Bài tập giải tích

Đồ thị dưới đây cho ta biết khoảng cách giữa vị trí tại thời điểm t và nhà của một thương nhân như là một hàm của thời gian trong một ngày nào đó.. Hãy xác định các kích thước của hình

Bộ môn Toán – Khoa CNTT

BÀI TẬP GIẢI TÍCH

_ 2012

Bài tập chương Hàm một biến, đạo hàm và vi phân

1 Đồ thị dưới đây cho ta biết khoảng cách giữa vị trí tại thời điểm t và nhà của một thương

nhân như là một hàm của thời gian trong một ngày nào đó Từ đồ thị hãy diễn tả về hành trình của anh ấy

2-15 Hãy tính các đạo hàm các hàm số

x

3

3

x

2

2

x y x

+

= +

10

2

4 x

y

x

+

3

1

x y x

=

−

12 ( )3

2

1

x y

x

+

−

14 y=ln(x+ x2 +1) 15 4x sinx

y= +

16 - 22 Tìm vi phân của các hàm số

16

2

sin

1 cos

x y

x

cos

1

x y

x

−

23 Tính đạo hàm đến cấp 2, 3 của các hàm số trong các bài 2, 4, 8, 14

24-27 Tìm vi phân của các hàm số

3

y= x − x + x− tại x = 9

25 ( )3

y= + − x tại x = 0

26 y=arctan x2 +1 tại x = 0

27. (3 5 3) 3x

y= x+ tại 1ln 3

3

x=

28-31 Chứng minh các bất đẳng thức đúng với mọi x > 0:

1

x

x x

x < <

2

x

x− < +x <x

30

3

sin 6

x

32 Vị trí của một vật thể chuyển động trên một đường thẳng, lấy mốc tại vị trí khi vật bắt đầu chuyển động, được cho bởi phương trình

s= f t = −t t + t, trong đó t (giây), s (mét)

a Tìm vận tốc của vật thể tại thời điểm t

b Xác định vận tốc của vật thể sau 2 giây? 4 giây?

c Vật thể dừng lại khi nào?

d Khi nào vật thể chuyển động theo hướng dương (xuôi chiều)

e Vẽ biểu đồ mô tả chuyển động của vật thể

f Tìm tổng quãng đường đã đi của vật thể trong 5 giây đầu tiên

33 Một quả bóng được ném thẳng lên không trung có độ cao s t( ) 102= t−16t2 (m) sau t giây

a Vẽ đồ thị s(t), s'(t) trong khoảng thời gian [0, 7] giây Tính toán hoặc sử dụng đồ thị

này (để ước lượng) để trả lời các câu hỏi sau:

b Xác định độ cao của quả bóng sau 2 giây

c Trong quá trình rơi xuống khi nào quả bóng có độ cao 110 m?

d Xác định vận tốc sau 6 giây

e Khi nào quả bóng đạt vận tốc 70m/s

f Xác định vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất

34 Một quả bóng được ném lên thẳng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 112m/s, độ cao của quả

bóng so với mặt đất tại thời điểm t là s t( )= −16t2 +112 ( )t m

a Khi nào thì quả bóng lên đến độ cao lớn nhất, xác định độ cao lớn nhất đó Sau bao nhiêu giây thì quả bóng rơi xuống đất

b Xác định vận tốc khi bóng tiếp đất

c Xác định gia tốc của bóng khi t = 1s, t = 3s

35 Giả sử xe ô tô A đứng tại gốc tọa độ và di chuyển theo chiều dương của trục Oy với vận tốc

60 km/h Cùng thời điểm đó ô tô B đứng trên trục Ox cách O 30km theo chiều dương và

di chuyển theo chiều về O với vận tốc 90 km/h Gọi S là khoảng cách giữa hai xe trong quá trình chuyển động Tìm các khoảng tăng giảm của S trong 5 giờ đầu tính từ lúc hai xe khởi

hành

qua sông và đi bộ đến điểm B ở bên bờ đối diện mà cách điểm đối diện vuông góc với A 3

dặm Cho biết người đó có thể bơi qua sông với vận tốc 2 dặm/ giờ và đi bộ với vận tốc 3

dặm/giờ Hãy xác định phương án di chuyển hợp lý để thời gian người đó đến B là nhỏ

nhất (Giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể.)

37 Có hai địa điểm A, B nằm trên cùng một phía của một con sông thẳng Gọi l1, l2 là khoảng

cách từ hai địa điểm này đến con sông, và h là khoảng cách giữa hai hình chiếu của hai địa điểm này trên bờ sông Hỏi cần phải đặt nhà máy nước C ở địa điểm nào trên bờ sông sao cho tổng khoảng cách từ C đến hai địa điểm kể trên là nhỏ nhất

38 Một người có một đoạn thép nhỏ dài 12 cm, dự định cắt thành ba đoạn con để ghép thành một tam giác cân Hỏi người đó phải cắt như thế nào để được tam giác có diện tích lớn nhất

39 Tìm 2 số mà hiệu là 100 và tích của chúng là nhỏ nhất

40 Tìm một số dương sao cho tổng của nó và hai lần nghịch đảo của nó là nhỏ nhất

41 Phải xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có nắp như thể nào để hình đó có thể tích lớn nhất từ 1200cm2 vật liệu?

42 Một người nông dân muốn làm hàng rào cho 1 khu đất hình chữ nhật với diện tích 1.5 triệu feet vuông và sau đó chia nó làm đôi bởi một hàng rào song song với một cạnh của hình chữ nhật Xác định các kích thước của khu đất để chi phí cho hàng rào là ít nhất (1 feet = 0.3048 m.)

43 Người ta dự định xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có nắp Hãy xác định các kích thước của hình hộp sao cho với ít vật liệu nhất ta có thể thiết kế được hình đó có thể tích là 32000cm3

44 Một loại lon nước giải khát có dạng hình trụ và chứa 0.4 lít chất lỏng Xác định kích thước của lon nước để lượng vật liệu được sử dụng làm lon là ít nhất

45 Giả sử một hãng hàng không vận chuyển 8000 lượt hành khách mỗi tháng với giá vé là $50 một lượt Hãng hàng không muốn tăng giá vé, tuy nhiên bộ phận nghiên cứu thị trường cho biết cứ tăng giá vé lên thêm 1 đô la thì lượng hành khách sẽ giảm đi 100 người Xác định giá vé thích hợp để doanh thu của hãng là tối đa

46 Một khu vườn cây ăn quả thu được 25 thùng quả mỗi cây khi trồng 40 cây trong vườn Khi tăng mật độ cây trong vườn, người ta thấy rằng cứ trồng thêm 1 cây thì lượng quả thu được trên mỗi cây giảm đi 0.5 thùng Vậy phải trồng bao nhiêu cây trong vườn thì lượng quả thu được là tối đa

47 Một người có một của hàng nhỏ bán các hộp đựng bút Giả sử số lượng các hộp bán ra tỉ lệ nghịch với bình phương giá bán mỗi hộp Nếu người đó bán với giá $20 mỗi hộp thì sẽ bán được trung bình 125 hộp Đầu tư ban đầu cho cửa hàng là $750 và chi phí cho mỗi hộp đựng bút là $5 Tìm giá bán mỗi hộp bút để lợi nhuận của cửa hàng là tối đa Khi đó có bao nhiêu hộp được bán ra?

48 Giả sử kích thước (số cá thể) của một bầy ruồi đục quả tăng theo hàm mũ ( ) 0 kt

P t =P e ,

trong đó P0 là kích thước của bầy ruồi tại thời điểm bắt đầu quan sát và P(t) là kích thước

tại thời điểm t Biết rằng kích thước của bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày

a Tìm hằng số tăng trưởng k

b Giả sử ban đầu đàn ruồi có 100 con, xác định kích thước đàn ruồi sau 41 ngày, và tốc

độ tăng trưởng của đàn tại thời điểm đó

c Sau bao nhiêu ngày thì đàn ruồi có 800 cá thể

49-59 Tính các giới hạn

49

1

ln

lim

1

x

x

x

x

x

e x

→∞

51

3

ln

lim

x

x

x

0

tan lim

x

x x x

→

−

53

0

lim ln

x

x x

+

2

1

cos

x

x x

π −

⎛ ⎞

→⎜ ⎟⎝ ⎠

0

x

x

+

0

x

x

+

→

57

9

5

1

1 lim

1

x

x

x

→

−

2

→−∞

59

2

1

cos

x

x x

π −

⎛ ⎞

→⎜ ⎟⎝ ⎠

1/

0

→

60-64 Chứng minh các đẳng thức

2

x+ x=π

[ 1,1]

x

2

x+arc x=π ∀ ∈x R

khi x x

khi x x

π π

>

⎧

⎩ 63 arcsin(− = −x) arcsin ,x ∀ ∈ −x [ 1, 1]

64 arccos(− = −x) π arccos ,x ∀ ∈ −x [ 1, 1]

65-72 Tìm đa thức Taylor bậc 5 của các hàm số sau:

65. ( ) x

f x =e tại x = 0, x = 2

66. f x( ) sin , ( ) cos 3= x g x = x tại x = 0,

3

x=π

67. f x( )=xcos 2x tại x = 0

68. ( ) (1 )k

f x = +x tại x = 0, k là một số thực

4

f x

x

=

− tại x = 0

70. f x( ) arctan= x tại x = 0

71. f x( ) ln 1 2= ( + x) tại x = 0

72. ( ) x

f x =xe tại x = 0

Bài tập bắt buộc: 1-4, 8, 9, 14-20, 23, 26-28, 31, 32, 34, 36, 42, 45, 48-59, 60-62, 65-72.

Bài tập chương: Hàm nhiều biến

1 Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau

a) z=ln(x+ x2 +y2) b) z y2sin x

y

=

x y

+

=

− d) ln tan

x z

y

=

y

+

yz

2 Tìm vi phân toàn phần các hàm số sau

a) z=arcsin(x−2 )y b) ( 2 2) x y

z= x + y e + tại (0;0)

1

y z

x

=

+ d)

z

=

3 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau

a) z=ln(x2 + y2) b) y cos( )

z=x + xy

x

1

x y

z arc

xy

+

=

−

z=x Tính

f x y =e x y−y x Tính

+

6 Cho hàm số

1 ln

z

x y

=

+

7 Cho hàm số f x y( , ) arctan y ln x2 y2

x

x x y

+

8 Cho hàm số f x y( , ) yarctan y x2 y2

x

9 Chứng minh hàm số z= yln(x2 −y2) thỏa mãn phương trình 1 z 1 z z2

x x y y y

10 Chứng minh arctan

1

x y z

xy

+

=

2

0

z

x y

∂

=

11 Hàm f x y( , )=x4 +y4 −x2 −2xy− y2 + có đạt cực trị tại điểm (1,1) không? 10

12 Hàm f x y( , )= − −x3 y3 +3x+12y có đạt cực trị tại điểm (-1,1) không?

13 Tìm a, b,c để f x y( , ) 2= x3+2y3 −3xy+by+ax+ đạt cực trị tại (1,1) và f(1,1)=0 c

14 - 23 Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị hàm số

14 f x y( , )= − −x2 y2 +4(x−y) 15 f x y( , ) (= x−1)2 +2y2

3

f x y = x + y − xy+ 17 f x y( , )=x3+3xy2 −15x+12y

18 f x y( , ) 2= x4 + y4 −x2 −2y2 19 ( , ) y

f x y = + −x y xe

f x y = x + y e 21 f x y( , )=x y−x2− +y 6x+ 3

2

f x y

x y

Bài tập chương Nguyên hàm

1 - 3 Dùng tính chất và bảng nguyên hàm tính các tích phân bất định sau:

1

3 4

(x 2)dx

x

−

2 2

3 1

x dx x

+

−

cos

x

x

−

−

∫

4 - 9 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp đổi biến:

x

+

31 3 2

xdx x

−

dx e

+

∫

7

xdx

x + x +

3

cos sin

x dx x

1 4

x

x dx

−

∫

10 - 15 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp tích phân từng phần

x + e dx

x

∫

16 Xác định a, b, c để hàm số ( ) ( 2 ) 2x

F x = ax +bx+c e− là nguyên hàm của hàm số

f x = − x − x+ e−

17 Xác định các hằng số a, b, c để hàm số ( ) ( 2 ) x

F x = ax +bx+c e− là nguyên hàm của hàm số

2

f x = x − x+ e−

18 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

2

( )

f x

x

=

19 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) sin2

2

x

F π = π

20 - 49 Tính các tích phân bất định sau:

20 x2

xe dx

cos

dx x

(1 ln )

dx

x + x

∫

1 2 cos

xdx

x

+

sin

x dx x

−

2

1

dx x

−

−

∫

cos 2

x

dx x

2

x x

dx

e −e

∫

29 xsin

e xdx

( x) dx x

∫

32 cos3

sin

x x

dx x

cos

x dx x

dx

x + x+

∫

x

dx

+

x dx

x + x +

3

2

x dx

x−

∫

x

dx

+

2

dx

x x

2

dx

x + x+

∫

41

dx

x x +

2

3 2

xdx

x x

xdx

x + + x +

∫

44

3

1

dx

x −x

dx

∫

47

3

cos 2

dx x

−

4 6

sin cos

x dx x

sin 2

dx x

+

∫

x + 4x 5 +

∫

Bài tập bắt buộc: 1-16, 18, 21, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 38-41, 43, 46, 50

Bài tập Tích phân xác định và ứng dụng

1 - 20 Tìm các tích phân xác định sau:

1

2

1

2 1

ln

e

x

dx

x − x− x

2

4 0

sin 2

5 cos

x dx x

π

+

1

2 1

3 2x x dx

−

4

1

2

0

x +x dx

3

2 0

3

x dx x

+

−

/ 2

2 0

(2t 3)sin tdt

π

+

7

0

1

1 sinx dx

π

+

3 2

dx

x x +

0

2 1

arctan 1

dx x

10

3 4

1 4

arcsin

x dx

x −x

2

0

π

/3

/ 4

ln(tan ) sin 2

x dx x

π

13

ln 2

ln 3

1

1

x

x

e

dx e

−

−

+

−

1

5 2 0

x

x e− dx

4 3 0

sin cos

x x dx x

π

∫

16

1

2 1

1 (x 2)(x 4)dx

3

arctgx

dx

x +x

3 1

ln x

dx x

0

cos

x

π

1

2 0

1 (x−2)(x+3) dx

21 - 32 Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ:

x

dx x

+∞

+

1

1 2

x dx

+

+∞

1

5

+∞

1

1

+∞

+

0

2 x

x e dx

27

1

x

e dx

+∞

−

1

ln x

dx x

+∞

1

arctgx

dx x

+∞

30 tcostdt

+∞

xarctgx

dx x

+∞

+

2 2

1

1dx

x x

+∞

−

∫

33 – 41 Hãy cho biết các tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kì

33

4

x

dx x

+∞

+

2

3 4 1

sin 3 1

x dx x

+∞

+

1

x dx x

+∞

−∞∫ +

1

1

x

+∞

−

x dx x

+∞

+

0

x

e dx x

+∞ −

39

1

1

4x lnx dx

+∞

+

3

1

x x x

+∞

1

1

x dx

xα

∫

42 - 47 Tính độ dài cung của các đường cong sau

42 y =

x

x

(

3/ 2 với 1≤ ≤ x 3

1

x

x

e

y

e

+

=

/ 2 / 2

2

a

e +e− từ x = 0 đến x = a

46 y = x−x2 +arcsin x

47

3

y a

a x

=

− từ x = 0 đến x = b (với 0 < b < a)

48 Tìm hàm độ dài cung của đường cong y =

x x

+ (x > 0) với điểm xuất phát là P(1; 7/12)

49 Một luồng gió ổn định thổi cánh diều bay về hướng tây Độ cao của diều so với mặt đất từ

50 150

40

x

đường diều đã bay

50 Một con chim diều hâu bay với tốc độ 15m/s ở độ cao 180m bất ngờ đánh rơi con mồi

Quỹ đạo hình parabol của con mồi bị rơi cho bởi phương trình

2

180 45

x

y= − cho tới khi nó chạm đất, trong đó y là độ cao của nó so với mặt đất và x là khoảng cách

theo phương nằm ngang tính theo đơn vị mét Hãy tính độ dài quỹ đạo do con mồi vạch ra

từ khi nó bắt đầu rơi đến khi chạm đất

51 (a) Tính độ dài cung y= +1 6x3/ 2, 0≤ ≤ x 1

(b) Hãy tính độ dài của đường gấp khúc gồm 2 đoạn nội tiếp cung trên, chính xác đến 2 chữ số thập phân, và so sánh với độ dài cung tính được trong (a)

(chọn hoành độ của các điểm mút đường gấp khúc là 0; 0,5, 1)

52 - 57 Vẽ miền giới hạn bởi các đường sau và tính diện tích của chúng

52 y = -x2

; y = x-2 và Ox 53 y2

= 2x+4; y = -2; y = -5 + 3x/2

54 y = ex ; y = sinx; x = 0; x= / 2π 55 y = 3x2; y = 8x2; 4x + y = 4; x≥ 0

56 4x+y2 =12; y = x 57 y = sin2x; y = cosx; x = 0; x = / 2π

58 Tính diện tích các phần tô đậm sau nếu nó hữu hạn

59 Ở một vùng dân cư có tỷ lệ người sinh và tỷ lệ người chết tại thời điểm t lần lượt là các

hàm số b(t) = 2200e0,024t người/năm, d(t) = 1460e0,018t người/năm Tìm diện tích miền giới

60 Giả sử R(x) và C(x) lần lượt là hàm doanh

thu và hàm chi phí sản xuất cho x đơn vị

sản phẩm của một nhà máy R’(x) và C’(x)

lần lượt được gọi là doanh thu cận biên và

chi phí cận biên ứng với x đơn vị sản

phẩm Nêu ý nghĩa của diện tích miền tô

đậm trong hình bên

61 Đồ thị của hàm g gồm 2 đoạn thẳng và một nửa đường tròn Hãy dùng nó để xác định các

tích phân sau

(a) 2

0 g x dx( )

2 g x dx( )

(c) 7

0 g x dx( )

∫

62 Cho

0

g x =∫ f t dt , trong đó f là hàm số mà đồ thị

của nó được cho ở hình vẽ bên

(a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), và g(6)

(b) Hàm g tăng trên đoạn nào?

(c) Hàm g đạt giá trị cực đại tại đâu

(d) Hãy vẽ đồ thị hàm g

63 Nếu f x( )=x2 −2 , 0x ≤ ≤ hãy tính tổng Riemann với n = 6, bằng cách chọn các điểm x 3, mút phải Tổng Riemann này biểu thị đại lượng nào? Minh họa bằng hình vẽ

64 Vận tốc của một vận động viên thi chạy tăng đều đặn trong suốt 3 giây đầu của cuộc đua

Kết quả đo vận tốc của cô ấy sau mỗi quãng thời gian nửa giây thu được ở bảng sau Hãy ước lượng cận trên và cận dưới của quãng đường mà cô ấy chạy được trong 3 giây này

v (m/s) 0 1,9 3,3 4,5 5,5 5,9 6,2

65 Đồ thị hàm vận tốc của một chiếc ô tô trong

một qúa trình sử dụng phanh được cho ở hình

bên Tính tổng Riemann với n = 6 đoạn chia

có độ dài bằng nhau và chọnεilà điểm chính

giữa mỗi đoạn, đồng thời ước lượng độ dài

quãng đường mà ô tô đi được trong khi sử

dụng phanh (1ft = 0,3048m)

66 Một vật xuất phát từ gốc tọa độ chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốc là

v(t) = -(t - 2)2 + 1 (mét/giây) với 0≤ ≤ (giây) t 5 a) Vẽ đồ thị hàm v(t), từ đó xác định khi nào vật chuyển động về phía trái, khi nào vật

chuyển động về phía phải

b) Tính tổng độ dài quãng đường mà vật đã di chuyển trong khoảng thời gian từ giây thứ

2 đến giây thứ 4

c) Xác định sự thay đổi vị trí của vật tại thời điểm t =5 so với thời điểm t=2

d) Tìm hàm vị trí của vật s(t) tại thời điểm t và tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian [0; 5]

67 Tốc độ tăng trưởng của một quần thể sinh vật là N’(t) = e-t, trong đó kích thuớc quần thể tại

thời điểm ban đầu t = 0 là N(0) = 100

a) Tìm hàm kích thước quần thể N(t)

b) Tính sự thay đổi về kích thước quần thể trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t =5

68 Ban đầu đàn ong có 100 con và tốc độ tăng trưởng của đàn là N’(t) (con/tuần) Giá trị của

biểu thức 100 +

15

0

'( )

N t dt

69 Tốc độ tăng trưởng của sinh khối (số lượng sinh vật sống trong một đơn vị diện tích, thể

tích vùng hoặc tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển) ở thời điểm t là B’(t),

biểu thức

6

1

'( )

B t dt

70 Hàm w’(x) biểu diễn tốc độ tăng trưởng của trẻ ở độ tuổi x (đơn vị kg/năm), khi đó

5

3

w'(x)dx

71 Một mô hình tốc độ tăng trưởng sinh khối ở thời điểm t là B’(t) = cos(πt/ 6), với

0≤ ≤t 12 Vẽ đồ thị hàm B’(t) và tìm hàm sinh khối B(t) biết B(0) = 100

72 Số lượng ban đầu của một nhóm vi khuẩn là 400 con và chúng tăng trưởng với tốc độ

r(t) = 450,268e1,12567t con/giờ Hãy xác định số lượng vi khuẩn của nhóm sau 3 giờ đầu

73 Dầu chảy ra từ một bể chứa với lưu lượng r(t) = 200 – 4t (lít/phút), 0≤ ≤t 50 Hãy xác định lượng dầu chảy ra từ bể trong khoảng thời gian 10 phút đầu

74 Hàm chi phí cận biên để sản xuất x mét một loại vật liệu xây dựng là 3 - 0,1x + 0,0006x2

(ngàn đồng/mét) Hãy tính sự chênh lệch về chi phí sản suất khi tăng số lượng sản phẩm từ 2000m lên 4000m

75 Hàm chi phí cận biên để sản xuất x sản phẩm là 5+16x-3x2 (ngàn đồng/mét) Biết tổng chi

phí để sản xuất 5 sản phẩm là 500( ngàn đồng), hãy tìm hàm chi phí sản suất cho x sản

phẩm

76 Nhiệt độ trong một nhà lưới trồng hoa thay đổi trong suốt khoảng thời gian 24 giờ có

phương trình T(t) = 20 + 5

9sin(π t/12) (0C) với 0≤ ≤t 24 Hãy xác định nhiệt độ trung bình trong nhà lưới trong khoảng thời gian [0; 24] (giờ)

Bài tập bắt buộc: 1, 3, 5, 9, 10, 14, 20-49, 51, 54-59, 61-63, 66-68, 73, 74