Bài tập giải tích

Bộ môn Toán – Khoa CNTT BÀI TẬP GIẢI TÍCH _____ 2012 ______ 1 Bài tập chương Hàm một biến, đạo hàm và vi phân 1. Đồ thị dưới đây cho ta biết khoảng cách giữa vị trí tại thời điểm t và nhà của một thương nhân như là một hàm của thời gian trong một ngày nào đó. Từ đồ thị hãy diễn tả về hành trình của anh ấy. 2-15 Hãy tính các đạo hàm các hàm số. 2. 2 arcsin x 3. arccos x x 4. 43 1 225 3 yx x x=−+ − 5. 2 32 3 yxxx x =−+ 6. ()() 32 21yx x=− − 7. arctanyx x=+ 8. () 3 sin 3cosyx x=+ 9. 2 41 2 x y x + = + 10. 2 4 x y x + = 11. 3 1 x y x = − 12. () 3 2yx=− 13. 1 arctan 1 x y x + ⎛⎞ = ⎜⎟ − ⎝⎠ 14. ( ) 2 ln 1yxx=++ 15. sin 4 x x y + = 16 - 22 Tìm vi phân của các hàm số. 16. 2 sin 1cos x y x ⎛⎞ = ⎜⎟ + ⎝⎠ 17. .cosyx x = 18. () 3 sin 2 1yx=+ 19. cot 2yx= 20. 2 sin 2yx=+ 21. sin 2yxx=+ 22. 2 1 cos 1 x y x ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ 23. Tính đạo hàm đến cấp 2, 3 của các hàm số trong các bài 2, 4, 8, 14. 24-27 Tìm vi phân của các hàm số. 24. 43 1 225 3 yx x x =−+ − tại x = 9 2 25. () 3 112yx=+ − tại x = 0 26. 2 arctan 1yx=+ tại x = 0 27. () 3 353 x yx=+ tại 1 ln 3 3 x = 28-31 Chứng minh các bất đẳng thức đúng với mọi x > 0: 28. 2 arctan 1 x x x x << + 29. () 2 ln 1 2 x x xx − <+< 30. 3 sin 6 x x xx−< < 31. ( ) ( ) 1 ln 1 arctan x xx + +≥ 32. Vị trí của một vật thể chuyển động trên một đường thẳng, lấy mốc tại vị trí khi vật bắt đầu chuyển động, được cho bởi phương trình 32 () 6 9sftt t t==−+, trong đó t (giây), s (mét). a. Tìm vận tốc của vật thể tại thời điểm t. b. Xác định vận tốc của vật thể sau 2 giây? 4 giây? c. Vật thể dừng lại khi nào? d. Khi nào vật thể chuyển động theo hướng dương (xuôi chiều). e. Vẽ biểu đồ mô tả chuyển động của vật thể. f. Tìm tổng quãng đường đã đi của vật thể trong 5 giây đầu tiên. 33. Một quả bóng được ném thẳng lên không trung có độ cao 2 ( ) 102 16st t t=− (m) sau t giây. a. Vẽ đồ thị s(t), s'(t) trong khoảng thời gian [0, 7] giây. Tính toán hoặc sử dụng đồ thị này (để ước lượng) để trả lời các câu hỏi sau: b. Xác định độ cao của quả bóng sau 2 giây. c. Trong quá trình rơi xuống khi nào quả bóng có độ cao 110 m? d. Xác định vận tốc sau 6 giây. e. Khi nào quả bóng đạt vận tốc 70m/s. f. Xác định vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất. 34. Một quả bóng được ném lên thẳng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 112m/s, độ cao của quả bóng so với mặt đất tại thời điểm t là 2 ( ) 16 112 ( )st t t m=− + a. Khi nào thì quả bóng lên đến độ cao lớn nhất, xác định độ cao lớn nhất đó. Sau bao nhiêu giây thì quả bóng rơi xuống đất. b. Xác định vận tốc khi bóng tiếp đất. c. Xác định gia tốc của bóng khi t = 1s, t = 3s. 35. Giả sử xe ô tô A đứng tại gốc tọa độ và di chuyển theo chiều dương của trục Oy với vận tốc 60 km/h. Cùng thời điểm đó ô tô B đứng trên trục Ox cách O 30km theo chiều dương và di chuyển theo chiều về O với vận tốc 90 km/h. Gọi S là khoảng cách giữa hai xe trong quá trình chuyển động. Tìm các khoảng tăng giảm của S trong 5 giờ đầu tính từ lúc hai xe khở i hành. 36. Một người đang đứng tại điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1 dặm. Người này phải bơi 3 qua sông và đi bộ đến điểm B ở bên bờ đối diện mà cách điểm đối diện vuông góc với A 3 dặm. Cho biết người đó có thể bơi qua sông với vận tốc 2 dặm/ giờ và đi bộ với vận tốc 3 dặm/giờ. Hãy xác định phương án di chuyển hợp lý để thời gian người đó đến B là nhỏ nhất. (Giả sử vận t ốc của dòng nước là không đáng kể.) 37. Có hai địa điểm A, B nằm trên cùng một phía của một con sông thẳng. Gọi l 1 , l 2 là khoảng cách từ hai địa điểm này đến con sông, và h là khoảng cách giữa hai hình chiếu của hai địa điểm này trên bờ sông. Hỏi cần phải đặt nhà máy nước C ở địa điểm nào trên bờ sông sao cho tổng khoảng cách từ C đến hai địa điểm kể trên là nhỏ nhất. 38. Một người có một đoạn thép nhỏ dài 12 cm, dự định cắt thành ba đoạn con để ghép thành một tam giác cân. Hỏi người đó phải cắt như thế nào để được tam giác có diện tích lớn nhất. 39. Tìm 2 số mà hiệu là 100 và tích của chúng là nhỏ nhất. 40. Tìm một số dương sao cho tổng của nó và hai lần nghịch đảo của nó là nhỏ nhất. 41. Phải xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có nắp như thể nào để hình đó có thể tích lớn nhất từ 1200cm 2 vật liệu? 42. Một người nông dân muốn làm hàng rào cho 1 khu đất hình chữ nhật với diện tích 1.5 triệu feet vuông và sau đó chia nó làm đôi bởi một hàng rào song song với một cạnh của hình chữ nhật. Xác định các kích thước của khu đất để chi phí cho hàng rào là ít nhất. (1 feet = 0.3048 m.) 43. Người ta dự định xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có nắp. Hãy xác định các kích thước của hình hộp sao cho với ít vật liệu nhất ta có thể thiết kế được hình đó có thể tích là 32000cm 3 . 44. Một loại lon nước giải khát có dạng hình trụ và chứa 0.4 lít chất lỏng. Xác định kích thước của lon nước để lượng vật liệu được sử dụng làm lon là ít nhất. 45. Giả sử một hãng hàng không vận chuyển 8000 lượt hành khách mỗi tháng với giá vé là $50 một lượt. Hãng hàng không muốn tăng giá vé, tuy nhiên bộ phận nghiên cứu thị trường cho biết cứ tăng giá vé lên thêm 1 đô la thì lượng hành khách sẽ giảm đi 100 người. Xác định giá vé thích hợp để doanh thu của hãng là tối đa. 46. Một khu vườn cây ăn quả thu được 25 thùng quả mỗi cây khi trồng 40 cây trong vườn. Khi tăng mật độ cây trong vườn, người ta thấy rằng cứ trồng thêm 1 cây thì lượng quả thu được trên mỗi cây giảm đi 0.5 thùng. Vậy phải trồng bao nhiêu cây trong vườn thì lượng quả thu được là tối đa. 47. Một người có một của hàng nhỏ bán các hộp đựng bút. Giả sử số lượng các hộp bán ra tỉ lệ nghịch với bình phương giá bán mỗi hộp. Nếu người đó bán với giá $20 mỗi hộp thì sẽ bán được trung bình 125 hộp. Đầu tư ban đầu cho cửa hàng là $750 và chi phí cho mỗi hộp đựng bút là $5. Tìm giá bán mỗi hộp bút để lợi nhuận của cửa hàng là tối đa. Khi đó có bao nhiêu hộp được bán ra? 48. Giả sử kích thước (số cá thể) của một bầy ruồi đục quả tăng theo hàm mũ 0 () kt Pt Pe= , trong đó P 0 là kích thước của bầy ruồi tại thời điểm bắt đầu quan sát và P(t) là kích thước 4 tại thời điểm t. Biết rằng kích thước của bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày. a. Tìm hằng số tăng trưởng k. b. Giả sử ban đầu đàn ruồi có 100 con, xác định kích thước đàn ruồi sau 41 ngày, và tốc độ tăng trưởng của đàn tại thời điểm đó. c. Sau bao nhiêu ngày thì đàn ruồi có 800 cá thể. 49-59 Tính các giới hạn. 49. 1 ln lim 1 x x x → − 50. 2 lim x x e x →∞ 51. 3 ln lim x x x →+∞ 52. 3 0 tan lim x x x x → − 53. 0 lim ln x x x + → 54. 2 1 lim tan cos x x x π − ⎛⎞ → ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 55. () cot 0 lim 1 4sin 4 x x x + → + 56. 0 lim x x x + → 57. 9 5 1 1 lim 1 x x x → − − 58. 2 lim x x x e →−∞ 59. 2 1 lim tan cos x x x π − ⎛⎞ → ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 59. () 2 1/ 0 lim cos x x x + → 60-64 Chứng minh các đẳng thức. 60. arcsin arccos 2 xx π += [1,1] x ∀∈− 61. arctan cot , 2 x arc x x R π + =∀∈ 62. /2 0 1 arctan arctan /2 0 khi x x khi x x π π > ⎧ += ⎨ −< ⎩ 63. arcsin( ) arcsin , [ 1, 1]xxx − =− ∀ ∈ − 64. arccos( ) arccos , [ 1, 1]xxx π −=− ∀∈− 65-72 . Tìm đa thức Taylor bậc 5 của các hàm số sau: 65. () x f xe= tại x = 0, x = 2 66. () sin, () cos3 f xxgx x== tại x = 0, 3 x π = 67. () cos2 f xx x= tại x = 0. 68. () () 1 k f xx=+ tại x = 0, k là một số thực. 69. 1 () 4 fx x = − tại x = 0. 70. ( ) arctan f xx= tại x = 0. 71. () () ln1 2 f xx=+ tại x = 0. 72. () x f xxe= tại x = 0. Bài tập bắt buộc: 1-4, 8, 9, 14-20, 23, 26-28, 31, 32, 34, 36, 42, 45, 48-59, 60-62, 65-72. 5 Bài tập chương: Hàm nhiều biến 1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau a) 22 ln( ) z xxy=++ b) 2 sin x zy y = c) arctan x y z x y + = − d) ln tan x z y = e) arctan x xy z ey y + =− f) x zxyz yz =+ 2. Tìm vi phân toàn phần các hàm số sau a) arcsin( 2 ) z xy=− b) 22 () x y z xye + =+ tại (0;0) c) 2 arctan 1 y z x = + d) 22 22 ln x yx z x yx + − = + + tại (0;1) 3. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau a) 22 ln( ) z xy=+ b) cos( ) y z xxy=+ c) arctan y z x = d) cot 1 x y zarc x y + = − 4. Cho hàm số y z x= . Tính 22 2 22 2 z zz x yxy ∂∂ ∂ +− ∂∂ ∂∂ tại (1,1) 5. Cho hàm số (, ) ( cos cos ). x f xy e x y y x=− Tính 22 22 z z x y ∂ ∂ + ∂ ∂ 6. Cho hàm số 22 1 lnz x y = + . Tính 22 22 z z x y ∂ ∂ + ∂ ∂ 7. Cho hàm số 22 (, ) arctan ln y f xy x y x =++ . Tính 22 2 z z x xy ∂∂ + ∂ ∂∂ 8. Cho hàm số 22 (, ) arctan y f xy y x y x =−−. Chứng minh 22 zz yxzxy yx ∂ ∂ + =− − ∂∂ . 9. Chứng minh hàm số 22 ln( ) z yxy=− thỏa mãn phương trình 2 11 z zz xx yy y ∂∂ += ∂∂ . 10. Chứng minh arctan 1 x y z x y + = − thỏa mãn 2 0 z xy ∂ = ∂∂ . 11. Hàm 442 2 (, ) 2 10fxy x y x xy y=+−− −+ có đạt cực trị tại điểm (1,1) không? 12. Hàm 33 (, ) 3 12 f xy x y x y=− − + + có đạt cực trị tại điểm (-1,1) không? 13. Tìm a, b,c để 33 (, ) 2 2 3 f xy x y xy by ax c=+−+++ đạt cực trị tại (1,1) và f(1,1)=0. 6 14 - 23 Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị hàm số 14. 22 (, ) 4( ) f xy x y x y=− − + − 15. 22 (, ) ( 1) 2 f xy x y=− + 16. 33 1 (, ) 9 3 30 3 fxy x y xy=+ −+ 17. 32 ( , ) 3 15 12 f xy x xy x y=+ − + 18. 442 2 (, ) 2 2 f xy x y x y=+−− 19. (, ) y f xy x y xe=+− 20. 2 (, ) ( ) y f xy x y e=+ 21. 2 (, ) 6 3 f xy x y x y x = −−++ 22. 22 11 1 1 1 (, ) 2 fxy xy xy =++ + − 23. 50 20 (, )fxy xy x y =++ 7 Bài tập chương Nguyên hàm 1 - 3 Dùng tính chất và bảng nguyên hàm tính các tích phân bất định sau: 1. 3 4 (2) x dx x − ∫ 2. 2 2 3 1 x dx x + − ∫ 3. 2 (1 ) cos x x e edx x − − ∫ 4 - 9 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp đổi biến: 4. 1ln x dx x + ∫ 5. 3 2 13 x dx x − ∫ 6. 1 x dx e+ ∫ 7. 22 (2)35 xdx xx++ ∫ 8. 3 cos sin x dx x ∫ 9. 2 14 x x dx − ∫ 10 - 15 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp tích phân từng phần 10. 2 ln x dx ∫ 11. 22 (1) x x edx+ ∫ 12. 2 sin x xdx ∫ 13. 2 sin x xdx ∫ 14. 2 arccos x xdx ∫ 15. 2 arcsin x dx x ∫ 16. Xác định a, b, c để hàm số 22 () ( ) x F x ax bx c e − =++ là nguyên hàm của hàm số 22 () (2 8 7) x f xxxe − =− − + 17. Xác định các hằng số a, b, c để hàm số 2 () ( ) x F x ax bx c e − =++ là nguyên hàm của hàm số 2 () (2 5 2) x f xxxe − =−+ 18. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 32 2 337 () (1) xxx fx x + +− = + thỏa mãn F(0) = 8. 19. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 2 () sin 2 x fx= thỏa mãn () 24 F π π = 20 - 49 Tính các tích phân bất định sau: 20. 2 x x edx ∫ 21. 4 cos dx x ∫ 22. (1 ln ) dx x x+ ∫ 23. sin 12cos x dx x + ∫ 24. 2 12cos sin x dx x − ∫ 25. 2 2arcsin 1 x x dx x − − ∫ 26. sin cos 2 x dx x ∫ 27. 3 sin cos x xdx ∫ 28. 2 x x dx ee− ∫ 29. sin x exdx ∫ 30. cos(ln ) x dx ∫ 31. 2 ln () x dx x ∫ 32. 3 cos sin x x dx x ∫ 33. 2 ln(cos ) cos x dx x ∫ 34. 2 483 dx x x++ ∫ 35. 2 27 56 x dx x x + ++ ∫ 36. 42 2 32 x dx x x + + ∫ 37. 3 2 x dx x − ∫ 38. 32 2 22 x dx x xx + −+ ∫ 39. 2 26 9 dx x x−− ∫ 40. 2 443 dx xx++ ∫ 8 41. 2 1 dx xx+ ∫ 42. 2 32 xdx x x − − ∫ 43. 22 22 1 xdx xx++ + ∫ 44. 3 1 dx x x− ∫ 45. 2 (cos sin ) x xdx+ ∫ 46. 54sin 3cos dx x x−+ ∫ 47. 3 sin sin cos 2 x x dx x − ∫ 48. 4 6 sin cos x dx x ∫ 49. cos sin sin 2 x x dx x + ∫ 50. 2 2 x dx x4x5++ ∫ Bài tập bắt buộc: 1-16, 18, 21, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 38-41, 43, 46, 50. 9 Bài tập Tích phân xác định và ứng dụng 1 - 20 Tìm các tích phân xác định sau: 1. 2 1 2 1 ln 1 4 ln ln e x dx x xx−− ∫ 2. 2 4 0 sin 2 5cos x dx x π + ∫ 3. 1 2 1 32 x xdx − −− ∫ 4. 1 2 0 ln(1 ) x xdx+ ∫ 5. 3 2 0 53 3 x dx x + − ∫ 6. /2 2 0 (2 3)sinttdt π + ∫ 7. 0 1 1sin dx x π + ∫ 8. 3 2 1 1 dx xx + ∫ 9. 0 2 1 arctan 1 x x dx x − + ∫ 10. 34 14 arcsin (1 ) x dx xx− ∫ 11. 2 35 0 sin cos d π θ θθ ∫ 12. /3 /4 ln(tan ) sin 2 x dx x π π ∫ 13. ln 2 ln 3 1 1 x x e dx e − − + − ∫ 14. 3 1 52 0 x x edx − ∫ 15. 4 3 0 sin cos x x dx x π ∫ 16. 1 2 1 1 (2)( 4) dx xx − −+ ∫ 17. 3 22 1 (1 ) arctgx dx xx+ ∫ 18. 2 2 3 1 ln x dx x ∫ 19. 2 0 cos x exdx π ∫ 20. 1 2 0 1 (2)(3) dx xx−+ ∫ 21 - 32 Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ: 21. 22 0 (2) x dx x +∞ + ∫ 22. 2 1 1 2 x dx x x +∞ + + ∫ 23. 2 1 445 dx xx +∞ −∞ ++ ∫ 24. 42 1 5 235 +∞ +− ∫ x dx xx 25. 2 1 1 (1 ) dx xx +∞ + ∫ 26. 0 2 x x edx −∞ ∫ 27 1 x edx +∞ − ∫ 28. 2 1 ln x dx x +∞ ∫ 29. 2 1 arctgx dx x +∞ ∫ . 30. costtdt +∞ −∞ ∫ 31. 22 0 (1 ) x arctgx dx x +∞ + ∫ 32. 2 2 1 1 dx xx +∞ − ∫ 33 – 41. Hãy cho biết các tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kì 33. 4 2 1 x dx x +∞ + ∫ 34. 2 3 4 1 sin 3 1 x dx x +∞ + ∫ 35. 2 1 x dx x +∞ −∞ + ∫ 36. 1/ 1 1 (1) x edx x +∞ − ∫ 37. 3 7 0 2 x dx x +∞ + ∫ 38. 0 x e dx x +∞ − ∫ 39. 1 1 4ln dx x x +∞ + ∫ 40. 3 1 (1)(2) dx xx x +∞ −− ∫ 41. 1 1 ln(1 ) x dx x α +∞ + ∫ [...]... (t ) 2 1 t1 13 Bài tập Chương Phương trình vi phân 1 - 6 Giải các phương trình vi phân phân li biến số 1 xy '+ y = 0 2 yy '+ x = 0 3 (x − 1) dy − xydx = 0 4 y ' = ex+ y 5 (1 + y ) dx = (1 + x ) ydy 6 yy ' = 2 7 - 10 7 9 2 2 Giải các phương trình vi phân đẳng cấp y xy ' = y ln 8 x (x 2 + xy + y 2 ) dx = x 2 dy 10 1 − 2x y ( y − x ) ydx + x 2 dy = 0 xy ' = y x 2 + y 2 , y (1) = 0 11 - 13 Giải các phương... y ′′ + 4 y = 2 sin 2x 47 1 y ′′ − 6 y ′ + 8 y = sin 2x + cos2x 2 y ′′ + y = cos 2 x 48 y ′′ − 5 y ′ = e5x − 6x 49 y ′′ + 3 y ′ − 4 y = ( x 2 + 1) e −4x 50 y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 2x 2 e 2x Bài tập bắt buộc: 16-50 15 Bài tập Chương chuỗi số và chuỗi lũy thừa 1-9 1 4 7 Tính tổng các chuỗi số sau: ∞ 1 2 ∑ n(n + 1) n =1 ∞ 1 ∑ (3n − 2)(3n + 1) n =1 ∞ n ∑ (2n − 1)2 (2n + 1)2 n =1 5 8 ∞ 1 ∑ ln(1 − n n=2 3 ) 2... phương trình T(t) = 20 + sin( π t/12) (0C) với 0 ≤ t ≤ 24 Hãy xác định nhiệt độ trung 9 bình trong nhà lưới trong khoảng thời gian [0; 24] (giờ) Bài tập bắt buộc: 1, 3, 5, 9, 10, 14, 20-49, 51, 54-59, 61-63, 66-68, 73, 74 12 Chú thích: - Kí hiệu V(t) là hàm chỉ thể tích của nước trong bể ở thời điểm t, khi đó V’(t) là lưu lượng (tốc độ) nước chảy vào bể ở thời điểm t Vậy lượng nước chảy vào bể trong khoảng... các điểm mút đường gấp khúc là 0; 0,5, 1) Vẽ miền giới hạn bởi các đường sau và tính diện tích của chúng 52 y = -x2; y = x-2 và Ox 53 y2 = 2x+4; y = -2; y = -5 + 3x/2 54 y = ex; y = sinx; x = 0; x= π / 2 55 y = 3x2; y = 8x2; 4x + y = 4; x ≥ 0 56 4x+y2 =12; y = x 57 y = sin2x; y = cosx; x = 0; x = π / 2 58 Tính diện tích các phần tô đậm sau nếu nó hữu hạn 59 Ở một vùng dân cư có tỷ lệ người sinh và tỷ... người/năm, d(t) = 1460e0,018t người/năm Tìm diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong trên với 0 ≤ t ≤ 10 và nêu ý nghĩa của nó 10 60 Giả sử R(x) và C(x) lần lượt là hàm doanh thu và hàm chi phí sản xuất cho x đơn vị sản phẩm của một nhà máy R’(x) và C’(x) lần lượt được gọi là doanh thu cận biên và chi phí cận biên ứng với x đơn vị sản phẩm Nêu ý nghĩa của diện tích miền tô đậm trong hình bên 61 Đồ thị của... xy ' = y x 2 + y 2 , y (1) = 0 11 - 13 Giải các phương trình vi phân tuyến tính 12 11 y '+ 2 y = 4 x 13 y '− 2 y = e3 x 15 x 2 y 2 y '+ xy 3 = 1 y '+ x 2 y = x 2 14 - 15 Giải các phương trình Bernoulli 3 14 y '− y = − x3 y 2 x 16 - 35 Giải các phương trình vi phân 16 tan 2 x sin 2 y dx + cos 2 x cot 2 y dy = 0 17 ( x − y ) ydx − x 2 dy = 0 18 (x 19 y '− y sin x = sin x cos x 20 xy '+ y = y 2 ln x 21... và tốc độ tăng trưởng của đàn là N’(t) (con/tuần) Giá trị của 15 biểu thức 100 + ∫ N '(t )dt biểu diễn cái gì? 0 69 Tốc độ tăng trưởng của sinh khối (số lượng sinh vật sống trong một đơn vị diện tích, thể tích vùng hoặc tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển) ở thời điểm t là B’(t), 6 biểu thức ∫ B '(t )dt biểu diễn cái gì? 1 70 Hàm w’(x) biểu diễn tốc độ tăng trưởng của trẻ ở độ tuổi... ∑ ( 2n ) ! x n =1 53 x 2 n +1 ∑ 2n + 1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∑ ( 2n + 5 ) x ∞ 50 2n ⎛ n +1 ⎞ ∑ ⎜ 3n + 1 ⎟ ⎠ n =1 ⎝ ∞ n =1 ∞ ∑ ∞ n =1 n! n =1 57 49 n n =1 54 n n 56 ∑ ( −1) n =1 n −1 xn n! n −1 3n −1 17 Đáp số bài tập Chương nguyên hàm : 1 −1 4 −43 x − 8x 4 + C 3 2 x − 2 ln 3 e x + tan x + C 4 2 (1 + ln x)3 + C 3 5 −1 3 (1 − 3x 2 ) 2 + C 4 6 ln | 7 arctg 3 x 2 + 5 + C 8 1 ln | sin x | − sin 2 x + C 2 10 2 x(ln... doanh thu cận biên và chi phí cận biên ứng với x đơn vị sản phẩm Nêu ý nghĩa của diện tích miền tô đậm trong hình bên 61 Đồ thị của hàm g gồm 2 đoạn thẳng và một nửa đường tròn Hãy dùng nó để xác định các tích phân sau (a) (c) 62 Cho ∫ 2 ∫ 7 0 0 (b) g ( x)dx ∫ 6 2 g ( x)dx g ( x)dx x g ( x) = ∫ f (t )dt , trong đó f là hàm số mà đồ thị 0 của nó được cho ở hình vẽ bên (a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), và... + ( 4 x 2 + 3 xy + x 2 ) dy = 0 ( (1 + x ) dy = ( 2 ) ) 1 + x 2 sin x − xy dx y y ( ydx + xdy ) = y sin ( xdy − ydx ) x x y y '− = 5x2 y5 2x 1 xy '+ y = 2 2 x y x cos xy '− y = x 2 arctan x 14 36 - 50 Giải các phương trình cấp hai 36 y ′′ + 5 y ′ + 6 y = xe x 37 y ′′ + 2 y ′ + 5 y = s inx 38 y ′′ + 16 y = 10e 4x 39 y ′′ + 4 y ′ + 4 y = (2x + 1)e 2x 40 y ′′ − y ′ = x + 1 41 y ′′ − 9 y = (1 − 2x)e −3x . Bộ môn Toán – Khoa CNTT BÀI TẬP GIẢI TÍCH _____ 2012 ______ 1 Bài tập chương Hàm một biến, đạo hàm và vi phân 1. Đồ thị. 50. 2 2 x dx x4x5++ ∫ Bài tập bắt buộc: 1-16, 18, 21, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 38-41, 43, 46, 50. 9 Bài tập Tích phân xác định và ứng dụng 1 - 20 Tìm các tích phân xác định sau: 1 2 f xx=+ tại x = 0. 72. () x f xxe= tại x = 0. Bài tập bắt buộc: 1-4, 8, 9, 14-20, 23, 26-28, 31, 32, 34, 36, 42, 45, 48-59, 60-62, 65-72. 5 Bài tập chương: Hàm nhiều biến 1. Tính đạo hàm riêng