Trường ĐH... hai phía Ví dụ: Mặt tờ giấy ,mặt cầu ,mặt bàn ,mặt nón …là mặt phía Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT I Khái niệm Mặt hai phía Ví dụ: Mặt sau mặt phía Trường ĐH