BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng BÀI TẬP GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG , f (x) hàm lẻ 0 , f (x) hàm lẻ  a f ( x ) dx  2 f ( x) dx , f (x) hàm chẵn   a   a Bài 1: Tính tích phân sau e2 dx a/ I   x ln x e b/ I   x dx e  /2 c/ I ln xdx n d/ I n  sin xdx 1 dx 4x  4x  e/ I  0 2  /3 2 h/ I    cos x dx  x sin xdx  cos x i/ I  dx k/ I   cos x ln m/ I   ln  cos   x tg x dx g/ I   1 x4 2 x sin x dx x /3 f/ I  dx 1  3x  j/ I  arcsin x dx l/ I  1 x dx e x 1 n/ I  xarctgxdx  /2 e o/ I ln xdx dx  sin x p/ I    /2 e q/ I n ln n xdx  /4 n r/ I n  cos x cos nxdx 2n s/ I n  tg xdx n x t/ I n x e dx Bài 2: Tính tích phân suy rộng  a/ dx I   x2 b/ I  dx I  (1  x )  e/ I  x n e  x dx d/  f/ e i/ I  dx I   x3    dx  I    x  1 2 x b dx x ln x h/ I  g/ I  a dx  4x  x  Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT 1 x2   c/ dx j/ xdx ( x  a )(b  x ) I  xe  x dx Trang Bài tập Giải Tích Tuấn k/ I  ThS Lê Hoàng 2x dx 2 x  l/ arctgx I  dx 3/ 1  x  Bài 3: Khảo sát hội tụ (hay phân kỳ) tích phân suy rộng dx I   x a c/ dx I  x 1 x , với   cos x b/ I 1  x dx x3/ dx 1 x2   d/ I  b dx e/ I  (b  x) a , với   R f/ I  4 ln x dx 1 x2 h/ arctgx dx x k/ m/ xarctgx I  dx  x3 dx I  1 x2 l/ ln(1  x ) I  dx x n/ dx I   1  x ln x p/ dx I   x ln x r/ sin x I   dx x     o/ dx I   1   x ln x q/ I  cos xdx cos x I  dx x t/ I  e dx x1 dx x 1 dx ln x v/ I  1 dx w/ I  x e  cos x x/ I   y/  0   u/ I  , với  , với    ln x I  dx 1 x2 j/  dx I  ( x  x  1)  s/  x4  i/ I  dx  g/ I    a/ dx x  x2  xdx I  x  2x  z/  sin x I  3 dx x  x Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường cong a/ y 2 x x 2 y b/ S |  x | dx c/ y 2  x e/ x t  g/ y x y 4t  t x2 y2  1 , với a  0, b  a2 b2 i/ x  y 4 x  y  x 0 k/ x 0, y 0 x  y ( y  1)  x a (t  sin t ) d/  y a (1  cos t ) trục Ox  f/ r a(1  cos ) r a h/ y ( x  1) x sin(y ) j/ y x y  x  sin x , với x  l/ y x (a  x ) , với a  Bài 5: Tính thể tích Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Trang Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng  x a (t  sin t ) a/  y a (1  cos t ) ; t 2  b/  y 2 x  x   y 0 xoay quanh Ox xoay quanh Ox y 0 Oy c/ vật bị giới hạn mặt z 4  y x a (với a  ), x  0, z  d/ vật bị giới hạn mặt trụ x  y a y  z a e/ vật trịn xoay quay hình phẳng bị giới hạn y sin x ( x  ) trục Ox quay quanh Ox quay quanh Oy f/ vật trịn xoay hình phẳng giới hạn y x y 4 quay quanh Oy quay quanh đường thẳng x 2 g/ y ( x  4) , x 0 xoay quanh trục Oy h/ y e  x  1, y e  x  1, x 0 quay quanh trục Ox Bài 6: Tính diện tích mặt trịn xoay a/ y x ; x 1 xoay quanh Oy  x a (t  sin t ) b/  y a (1  cos t ) ; y 0 xoay quanh Ox  c/ y x(3  x) ; x 3 quay quanh Ox d/ y x ; x a quay quanh Ox e/  x a cos t   y a sin t ; t 2 quay quanh Ox Bài 7: Tính độ dài đường cong a/ y x từ gốc toạ độ đến điểm A(4,8) b/  x a cos t   y a sin t c/ r sin  ; t 2 với e/ y  x  ln x d/ y  (3  x) x   / ; x 3 ; x e CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI Bài 1: Tính tích phân bội hai y 3  x ( x  xy )dxdy , với D :  a/ I    y 2 x D ( xy  x )dxdy , với b/ I  D ( x  xy ) dxdy , với c/ I  D xydxdy d/ I  D , với ( x  y ) dxdy e/ I  D 2 y  x D:  y 2 x   y x  D:  y 1  x x  y  D :  x 2 y  y 1  , với Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 1 x  y 4 D:  x  y  3x Trang Bài tập Giải Tích Tuấn f/ ThS Lê Hoàng I 4  x  y dxdy , với D g/ I  D x2  y2  x  y 2 x D:  y 0 2 dxdy , với D :  x  y 2 y  y x  x  y 4  D :  y  x  y 0  ( x  y ) dxdy , với h/ I  D  y 2  x  D :  y 0  y  x  ( x  y ) dxdy , với i/ I  D 2 y  x  y 4 y  D :  y x  x 0  xdxdy , với j/ I  D ( x  y ) dxdy k/ I  D  y ln x  D :  y 0  x e  , với Bài 2: Tính tích phân bội ba 2 a/ I  x  z dxdydz b/ I  ( x  y  z ) dxdydz  x  z 4   :  y 0  y 2  , với  , với   x  y  z 0; x  y  z 2   :  x  y  z 1; x  y  z 3  x  y  z  1; x  y  z 4   x  y  z 4 :  y 0  z x  y :  z  y 2 dxdydz , với c/ I  x2  y2  z2  d/ I  xdxdydz e/ I  zdxdydz f/ I  zdxdydz g/ I  zdxdydz h/  x2 y2   I    z  dxdydz    i/ j/     , với , với , với  I  y  z dxdydz   x  y  z 4 : 2  x  y z , với I  ( x  y ) dxdydz 1  x  y  z 4 : 2  x  y  z 0  x  y  z 2 y :  z 0  x2 y2    z 1 , với  :   z 0 , với , với Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT  x  y 4   :  x 0 0  z 5   y  z 4   :  y  x 2  y  x 2  Trang Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng k/ I  z x  y dxdydz l/ I  xdxdydz , với    x  y 2 x : 0 z  y  x  y  z 4 z : 2  x  y z , với Bài 3: Tính thể tích khối vật thể  sau b/  x  y 1   :  z x  y  x  y 4  z  d/  x  y  z 1 : 2 z  x  y a/  z x  y :  z 1 c/  x 0, y 0, z 0   :  x  y 1  z 2  x  Bài 4: Tính tích phân sau a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/  y x, y 2 x   :  y 1, z 0  z x  y  I  ( x  z )dxdydz , với I  xdxdydz ,  y x , y x   :  z 0  z 1  y    với I  x  y dxdydz ,  với  x  y 4   :  z x  y  z x  y   x  y  z 2 x :   z 0 x  y  z 4 I  ydxdydz , với  :   2  z  x  y  x  y 1 I  ( x  2) dxdydz , với  :   x 0, y 0, z 0   z 1  x  y  I  zdxdydz , với I  xdxdydz ,  với x  y  z 1    :  x 0  y  z 1    z x  y  :  h/ với   z  x 2 x  y  z 4 z ydxdydz , với  :   i/ I  2  z  x  y  y 2  x ( y  z )dxdydz , với  :   y 1, z 0 j/ I    z 2 x  I  zdxdydz , k/ I  3dxdydz ,  với  x  y 2 x   :  x  z 4  x  z 4  Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Trang Bài tập Giải Tích Tuấn l/ I  2dxdydz ,  m/ n/ o/ ThS Lê Hoàng với I   4dxdydz ,   x  y  z 4   :  x  y 1  z 0   z x  y 2  z 2  x  y với  :   x  y  z 2 y  :  với   y 1 x  y  z 1 I  zdxdydz , với  :     z 0 I  ydxdydz ,  z 1 p/ I  ( x  z )dxdydz , q/ I  ( x  y  z ) dxdydz , với r/ I  ( x  yz ) dxdydz , 0 x 1   : 0  y 1 1  z 4  s/  với  :  z 4  x  y    I  dxdydz ,  với với 1  x  y  z 4 : 2 z  x  y  x  y 2 x   :  z 0  z x  y  Bài 5: Biểu diễn miền D sau dạng đơn giản, tính diện tích D tính tích phân I  f ( x, y )dxdy D , với a/ D hình chữ nhật bị giới hạn x 2, x 3, y 4, y 6 f ( x, y )  x  y b/ D bị giới hạn y 2 x, x 0, y 4 f ( x, y ) x c/ D bị giới hạn x 4  y , x 0,  y 1 f ( x, y ) xy d/ D hình thang bị giới hạn x 0, y 0, x  y 2, x  y 1 f ( x, y ) x e/ D tam giác bị giới hạn x 0, y 0, x  y 3 f ( x, y )  x( x  1)e xy f/ D hình trịn x  y 4 nằm phần tư thứ nhất, f ( x, y ) x  y g/ D miền | x |  | y |1 f ( x, y ) x h/ D miền nằm phía đường y  ; nằm vòng tròn f ( x, y )  x x  y 1 Trang y 1 i/ D bị giới hạn y 5  x, y  x  7, x 10 f ( x, y ) 3x  j/ D hình trịn x  y 16 nằm phần tư thứ hai, f ( x, y ) x k/ D hình chữ nhật [ 2,2] [0,1] f ( x, y ) x  y l/ D hình chữ nhật [0,4] [1,3] f ( x, y ) xy x ydxdy miền D cho hình vẽ sau Bài 6: Hãy tính tích phân I  D a/ b/ c/ d/ Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng e/ f/ Bài 7: Tính tích phân sau x a/ I dydx b/ I dydx 0 x x c/ I (1  y )dydx d/ I  (  x ) / dxdy x y  /2 y dxdy x3 cos y ydxdy f/ I   e/ I  4 x Bài 8: Tính thể tích khối  sau a/  có đáy (0,0), (a,0), (0, b) , với a, b   x y nằm mặt phẳng z 2     a b b/  nằm phía mặt phẳng Oxy mặt z 1  x  y c/  nằm hình trụ x  y 8 , z y  z 8  x d/  tứ diện nằm góc x 0, y 0, z 0 , tạo mặt tọa độ mặt 2 x  y  z 12 e/  tứ diện có đỉnh (0,0,0), (3,0,0), ( 2,1,0), (3,0,5) f/  nửa mặt cầu x  y  z a , z 0, a 0 g/  tứ diện với mặt x 0, z 0, x  y 5,8 x  12 y  15 z 0 xdydz  ydzdx  zdxdy Bài 9: Tính tích phân I  , với S phía phần mặt phẳng S x  z  0 , nằm mặt phẳng y 0, y 4 thuộc góc phần tám thứ Bài 10: Tính tích phân x  y  z 4 I  2dxdy  ydxdz  xzdydz S , với S phía ngồi ellipsoid thuộc góc phần tám thứ xydS Bài 11: Tính tích phân I  , với S mặt S z 2 x,0 x 1,0  y 2 ( xy  y  yz )dS Bài 12: Tính tích phân I  , với S mặt S Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT x  y  z 1,0  y 1,0 z 2 Trang Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT Bài 1: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) a/ I (C)y dx  xdy , với (C ) : y 4 x từ (0,0) đến (1,2) 2 b/ I (C)x y dx  xy dy , với (C ) đường x 1,2  y 4 x y c/ I  x  y dx  x  y dy , với (C ) vòng tròn bán kính 1, từ (1,0) đến (0,1) (C ) d/ I (C) ydx  xdy , với (C ) y e/ I ( C)(3 x  y ) dx , với (C ) 4 x từ (1,2) đến (0,0) y 8 x  x từ (4,0) đến (0,0) f/ I (C)xydx , với (C ) đường thẳng nối (0,1) tới (1,0) 2 g/ I (C)( x  y )dx  xdy , với (C ) vòng tròn x  y 4 , từ (0,2) đến (2,0) Bài 2: Tính tích phân sau 2 a/ I (C)x y dx  xy dy , với (C ) đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, tạo đường x 1 parabol x y b/ I (C) xdy  ydx , với (C ) tam giác tạo đỉnh (0,0), (0, a ), (b,0) ngược chiều kim đồng hồ x2 y2 c/ I (C)xdy , với (C ) ellipse  1 thuận chiều kim đồng hồ a b d/ I (C)ydx , với (C ) đường cong tạo x  y 1, y 0 nửa mặt phẳng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ 2 e/ I (C)( x  y )dx  xy dy , với (C ) đường ngược chiều kim đồng hồ, xung quanh hình vuông tạo x 0, x 2, y 0, y 2 f/ I (C)xy dx , với (C ) đường tròn x  y a thuận chiều kim đồng hồ 2 g/ I (C)x y dx  x ydy , với (C ) hình vng tạo x 0, x 1, y 0, y 1 ngược chiều kim đồng hồ Bài 3: Chứng minh tích phân sau khơng phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, tính tích phân x a/ I ( C)(e  y )dx  ( x  y )dy , với (C ) đường cong khả vi khúc, nối (0,1) đến (2,4) 2 b/ I (C)(2 xy  1)dx  (2 x y )dy , với (C ) đường cong nối từ ( 1,2) đến ( 2,3) c/ I  ( y  xe y )dx  ( x  x e y ) dy (C ) , với (C )  x (t ) t / đường  , nối từ (1,0) đến  y (t ) ln t (2, ln 2) Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Trang Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hoàng  2 d/ I   x  y  dx  (2 xy)dy , với (C ) đường cong nối từ (1,4) đến (3,2) (C )   miền x, y  e/ I (C) x cos( x  y )  sin( x  y )  dx   x cos( x  y )  dy , với (C ) đường cong bất kỳ, nối từ    ,   3 I  (2 xy ) dx  ( x  1)dy (0,0) f/ đến  (C ) , với (C ) đường cong tạo bốn cạnh hình vuông x 0, x 2, y 0, y 2 g/ I ( C)(2 xy ) dx  ( x  1)dy , với (C ) đường cong bất kỳ, nối từ (0,1) đến ( 2,3) 2 h/ I (C)(4 x  y )dx  (ln y  xy)dy , với (C ) đường cong bất kỳ, nối từ ( 1,1) đến ( 4, e) miền y 0 Bài 4: Hãy tính tích phân đường định lý Green a/ I (C)ydx  xdy , với (C ) đường cong kín bao quanh miền 0 x 1 D: 0  y 1 x x b/ I ( C)e cos ydx  e sin ydy , với (C ) tam giác có đỉnh (0,0), (0,1), (1,0) c/ I (C)ydx , với (C ) đường cong kín bao quanh miền D phần hình trịn nằm góc phần tư thứ 3/ 3/ d/ I (C)xydx  ( x  y )dy , với (C ) đường cong kín, bao quanh miền D hình vng [0,1] [0,1]      e/ I (C)y cos xdx  x sin ydy , với (C ) biên tam giác có đỉnh (0,0),  ,0 ,  0,     2 (0,0), (1,1), (1,0) f/ Tính tích phân I câu b/ với biên tam giác có đỉnh g/ Tính tích phân I câu b/ với (C ) đường cong kín bao quanh miền D : [0,2] [0,1] (C ) Bài 5: Chứng minh với miền D thỏa định lý Green ta tính diện tích D cơng thức xdy , (C )  ydx , (C )  ydx  xdy (C ) với (C ) đường cong kín bao quanh miền D Sau áp dụng để tính diện tích sau a/ Tính diện tích hình tam giác D có đỉnh (0,0), (5,2), ( 3,8) b/ Diện tích tứ giác với đỉnh (0,0), (2,1), (  1,3), (4,4) c/ Diện tích tam giác với đỉnh (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ) , với giả thiết điểm không thẳng hàng Bài 6: Cho P ( x, y )  a/ Chứng minh  y x  y2 x Q( x, y )  x  y Q P  x y Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Trang Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hoàng  Q  Pdx  Qdy   x b/ Chứng minh (C ) D  P   dxdy , y  với (C ) đường cong kín bao quanh D : x  y 1 c/ Giải thích định lý Green khơng thỏa câu b/ Bài 7: Tính tích phân đường sau a/ I ( C)xydx  y dy , với (C ) nửa đường tròn b/ I  e  ( x  y2 )  ( x  y)dx  ( x  y )dy (C ) ,  x  y 2 x   x 1 ngược chiều kim đồng hồ với (C ) đường tròn theo chiều x  y 4 dương lượng giác ( x  y )dx ( x  y )dy c/ I   x  y  x  y , (C ) TH1: (C ) đường tròn x  y a theo chiều dương lượng giác TH2: (C ) đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ O , ngược chiều kim đồng hồ ( 3, ) d/ I  (e x  y )dx  ( x  y )dy (1,  1) e/ I (C)( x  y )dx  xdy , với (C ) đường ellipse x  y 1 , phần y 0 , theo chiều kim đồng hồ f/ I  ( xy  2) dx  y xdy (C ) O (0,0), A(1,1), B (0,2) , với (C ) chu vi tam giác OAB , ngược chiều kim đồng hồ g/ I ( C)xydx  y dy , với (C ) / đường tròn x  y 4 2 h/ I (C)( x  y )dx  xydy , với (C ) / đường tròn chiều kim đồng hồ x  y 4 x , y 0 ngược chiều kim đồng hồ ( x  y ) dx ( y  x) dy 2x  3y x  5y i/ I   x  y  x  y , với (C ) đường tròn (C ) hồ x  y 9 j/ I  x  y dx  x  y dy , với (C ) phần tư ellipse ngược chiều kim đồng x  y 1 (C ) góc phần tư thứ nhất, ngược chiều kim đồng hồ  x k/ I ( C)e  y2  (2 xy 1)dx  (3 y  x ) dy  , với (C ) đường tròn x  y 1 chiều kim đồng hồ l/ I (C)xydx  ( x  y )dy , với (C ) chu tuyến (biên chu vi) dương miền m/  y x D:  y 2  x I  ( x  y )dx  (e y  x) dy (C ) , với (C ) đường cong tùy ý, nối từ A(1,1) đến B (3,2) ( 3, ) n/ I  xdx  ydy theo đường cong tùy ý không chứa gốc O x2  y2 (1,1)  Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang 10 Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng 2 o/ I (C)( xy  1)dx  ( x  y )dy , với (C ) nửa đường tròn x  y 4 y , y 1 ngược chiều kim đồng hồ p/ I ( C)2 xdx  ( y  z )dy  zdz , TH1: (C ) đoạn thẳng nối từ A( 2,1, 1) đến B (3,3,2) (chiều từ A  B ) TH2: (C ) giao x  y 1 z 2  x  y theo chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz q/ I (C)xydx  xzdy  yzdz , với (C ) giao z x từ (0,0,0) đến (1,1,1) y x Bài 8: Cho P ( x, y ) (1  x  y )e  y Q ( x, y ) (1  x  y )e  y a/ Tìm h h(x) , với h(0) 1 để I  h( x ) P ( x, y ) dx  h( x )Q( x, y ) dy (C ) không phụ thuộc vào đường b/ Với h(x) câu a/ tính I , với (C ) / đường tròn tung, ngược chiều kim đồng hồ x  y 9 bên phải trục Bài 9: Tìm hàm h( x  y ) , với h(1) 1 để tích phân sau khơng phụ thuộc vào đường  I  h( x  y ) ( x  xy ) dy  ( x y  y ) dx  (C ) Bài 9: Tính tích phân mặt (loại 1) sau ( x  z )dS a/ I  , với (S ) phần mặt phẳng S zdS b/ I  , với (S ) phần mặt cầu S x  y  z 1 x  y  z 4 ( x  y )dS c/ I  , với (S ) phần mặt nón S nằm hình nón z  x2  y2 dS d/ I  , với (S ) phần mặt paraboloic S góc phần thứ z x  y z  x2  y2 nằm hình trụ x  y 2 x nằm hình trụ x  y 4 góc phần thứ x dS e/ I  , với (S ) phần mặt trụ S y dS , với (S ) phần mặt f/ I  z2 x  y 4 z  x2  y2 S zdS g/ I  , với (S ) phần mặt nón S x xdS i/ I  , với (S ) phần mặt trụ S  y 1  y 1   x nằm mặt phẳng z 2 x  y  z 4 x  y 1  z 0   z 1 giới hạn  z  x2  y2 dS , với (S ) phần mặt cầu h/ I  x2  y2 S nằm mặt phẳng góc nằm mặt phẳng zdS j/ I  , với (S ) phần mặt trụ x  z 4 z bị cắt mặt nón S x 0, y 0, z 0 z 0, z 4 z  x2  y2 Bài 10: Tính tích phân mặt (loại 2) sau (2 x  y )dydz  (3 z  x )dxdy a/ I  , với (S ) phần mặt S trụ x  y 1 , z x  y nằm hình phía nhìn từ hướng dương Oz Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Trang 11 Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng xdydz b/ I  , với (S ) mặt phía S  z x  y   z 0  z 6  ( x  y ) dydz  ( y  z )dxdz  ( x  z ) dxdy c/ I  , với (S ) phần mặt nón S nằm hình trụ x  y 4 , z  x2  y2 phía ( x  z ) dxdy d/ I  , với (S ) biên vật thể bị giới hạn S z x  y , z 4 , phía ngồi e/ I  ( x  y )dydz  ( y  z )dxdz  ( z  x)dxdy S , với (S ) phần mặt nón z  x2  y2 bị cắt mặt phẳng z 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz xdydz  ydxdz  ( z  1) dxdy f/ I  , với (S ) nửa mặt cầu S x  y  z 2 x (phần z 0 ), phía xdydz  ydxdz  ( z  1)dxdy g/ I  , với (S ) phần mặt paraboloic S z x  y nằm mặt phẳng x  z 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz ( x  z )dydz  ydxdz  z dxdy h/ I  , với (S ) phần mặt trụ S phẳng z 0, z 1 , x  y 4 nằm mặt phía ngồi ( z  x  2) dxdy i/ I  , với (S ) phần hình cầu S x  y  z 1 góc phần thứ nhất, phía ( x  y )dydz  ( y  z )dxdz  z dxdy j/ I  , với (S ) phần mặt cầu S mặt nón z  x2  y2 x  y  z 4 nằm , phía ngồi k/ I ( C)2 ydx  xdy  xdz , với (C ) giao x  y 2 x mặt phẳng x  z 2 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz 2 2 2 l/ I (C)( y  z )dx  ( z  x )dy  ( x  y )dz , TH1: (C ) giao paraboloic z x  y hình trụ x  y 1 chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz TH2: (C ) giao x  y  z 4 x  y  z 1 , chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz ( x  y )dydz  ( y  x ) dxdz  ( z  y )dxdy m/ I  , với (S ) phần mặt phẳng S x  y  z 2 góc phần thứ nhất, phía nhìn từ hướng dương Oz CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: giải phương trình vi phân cấp sau a/ y '2 y 4 x c/ y '2 xy  xe  x e/ xy' y  e x 0, y ( a) b g/ (1  x ) y ' xy (1  x ) Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT b/ y ' y cos x  2x   y 1  x   d/ y ' f/ xy' y  x, y (1) 0 x 1 y h/ y '  2x Trang 12 Bài tập Giải Tích Tuấn i/ y '  ThS Lê Hoàng 3y  x j/ y '2e x y e x Bài 2: giải phương trình vi phân sau a/ y '  x2 y2 b/ x' e x sin t với x  x(t ) c/ y '  x y e/ (1  x) ydx  (1  y ) xdy 0 g/ ( x  yx ) y ' y  xy 0 h/ y  y (x ) y '  y (  y ) i/ với d/ với y  y (x ) y ' cos( x  y ) y ' 1  y f/ y ' cos y  sin y 0 j/ y ' sin( x  y ) sin( x  y ) Bài 3: giải phương trình a/ (2 x  xy )dx  (2 y  x y )dy 0 xdy y   b/ x  y  x  y  1 dx   y y c/ e dx  ( xe  y )dy 0 d/ xdx  (2 x  y )dy 0 ( x  y) e/ ( x  y  1)dx  ( x  y  3)dy 0 Bài 4: Khi gặp phương trình dạng y 'a( x) y b( x) y  ta đặt z  y 1  Lúc này, chứng minh z thỏa z '(1   )a( x) z (1   )b( x) Tìm z ta tìm y Dùng lý luận để giải phương trình sau a/ y ' y 5 x y 2x b/ y ' c/ y '2 xy 2 x y e/ y ' ytgx  y cos x 0 d/ y  y 0 x 1 xy ' y  y ln x Bài 5: Khi gặp phương trình dạng  y y'  f    x ta đặt u y , x y ux Hãy chứng minh dx du  x f (u )  u Áp dụng để giải phương trình sau a/ ( y  x)dx  ( y  x)dy 0 x y  y x c/ y'  e/ xdy  ( y  y x i/ y ' e  xyy' x  y 0 d/ (3 y  xy  x )dx ( x  xy )dy x  y )dx 0 g/ xy'  y ln b/ y x f/ (3x  y ) y  ( y  x ) xy' 0 xy h/ y '  x  y y x Bài 6: giải phương trình vi phân sau Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Trang 13 Bài tập Giải Tích Tuấn a/ y" y ' ThS Lê Hoàng y" y '9 y  x c/ y" a 2 e/ g/ i/ x 3  y y" y '2 y e b/ x y  2e e  f/ h/ y" y '6 y sin x y" y ' 0 j/ y" y 0 d x dx  20  25 x 0 dt dt d x m/  x 0 với x  x(t ) dt k/ o/ d/ x x y" y ' y 0 y" y 0 y"6 y '13 y 0 l/ x" x '7 x 0 với x  x(t ) y"2 y '5 y 0 n/ y"6 y '12 y 0 p/ y" y ' y 0 b/ y"4 y '29 y 0 b/ y" y '4 y 0 Bài 7: giải phương trình sau  y ( 0)  a/ y" y '3 y 0 với  y ' (0) 10  c/ y"4 y ' y 0 với  y ' (0) 0   y ( 0)  Bài 8: giải phương trình vi phân sau a/ y" y '6 y 0 c/ y"4 y 0 e/ y ' ' ' ' y 0 g/ y ' ' ' ' ' y ' ' ' '9 y ' ' ' 0 i/ y" y '2 y  x d/   cos x  2 x  30 x l/ y" y '9 y  4e x y" y m/ o/ y ' ' ' y"3 y ' 0 f/ y ' ' ' '4 y" y 0 h/ y" y '2 y j/ y"2 y ' y  4e  k/  y (0) 0 với  y ' (0) 15  x sin x n/ y" y  x cos x y ' ' ' y" y '  x  e y" y '2 y e x sin x p/ x y" y '4 y sin x cos x q/ s/ y"4 y '4 y e  y" y 2x  xe r/ ln x x  3e  y" y '  x x Bài 9: giải phương trình vi phân sau (bằng cách đặt x e t ) a/ x y"4 xy '12 y ln x b/ x y" xy '8 y 0 c/ x y ' ' ' x y"18 xy ' 24 y 0 d/ ( x  2) y"3( x  2) y ' y 0 e/ x y" xy '5 y 3 x f/ x y" xy '2 y  x g/ x y"4 xy '12 y ln x Bộ mơn Tốn - Lý, trường ĐH CNTT Trang 14 ... y '' y cos x  2x   y 1  x   d/ y '' f/ xy'' y  x, y (1) 0 x 1 y h/ y ''  2x Trang 12 Bài tập Giải Tích Tuấn i/ y ''  ThS Lê Hoàng 3y  x j/ y ''2e x y e x Bài 2: giải phương trình... Trang Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hồng CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT Bài 1: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) a/ I (C)y dx  xdy , với (C ) : y 4 x từ (0,0) đến (1 ,2) 2. .. y  x ? ?2  y  x ? ?2  Trang Bài tập Giải Tích Tuấn ThS Lê Hoàng k/ I  z x  y dxdydz l/ I  xdxdydz , với    x  y ? ?2 x : 0 z  y  x  y  z 4 z : 2  x  y z , với Bài 3: