Giáo Án Không Gian Vector Và Các Phép Toán Trên Vector; Hệ Vector hệ vector độc lập tuyến tính và hệ vector phụ thuộc tuyến tính

GIO N S: 01 Thi gian thc hin: tit Lp:CKT36(ý yờn) S gi ó ging: Thc hin ngy thỏng nm 2010 TấN BI: KHễNG GIAN VECTOR V CC PHẫP TON TRấN VECTOR; H VECTOR Độc lập tuyến tính hệ vector phụ thuộc tuyến tính I Mc ớch: Giỳp sinh viên - hiu c th no l mt khụng gian vector Nhn bit c mt khụng gian vector - T ú khỏi quỏt lờn c mt khụng gian vector n chiu - V nm c cỏc phộp toỏn trờn vector cú th bin i c - Kiểm tra đợc hệ vector độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính II n nh lp: Thi gian: phỳt S hc sinh vng:Tờn: III Kiểm tra cũ: Thời gian: phút - Cõu hi kim tra: - D kin hc sinh kim tra: Tờn: im: IV.Giảng mới: - dựng v phng tin dy hc: + Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho + Gi m, ỏp, an xen hot ng nhúm - Ni dung, phng phỏp: Ni dung ging dy Phơng pháp giảng dạy Thờ i gian I Nờu nh ngha khụng gian vector: - Trỡnh by trờn bng, - Gi s cho V khỏc rng v trng K (trng K ny ỏp cú th l trng s thc (R), trng s hu t (Q) hay l - HS lng nghe lm trng s phc (C)) quen vi nh ngha uu r uu rr - Gi s cỏc phn t , , V Trờn V i trang b hai phộp khụng gian vector toỏn: + Phộp cng: V.V -> V (phộp cng hai vector) ( uu rur ur ur , a + ) + Phộp nhõn: K.V -> V(phộp nhõn mt s vi mt vector ( ur ur k , a k ) Sao cho hai phộp toỏn ny tho iu kin sau: T1: T2: T3: T4: ur ur ur ur ur ur + = + ; , V ur ur r ur ur r uu r uu rr + + = + + ; , , V ur ur ur ur , K ; V ( + ) = + ; ur ur ur ur ur ur + = + ; K ; , V ur ur ur = (à ) ; , K ; V r r ur ur r ur ur V : + = + = ; V ur uu r ur uu r uu r ur r V , ' : + ' = ' + = ur ur ur ur = = ; V ( ) ( ( ) - HS lng nghe ghi chộp bi ) T5: ( ) T6: T7: T8: Khi ú V cựng hai phộp toỏn cng v nhõn (V, +, *) l mt khụng gian vector trờn trng K, hay gi l K_khụng gian vector V - T nh ngha khụng gian vector khỏi quỏt lờn nờu nh ngha khụng gian vector n chiu + Cho trng K , n Xột tớch cỏc: K n = { x = ( x1 , x2 ,K , xn ) | xi R, i = 1, 2,K , n} , vi hai phộp toỏn cng v phộp toỏn nhõn +Phộpcng: ( x1 , x2 ,K , xn ) + ( y1 , y2 ,K , yn ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,K , xn + yn ) + Phộp nhõn: k ( x1 , x2 ,K , xn ) = (kx1 , kx2 ,K , kxn ) - Quy np lờn cho khụng gian vector Thỡ K n cựng hai phộp toỏn cng v phộp toỏn nhõn trờn l n_chiu mt khụng gian vector n chiu trờn trng K Vớ d: Xột K = R , vi: n=1: Thỡ R1 _ l khụng gian vector chiu: Hỡnh nh l trờn trc s n=2: Thỡ R _ l khụng gian vector chiu: Hỡnh nh l ton b mt phng n=3: Thỡ R3 _ l khụng gian vector chiu: Hỡnh nh l ton b khụng gian thc chiu * Cỏc phộp toỏn vector: Phộp cng: ( x1 , x2 ,K , xn ) + ( y1 , y2 ,K , yn ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,K , xn + yn ) - HS quan sỏt tho - Phộp nhõn vector vi mt s: lun lm vớ d k ( x1 , x2 ,K , xn ) = (kx1 , kx2 ,K , kxn ) - Tớch vụ hng ca hai vector: ( x1 , x2 ,K , xn ) ì( y1 , y2 ,K , yn ) = x1 ìy1 + x2 ìy2 + K + xn ìyn r u r Trongú: x = ( x1 , x2 ,K , xn ), y = ( y1 , y2 ,K , yn ) K n ; k K II Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính - Xõy dng cỏc phộp Hệ vectơ độc lập tuyến tính toỏn trờn khụng gian vector Định nghĩa Cho K_không gian vectơ V r r a, Một tổ hợp tuyến tính vectơ n V biểu thức dạng: r n i =1 i i r r r = 1 + + + n n , , , n K r r r r r b, Với V , = 11 + + + n n ta nói r r r vectơ đợc biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ vectơ (1 , , n ) r r r r đẳng thức = 11 + + + n n gọi biểu thị r r r tuyến tính vectơ qua vectơ , , n - HS chỳ ý lng nghe nh ngha hỡnh thnh mt h vector no thỡ LTT c, (định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính) r r * Hệ vectơ (1 , , n ) đợc gọi hệ độc lập tuyến tính nếuhệ thức r r r r 11 + + + n n = xảy - T ú suy mt h = = n = vector no thỡ r r * Hệ vectơ (1 , , n ) đợc gọi hệ vectơ phụ thuộc PTTT tuyến tính hệ vectơ không độc lập tuyến tính Ví dụ Trong không gian vectơ thực R2 cho hệ vectơ : r r r = (2,0), = (0,4), = (4,4) r r hệ (1 , ) hệ vectơ độc lập tuyến tính : - HS da vo cỏc r r r r 11 + = (21 ,0) + (0,4 ) = (21 ,4 ) = (0,0)nh 1ngha = = trờn r r r Còn hệ (1 , , ) hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính kim tra xem h vector no LTT, r r r r nh ta biểu diễn đợc 21 + = no PTTT - Lờn bng trỡnh by Một số tính chất ý tng ca mỡnh r r a, Hệ ( , , n ) hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính - GV cha bi có vô hớng , , , n không đồng thời r r r r - T nh ngha qua cho : 11 + + + n n = vớ d xõy dng mt r b, Hệ gồm vectơ ( ) hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính s tớnh cht ca h r r vector =0 - HS chỳ ý lng nghe r r c, Với n >1 hệ n vectơ (1 , , n ) hệ vectơ phụ thuộc - Gv ỳc kt li tuyến tính vectơ biểu thị tuyến tính qua vectơ lại hệ d, Mỗi hệ hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ độc lập tuyến tính r r Ví dụ : Giả sử hệ vectơ (1 , , n ) độc lập tuyến tính r r hệ vectơ (1 , , n i ) độc lập tuyến tính , với i = 1,2, n-1 V Tng kt bi: - Nm chc nh ngha v khụng gian vctor Khỏi quỏt lờn nh ngha khụng gian vector n chiu - Nm cỏc phộp toỏn trờn vector, kim tra c mt h vector no LTT, no PTTT VI Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp: Xét xem hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : r r r r a, =( -1,-2,1,2), =(0,-1,2,3), =(1, ,3)4,1,2), =(-1,0,1) r r r b, =(-1,1,0,1), =(1,0,1,1), =(-3,1,-2,-1) r r r Trong K - không gian vectơ cho hệ vectơ ( , , , n ) Xét xem hệ có độc lập tuyến tính hay không trờng hợp sau : a, Có vectơ hệ vectơ không b, Có hai vectơ hệ r r r r r r r r r r r r c, = , = + , , n = + + + n mà hệ ( , , , n ) độc lập tuyến tính VII Rỳt kinh nghim: Trng khoa / T trng b mụn Ngy thỏng nm Ch ký giỏo viờn Bựi Vn Trng GIO N S: 02 Thi gian thc hin: tit Lp:CKT36(ý yờn) S gi ó ging: Thc hin ngy thỏng nm 2010 TấN BI: MA TRN I Mc ớch: Giỳp sinh viên - Hiu c th no l mt ma trn Nm c cỏc dng ca ma trn - Lm c cỏc phộp toỏn trờn ma trn - Tớnh c nh thc ca ma trn II n nh lp: Thi gian: phỳt S hc sinh vng:Tờn: III Kiểm tra cũ: Thời gian: phút - Cõu hi kim tra: - D kin hc sinh kim tra: Tờn: im: IV.Giảng mới: - dựng v phng tin dy hc: + Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho + Gi m, ỏp, an xen hot ng nhúm - Ni dung, phng phỏp: Ni dung ging dy Phng phỏp ging Th i gia n I Định nghĩa Cho K trờng tuỳ ý Một bảng gồm m.n - HS chỳ ý lm quen vi nh ngha ca ma trn phần tử aij thuộc trờng K có dạng: - GV trỡnh by lờn bng a11 a12 L a1n ữ a 21 a 22 L a 2n ữ (1) M M L Mữ ữ a m1 a m2 L a mn đợc gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi aij đợc gọi thành phần ma trận , vectơ dòng ( a i1 a i2 L a in ) - HS ý mt s c bit ca ma trn đợc gọi dòng thứ i ma trận Vectơ cột: a1j ữ a 2j ữ Mữ ữ a mj ữ đợc gọi cột thứ j ma trận Ta thờng kí hiệu ma trận chữ A,B,C, Ma trận (1) kí hiệu đơn giản A=(aij)mxn Ta nói ma trận A có m dòng , n cột -Khi m = n ma trận A=(aij)nxn đợc gọi ma trận vuông cấp n Tập hợp ma trận kiểu (m,n) với phần tử thuộc trờng K đợc kí hiệu Mat(m x n,K) II Các loại ma trận thờng gặp 1.Ma trận không : Là ma trận mà phần tử không L O= M O L ữ Mữ 0ữ Ma trận đối : Ma trận đối ma trận A ma trận mà pgần tử đối phần tử tơng ứng ma trận A Đối ma trận A kí hiệu -A a11 K a1n a11 K a1n ữ A= M O M ữ A = M O M ữ ữ a ữ a ữ m1 L a mn m1 L a mn Ma trận vuông : Là ma trận có số dòng số cột (m=n) a11 K A= M O a n1 L a1n Mữ ữ a nn ữ Chú ý : + Các phần tử a11 ,a 22 , ,a nn ma trận vuông cấp n đợc gọi phần tử chéo Tổng - Gii thiu hs cỏc loi ca ma trn cỏc bn lm quen a11 + a 22 + + a nn gọi vết ma trận + Từ dùng kí hiệu Ai,Aj lần lợt hàng thứ i cột thứ j - HS nm rừ cỏc dng c Ma trận đơn vị Là ma trận vuông cấp n có phần tử đờng bit ca ma trn ỏp dng chéo phần tử khác I lm bi = M 0 Mữ ữ 0ữ ữ Ma trận chéo : Là ma trận mà phần tử nằm đờng chéo 0 M L L L O M M L ữ Mữ A= ữ ữ n Ma trận tam giác , ma trận tam giác dới - Ma trận vuông mà phần tử nằm dới đờng chéo không gọi ma trận tam giác L L O a11 a12 a 22 A= M M L L O L a1n ữ a 2n ữ Mữ ữ a nn - Ma trận vuông mà phần tử nằm đờng chéo không gọi ma trận tam giác dới a11 L a a 22 L B = 21 M M O a n1 a n2 L ữ ữ Mữ ữ a nn III Các phép toán: Ma trận : - GV trỡnh by cỏc phộp Hai ma trận A=(aij)mxn B=(bij)mxn đợc gọi toỏn trờn ma trn - HS chỳ ý lng nghe thc hnh lm cỏc phộp aij= bij với i= 1,2, m j = 1,2, n toỏn trờn ma trn Kí hiệu A = B 2.Phép cộng ma trận a Định nghĩa: Cho A=(aij)mxn B=(bij)mxn hai ma trận thuộc Mat(mxn,K) K Ta gọi tổng hai ma trận A B ma trận C =(cij)mxn xác định : cij= aij + bij i= 1,2, m j = 1,2, n Kí hiệu C = A + B b Các tính chất: A+B = B+A A+(B+C) = (A+B)+C Tích ma trận với số a Định nghĩa: Ta gọi tích ma trận A với vô hớng ma trận D= (dij)mxn xác định bởi: dij = aij , i= 1,2, m j = 1,2, n b Các tính chất: ( A+B) = A + B 1.A = A (-1).A = -A 0.A = = ( A) = ( )A Tích hai ma trận a Định nghĩa: Cho ma trận A=(aij)mxn thuộc Mat(m x n, K) B=(bj k)nxp thuộc Mat(nxp, K) Ta gọi tích ma trận - Hs chỳ ý phộp nhõn hai A với ma trận B ma trận C=(c jk)m x p thuộc Mat ma trn (m x p , K) mà phần tử đợc xác định : n c ik = a ij b jk i = m , k = p, j =1 Điều kiện để có tích Kí hiệu C=A.B A.B số cột A số Có thể mô tả cách tìm thành phần c ik ma trận dòng B Nh tích A.B sơ đồ sau: có tích A.B nhng tích B.A Cột k cột k Dòng thứ i a i1 L L M M c ik L M M a i2 L a in ữ ữ ữ b k1 bk2 M b kn ữ ữ L ữdòng i ữ ữ ữ Trờng hợp đặc biệt A B ma trận vuông có tích A.B ữ B.A nhng nói chung A.B ữ= khác B.A (không có tính ữ chất giao hoán) ữ : vídụ 0 1 0 ữ 0 ữ = 0 ữ 1 0 0 ữ 0 ữ = 0 ữ Tớnhcht:(A.B).C= A.(B.C); (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB; (AB)= ( A)B=A( B) IV Ma trận chuyển vị Định nghĩa : a11 a12 a a 22 Cho A=(aij)mxn = 21 M M a m1 a m2 a1n ữ a 2n ữ M ữ ữ a mn a11 a 21 a12 a 22 M M a1n a 2n a m1 ữ a m2 ữ ma trận M ữ ữ a mn đợc gọi ma trận chuyển vị ma trận A, Kí hiệu At Rõ ràng , At nhận đợc cách đổi dòng ma trận A thành cột Ta có tính chất sau: (At)t = A (A+B)t = At+Bt (A.B)t = Bt At Ma trận đối xứng : Ma trận vuông cấp n đợc gọi đối xứng At = A hay aịj = aji i, j - Gv trỡnh by ma trn chuyn v - HS nm th no c gi l ma trn chuyn v - p dng lm bi A= ữ ữ 7ữ Ma trận phản đối xứng : - HS nm cỏc tớnh cht ca Ma trận vuông cấp n đợc gọi phản đối xứng ma trn chuyn v At = -A A= ữ ữ ữ Nhận xét: phần tử đờng chéo ma trận phản - p dng ma trõn chuym đối xứng v kim tra mt ma trn V NH THC CA MA TRN l i xng hay phn i Định nghĩa xng Cho A=(aij)nxn Ta gọi định thức ma trận A phần tử thuộc trờng K , kí hiệu detA , gọi định thức cấp n đợc kí hiệu |A| hay : a11 a12 a a 22 detA = |A| = 21 L L a n1 a n2 L L L L a1n a 2n L a nn + Định thức cấp 1: det(a) = a + Định thức cấp : a a a a Det 11 12 ữ = 11 12 = a11 a 22 a12 a 21 a 21 a 22 a 21 a 22 + Định thức cấp : - GV trỡnh by nh gnha v nh thc ma trn lờn bng - Hs chỳ ý lng nghe ghi bi a11 a12 a13 a11 a12 a13 a a a ữ= a a a = det 21 22 23 ữữ 21 22 23 a31 a32 a 33 a 31 a 32 a33 = a11a 22 a 33 + a 21a 32a13 + a 31a12a 23 a 31a 22a13 a 21a12a 33 a11a 32a 23 nh thc cp cao: - Cỏc dng nh thc va cỏch tớnh Định nghĩa Định thức : định thức úng với phần tử định thức |A| định thức cấp nhỏ 10 Định lí : Giả sử m , n > Khi tập L gồm m + n ô bảng vận tải chứa vòng Và tập L gồm m + n - ô bảng vận tải không chứa vòng V- tập ô V đợc đánh dấu Không giảm tổng quát coi : (i,j)V + cij (i,j)V cij (4) Xây dựng vec tơ X = ( x ij ) theo công thức : x ij + (i, j) V + xij = x ij (i, j) V x ij (i, j) V (5) Nếu G( X ) vòng V ta thay X X lặp lại thủ tục vừa nêu sau số hữu hạn bớc lặp ta phảI đến phơng án không tồi howwn phơng án qua , tập hợp ô chọn tơng ứng không chứa vòng Định lí đợc chứng minh Trong = { x ij , (i,j) VRõ ràng x ij (i,j) , V vòng nên từ (5) ta có : n n j=1 j=1 m m i =1 i =1 x ij = x ij = a i (i = 1,m) x ij = x ij = b j (j = 1,n) Vật X phơng án toán vận tải Ta lại có : m n m n f(X) = cij xij = cijx ij + ( i =1 j=1 m i =1 j=1 n cijx ij = f(X) i =1 j=1 Từ (5) cách xác định nên có ô (i0 , j0 ) V để = x i j , 0 x i0 j0 =0 , ô (i0 , j0 ) V không ô chọn 65 (i,j Do G( X ) mặt vòng V V Tng kt bi: - Nm c cỏch thit lp bi toỏn ti - Cỏch xõy dng vũng VI Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp: VII Rỳt kinh nghim: Trng khoa / T trng b mụn Ngy thỏng nm Ch ký giỏo viờn Bựi Vn Trng 66 GIO N S: 14 TấN BI: Thi gian thc hin: tit Lp:CKT36(ý yờn) S gi ó ging: Thc hin ngy thỏng nm 2010 TèM PHNG N C S XUT PHT I Mc ớch: Giỳp sinh viên - Tỡm phng ỏn c s xuõts phỏt ca bi toỏn ti - ỏp dng gii bi toỏn võn ti II n nh lp: Thi gian: phỳt S hc sinh vng:Tờn: III Kiểm tra cũ: Thời gian: phút - Cõu hi kim tra: - D kin hc sinh kim tra: Tờn: im: IV.Giảng mới: - dựng v phng tin dy hc: + Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho + Gi m, ỏp, an xen hot ng nhúm - Ni dung, phng phỏp: Ni dung ging dy Phng phỏp Ging Tg Ví dụ : Xây dựng ph- Phơng pháp góc tây bắc ơng án vận tải tcho Lập bảng vận tải , số liệu a i , b j , cij ( i = m ; j = toán vận tảI theo phơng n ) đợc ghi vào bảng vận tải nh đợc mô tả mục pháp góc tây bắc với số trớc liệu cho bảng sau : Bắt đầu từ ô (1,1) nằm góc bên tráI bảng ( ô nằm vị trí góc tây bắc bảng , tên gọi xuất B j B :20 B :40 B :30 phát từ đây) ta tiến hành phân phối lợng hàng vào ô này: Ai x11 = { a1 , b1 } A1: Các lợng thu phát lại : 30 20 10 a ,i = a i (i 1) , a1, = a1 x11 , b,j = b j (j 1), b1, = b1 x11 A2: 67 Nếu x11 = a1 = { a1 , b1 } a1 = xoá dòng thứ bảng vận tải thu đợc bảng gồm m - dòng n cột với lợng pất thu tơng ứng a ,i (i = 2, m);b,j ( j =1, n) Lặp lại cách phân phối nh bảng , tuác bắt đầu với ô góc tây bắc phân phối lợng hàng vận chuyển vào ô cho chở hết hàng điểm phát , nhận đủ hàng điểm thu tơng ứng với Nh sau lần phân phối ta lại xoá đợc dòng cột bảng nên sau m + n - lần phân phối thủ tục phảI kết thúc Do phơng án xây dựng theo phơng pháp góc tây bắc có không m + n - thàng phần khác không Phơng pháp cực tiểu cớc phí Theo phơng pháp ta u tiên phân phối nhiều vào ô có cớc phí nhỏ toàn bảng Giả sử ma trận cớc phí C = ( cij )mxn có cr s nhỏ c ij Khi ta phân phối tối đa vào ô (r,s) cụ thể : 25 A3: 35 25 5 30 Phân tích : Phân cho ô (1,1) : 20 , xoá cột , A1 10 Phân cho ô (1,2) : 10 , xoá hàng , B2 30 Phân cho ô (2,2) : 25 , xoá hàng 2, B2 Phân cho ô (3,2) : , xoá cột , A3 30 Phân cho ô (3,3) : 30 Ta đợc phơng án sở xuất phát : X = ( 20,10,0,0,25,0,0,5,30) Và giá trị hàm mục a r a r bs (*) tiêu tơng ứng : x ij = bs a r >bs (**) f (x) = 1.20 + 3.10 + 4.25 + 505 + 4.30 = 295 Trong trờng hợp (*) điểm Ar phất hết hàng nên xoá hàng r bảng , điểm thu Bs cần bs ar đơn vị hàng Trong trờng hợp (**) điểm thu Bs dã nhận đủ hàng nên xoá cột s bảng , điểm phát A r lại ar bs đợn vị hàng Trong bảng lại có số hàng cột , ta lặp lại cách phân phối hết hàng đáp ứng đủ yêu cầu điểm thu Các ô chon lại không chứa vòng phơng án sở chấp nhận đợc Nếu cha đủ m + n ô ta bổ sung thêm số ô ô chọn không cho đủ m + n ô chọn không tạo thành vòng Các ô chọn không tức phân phối lợng hàng vào ô Ví dụ : Xây dựng phơng án vận tải theo phơng pháp cực tiểu cớc phí với số liệu nh ví dụ trớc : Bj B1:20 Ai A1: 30 B2:40 B3:30 68 A2: 25 10 25 A3: 35 30 Phân tích : * phân cho ô (1,1) ô có cớc phí nhỏ , 20 đơn vị hàng , xoá cột * phân cho ô (2,3) : 25 đơn vị hàng Xoá dòng * phân cho ô (1,2) :10 đơn vịhàng xoá dòng * phân cho ô (3,3) : đơn vị hàng , xoá cột * phân cho ô (3,2) : 30 đơn vị hàng Ta đợc phơng án sở xuất phát : X = (20,10,0,0,0,25,0,0,30,5) Và giá trị hàm mục tiêu f(x) = 1.20+3.10+2.25+5.30+4.5 = 270 V Tng kt bi: - Nm c cỏc phng tỡm phng ỏn c s cho bi toỏn ti VI Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp: VII Rỳt kinh nghim: Trng khoa / T trng b mụn Ngy thỏng nm Ch ký giỏo viờn Bựi Vn Trng GIO N S: 15 TấN BI: Thi gian thc hin: tit Lp:CKT36(ý yờn) S gi ó ging: Thc hin ngy thỏng nm 2010 THUT TON QUY KHễNG CC PH 69 BI TON VN TI KHễNG CN BNG THU PHT I Mc ớch: Giỳp sinh viên - Nm c mụ hỡnh Thut toỏn quy khụng cc phớ gii bi toỏn ti - Cỏch gii bi toỏn ti khụng cõn bng thu phỏt II n nh lp: Thi gian: phỳt S hc sinh vng:Tờn: III Kiểm tra cũ: Thời gian: phút - Cõu hi kim tra: - D kin hc sinh kim tra: Tờn: im: IV.Giảng mới: - dựng v phng tin dy hc: + Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho + Gi m, ỏp, an xen hot ng nhúm - Ni dung, phng phỏp: Ni dung ging dy Phng phỏp ging dy Tg Ví dụ : Thuật toán quy cớc phí ô chọn Giải toán vận tải với số Ta có nhận xét sau : liệu cho bảng sau : Nếu cộng vào hàng i ma trận cớc phí C = ( cij )mxn số ri tuỳ ý (i = 1m) cộng vào cột j củ mọt số tuỳ ý s j ( j = 1n) ta có toán vận tảI với ma trận cớc phí C = (cij )mxn (cij ) = (cij ) + ri + s j tơng đơng với toán ban đầu ( tức phơng án tối u toán ban đầu phơng án toán ngợc lại ) Thật giá trị hàm mục tiêu toán : Bj B1:20 B2:40 B3:30 Ai A1: 30 20 10 A2: 25 A3: 35 25 5 30 Dùng phơng pháp cực tiểu cớc phí ta tìm đợc phơng án sở xuất phát X= {20,10,0,0,0,25,0,30,5} có f(X) 70 m n m n i =1 j=1 i =1 j=1 = 270 Quy không cớc phí ô chọn : Ta cộng vào hàng i số ri ( i= 1,2,3) vào cột j số s j ( j = 1,2,3 ) cho cớc phí ô chon Ta có tập ô chọn G(X) = { (1,1) , (1,2) , (2,3), (3,2), (3,3) } f (X) = cijx ij = (cij + ri + s j )x ij m n m n n m i =1 j=1 i =1 j=1 j=1 i =1 = cijx ij + ri x ij + s j x ij m n i =1 j=1 = f(X) + ri a i + s j b j = f(X) + C để tìm số ri s j ta Trong C = ri a i + s j b j cần giải hệ phơng trình : số m n i =1 j=1 Giá trị hai hàm mục tiêu khác số nên điểm cức trị chúng trùng Từ điều ta có thuật toán quy không cớc phí nh sau : + Bớc : Giả sử ta có phơng án sở chấp nhận đợc ban đầu với m + n -1 ô chọn ( có số ô chọn không ) Ta cộng vào hàng I ma trận cớc phí ( cij )mxn số ri i=1 m cộng vào cột j số s j ( j = n) chọn số ri sj cho ma trận cớc phí C mà ô chọn cij = + r1 + s1 = + r1 + s2 = + r2 + s3 = + r + s = + r3 + s3 = hệ phơng trình gồm phơng trình tuyến tính có ẩn : Cho r1 = ta tìm đợc r2 = , r3 = -2 , s1 = -1 , s2 = -3 , s3 = -2 Ma trận cớc phí : Bj B1:20 B2:40 B3:30 Ai + Bớc 2:( Kiểm tra tiêu chuẩn tối u ) Nếu sau quy không cớc phí ô 0 A : chọn mà ô loại có cớc phí lớn 301 20 10 không phơng án xét phơng án tối u ô loại thay cho ô chọn cớc phí tăng lên phơng án A2: 25 tồi 25 Nếu sau quy không cớc phí ô 0 chọn mà có mội ô loại có cớc phí âm , A3: 35 phơng án xét không phảI tối u 30 ta thay ô có cớc phí âm vào thay cho ô Ta thấy ô loại có cớc chọn có cớc phí không cớc phí giảm đI Khi phí dơng Vậy phơng án ta chuyển bớc X = {20,10,0,0,0,25,0,30,5} + Bớc 3: Xây dựng phơng án tốt phơng án tối u 1.Tìm ô đa vào: giả sử ô (i*, j *) có cớc phí Ví dụ : âm nhỏ chọn ô (i* j *) làm ô đa vào 71 Tìm vòng điều chỉnh : Bổ sung thêm ô Giải toán vận tải sau (i*, j * ) vào m + n -1 ô chọn ban đầu se xuất phơng pháp quy không cớc phí vòng V ô chọn Đánh dấu ô vòng V : Ta đánh dấu ô vòng V ô (i *, j * ) ta đánh + , ô ta đánh dấu - cho hai B j B1:80 B2:20 B3:60 ô cạnh V không đánh dấu Ai Khi ô V chia thành hai lớp : V+ : ô đợc đánh dấu + A1 : 50 V - : ô đợc đánh dấu - 50 Tìm ô đa lợng điều chỉnh : Giả A2 : sử { x ij : (i, j) V } = x i j ( i0 j ) 40 20 20 ô đa x i j lợng điều chỉnh , nói cách 11 A3 : khác tìm xem ô đánh dấu trừ ,ô 70 đợc phân hàng ô đa lợng 60 10 hàng ô lợng điều chỉnh Tìm phơng án sở xuất phát Phơng án X = (xij )mxn đợc tiính nh ( phơng pháp cực tiểu cớc phí ) sau : * Phân cho ô (1,3) ô có cx ij + x i j (i,j) V + ớc phí nhỏ , 50 đơn vị hàng , xoá hàng B3 cần 10 xij = x ij x i j (i,j) V* Phân cho ô (2,2) : 20 đơn vị hàng Xoá cột A2 lại 20 x ij (i,j) V * Phân cho ô (2,1) : 20 đơn vị Nhận xét : hàng xoá dòng B1 cần 10 * Phân cho ô (3,1) : 60 đơn vị +) Ô ( i0 j ) trớc có x i j đơn vị hàng hàng , xoá cột ô đánh dấu trừ nên bị trừ đI x i j đơn vị hàng * Phân cho ô (3,3) : 10 đơn vị thành ô loại hàng +) Ô (i*, j * ) trớc ô loại ô đánh dấu Ta đợc phơng án sở xuất + nên đợc cộng vào x i j đơn vị hàng thành ô phát : X = (0,0,50,20,0,60,0,10) ; giá trị chọn hàm mục tiêu : f(X) = 680 X = (x ) +) ij mxn phơng án x + Bớc : quy không cớc phí hàng cột vòng V đI qua có ô ô chọn : đánh dấu + ô đánh dấu nên tổng Tập ô chọn : n m G(X) = { (1,3), (2,1), (2,2), x ij x ij (3,1), (3,3) } j= i =1 Cộng vào hàng i số ri Vẫn không đổi (i=1,2,3) cột j số s j (j = 1,2,3) +) Phơng án X phơng án sở chấp nhận đợc ô chọn không tạo thành vòng cho cớc phí ô chọn 0 0 0 0 0 0 0 72 Phơng án tốt loại ô có cớc G(X) phí không thay vào ô có cớc phí nhỏ ơng trình : Sau có phơng án sở chấp nhận đợc ta quay lại từ bớc sau số hữu hạn lần lặp ta tìm đợc phơng án tối u toán vận tảI toán vận tảI cân thu phát có phơng án tối u , số phơng án sở chấp nhận đợc hữu hạn , tức ta có hệ ph- + r1 + s3 = + r2 + s1 = + r2 + s2 = + r + s = 11 + r3 + s3 = II Bi toỏn ti khong cõn bng thu phỏt Đây hệ gồm phơng trình , Khái niệm ẩn số Để giải ta cho ẩn Đó toán vận tải mà điều kiện cân bằng giá trị xác định Chẳng hạn r2 = m n Ta đợc : r1 = r3 = - , s1 = thu phát a i = b j ữ không đợc thoả mãn i = j = -3 , s2 = -2 , s3 = -7 Ma trận cớc Khi có khả xảy ra: m n a > i b j ữ (tức tổng lợng hàng phát j=1 i =1 điểm phát lớn tổng lợng hàng thu 8 phí la: 0 ữ ữ ữ + Bớc : kiểm tra điều kiện m n điểm thu) a i < b j ữ Ta xét tr- tối u j=1 i =1 Phơng án cha tối u có ô ờng hợp: loại (2;3) có cớc phí âm -1 m + Bớc : Lập phơng án : n a Nếu a i > b j ữ: Tìm ô đa vào : Vì ô (2;3) j=1 i =1 ô loại có cớc phí âm nên Ta đa thêm vào điểm thu giả B n +1 với lợng ô ô đa vào Tìm vòng điều chỉnh : bổ m n sung thêm ô (2;3) vào tập cá ô hàng thu tơng ứng b n +1 = a i b j ữ > chọn nên ta tìm đợc vòng j=1 i =1 xét toán vận tải với m điểm phát n+1 V = { (2;3)+, (3;3)- , (3;1)+ , điểm thu: (2;1)- } Đánh dấu ô vòng V: V+ = {(2;3) , (3;1) } V- = {(3;3) , (2;1) } Tìm ô đa : { x33 , x21} = (10;20) = 10 = x33 , nên ta có ô đa (3;3) , lợng điều chỉnh x33 =10 Lập phơng án : 73 x 23 = x 23 + 10 = + 10 = 10 m n +1 cijxij i =1 j=1 n +1 xij = a i j=1 m xij = b j i =1 x i = 1,m; j = 1,n + ij cin +1 = 0; i = 1,m ( ( )) ( x31 = x31 + 10 = 60 + 10 = 70 x33 = x33 10 = 10 10 = x 21 = x 21 10 = 20 10 = 10 Lợng hàng ô khác đợc giữ nguyên Ta có phơng án : ) Rõ ràng n +1 n n m n m j=1 j=1 j=1 i =1 j=1 i =1 b j = b j + bn +1 = b j + a i b j = a i x = (0, 0,50,10,20,10,70, 0, 0) f(x) = 670 Ta có phơng án sở chấp nhận đợc x Quay lại bớc ta có : + Bớc : Quy ô chọn : Nên toán toán vận tải cân thu phát, ta dùng thuật toán biết để giải ta thu đợc phơng án tối u ( )( + r1 + s3 = + r2 + s1 = + r2 + s2 = + r + s = + r3 + s3 = ) X = xij i = 1,m; j = 1,n + Nếu xin +1 > điều có nghĩa ta không vận chuyển hết hàng từ điểm phát Ai tồn đọng lợng hàng xin +1 m n b Nếu a i < b j ữ: j=1 i =1 Cho r2 ta đợc s1 = 0,s2 = 0, s3 = 1, r1 =-1 , r3 = Ta có ma trận cớc phí : Ta đa them biến phát giả A m +1 với lợng phát tơng ứng là: 0 0ữ ữ 1ữ n m a m +1 = b j ữ > i =1 Ta thấy ô loại đếu có cớc j=1 phí dơng Và xét toán vận tải vơi m+1 điểm phát n điểm thu: Vậy phơng án tối u giá trị tối u : x = (0, 0,50,10,20,10,70, 0, 0) f(x) = 670 74 m +1 n cijxij i =1 j=1 n x ij = a i i = 1,m + j=1 m +1 xij = b j j = 1,n i =1 x i = 1,m + 1; j = 1,n ij cm +1j = 0; j = 1,n Bài toán toán vận tải cân thu phát, ta dùng thuật toán biết để giải ta thu đợc phơng án tối u ( ) ( ( ( ) )) ( ( )( ) ) X = xij i = 1,m + 1; j = 1,n Nếu xm +1j > điều có nghĩa ta không đáp ứng đủ nhu cầu tiêu thụ điểm Bj , đòi hỏi lợng hàng xm +1j V Tng kt bi: - Nm c Thut toỏn quy khụng cc phớ - Cỏch gii bi toỏn ti khụng cõn bng thu phỏt VI Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp: 1.Giải toán vận tải với liệu cho bảng sau: Ai Bj B1 : 60 B : 70 B3 : 40 B : 30 A1 :100 A : 80 A3 : 20 60 10 30 ữ Đáp số: x = 60 20 ; f x = 460 ữ 0 20 ữ ( ) Giải toán vận tải với liệu sau: 75 ữ a) a = ( 50,80,30 ) ;b = ( 20, 40,60,30 ) ; C = ữ 5ữ t 20 50 0 ữ Đáp số: x = 40 30 10 ữ 20 10 0 ữ t ữ b) a = ( 25,10, 45 ) ;b = ( 10,30,50 ) ; C = ữ 2ữ 20 ữ Đáp số: x = 10 ữ 10 35 ữ 3.Trong vụ bão lụt vừa qua có điểm B1 ,B ,B ,B ,B bị ngập nặng, cần tiếp tế lơng thực với yêu cầu tơng ứng 10,10,10,20,20 ( tấn) Nhà nớc bố trí lơng thực cứu trợ kho A1 , A , A , A với trữ lợng tơng ứng 5,15,20,30 (tấn) Quãng đờng (km) từ kho đến điểm cần cứu trợ đợc cho bảng sau: Ai Bj B1 :10 B :10 B3 :10 B : 20 B : 20 A :15 A3 : 20 A : 30 11 A1 : Lập kế hoạch vận chuyển tối u, cho điểm cần cứu trợ nhận đủ số lơng thực tổng số tấn/km nhỏ 76 10 Đáp số: x = 0 0 0 5ữ ữ ; f x = 435 10 ữ ữ 0 15 15 ( ) 4.Trong vụ bão lụt vừa qua có điểm B1 ,B ,B ,B ,B bị ngập nặng, cần tiếp tế lơng thực với yêu cầu tơng ứng 10,10,10,20,20 ( tấn) Nhà nớc bố trí lơng thực cứu trợ kho A1 , A , A , A với trữ lợng tơng ứng 5,15,20,30 (tấn) Quãng đờng (km) từ kho đến điểm cần cứu trợ đợc cho bảng sau: Ai Bj B1 : 20 B :100 B3 :145 B : 30 B :150 A1 :120 A :150 A3 :150 A : 25 Lập kế hoạch vận chuyển tối u, cho điểm cần cứu trợ nhận đủ số lơng thực tổng số tấn/km nhỏ 0 120 0 ữ 0 150 ữ ; f x = 940 Đáp số: x = 20 75 25 30 ữ ữ 0 25 ( ) 5.Giải toán vận tải với liệu cho bảng sau: Ai Bj A1 : 40 B1 : 70 B : 20 15 12 B3 : 60 77 B : 80 A : 70 12 A3 :120 12 9 18 6.Giải toán vận tải với liệu cho bảng sau: Bj Ai B1 : 30 B :15 B3 : 20 B :15 A1 : 25 A :15 A3 : 40 7.Giải toán vận tải với liệu cho bảng sau: Bj Ai B1 :180 B : 200 B3 : 230 B : 280 A1 : 280 10 A : 320 12 A3 : 290 9.Giải toán vận tải với liệu cho bảng sau: Ai Bj B1 : B :15 B3 : 20 B :10 A1 :10 A : 25 A3 :15 VII Rỳt kinh nghim: 78 Trng khoa / T trng b mụn Ngy thỏng nm Ch ký giỏo viờn Bựi Vn Trng 79