chương 3: Tổng quát về hệ phương trình tuyến tính tổng quát trong Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1, và các phương pháp giải ma trận tuyến tính, tài liệu và bài giảng của khoa toán trường đại học Kinh tế quốc dân.
§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT 1. Các dạng biểu diễn của hệ phương trình. Dạng khai triển (dạng tổng quát): Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số có dạng: Dạng ma trận : ma trận hệ số : cột ẩn số : cột số hạng tự do. Dạng véc tơ: cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của ma trận hệ số) Nhận xét: Hệ có nghiệm Cột số hạng tự do B biểu diễn tuyến tính qua các cột của ma trận hệ số . 2. Điều kiện có nghiệm Định lý (Cronecker - Capelli) “Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng: ” Chứng minh(gồm hai phần) Giả sử hệ có nghiệm, ta cần chứng minh: + Thật vậy, theo định nghĩa về hạng ta có: + Vì hệ có nghiệm nên: B bdtt qua Giả sử : Ta cần chứng minh hệ có nghiệm + Thật vậy, Giả sử: , Lấy một cơ sở của hệ véc tơ cột của A: . Dễ thấy (hệ con ĐLTT có số véc tơ bằng hạng) cũng là cơ sở của hệ véc tơ cột của . Suy ra, B bdtt qua B bdtt qua (mỗi véc tơ còn lại gán hệ số bằng 0). Như vậy, cột số hạng tự do B bdtt qua các cột của ma trận hệ số, do đó hệ có nghiệm. Định lý được chứng minh. 3. Khảo sát tổng quát hệ pttt Xét hệ pttt n ẩn số: Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ số và ma trận mở rộng: Nếu Hệ vô nghiệm. Nếu : Hệ có nghiệm. Để tìm nghiệm, ta chọn một định thức con cơ sở bất kỳ của A. Không mất tổng quát ta giả sử: Là một định thức con cơ sở của A. Do , nên D đồng thời cũng là định thức con cơ sở của . Từ đây suy ra, r dòng đầu của là một cơ sở của hệ véc tơ dòng của nó. Suy ra, các dòng từ dòng thứ r+1 đến dòng m bdtt qua r dòng đầu. Từ đó ta có thể biến đổi các dòng r+1,…,m thành các dòng bằng 0. Điều này chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở): [...]... ý: , ta được hệ: Giải hệ này ta thu được: Nghiệm tổng quát của hệ đã cho là: Ví dụ 2: Giải hệ sau Giải: Tìm Ta có: Biến đổi sơ cấp trên (Không đổi chỗ cột cuối cho các cột còn lại) Vậy hệ vô nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ sau Giải: Tìm Biến đổi sơ cấp trên Hệ có nghiệm duy nhất Để lập hệ cơ sở, ta chọn một định thức con Nên hệ cơ sở gồm 3 PT đầu: cơ sở của A Đây là hệ Cramer, nên... do các số tùy ý ta được một hệ Cramer (với các ẩn chính) Giải hệ Cramer theo quy tắc Cramer ta biểu diễn được ẩn chính qua ẩn tự do Trường hợp này hệ có Vô số nghiệm Tóm tắt các bước giải hệ Bước 1: Lập và tính Nếu hệ vô nghiệm Nếu (n:số ẩn) hệ là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất (xác định bằng quy tắc Cramer) Nếu hệ có vô số nghiệm, chuyển sang Bước 2 Bước 2: Từ , Chọn một định thức... nhiên là: và ta có thể biết được số nghiệm của hệ (không cần giải) : hệ vô nghiệm : hệ có nghiệm duy nhất : hệ vô số nghiệm Ví dụ: Giải hệ sau Giải: Tìm Ta có: Biến đổi sơ cấp trên (Không đổi chỗ cột cuối cho các cột còn lại) Chọn một định thức con cơ sở của A (cấp 2 khác 0): Từ định thức con cơ sở này ta lập hệ PT cơ sở (giữ lại 2 PT đầu của hệ đã cho) Cũng từ định thức con cơ sở ta quy định... Chú ý: Nếu thì hệ đã cho là hệ cramer, do đó nó có nghiệm duy nhất (xác Hệ PT cơ sở được lập bằng cách giữ lại các PT của hệ ban đầu có Hệ PT cơ định theo quy tắc Cramer) sở của hệ ban đầu cùng chỉ số dòngchỉ số trên của định thức con cơ sở : số Nếu Theo các với định thức con cơ sở của ma trận hệ Và việc giải hệ ban đầu được chuyển thành việc giải hệ PT cơ sở (vì chúng tương đương)... con cơ sở của A: Từ D lập hệ phương trình cơ sở (Giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở) Giải hệ cơ sở bằng cách: Quy định ẩn chính là (Các ẩn cùng chỉ số cột của định thức con cơ sở), các ẩn còn lại là các ẩn tự do Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý, chuyển chúng sang vế phải ta được hệ Cramer với các ẩn là ẩn chính Giải hệ này ta thu được nghiệm tổng quát Lưu ý: Chỉ bằng 3 . hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở): Nếu thì hệ đã cho là hệ cramer, do đó nó có nghiệm duy nhất (xác định theo quy tắc Cramer) Nếu . Theo các chỉ số trên. Cramer) Nếu . Theo các chỉ số trên của định thức con cơ sở : Hệ PT cơ sở của hệ ban đầu Chú ý: Hệ PT cơ sở được lập bằng cách giữ lại các PT của hệ ban đầu có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ. của ma trận hệ số, do đó hệ có nghiệm. Định lý được chứng minh. 3. Khảo sát tổng quát hệ pttt Xét hệ pttt n ẩn số: Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ số và ma trận mở rộng: Nếu Hệ vô