HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PP ma trận & định thức Hệ PTrTT tổng quát Hệ PTrTT Một số MHTT kinh tế Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT I Điều kiện có nghiệm khơng tầm thường II Cấu trúc tập hợp nghiệm, hệ nghiệm III Mối liên hệ với hệ khơng I Điều kiện có nghiệm không tầm thường Xét hệ nhất:  a11x1 + a12x2 + + a1nxn =  a x + a x + + a x =  21 22 2n n   am1x1 + am2x2 + + amnxn = Hệ ln có nghiệm, nghiệm tầm thường (0, 0,…, 0) ( Kiểm nghiệm lại: Ta ln có r ( A ) =r A =A |O ) (1) Nếu r(A) = n (số ẩn) hệ CĨ NGHIỆM DUY NHẤT; hay có nghiệm tầm thường (x1 = 0, x2 = 0,…, xn = 0) (2) Nếu r(A) < n hệ CĨ VƠ SỐ NGHIỆM; hay có nghiệm khác nghiệm tầm thường ĐL: Hệ có nghiệm khác nghiệm tầm thường hạng ma trận hệ số nhỏ số ẩn ( r(A) < n) I Điều kiện có nghiệm khơng tầm thường Một vài hệ quả: HQ1: Hệ với số phương trình số ẩn có nghiệm khác nghiệm tầm thường ma trận hệ số ma trận suy biến (có định thức 0) HQ2: Hệ với số phương trình nhỏ số ẩn ln có nghiệm khác nghiệm tầm thường (có vơ số nghiệm) I Điều kiện có nghiệm khác nghiệm tầm thường Ví dụ: Tìm điều kiện tham số m để hệ sau có nghiệm khác nghiệm tầm thường 5z = mx - 2y +   3x + y + ( 2m -1) z =  x + 3y mz =  Xét ma trận hệ số   m -2 A =  2m -1÷  ÷ 1 -m ÷   ( ) det ( A ) = -7m2 - 7m + 42 = -7 m2 + m - = -7 ( m + ) ( m - ) Hệ có nghiệm khơng tầm thường det(A) = m = -3 ⇔ m = II Không gian nghiệm hệ nhất, hệ nghiệm Xét hệ phương trình tuyến tính nhất:  a11x1 + a12x2 + + a1nxn =  a x + a x + + a x =  21 22 2n n   am1x1 + am2x2 + + amnxn = (1) ĐL: Tập hợp tất nghiệm hệ (1) không gian vectơ không gian vectơ Rn (không gian nghiệm) Hướng dẫn chứng minh: Viết lại hệ (1) dạng phương trình ma trận: AX = O Mỗi nghiệm hệ vectơ G (n chiều) thỏa mãn AG = O  Tập hợp nghiệm khác Ø, On nghiệm hệ;  Tập nghiệm đóng kín phép cộng nghiệm (vectơ):  Tập nghiệm đóng kín phép nhân nghiệm (vectơ) với số: II Không gian nghiệm hệ nhất, hệ nghiệm Xét hệ phương trình tuyến tính nhất:  a11x1 + a12x2 + + a1nxn =  a x + a x + + a x =  21 22 2n n   am1x1 + am2x2 + + amnxn = (1) ĐN: Cơ sở không gian nghiệm hệ gọi hệ nghiệm hệ Ta chứng minh được: Khi hệ (1) có vơ số nghiệm (r(A) < n) khơng gian nghiệm hệ (1) không gian n – r(A) chiều, nghĩa hệ nghiệm (1) có n – r(A) vectơ nghiệm II Không gian nghiệm hệ nhất, hệ nghiệm Thuật tốn tìm hệ nghiệm hệ :  Giải hệ để đưa nghiệm tổng qt (và tìm r(A)) Trong cơng thức nghiệm có n – r(A) tham số α1, α2, , αn – r(A) (ứng với n – r(A) ẩn tự do)  n – r(A) nghiệm hệ nghiệm tìm sau:  Nghiệm thứ nhất: thay α1 = 1, α2 = 0, , αn – r(A) = 0;  Nghiệm thứ hai : thay α1 = 0, α2 = 1, , αn – r(A) = 0;  Nghiệm thứ n – r(A): thay α1 = 0, α2 = 0, , αn – r(A) = 1; Chú ý: Ta thay n – r(A) giá trị gán cho ẩn tự (là E1, E2, , En – r(A)) sở kgvt Rn – r(A) II Không gian nghiệm hệ nhất, hệ nghiệm Ví dụ 1: Tìm hệ nghiệm hệ phương trình  -x1 + x2 + 3x3 - x4 3x - 4x - 2x + 3x    2x1 - 3x2 + x3 + 2x4  x1 - 2x2 + 4x3 + x4 = = = = 0 0 Biến đổi ma trận hệ số:  -1 3 A = 2  1 -1  -1 -4 -2 ÷  ÷→ -3 ÷  ÷ 0 -2   3 -1  -1 0 -1 ÷ ÷ → -1 ÷ 0 ÷  -1  0 => Hạng ma trận hệ số r(A) = -1 -1 ÷ ÷ 0 0÷ ÷ 0 0 II Không gian nghiệm hệ nhất, hệ nghiệm Ta hệ phương trình  -x1 +x2 +3x3 - x4 =0  =0  - x2 +7x3 Các ẩn x1, x2 ẩn chính; x3, x4 ẩn tự Gán x3 = α; x4 = β tùy ý, ta được nghiệm tổng quát hệ là: ( x1 =10α -β,x2 =7α,x3 =α,x4 =β ) , α,β ∈ R Do r(A) = nên hệ nghiệm có – = nghiệm: Thay α = 1, β = ta nghiệm riêng: P1 =( 10,7,1,0) Thay α = 0, β = ta nghiệm riêng: P2 =( -1,0,0,1) Vậy hệ nghiệm gồm nghiệm là: {P1, P2} II Không gian nghiệm hệ nhất, hệ nghiệm Ví dụ 2: Tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số là:  -2 -4 A = -4 -3     -1 -2 -2 Giải: Biến đổi ma trận hệ số:  -2 -4  -2 -4   -2 -4  A = -4 -3  →  -1 -16 →  -1 -16        -1 -2 -2  -1 -16  0 0  Ta r(A) = hệ phương trình:  -2x1 +3x2 +x3 - 4x4 =0  7x2 - x3 -16x4 =0  Các ẩn x1, x2 ẩn chính; x3, x4 ẩn tự Gán x3 = α; x4 = β tùy ý, ta được nghiệm tổng quát hệ là: 5α +10β α +16β   x = ,y = ,z =α,t =β  ÷, α,β ∈ ¡ 7   Do r(A) = nên hệ nghiệm có – = nghiệm: P1 =( 5,1,7,0) ; P2 =( 10,16,0,7) III Mối liên hệ với hệ khơng Xét hệ phương trình  a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1  a x + a x + + a x = b  21 22 2n n   am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm  a11x1 + a12x2 + + a1nxn =  a x + a x + + a x =  21 22 2n n   am1x1 + am2x2 + + amnxn = (1) (2) Hệ phương trình (2) gọi hệ liên kết với hệ pt (1) Viết hệ phương trình dạng ma trận: AX = B (1) AX = O (2) III Mối liên hệ với hệ không Định lý: 1) Hiệu hai nghiệm hệ phương trình tuyến tính không (1) nghiệm hệ phương trình liên kết (2) nó; 2) Tổng nghiệm hệ phương trình tuyến tính khơng (1) nghiệm hệ liên kết (2) nghiệm hệ không (1) Ta suy ra: Nếu biết nghiệm tổng qt hệ phương trình khơng nhất, ta biết nghiệm tổng quát hệ liên kết cách lấy nghiệm tổng quát trừ nghiệm riêng (thường lấy nghiệm riêng ứng với trường hợp ẩn tự nhận giá trị 0) III Mối liên hệ với hệ khơng Ví dụ: Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình sau, sau hệ nghiệm hệ liên kết  2x  x    -4x  -3x + + + + 3y 8y 7y 2y + + + z + 4t = 3z + 7t = 9z + 2t = -1 5z - t = -2 Biến đổi ma trận mở rộng hệ phương trình ta có kết quả: 2 1   -4  -3  -1 7 2 -1 3 1 0 4÷ ÷ →  -1÷ 0 0 -2÷   13 10 0 0 0 4 5÷ ÷ 0÷ 0÷  III Mối liên hệ với hệ không Nghiệm tổng quát hệ là: 17   x =α 13  11 β+ 13 12 ,y =13 α13 10 β+ 13  ,z =α,t =β , ÷α,β 13  Một nghiệm riêng hệ là: 12   x = ,y = ,z =0,t =0  ÷ 13 13   Nghiệm tổng quát hệ liên kết là: 17   x =α 13  11 β,y =13 α13 10  β,z =α,t =β , ÷α,β 13  Một hệ nghiệm hệ là: G1 =( 17,-7,13,0) ; G2 =( -11,-10,0,13) ∈¡ ∈¡ ... (2) Hệ phương trình (2) gọi hệ liên kết với hệ pt (1) Viết hệ phương trình dạng ma trận: AX = B (1) AX = O (2) III Mối liên hệ với hệ không Định lý: 1) Hiệu hai nghiệm hệ phương trình tuyến tính. ..Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PP ma trận & định thức Hệ PTrTT tổng quát Hệ PTrTT Một số MHTT kinh tế Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT I Điều kiện có nghiệm khơng... nghiệm hệ phương trình liên kết (2) nó; 2) Tổng nghiệm hệ phương trình tuyến tính khơng (1) nghiệm hệ liên kết (2) nghiệm hệ không (1) Ta suy ra: Nếu biết nghiệm tổng quát hệ phương trình không nhất,