HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Bài CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP (KHỬ GAUSS) I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Ma trận hệ số ma trận mở rộng Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Hệ tương đương phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi sơ cấp Hai loại hệ pt tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang) II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) III Hệ phương trình tuyến tính I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng qt ĐN: Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số x1,x ,…,x n hệ có dạng: � a11x1 + a12 x + + a1n x n = b1 � � a 21x1 + a 22 x + + a 2n x n = b2 � �L � � am1x1 L + am2 x L L L + + amn x n = bm Trong đó: aij hệ số ẩn x j phương trình thứ i; bi hệ số tự phương trình thứ i Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính phương trình, ẩn số: 2x1 + 3x � � �-x1 + 2x � 3x1 + x � - 4x + 5x + 2x + x4 - 2x + 3x = = -3 = I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Ma trận hệ số ma trận mở rộng ĐN: Xét hệ phương trình tuyến tính: �a11x1 + a12 x + + a1n x n �a x + a x + + a x � 21 22 2n n � � � am1x1 + am2 x + + amn x n � = b1 = b2 = bm Ta gọi bảng số ký hiệu xác định sau �a11 a12 � a11 a12 a1n� � � a 21 a 22 a 2n� a 21 a 22 � � � A= A = �L L L L � � � � � a a a m1 m2 mn am1 am2 � � m�n � a1n a 2n amn b1 � � b2 � � � bm � m×(n+1) tương ứng ma trận hệ số ma trận mở rộng hệ phương trình cho I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Ma trận hệ số ma trận mở rộng Ví dụ 1: Xét hệ phương trình � 2x + 3y - 4z = -2 � = �-x + 2y � 3x - y + 2z = � Ma trận hệ số ma trận mở rộng hệ là: �2 -4 � �2 -4 -2 � � � A=� -1 � A = -1 � � � � �3 -1 � �3 -1 � � � � � Ví dụ 2: Viết hệ phương trình có ma trận mở rộng là: -2 -1� � A = �2 -1 � � � �3 -1 � � � -2x + y + 3z = -1 Hệ phương trình là: � � �2x - y + 2z = �3x + 2y - z = � I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Ma trận hệ số ma trận mở rộng Nhận xét: Một hệ phương trình tuyến tính xác định biết ma trận mở rộng Điều tương tự không ma trận hệ số, nghĩa biết ma trận hệ số hệ phương trình chưa xác định I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Nghiệm hệ phương trình tuyến tính ĐN: Nghiệm hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số x1,x ,…,x n gồm n số thực có thứ tự α1,α2 ,…,αn cho gán x1 =α 1,x = α 2,…,x n = α n thỏa mãn tất phương trình hệ Ký hiệu: Có cách viết nghiệm hệ: Cách 1:  x1 =α 1,x = α 2,…,x n = α n  Cách 2:  α1,α2 ,…,αn  Cách 3: �x1 =α �x =α �2 � � � �x n =α n I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hệ tương đương phép biến đổi tương đương ĐN: Hai hệ phương trình tuyến tính với ẩn số gọi tương đương chúng có tập nghiệm Hai hệ phương trình tuyến tính với ẩn số vơ nghiệm có tương đương với khơng? Trả lời: Có tương đương, tập nghiệm (là tập rỗng) ĐN: Một phép biến đổi biến hệ phương trình thành hệ khác tương đương với gọi phép biến đổi tương đương I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Các phép biến đổi sơ cấp ĐN: Các phép biến đổi sau hệ phương trình tuyến tính gọi phép biến đổi sơ cấp: Phép 1: Đổi chỗ hai phương trình hệ; Phép 2: Nhân hai vế phương trình hệ với số ≠ Phép 3: Biến đổi phương trình hệ cách “cộng vào vế bội hai vế tương ứng phương trình khác” Ví dụ: Với hệ phương trình: �x + y - 3z = �x + y - 3z = 2pt(1)+pt(2) � � 5y - 4z = � ����� -2x + 3y + 2z = -1 � �3x - y + z = �3x - y + z = � � Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ TAM GIÁC ĐN: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác n ẩn số x1, x2, ,xn hệ phương trình có dạng: �a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 � a22x2 + + a2nxn = b2 � � L L L L � � annxn = bn � aii ≠ với i = 1, 2, , n Đặc điểm hệ tam giác: • Số phương trình số ẩn; • Từ xuống ẩn dần; • Phương trình cuối có ẩn (Rút từ đặc điểm trên) Cách giải: Thế từ phương trình lên trên, ta tìm nghiệm NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ TAM GIÁC VD: Giải hệ phương trình: 2x - y + 3z = � � 3y + 2z = � � 2z = � Từ phương trình cuối tính z = Thế z = vào phương trình thứ ta y = Thế y = z = vào phương trình thứ ta x = - Vậy nghiệm hệ là: (-2, 1, 3) I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ HÌNH THANG ĐN: Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang n ẩn số x1, x2, ,xn hệ có dạng: �a11x1 + a12 x + + a1m x m + + a1nx n = b1 � � a22 x + + a2mxm + + a2nxn = b2 � � � amm x m + + amnx n = bm � aii �0, i = 1,2,…,m Đặc điểm hệ hình thang: • Số phương trình nhỏ số ẩn (m < n); • Từ xuống ẩn dần; • Phương trình cuối có nhiều ẩn Cách giải: Xét hệ hình thang: a11x1 + a12x2 + + a1mxm + + a1nxn = b1 � � a22x2 + + a2mxm + + a2nxn = b2 � � � � ammxm + + amnxn = bm � Trong hệ hình thang trên: Các ẩn x1, x2, ,xm gọi ẩn chính; Các ẩn xm+1, ,xn gọi ẩn tự Bước 1: Gán cho ẩn tự giá trị thực tùy ý xm+1 = αm+1 xn = αn Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với ẩn chính, giải hệ tam giác NGHIỆM TỔNG QUÁT hệ cho ( nghiệm ứng với giá trị cụ thể ẩn tự gọi NGHIỆM RIÊNG ) (α1 , α2 , , αm , αm+1, ,αn ) Biểu diễn qua ẩn tự Gán HỆ HÌNH THANG Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �x + 2y - 3z + t = � y + 2z - 3t = � Bước 1: Ta có x, y ẩn chính; z, t ẩn tự Gán z = α; t = β tùy ý thuộc R ta đưa hệ dạng tam giác: �x + 2y = 3α - β + � y = -2α + 3β + � Bước 2: Giải hệ tam giác ta nghiệm: �x = 7α -7β +1 � �y = -2α +3β +1 Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình là:  x =7α -7β +1,y =-2α +3β +1,z =α,t =β  ; α,β �R Một nghiệm riêng hệ phương trình cho là: ( 1, 1, 0, 0) NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có vơ số nghiệm II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Xét hệ phương trình: �a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 �a x + a x + + a x = b � 21 22 2n n � � � am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm � ai1 Lấy pt(1) nhân với cộng vào pt(i), i = 2,…,n a11 Trong trình khử mà xuất pt: Nếu b = loại pt khỏi hệ; 0.x1 +0.x2 + +0.xn =b Nếu b ≠ hệ pt vơ nghiệm II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Sau bước ta hệ pt: �a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 � a� + + a� = b� � 22x2 2nxn � � � a� + + a� = b� � m2x2 mnxn m Q trình tiếp tục…, ta có khả sau xảy ra:  Hệ nhận vô nghiệm (ứng với b ≠ trên);  Hệ nhận có dạng tam giác;  Hệ nhận có dạng hình thang NX: Một hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm, có nghiệm, vô số nghiệm II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Chú ý: Việc thực phép biến đổi sơ cấp hệ thay thực phép biến đổi sơ cấp tương ứng ma trận mở rộng Cụ thể: Đổi chỗ phương trình hệ; Đổi chỗ dòng tương ứng ma trận; Nhân vế phương trình với số α ≠ 0; Nhân dịng tương ứng với số α; Cộng vào phương trình (i) bội k lần phương trình (j); Cộng vào dịng (i) bội k lần dòng (j); II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �x + 3y - 2z = � �2x - y + 3z = � Giải: -3x + y + z = � Biến đổi ma trận mở rộng ta được: �1 -2 1�x(-2)x(3) A =�2 -1 9� � � � � -3 1 � � �1 -2 1� �0 -7 7 � � � �0 10 -5 � � � �1 -2 1� � -1 1� � � � � -1 � � �1 -2 1� � -1 1� � � � � 0 � � Ta hệ pt �x+3y- 2z =1 � � - y+ z =1 � z =3 � => nghiệm hệ là: (1, 2, 3) II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � 2y + 3z = � 2x + y - z = -3 � � 3x + y + 3z = 10 � Giải: Biến đổi trận mở rộng ta được: 5� � đổi chỗ � � � A = -1 -3 d1�� � � d2 � � 3 10 � � -1 -3 � � � � ��� � � � � 3 10 � � -1 -3� -1 -3 � � � � � � � 5 � �� � � � � � � � � -1 29 0 21 63 � � � � -1 -3 � � � 5� � � � � -1 29 � � 2x+y- z =-3 � � Ta hệ có dạng tam giác � 2y+3z =5 � 21z =63 � Giải hệ tam giác nghiệm là: ( 1, -2, 3) III Hệ phương trình tuyến tính ĐN: Hệ phương trình tuyến tính hệ pttt có dạng: �a11x1 + a12x2 + + a1nxn = �a x + a x + + a x = � 21 22 2n n � � � am1x1 + am2x2 + + amnxn = � Hệ ln có nghiệm (0, 0,…, 0) - nghiệm tầm thường Hệ có khả năng: KN1: CĨ NGHIỆM DUY NHẤT; hay có nghiệm tầm thường (x1 = 0, x2 = 0,…, xn = 0) KN2: CĨ VƠ SỐ NGHIỆM; hay có nghiệm khác nghiệm tầm thường NX: Các phép biến đổi sơ cấp biến hệ thành hệ nên giải hệ cần biến đổi ma trận hệ số ... tiếp (khử Gauss) III Hệ phương trình tuyến tính I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng qt ĐN: Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số x1,x ,…,x n hệ có dạng: � a11x1... ma trận hệ số, nghĩa biết ma trận hệ số thơi hệ phương trình chưa xác định I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Nghiệm hệ phương trình tuyến tính ĐN: Nghiệm hệ phương trình tuyến tính gồm... I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ TAM GIÁC ĐN: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác n ẩn số x1, x2, ,xn hệ phương trình có dạng: �a11x1