HỆ VECTƠ độc lập PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Chương KHÔNG GIAN VECTO SỐ HỌC N CHIỀU Hệ PTrTT PP khử Gauss Vectơ n chiều KGVT Các mối liên hệ tuyến tính… Cơ sở không gian vectơ Hạng hệ vectơ Bài CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ R n I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Một số ví dụ III Một số kết phụ thuộc – độc lập tuyến tính I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Trong khơng gian vectơ Rn cho m vectơ (một hệ vectơ) X1,X ,…,X m m số thực α1,α ,…,αm ; Ta lập tổng: n ∈R α1X1 + α2 X + + αm X m (*) ĐN: Mỗi tổng (*) gọi tổ hợp tuyến tính vectơ X1,X ,…,X m ; Các số α1,α2 ,…,αm gọi hệ số tổ hợp tuyến tính Định lý: Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính vectơ n chiều X1,X ,…,X m cho trước không gian vectơ không gian vectơ Rn I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính ĐN:Ta nói vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1,X ,…,X m vectơ X tổ hợp tuyến tính hệ vectơ Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ X1,X ,…,X m α1,α2 ,…,αm Nếu tồnXtại+bộ m số X =α α X 1 2 +…+ α mX m Ví dụ 1: Cho vectơ cho: X1 = ( 2,-4 ) X = ( 3,5 ) X = ( 5,1) Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ { X1,X } hay không? Trả lời: Biểu diễn X = 1.X1 +1.X X1 = ( 3,-1,0,5 ) X = ( 4,-2,0,3 ) Ví dụ 2: Cho vectơ X = ( 7,-1,0,4 ) X = ( 2,-4,7,-3 ) Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ { X1,X ,X } hay không? Trả lời: Không biểu diễn ∀α1,α ,α3 ⇒ X ≠ α1.X1 + α X + α3 X Chú ý:  Vectơ không ln bd tuyến tính qua hệ vectơ chiều: On = 0.X1 + 0.X + + 0.X m Biểu diễn gọi biểu diễn tầm thường  Cho hệ thức vectơ: k1.X1 +k X + +ki X i + +k m X m = On Vectơ Xi biểu diễn tuyến tính qua vectơ lại  ki ≠ 0;  Phép biểu diễn tuyến tính có tính bắc cầu I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính VD: Cho hệ véc tơ k1X1 = ( 1, - 2, - 3, )  + k2X = ( 2, - 3, -1, )  k3X = ( -3, 4, 3, ) Với giá trị k véc tơ X =( 1, - 3, - 4, k ) tuyến tính qua hệ véc tơ cho ? biểu diễn Giải: Giả sử ta có: X = k1X1 + k X + k X  k1 + 2k - 3k = -2k - 3k + 4k = -3  ⇔ -3k1 - k + 3k = -4  5k + 2k = k I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ cho  hệ phương trình với ẩn k1, k , k có nghiệm Biến đổi ma trận mở rộng ta có:  -3  1  -3  0 -2 -1 0  -2 -3 -3   →   → 0 -6 -1 0 -3 -1 -4  0 k  0 0 k       1 0 → 0 0  -3 -2 0     k -   -1   4  12 k +  -3 -2 -1 Hệ pt có nghiệm  k – =  k = II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính ĐN: Ta nói hệ vectơ X1,X ,…,X m phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực α1,α ,…,αm , có số khác 0, cho: α1X1 + α2 X + + αm X m = On (*) Ngược lại, đẳng thức (*) thỏa mãn tất hệ số vế trái ( α1 = α = = αm = ) ta nói hệ vectơ độc lập tuyến tính Xét hệ thức (*) dạng biểu diễn vtơ On qua hệ X1,X ,…,X m Có αi ≠ ⇒ Phụ thuộc tuyến tính On =α 1X 1+ α 2X + + α mX m α1 = α2 = = αm = ⇒ Độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ BT: Xét xem hệ vectơ X1,X ,…,X m độc lập hay phụ thuộc tuyến tính Xét hệ thức: α1X1 + α2 X + + αm X m = On (*) Viết lại (*) dạng đẳng thức vectơ dạng cột:  a11   a12   a1m    a ÷ a ÷ a ÷  ÷ α1  21 ÷+ α2  22 ÷+ + αm  2m ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ a ÷ a ÷ a ÷  ÷ {  nm  {n1  {n2  123 X1 X2 Xn On Có αi ≠ ⇒ PT α1 = α2 = = αm = ⇒ ĐL Đưa hệ thức vectơ hệ phương trình tuyến tính với ẩn α1,α2 ,…,αm a  aα 11 + aα + a  21    aα a n1 + X1 Ma trận hệ số hệ pt là: α α 22 α n2 12 X2 + + + + a 1m α + a 2m α + a nm α  a11 a12 a a 22 21  A=  a  n1 an2 n n n = = = On Xn a1n  a 2n ÷ ÷ = ( X1,X , ,X m ) ÷ anm ÷  Giải hệ phương trình tuyến tính ta được:  TH1: Hệ có vơ số nghiệm (có nghiệm khác nghiệm tầm thường) hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính  TH2: Hệ có nghiệm (chỉ có nghiệm nghiệm tầm thường) hệ vectơ cho độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Do cần có kết số nghiệm hệ phương trình tuyến tính nên ta có thuật tốn thực hành sau: Biến đổi ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính nhận véc tơ X1,X ,…,X m cột  Nếu A đưa dạng tam giác ( hệ pttt có nghiệm nghiệm tầm thường) hệ véc tơ độc lập tuyến tính  Ngược lại, A đưa dạng hình thang (hệ pttt có nghiệm khác nghiệm tầm thường) thi hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ n Ví dụ 1: Xét hệ vectơ khơng gian vectơ R E1 = ( 1,0,0,…,0 ) E2 = ( 0,1,0,…,0 ) En = ( 0,0,0,…,1) Lời giải: Lập ma trận A nhận vectơ hệ cột    ÷ ÷ A=  ÷  0 ÷   Hệ vectơ độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 2: Xét độc lập tt hay phụ thuộc tt hệ vectơ không gian vectơ R3 X1 = ( 2,-1,6 ) ,X = ( 3,2,-5 ) ,X = ( 2,6,-3 ) Lời giải: Biến đổi ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính nhận vectơ X1, X2, X3 cột: 2 2  -1 ÷  ÷  -5 -3 ÷    → 2 2  14 ÷  ÷  -14 -9 ÷   2   →  14 ÷  ÷  0 19÷   Ma trận kết thúc dạng tam giác, nên hệ vectơ { X1, X2, X3 } độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 3: Xét hệ vectơ không gian vectơ R3 X1 = ( 4,-2,3 ) , X = ( -1,5,3 ) , X = ( 2,-4,-1) Lời giải: Biến đổi ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính nhận vectơ X1, X2, X3 cột:  -1   -2 -4 ÷  →  ÷  3 -1÷    -1   -6 ÷  →  ÷  15 -10 ÷    -1   -6 ÷  ÷ 0 0 ÷   Ma trận kết thúc dạng hình thang nên hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính III Một số kết phụ thuộc - độc lập tuyến tính ĐL1: Một hệ vectơ n chiều có từ hai vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua vectơ cịn lại HQ1: Một hệ gồm vectơ phụ thuộc tuyến tính chúng tỷ lệ HQ2: Mọi hệ vectơ n chiều chứa vectơ khơng phụ thuộc tuyến tính ĐL2: Nếu hệ vectơ có hệ (một phận) phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính HQ1: Nếu hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính HQ2: Nếu hệ vectơ có hai vectơ tỷ lệ hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính III Một số kết phụ thuộc - độc lập tuyến tính ĐL3: Cho hệ vectơ n chiều X1, X ,…, X r Y1, Y2 ,…, Ys (1) (2) Nếu r > s vectơ hệ (1) biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ (2) hệ vectơ (1) phụ thuộc tuyến tính HQ1: Nếu hệ vectơ (1) độc lập tuyến tính vectơ hệ (1) biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ (2) r ≤ s HQ2: Nếu hai hệ vectơ độc lập tuyến tính, vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ ngược lại hai hệ vectơ có số vectơ ĐL4: Trong không gian vectơ Rn hệ có nhiều n vectơ phụ thuộc tuyến tính Hay: Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn số chiều phụ thuộc tuyến tính VD: Cho hệ vectơ n chiều X1, X ,…, X r (1) X1, X ,…, X r ,X (2) Giả sử hệ vectơ (1) độc lập tuyến tính CMR: Hệ vectơ (2) phụ thuộc tuyến tính vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ vectơ (1) Giải:  Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ vectơ (1) ta có hệ vectơ (2) phụ thuộc tuyến tính  Nếu hệ vectơ (2) phụ thuộc tuyến tính có vectơ hệ bdtt qua vectơ lại Giả sử: X s = k1X1 + k X + + kr X r + k X; ≤ s ≤ r Trong đẳng thức trên, k = vectơ Xs biểu diễn tuyến tính qua vectơ cịn lại hệ vectơ (1)=> hệ vectơ (1) phụ thuộc tuyến tính Điều mâu thuẫn với giả thiết nên ta phải có k ≠ => k1 k2 kr X = X s - X1 - X - - X r k k k k ... tính HQ1: Nếu hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính HQ2: Nếu hệ vectơ có hai vectơ tỷ lệ hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính III Một số kết phụ thuộc - độc lập tuyến tính ĐL3: Cho hệ vectơ. .. = αm = ⇒ Độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ BT: Xét xem hệ vectơ X1,X ,…,X m độc lập hay phụ thuộc tuyến tính Xét hệ thức: α1X1... biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Một