11 hệ vecto độc lập phụ thuộc tuyến tính

Bài Các mối liên hệ tuyến tính khơng gian vectơ I II Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Một số ví dụ I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Trong không gian �n cho m vectơ X1 , X ,K , X m m số thực 1 ,  ,K ,  m 1X1   X L   m X m ��n ĐN: ( ) * , 1 ,  ,K ,  m số thực cho trước ( ) * gọi tổ hợp tuyến tính vectơ X1 , X ,K , X m Mỗi tổng Các số 1 ,  ,K ,  m gọi hệ số tổ hợp tuyến tính Định lý: Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính vectơ n chiều X1 , X ,K , X m cho trước không gian không gian �n I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính ĐN: Ta nói vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1 , X ,K , X m vectơ tổ hợp tuyến tính hệ vectơ Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ X1 , X ,K , X m Nếu tồn m số 1 ,  ,K ,  m cho: X  1X1   X  K   m X m Ví dụ 1: Cho vectơ X1   2, 4  X   3,5  X   5,1 � � � � X  1.X1  1.X � � Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ  X1 , X  hay không? Trả lời: Biểu diễn Ví dụ 2: Cho vectơ X1   3, 1,0,5  X   4, 2,0,3 X   7, 1,0,  X   2, 4,7, 3 Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ  X1 , X , X  hay không? Trả lời: Không biểu diễn 1 ,  ,  NX: X 1.X1   X   X3 Vectơ khơng ln biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ chiều: 0n  0.X1  0.X  L  0.X n Biểu diễn gọi biểu diễn tầm thường II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính ĐN: Ta nói hệ vectơ X1 , X ,K , X m phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực 1 ,  ,K ,  m , có số khác 0, cho: 1X1   X  L   m X m  0n ( ) * Ngược lại, đẳng thức thỏa mãn tất hệ số vế trái ( ) *  1    L   m   ta nói hệ vectơ độc lập tuyến tính Xem xét hệ thức ( ) * dạng biểu diễn vectơ 0n qua hệ X1 , X ,K , X m Có  i �0 � Phụ thuộc tuyến tính 0n  1X1   X  L   m X m 1    L   m  � Độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính BT: Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Xét xem hệ vectơ X1 , X ,K , X m độc lập hay phụ thuộc tuyến tính 1X1   X  L   m X m  0n Xét hệ thức: Viết lại ( ) * ( ) * dạng đẳng thức vectơ dạng cột: �a11 � �a12 � �a1m � �� � � �a � � � �� a a 1 �21 �  � 22 � L   m �2m � �� �M� �M � �M � �� M � � � � � � �� a a a � � { {n1 � � {n � {nm � �� X1 X2 0n Xm Có  i �0 � PT 1    L   m  � ĐL Đưa hệ vectơ hệ nhất: �a111 � a 211 � � �L � a n11 � X1  a12   L  a1m  n   a 22  L  a n 2  L L  L  a 2m  n L  a nm  n  X2 Xm 0 L  0n Hệ TN có ma trận hệ số: �a11 a12 � a 21 a 22 � A �L L � a n1 a n � L L L L   X1X L X m  a1n � a 2n � � L � � a nm � n�m II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Thuật tốn xét hệ vectơ X1 , X ,K , X m độc lập – phụ thuộc tuyến tính: Bước 1: Lập ma trận A, với cột vectơ X1 , X ,K , X m Bước 2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp, đưa A dạng (tam giác hình thang), A đưa tam giác (có nghiệm nghiệm 0) hệ độc lập; Ngược lại, A đưa dạng hình thang (vơ số nghiệm), hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 1: Xét hệ vectơ khơng gian vectơ �n E1   1,0,0,K ,0  E   0,1,0,K ,0  LLLLLLL E n   0,0,0,K ,1 Lời giải: Lập ma trận A: �1 �0 A� � L � �0 E1 L L L L L E2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính 0� 0� � L � � 1� En II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 2: Xét hệ vectơ không gian vectơ �3 Lời giải: X1   2, 1,6  , X   3, 2, 5  , X   2,6, 3  Lập ma trận A: �2 � � A�  � � �6 5 3 � � � Biến đổi sơ cấp A ta được: �2 � �1 �(3) ��2 �� � A�  � � �6 5 3 ��1 � � �� � 2� � � � 14 � � � � 0 19 � � � 2� � � � �2 14 � � � 14 9 � � ��1 �� � Hệ vectơ cho độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 3: Xét hệ vectơ không gian vectơ �3 Lời giải: X1   4, 2,3 , X   1,5,3 , X   2, 4, 1 Lập ma trận A: �4 1 � � A�   � � �3 1 � � � Biến đổi sơ cấp A ta được: �4 1 � �1 �(3) ��2 �� � A�   � � �3 1 ��4 � � �� � �4 1 � � �  � � � 0 0� � � � 1 � � � � �(5) �� �  � � � 15 10 � � ��3 Hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính ...  L   m  � Độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính BT: Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Xét xem hệ vectơ X1 , X ,K , X m độc lập hay phụ thuộc tuyến tính 1X1  ... � a nm � n�m II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Thuật tốn xét hệ vectơ X1 , X ,K , X m độc lập – phụ thuộc tuyến tính: Bước 1: Lập ma trận A, với... diễn gọi biểu diễn tầm thường II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính ĐN: Ta nói hệ vectơ X1 , X ,K , X m phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực 1 ,  ,K ,  m