HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PP ma trận & định thức Hệ PTrTT tổng quát Hệ PTrTT Một số MHTT kinh tế Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT I Các dạng biểu diễn II Điều kiện có nghiệm I Các dạng biểu diễn: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn, biểu diễn dạng: Dạng khai triển: �a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 �a x + a x + + a x = b � 21 22 2n n � � � am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm � Dạng ma trận: AX = B Trong A ma trận hệ số; X ma trận cột ẩn; B ma trận cột số hạng tự Dạng vectơ: x1A1c  x A c2   x n A cn = B NX: Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ cột ma trận A Khi nghiệm hệ hệ số biểu diễn tuyến tính II Điều kiện có nghiệm: Xét hệ phương trình m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn �a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 �a x + a x + + a x = b � 21 22 2n n � � � am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm � Hệ phương trình có khả nghiệm:  Hệ vô nghiệm; (xuất phương trình 0.x1+∙∙∙+ 0.xn = b ≠ 0)  Hệ có nghiệm nhất; (đưa dang TAM GIÁC)  Hệ có vơ số nghiệm (đưa dạng HÌNH THANG) Khi hệ có nghiệm? II Điều kiện có nghiệm: Định lý CRONECKER - CAPELLI Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng   r A = r A Chứng minh: dụng dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính) ( sử Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ cột ma trận A    � r  A1c , A c2 , , A cn  = r  A1c , A c2 , , A cn , B    � r A = r A Khảo sát hệ phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ số A ma trận mở rộng A Trước hết ta tính r(A) r  A   Nếu r  A  �r  A  hay r  A  < r  A   hệ VƠ NGHIỆM; Nếu r  A  = r  A  = r hệ CĨ NGHIỆM; Khi đó: a Nếu r = n ( số ẩn) hệ CĨ NGHIỆM DUY NHẤT (hệ tương đương với hệ Cramer) b Nếu r < n hệ CĨ VƠ SỐ NGHIỆM; jr Trong trường hợp với Dij1ij2 i định thức 12 r sở A thì:  Hệ phương trình tương đương với hệ gồm phương trình thứ i1, i2,…, ir hệ phương trình ban đầu - hệ phương trình sở hệ ban đầu (không nhất)  Và ẩn có số j1, j2,…, jr ẩn chính, ẩn cịn lại ẩn tự Ví dụ 1: Chứng minh sở phương pháp biện luận hệ phương trình đại số học THPT �ax + by = c � a� x + b� y = c� � Lời giải: Tính giá trị định thức: a b c b a c D= =ab� -ba� ; Dx = =cb� -bc� ; Dy = =ac� - ca� a� b� c� b� a� c� Nếu D ≠ hệ có nghiệm là: Vì ta có: r  A  =r  A  =2 Dy � � Dx �x = D ,y = D � � � Nếu D = Xét trường hợp: 2 Nếu Dx +Dy �0 hệ vơ nghiệm; Nếu D2x +D2y =0 hệ có vơ số nghiệm;   r  A  =r  A  =1 Hệ tương đương với hệ gồm phương trình thứ thứ hai: -x1 + 2x - 2x + 3x = -2 � � 2x1 - 4x - x - 2x = � Các ẩn x2, x3 ẩn chính; Các ẩn x1, x4 ẩn tự Gán x1 =α; x4= β tùy ý, ta hệ phương trình: 2x2 - 2x3 =-2+α - 3β � � -4x2 - x3 =3- 2α +2β � � -8 + 5α - 7β 1+ 4β � , ,β � => Nghiệm tổng quát hệ pt là: �α, 10 � � Ví dụ 3: Giải biện luận hệ phương trình - y + mz = m � 2x � + 4y - 2mz = � mx �  m+2 x + 3y - z = � Lời giải: Xét định thức ma trận hệ số: -1 m d= A = m -2m =m2 +7m- =(m-1)(m+8) m+2 -1 Nếu m �1 àm �-8 hệ hệ Cramer, nghiệm là: dy � dx dz � x = ,y = ,z = � d � d d � � Ví dụ 3: Giải biện luận hệ phương trình - y + mz = m � 2x � + 4y - 2mz = � mx �  m+2 x + 3y - z = � m -1 dx = m -2m =6m2 - 6m=6m(m-1) -1 m m dy = m -2m =-2m3 - 2m2 +4m=-2m m-1  m+2 m+2 -1 -1 m dz = m m+2 =-m2 -7m+8 =(m-1)(-m- 8) -2m(m+2) � 6m � � �x = ,y = ,z =-1� m+8 � m+8 � Ví dụ 3: Giải biện luận hệ phương trình - y + mz = m � 2x � + 4y - 2mz = � mx �  m+2 x + 3y - z = � Nếu m = hệ trở thành 2x - y + z = � � �x + 4y - 2z = � 3x + 3y - z = �   Hệ có nghiệm r  A  =r A =2 Giải hệ cách đưa hệ dạng hình thang, ta nghiệm: 5α -1 � -2α +1 � x = ,y = ,z =α ; α �� � � 9 � � Ví dụ 3: Giải biện luận hệ phương trình - y + mz = m � 2x � + 4y - 2mz = � mx �  m+2 x + 3y - z = � ta có : Nếu m = -8 => 123 123 D 16 = A =0, D = =-52 �0 -1 23 23 r  A  =2 -1 -8 -8 234 Trong D123 = 16 =432 �0 -1 =>   r A =3   Suy hệ vơ nghiệm, r  A  �r A Ví dụ 4: Cho hệ phương trình kz = -3 �5x - y + � �kx + 2y + (k+2)z = �-2x + y + kz = � Chứng minh với k hệ nhiều nghiệm Giải: Xét ma trận mở rộng: Ta có: D124 123 = k �5 -1 k -3� A =�k k+2 � � � � -2 k 3� � � -1 -3 -2   =3 � r A =3; k Trong r(A) ≤ với k Vậy: Nếu r(A) < hệ vơ nghiệm Nếu r(A) = hệ hệ Cramer (có nghiệm nhất) Suy điều phải chứng minh Ví dụ 5: Cho A ma trận vuông cấp Xét hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận: AX=aA1c +bA c2 +cA 3c ; a,b,c �R 1) Chứng minh với a, b, c hệ ln có nghiệm 2) Trong trường hợp A khơng suy biến giải hệ pt cho Giải: 1) Ta có với a, b, c hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng => hệ ln có nghiệm 2) Trong trường hợp A khơng suy biến hệ pt cho có nghiệm nghiệm hệ hệ số bdtt cột số hạng tự qua cột A nên nghiệm (a, b, c, 0) ...Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PP ma trận & định thức Hệ PTrTT tổng quát Hệ PTrTT Một số MHTT kinh tế Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT I Các dạng biểu diễn II... CRONECKER - CAPELLI Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng   r A = r A Chứng minh: dụng dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính) ( sử Hệ phương trình có nghiệm... n hệ CĨ VƠ SỐ NGHIỆM; jr Trong trường hợp với Dij1ij2 i định thức 12 r sở A thì:  Hệ phương trình tương đương với hệ gồm phương trình thứ i1, i2,…, ir hệ phương trình ban đầu - hệ phương trình