HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ; https://123doc.net/users/home/user_home.php?. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUY

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ;

https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916

PP ma trận & định thức

Hệ PTrTT tổng quát

Hệ PTrTT thuần nhất Một số MHTT trong kinh tế

1 2 3 4

PP ma trận & định thức Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

I Các dạng biểu diễn

II Điều kiện có nghiệm

I Các dạng biểu diễn:

1 Dạng khai triển:

Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn,

có thể biểu diễn dưới 3 dạng:















a x + a x + + a x = b

a x + a x + + a x = b

a x + a x + + a x = b

2 Dạng ma trận:

AX = B

Trong đó A là ma trận hệ số; X là ma trận cột các ẩn; B là ma

trận cột số hạng tự do

3 Dạng vectơ:

1 1  2 2   n n

NX: Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính

qua hệ vectơ cột của ma trận A

Khi đó nghiệm của hệ là các hệ số của sự biểu diễn tuyến tính đó

Xét hệ phương trình m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn.

Hệ phương trình trên có 3 khả năng về nghiệm:

 Hệ có vô số nghiệm (đưa được về dạng HÌNH THANG)

Khi nào thì hệ có nghiệm?

 Hệ vô nghiệm; (xuất hiện phương trình 0.x1+∙∙∙+ 0.xn = b ≠ 0)

 Hệ có nghiệm duy nhất; (đưa được về dang TAM GIÁC)

II Điều kiện có nghiệm:















11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x + a x + + a x = b

a x + a x + + a x = b

a x + a x + + a x = b

Định lý CRONECKER - CAPELLI

Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng

   

r A = r A

II Điều kiện có nghiệm:

Chứng minh:

( sử dụng dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính)

1 2 , , n 1 2 , , n ,

 r A , A A = r A , A A B  r A = r A   

Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính qua

hệ vectơ cột của ma trận A

Khảo sát một hệ phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ

số là A và ma trận mở rộng là

Trước hết ta tính r(A) và

1 Nếu thì hệ VÔ NGHIỆM;r A   r A hay r A < r A       

 

r A

2 Nếu thì hệ CÓ NGHIỆM; Khi đó:r A = r A = r   

a Nếu r = n ( số ẩn) thì hệ CÓ NGHIỆM DUY NHẤT (hệ tương đương với một hệ Cramer)

b Nếu r < n thì hệ CÓ VÔ SỐ NGHIỆM;

Trong trường hợp này với là một định thức con cơ

sở của A thì:

 Hệ phương trình sẽ tương đương với hệ gồm các phương trình thứ i1, i2,…, ir của hệ phương trình ban đầu - một hệ

phương trình cơ sở của hệ ban đầu (không duy nhất).

là các ẩn tự do

1 2 r

1 2 r

j j j

i i i

D

A

1 2 r

1 2 r

j j j

i i i

D

Ví dụ 1:







a x + b y = c

Chứng minh cơ sở của phương pháp biện luận hệ phương trình đại số đã học ở THPT

Lời giải:

Tính giá trị các định thức:

 

 

a b

D = = ab - ba ;

a b

Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất là:  

y

D

x = ,y =

x

Nếu D = 0 Xét 2 trường hợp:



2 2

x y

D + D 0 Nếu thì hệ vô nghiệm;

2 2

x y

D + D = 0

Nếu thì hệ có vô số nghiệm;

    

1= r A r A = 2

   

r A = r A = 1< 2

Vì khi đó ta có: r A = r A = 2   









VD2: Giải hệ phương trình

Tìm hạng ma trận hệ số và ma trận mở rộng:

-1 2 -2 3

A = 2 -4 -1 -2

3 -6 -4 -1

;

-1 2 -2 3 -2

A = 2 -4 -1 -2 3

3 -6 -4 -1 4

Ta sẽ tìm được: r A = r A = 2    và D1223 là một đ/thức con cơ sở của A

=> Hệ sẽ tương đương với hệ gồm 2 phương trình thứ nhất và thứ





-x + 2x - 2x + 3x = -2 2x - 4x - x - 2x = 3

Các ẩn x2, x3 là các ẩn chính; Các ẩn x1, x4 là các ẩn tự do Gán

x1 =α; x4= β tùy ý, ta được hệ phương trình:







2 3

2 3

2x - 2x = -2 + α-3β - 3 β -4x - x = 3 - 2 + 2 α-3β β

=> Nghiệm tổng quát của hệ pt là: α, -8 + 5α - 7β 1+ 4β, ,β

Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình

Lời giải:

Xét định thức của ma trận hệ số:

2

= m + 7m - 8 = (m -1)(m + 8)

Nếu m 1 v à à m -8 thì hệ trên là hệ Cramer, nghiệm

là:

y











2x - y + mz = m

mx + 4y - 2mz = 0

m + 2 x + 3y - z = 1

Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình

x

m -1 m

d = 0 4 -2m

1 3 -1

y

z

2 -1 m

d = m 4 0

m + 2 3 1

2

= 6m - 6m = 6m(m -1)

   

= -2m - 2m + 4m = -2m m -1 m + 2

2

= -m - 7m + 8 = (m -1)(-m - 8)

6m -2m(m + 2)

x = ,y = ,z = -1

m + 8 m + 8











2x - y + mz = m

mx + 4y - 2mz = 0

m + 2 x + 3y - z = 1

Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình

Nếu m = 1 khi đó hệ trên trở thành











Hệ này có nghiệm do r A = r A = 2   

Giải hệ bằng cách đưa hệ về dạng hình thang, ta được nghiệm:



-2 +1α-3β 5 -1α-3β

x = ,y = ,z = α-3β ; α-3β











2x - y + mz = m

mx + 4y - 2mz = 0

m + 2 x + 3y - z = 1

Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình

=> r A = 2 

Suy ra hệ vô nghiệm, vì



234 123

Nếu m = -8 ta có :



4 16

3 -1

=> r A = 3  

    

Trong khi đó











2x - y + mz = m

mx + 4y - 2mz = 0

m + 2 x + 3y - z = 1

Ví dụ 4:











5x - y + kz = -3

kx + 2y + (k + 2)z = 5 -2x + y + kz = 3 Cho hệ phương trình

Chứng minh rằng với mọi k hệ không có nhiều hơn 1 nghiệm

Giải:

Xét ma trận mở rộng:

Trong khi đó r(A) ≤ 3 với mọi k

Nếu r(A) < 3 thì hệ vô nghiệm

Nếu r(A) = 3 thì hệ là hệ Cramer (có nghiệm duy nhất)

Suy ra điều phải chứng minh

Vậy:

124 123

 

 r A = 3; k

Ta có:

Ví dụ 5: Cho A là một ma trận vuông cấp 4 Xét hệ phương trình

tuyến tính viết dưới dạng ma trận:

1) Chứng minh rằng với mọi a, b, c hệ luôn có nghiệm

Giải:

2) Trong trường hợp A không suy biến hãy giải hệ pt đã cho

1) Ta có với mọi a, b, c thì hạng ma trận hệ số luôn bằng hạng của

ma trận mở rộng => hệ luôn có nghiệm

2) Trong trường hợp A không suy biến hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất và nghiệm của hệ là hệ số của sự bdtt cột số hạng tự do qua các cột của A nên nghiệm là (a, b, c, 0)