11 hệ vecto độc lập phụ thuộc tuyến tính

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính II.. Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính 2.. Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ... Sự phụ thuộc – độc lập tuyế

Bài 2 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

1 Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

Trong không gian �n cho m vectơ

X ,X , ,X K

và m số thực bất kỳ  1, 2, , K m

1X1

  2X2   L mXm ��n

(*)

ĐN: Mỗi tổng , trong đó là các số thực cho trước

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ Các số được gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tính đó

(*)  1, 2, , K m

X ,X , ,X K

1, 2, , m

Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ n chiều

cho trước là một không gian con của không gian X ,X , ,X1 2 K m �n

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

ĐN: Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ

nếu vectơ là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này

X ,X , ,X K

Ví dụ 1: Cho các vectơ

1

X  2, 4 

Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ Nếu tồn tại bộ m số sao cho:

X ,X , ,X K

1, 2, , m

X   X   X    K X

 

2

 

X  5,1

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ hay không?  X ,X 

�

�

�

�

Ví dụ 2: Cho các vectơ

1

X  3, 1,0,5 

2

X  4, 2,0,3 

X  2, 4,7, 3  

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ hay không?  X ,X ,X1 2 3

1, 2, 3 X 1.X1 2.X2 3.X3

Trả lời: Không biểu diễn được

3

X  7, 1,0,4 

NX: Vectơ không luôn biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vectơ cùng chiều:

0  0.X  0.X   L 0.X

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn tầm thường.

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

1 Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính

ĐN: Ta nói rằng hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ

khi tồn tại m số thực , trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho:

X ,X , ,X K

1, 2, , m

1X1 2X2 mXm 0n

(*)

Ngược lại, nếu đẳng thức chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng

0 thì ta nói hệ vectơ độc lập tuyến tính.       1 2 L m 0  (*)

Xem xét hệ thức dưới dạng biểu diễn vectơ qua hệ0n

Có i

0

 � Phụ thuộc tuyến tính

�

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

BT: Xét xem hệ vectơ X ,X , ,X1 2 K độc lập hay phụ thuộc tuyến tínhm

1X1 2X2 mXm 0n

(*)

Xét hệ thức:

Viết lại dưới dạng đẳng thức vectơ dưới dạng cột:

(*)

n

0

��

L

Đưa hệ vectơ này về hệ thuần nhất:

�

�

�

�

�

L L

L

1

n1 n 2 nm n m

A

�





L L

L L

Có

i 0

�

       L ĐL

�

Hệ TN có ma trận hệ số:

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

Thuật toán xét hệ vectơ độc lập – phụ thuộc tuyến tính:X ,X , ,X1 2 K m

Bước 1: Lập ma trận A, với các cột là các vectơ X ,X , ,X1 2 K m

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, đưa A về một trong 2 dạng (tam

giác hoặc hình thang), nếu A đưa được về tam giác (có nghiệm duy nhất là nghiệm 0) thì hệ độc lập; Ngược lại, nếu A đưa được về dạng hình thang (vô số nghiệm), thì hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

3 Một số ví dụ

1 2

n







K K

L L L L L L L

K

Ví dụ 1: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ �n

Lời giải:

A



L L

L

Lập ma trận A:

1

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

3 Một số ví dụ

X  2, 1,6 ,X   3,2, 5 ,X   2,6, 3 

Biến đổi sơ cấp trên A ta được:

Ví dụ 2: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ �3

Lời giải:

Lập ma trận A:

1

� 2

�

( 3) 

�

1

�

�� �

2

� 1

�

�� �

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

3 Một số ví dụ

X  4, 2,3 , X    1,5,3 , X  2, 4, 1  

Biến đổi sơ cấp trên A ta được:

Ví dụ 3: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ �3

Lời giải:



Lập ma trận A:

1

� 2

�

( 3) 

�

4

�

�� �



( 5) 

� 3

�

�� �

� Hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính



�� �

