Bài PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ Rn Bài giảng pptx môn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ Rn I Khái niệm phép biến đổi tuyến tính II Liên hệ với ma trận III Phép biến tuyến tính khơng suy biến, phép biến đổi đổi ngược I Khái niệm phép biến đổi tuyến tính Định nghĩa: Phép biến đổi tuyến tính F Rn ánh xạ từ Rn vào F : Rn → Rn thỏa mãn hai điều kiện sau đây: ⇒ F ( X +Y ) =F ( X ) +F ( Y ) (i) ∀X,Y ∈ Rn (ii) ∀X ∈ Rn,α ∀ ∈ R ⇒ F αX X( ( =αF ) ) Ví dụ: Các ánh xạ sau có phải phép biến đổi tuyến tính Rn không? F1 : R2 → R2 ( x,y) a ( 2x- 3y,-x+5y) F2 : R2 → R2 ( x,y) a ( 2x- 3y,-x+5y+1) I Khái niệm phép biến đổi tuyến tính Các tính chất phép biến đổi tuyến tính Giả sử F phép biến đổi Rn: Tính chất 1: F :Rn → Rn F biến On thành On: F ( On ) = F ( 0.On ) = 0.F ( On ) = On Tính chất 2: Ảnh đối đối ảnh: F(- X) = -F(X) F ( -X ) = F ( -1.X ) = -1.F ( X ) = -F ( X ) Tính chất 3: Ảnh tổ hợp tổ hợp ảnh Fα ( X1 1+ α X2 2+ + α Xk k α Fk X )= α F1 X( +) α F2 X( + + ) ( k) Nhận xét: Nếu hệ vectơ X1, X2,…, Xk phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ ảnh F(X1), f(X2),…, f(Xk) phụ thuộc tuyến tính Phép biến đổi tuyến tính không làm tăng số chiều không gian con, không làm tăng hạng hệ vectơ II Liên hệ với ma trận Ma trận phép biến đổi tuyến tính Giả sử F phép biến đổi Rn: F :Rn → Rn Trong không gian Rn, xét E1, E2,…, En hệ sở đơn vị Lập ma trận A vuông cấp n nhận vectơ ảnh F(E1), F(E2),…, F(En) tương ứng làm cột: A = (F(E1) F(E2) … F(En)) Ma trận A xây dựng gọi ma trận phép biến đổi F Hạng F hạng A Ví dụ: Xét phép biến đổi tuyến tính R3: F : R3 → R3 ( x1,x2,x3 ) a ( 2x1 - x2 +3x3,-3x1 +x2 +5x3,x1 - 3x3 ) F ( E1 ) =F ( 1,0,0) =( 2,-3,1) F ( E ) =F ( 0,1,0) =( -1,1,0) F ( E ) =F ( 0,0,1) =( 3,5,-3) -1 Ma trận phép biến đổi A = -3 ÷ ÷ -3÷ F là: II Liên hệ với ma trận Ma trận phép biến đổi tuyến tính Ví dụ: Xét phép biến đổi tuyến tính R3: F : R3 Chú ý: → R3 ( x1,x2,x3 ) a ( 2x1 - x2 +3x3,-3x1 +x2 +5x3,x1 - 3x3 ) Phép biến đổi tuyến tính F cho dạng: Với vectơ X = (x1, x2, x3), ta có F(X) = Y = (y1, y2, y3), và: y1 = 2x1 − x + 3x y = −3x1 + x + 5x y = x − 3x Ma trận phép biến đổi F ma trận hệ số vế phải hệ phương trình -1 A = -3 ÷ ÷ -3÷ II Liên hệ với ma trận Liên hệ với ma trận Cho A ma trận phép biến đổi F Rn, ta có F(X) = AX Chứng minh: x1 x ÷ Giả sử X = ÷ ÷ x ÷ n Suy x1 x ÷ Khi X = ÷ =x1E1 +x2E + +xnE n ÷ x ÷ n F ( X ) =F ( x1E1 +x2E + +xnE n ) =x1F ( E1 ) +x2F ( E ) + +xnF ( E n ) =AX Do đó, ta có phép biến đổi tuyến tính: F : Rn → Rn X a Y =F ( X ) =AX Chú ý: Mỗi phép biến đổi tuyến tính có ma trận nó, ngược lại, ma trận vuông cấp n ma trận phép biến đổi tuyến tính Rn III Phép b/đổi tuyến tính khơng suy biến, phép b/đổi ngược Phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến Phép biến đổi tuyến tính F Rn gọi phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến ma trận ma trận khơng suy biến Hay phép biến đổi tuyến tính F Rn gọi phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến có hạng n Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính: F : R3 → R3 ( x1,x2,x3 ) a ( 5x1 - x2 +2x3,-3x1 +5x2 +7x3,x1 +4x2 - 3x3 ) Hay: y1 = 5x1 - x2 +2x3 y2 =-3x1 +5x2 +7x3 y = x +4x - 3x 3 -1 ÷ Ma trận phép biến đổi F là: A = -3 ÷ -3÷ Ta có det(A)=-247 Vậy F phép biến đổi t/tính khơng suy biến III Phép b/đổi tuyến tính khơng suy biến, phép b/đổi ngược Phép biến đổi tích Giả sử ta có phép biến đổi tuyến tính F G Rn: F G Rn → Rn → Rn X a Khi phép biến đổi F ( X ) a G F ( X ) GF : Rn → Rn X a G F ( X ) phép b/đổi tuyến tính, gọi phép biến đổi tích F G Nhận xét: Ta dễ dàng nhận thấy ma trận phép biến đổi tích tích hai ma trận thành phần Với ma trận phép biến đổi F G A B ta có: F G Rn → Rn → Rn X a AX a B(AX) =(BA)X Tích hai phép biến đổi không suy biến phép biến đổi không suy biến III Phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến, phép biến đổi ngược Phép biến đổi ngược Giả sử phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến F có ma trận A: F Rn → Rn X a Y =F ( X ) =AX Xét quy tắc xây dựng sau: F -1 R ¬ Rn n X ¬ ı Y =F ( X ) =AX Ta nhận thấy là: ● F-1 phép biến đổi tuyến tính; ● Ma trận phép biến đổi tuyến tính F-1 ma trận A-1; Định nghĩa: Phép biến đổi F-1 xây dựng gọi phép biến đổi ngược F ... b /đổi tuyến tính khơng suy biến, phép b /đổi ngược Phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến Phép biến đổi tuyến tính F Rn gọi phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến ma trận ma trận không suy biến. ..PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ Rn I Khái niệm phép biến đổi tuyến tính II Liên hệ với ma trận III Phép biến tuyến tính khơng suy biến, phép biến đổi đổi ngược I Khái niệm phép. .. phép biến đổi tuyến tính: F : Rn → Rn X a Y =F ( X ) =AX Chú ý: Mỗi phép biến đổi tuyến tính có ma trận nó, ngược lại, ma trận vuông cấp n ma trận phép biến đổi tuyến tính Rn III Phép b/đổi