Bài giảng Giải tích một biến phần 1

Lời nói đầuBài giảng này được dành cho sinh viên của Trường Đại học Thủy lợi khi học mônToán 1 Giải tích hàm một biến số.. Hàm số f xác định trên A là một quy tắc sao cho nó tác động vào

Trang 1

TS NGUYỄN ĐỨC HẬU

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ

(Dùng cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi)

These strips divide the interval [a, b] into subintervals

which is the value of at the right-hand endpoint (see Figure 11) Then the area of the

by the sum of the areas of these rectangles, which is

approximation appears to become better and better as the number of strips increases,that is, as Therefore, we define the area of the region in the following way

continuous function is the limit of the sum of the areas of approximating rectangles:

2

S A

Trang 2

Mục lục

1.1 Hàm số một biến số 4

1.2 Giới hạn của dãy số thực 9

1.3 Giới hạn của hàm số thực 10

1.4 Hàm số liên tục 19

1.5 Bài tập chương 1 23

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 26 2.1 Tiếp tuyến và vận tốc 26

2.2 Đạo hàm 27

2.3 Vi phân 30

2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 31

2.5 Các định lí về hàm khả vi 33

2.6 Quy tắc Lô-pi-tan 36

2.7 Khảo sát hàm số 40

2.8 Đường cong cho bởi phương trình tham số 45

2.9 Đường cong trong tọa độ cực 48

Chương 3 TÍCH PHÂN 54 3.1 Tích phân bất định 54

3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 55

3.3 Tích phân bất định của một vài lớp hàm 62

3.4 Tích phân xác định 73

3.5 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 80

3.6 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn 84

3.7 Một số ứng dụng của tích phân xác định 88

3.7.1 Tính diện tích hình phẳng 88

3.7.2 Tính độ dài cung 92

3.7.3 Tính thể tích 95

Trang 3

3.7.4 Tính diện tích của mặt tròn xoay 98

Chương 4 CHUỖI 101 4.1 Chuỗi số 101

4.2 Chuỗi số dương 103

4.3 Chuỗi số đan dấu 107

4.4 Chuỗi số có dấu bất kì 108

4.5 Chuỗi hàm 110

4.6 Chuỗi lũy thừa 112

4.7 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin 116

4.8 Chuỗi Fourier 121

Trang 4

Lời nói đầu

Bài giảng này được dành cho sinh viên của Trường Đại học Thủy lợi khi học mônToán 1 (Giải tích hàm một biến số)

http://nguyenduchau.wordpress.com

Trang 5

Chương 1

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa 1.1 Cho A ⊂ R Hàm số f xác định trên A

là một quy tắc sao cho nó tác động vào một phần tử x bất

kì của A sẽ tạo thành một và chỉ một phần tử y của R Kíhiệu f : A → R, x 7→ y = f (x)

A được gọi là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f Tập hợp f (A) = {y ∈ R |∃x ∈ A : y = f (x) } được gọi làtập ảnh hay tập giá trị của hàm số f

A function is a rule that assigns to each element in a set exactly one element, called , in a set

We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers The set is called the domain of the function The number is the value of

at and is read “ of ” The range of is the set of all possible values of as varies throughout the domain A symbol that represents an arbitrary number in the

domain of a function is called an independent variable A symbol that represents

a number in the range of is called a dependent variable In Example A, for

instance, r is the independent variable and A is the dependent variable.

It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2) If is in the domain

of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the machine produces an output according to the rule of the function Thus, we can think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all possible outputs.

The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a machine For example, the square root key on your calculator is such a function You press the key labeled (or )and enter the input x If , then is not in the domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will indicate an error If , then an approximation to will appear in the display Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical

Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3 Each

arrow connects an element of to an element of The arrow indicates that is associated with is associated with , and so on.

The most common method for visualizing a function is its graph If is a function

with domain , then its graph is the set of ordered pairs

(Notice that these are input-output pairs.) In other words, the graph of consists of all points in the coordinate plane such that and is in the domain of The graph of a function gives us a useful picture of the behavior or “life history”

of a function Since the -coordinate of any point on the graph is , we can read the value of from the graph as being the height of the graph above the point (see Figure 4) The graph of also allows us to picture the domain of on the -axis and its range on the -axis as in Figure 5.

y x

f f

x

f 共x兲 y 共x, y兲 y 苷 f 共x兲

f

f x

f 共a兲

x,

f 共x兲

B A

x f

f

x

f 共x兲

f x

B

f 共x兲

A x

x

FIGURE 3

Arrow diagram for ƒ

Đồ thị của hàm số f : A → R là tập hợp tất cả các điểm (x, f (x)), ∀x ∈ A ở trongmặt phẳng toạ độ xOy

A function is a rule that assigns to each element in a set exactly one element, called , in a set

We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers.

The set is called the domain of the function The number is the value of

at and is read “ of ” The range of is the set of all possible values of as varies throughout the domain A symbol that represents an arbitrary number in the

domain of a function is called an independent variable A symbol that represents

a number in the range of is called a dependent variable In Example A, for

instance, r is the independent variable and A is the dependent variable.

It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2) If is in the domain

of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the machine produces an output according to the rule of the function Thus, we can think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all possible outputs.

The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a machine For example, the square root key on your calculator is such a function You press the key labeled (or )and enter the input x If , then is not in the domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will indicate an error If , then an approximation to will appear in the display.

Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical function defined by

Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3 Each

arrow connects an element of to an element of The arrow indicates that is associated with is associated with , and so on.

The most common method for visualizing a function is its graph If is a function

with domain , then its graph is the set of ordered pairs

(Notice that these are input-output pairs.) In other words, the graph of consists of all points in the coordinate plane such that and is in the domain of The graph of a function gives us a useful picture of the behavior or “life history”

of a function Since the -coordinate of any point on the graph is , we can read the value of from the graph as being the height of the graph above the point (see Figure 4) The graph of also allows us to picture the domain of on the -axis and its range on the -axis as in Figure 5.

f f

x

f 共x兲

y 苷 f 共x兲

共x, y兲 y

f

f x

y 苷 f 共x兲

共x, y兲

f 兵共x, f 共x兲兲ⱍx 僆 A其

A

f a

f 共a兲 x,

f 共x兲 B

A

f 共x兲苷 sx f

x f

f

x

f 共x兲 f

x f

x

f

f 共x兲 A

B A

x

FIGURE 3

Arrow diagram for ƒ

Hàm số chẵn, lẻ Cho hàm số f xác định trên A, A là miền đối xứng qua gốc O

• Hàm số f (x) được gọi là tăng trên A nếu ∀x1, x2 : x1 < x2⇒ f (x1) < f (x2)

• Hàm số f (x) được gọi là giảm trên A nếu ∀x1, x2 : x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)

• Hàm số f (x) được gọi là không tăng trên A nếu ∀x1, x2 : x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥

f (x2)

Trang 6

We also see that the graph of coincides with the -axis for Putting this information together, we have the following three-piece formula for :

EXAMPLE 10 In Example C at the beginning of this section we considered the cost

of mailing a first-class letter with weight In effect, this is a piecewise defined function because, from the table of values, we have

The graph is shown in Figure 22 You can see why functions similar to this one are

called step functions—they jump from one value to the next Such functions will be

studied in Chapter 2.

Symmetry

If a function satisfies for every number in its domain, then is

called an even function For instance, the function is even because

The geometric significance of an even function is that its graph is symmetric with respect to the -axis (see Figure 23) This means that if we have plotted the graph of for , we obtain the entire graph simply by reflecting about the -axis

If satisfies for every number in its domain, then is called an

odd function For example, the function is odd because

The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure 24) If we already have the graph of for , we can obtain the entire graph by rotating through about the origin.

EXAMPLE 11 Determine whether each of the following functions is even, odd, or neither even nor odd.

f 共⫺x兲苷 f 共x兲

f

0.34 0.56 0.78 1.00

20 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS

y

x _x

FIGURE 23

An even function

x 0

EXAMPLE 10 In Example C at the beginning of this section we considered the cost

of mailing a first-class letter with weight In effect, this is a piecewisedefined function because, from the table of values, we have

The graph is shown in Figure 22 You can see why functions similar to this one are

called step functions—they jump from one value to the next Such functions will be

studied in Chapter 2

Symmetry

The geometric significance of an even function is that its graph is symmetric withrespect to the -axis (see Figure 23) This means that if we have plotted the graph offor , we obtain the entire graph simply by reflecting about the -axis

odd function For example, the function is odd because

The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure 24) If we

EXAMPLE 11 Determine whether each of the following functions is even, odd, or neither even nor odd

SOLUTION(a)

Therefore, is an odd function

f 共⫺x兲苷 ⫺f 共x兲 f

f 共⫺x兲苷 f 共x兲 f

0.340.560.781.00

20 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS

y

x _x

FIGURE 23

An even function

x 0

• Hàm số không tăng hay không giảm trên A được gọi là hàm đơn điệu trên A

Trên hình1.2, hàm số tăng từ A lên B và giảm từ B xuống C và lại tăng từ C lên

D Hàm f tăng trên các đoạn [a, b], [c, d] và giảm trên đoạn [b, c]

(c) Since and , we conclude that is neither even nor odd.

The graphs of the functions in Example 11 are shown in Figure 25 Notice that the

graph of h is symmetric neither about the y-axis nor about the origin.

Increasing and Decreasing Functions

The graph shown in Figure 26 rises from to , falls from to , and rises again from to The function is said to be increasing on the interval , decreasing

on , and increasing again on Notice that if and are any two numbers between and with , then We use this as the defining prop- erty of an increasing function.

A function is called increasing on an interval if

It is called decreasing on if

In the definition of an increasing function it is important to realize that the ity must be satisfied for every pair of numbers and in with

inequal-You can see from Figure 27 that the function is decreasing on the val 共⫺⬁, 0兴 and increasing on the interval 关0, ⬁兲 f 共x兲苷 x

A

B

C

D y=ƒ

1 y

x

g 1

_1 1 y

x f

FIGURE 27

Hình 1.2: Hàm số đơn điệuHàm bị chặn Cho hàm số f (x) xác định trên A

• Hàm f (x) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho f (x) ≤ M , ∀x ∈ A

• Hàm f (x) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho f (x) ≥ M , ∀x ∈ A

• Hàm f (x) được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại M sao cho |f (x)| ≤ M ,

∀x ∈ A

Hàm số tuần hoàn Cho hàm số f(x) xác định trên A Nếu tồn tại số T dương sao

cho f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ A thì f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn Số T nhỏ nhất

trong các số thoả mãn điều kiện trên gọi là chu kì của hàm số f (x)

Chú ý 1.1 (a) Các hàm số sin x, cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là 2π

(b) Các hàm số tan x, cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là π

(c) Nếu f (x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm f (ax) cũng là hàm số tuần hoàn

với chu kì là |a|T

(d) Tổng hiệu các hàm số tuần hoàn với cùng một chu kì T cũng là hàm tuần

hoàn với chu kì T Trường hợp các số hạng tuần hoàn nhưng khác chu kì, thì hàm

Trang 7

Hàm số hợp Có nhiều cách khác nhau để tổ hợp hai hàm số thành một hàm số

mới Giả sử cho hai hàm số y = f (u) =√u và u = g(x) = x2+ 1 Do y được biểu

diễn theo u và u lại được biểu diễn theo biến x nên ta có thể biểu diễn y theo x

y = f (u) = f (g(x)) = f (x2+ 1) =px2+ 1Quá trình trên tạo ra một hàm số mới y = h(x) = f (g(x)) = √x2+ 1 gọi là hàm

hợp của f và g được kí hiệu bởi f ◦ g đọc là ’f o tròn g’

The procedure is called composition because the new function is composed of the two

given functions and

In general, given any two functions and , we start with a number x in the domain

of and find its image If this number is in the domain of , then we can culate the value of The result is a new function obtained by

cal-substituting into It is called the composition (or composite) of and and is denoted by (“ f circle t”).

Definition Given two functions and , the composite function (also

called the composition of and ) is defined by

The domain of is the set of all in the domain of such that is in the domain of In other words, is defined whenever both and are defined The best way to picture is by a machine diagram (Figure 13) or an arrow diagram (Figure 14).

EXAMPLE 7If and , find the composite functions and

SOLUTION We have

| NOTE ● You can see from Example 7 that, in general, Remember, the notation means that the function is applied first and then is applied second.

In Example 7, is the function that first subtracts 3 and then squares; is the

function that first squares and then subtracts 3.

EXAMPLE 8If and , find each function and its domain.

SOLUTION (a) The domain of fⴰ t is 兵xⱍ2⫺ x 艌 0其苷兵xⱍx艋 2其苷共⫺⬁, 2兴

The f • g machine is composed of

the g machine (first) and then

f

fⴰ t

t

f f

từ A lên B = f (A) ⊂ R (1 − 1 nghĩa là f (x1) 6= f (x2),

∀x1 6= x2) Khi đó với mỗi y ∈ B ta có quy tắc kí hiệu là

f−1 xác định được duy nhất một x ∈ A sao cho f (x) = y

Quy tắc f−1 đó được gọi là hàm ngược của hàm số f Vậy

y = f (x) ⇔ x = f−1(y)

Chú ý rằng nếu điểm (a, b) là một điểm thuộc đồ thị của

hàm f thì (b, a) thuộc đồ thị của f−1

(See Figure 8.)

Therefore, as illustrated by Figure 9:

The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line

same coordinate axes.

SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola

graph of (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression

Logarithmic Functions

decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test It therefore has an inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is

denoted by If we use the formulation of an inverse function given by (3), then we have

x

y=x y=ƒ

(0, _1)

y=f –!(x) (_1, 0)

Trang 8

if , the point is on the graph of if and only if the point is on the graph of But we get the point from by reflecting about the line

(See Figure 8.)

same coordinate axes.

, or ) and then we reflect about the line to get the graph of (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression

parabola and this seems reasonable from Figure 10.

denoted by If we use the formulation of an inverse function given by (3),

then we have

Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give

become

aloga x 苷 x for every x⬎ 0

loga 共a x 兲苷 x for every x僆⺢

y = √3x − 2Vậy hàm ngược cần tìm là f−1(x) = √3

x − 2

(See Figure 8.)

EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the same coordinate axes.

graph of (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression

denoted by If we use the formulation of an inverse function given by (3),

then we have

Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give

become

aloga x 苷 x for every x⬎ 0

loga 共a x 兲苷 x for every x僆⺢

x

y=x y=ƒ

(0, _1)

y=f –!(x) (_1, 0)

FIGURE 10

(b) Như hình vẽ đường cong y =√−1 − x là một nửa trêncủa parabol y2 = −1 − x hay x = −y2− 1 Lấy đối xứngqua đường y = x ta được đồ thị của hàm f−1 Nó đượcbiểu diễn bởi f−1(x) = −x2 − 1, x ≥ 0 Vậy đồ thị của

f−1 là một nửa bên trái của parabol y = −x2− 1

Các hàm số sơ cấp cơ bản Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản

1 Hàm luỹ thừa xα

2 Hàm mũ ax

3 Hàm số logarit logax

4 Các hàm số lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x

5 Các hàm lượng giác ngược arcsin x, arccos x, arctan x, arccotx

Hàm sơ cấp Hàm sơ cấp là các hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phéptính đại số và phép hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản

Ví dụ 1.3 (a) Các hàm số y = cos 5x, y = x4+ tan 3x − ln(x + 2), y = e

x+ tan 6xlog3x − 3 ,

Ví dụ 1.4 (a) Biểu thức x2 + 2x − y = 0 xác định hàm ẩn (biểu diễn dưới dạngtường minh y theo x là y = x2+ 2x)

(b) Biểu thức exy+ y = 0 xác định hàm ẩn nhưng không thể biểu diễn dưới dạngtường minh y theo x

(c) Biểu thức x2+ y2+ 1 = 0 không xác định hàm ẩn

Trang 9

Hàm số theo tham số Cho x = f (t), y = g(t) là các

hàm số cùng xác định trên T Khi đó với mỗi x = f (t0) sẽ

cho ta y = g(t0) tại t0 xác định cho ta một hàm số y theo

đối số x gọi là hàm cho theo tham số x = f (t), y = g(t)

Với mỗi giá trị t xác định một điểm (x, y) trên mặt phẳng

xOy Khi t thay đổi điểm (x, y) = (f (t), g(t)) chạy trên

một đường cong C gọi là đường cong tham số

(e) reflecting about the line

(f) reflecting about the x-axis and then about the line (g) reflecting about the y-axis and then about the line

(h) shifting 3 units to the left and then reflecting about the line

60. (a) If we shift a curve to the left, what happens to its tion about the line ? In view of this geometric principle, find an expression for the inverse of

reflec-, where is a one-to-one function (b) Find an expression for the inverse of ,

(b) How long does it take to recharge the capacitor to 90%

and Such a pair of equations is often a convenient way of ing a curve and gives rise to the following definition

describ-Suppose that and are both given as functions of a third variable (called a

parameter) by the equations

(called parametric equations) Each value of determines a point , which wecan plot in a coordinate plane As varies, the point varies and

traces out a curve , which we call a parametric curve The parameter t does not

nec-essarily represent time and, in fact, we could use a letter other than t for the ter But in many applications of parametric curves, t does denote time and therefore

parame-we can interpret as the position of a particle at time t.

EXAMPLE 1 Sketch and identify the curve defined by the parametric equations

SOLUTION Each value of gives a point on the curve, as shown in the table Forinstance, if , then , and so the corresponding point is InFigure 2 we plot the points determined by several values of the parameter and

we join them to produce a curve

FIGURE 2

0

y

x 8

t=0 t=1 t=2

1 Hàm sine hyperbolic sinh x = e

sec x = 1

cos x, csc x =

1sin x

Trang 10

1.2 Giới hạn của dãy số thực 9

Định nghĩa 1.2 Dãy số Cho hàm số f : N → R, n 7→ f (n) = an Dãy các số thực

a1, a2, được gọi là dãy số, an gọi là số hạng tổng quát của dãy số Kí hiệu dãy số

là {an}

Dãy bị chặn

1 Dãy {an} gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho an≤ M , ∀n ∈ N

2 Dãy {an} gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho an≥ M , ∀n ∈ N

3 Dãy {an} gọi là bị chặn (giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dướihay là tồn tại M sao cho |an| ≤ M , ∀n ∈ N

Dãy đơn điệu Dãy {an} gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) nếu

a1 ≤ a2 ≤ ≤ an≤ (tương ứng a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ≥ ) Nếu không xảy ra dấubằng thì ta nói dãy là tăng giảm thực sự

Định nghĩa 1.3 Giới hạn hữu hạn của dãy số Cho dãy số {an} Số thực ađược gọi là giới hạn của dãy số an khi nếu như ∀ε > 0 bất kì cho trước thì ∃N0 saocho |an− a| < ε, ∀n ≥ N0 Kí hiệu là lim

n→+∞an= a hoặc an→ a khi n → +∞ Haycòn nói {an} là dãy hội tụ đến a, trong trường hợp trái lại {an} gọi là dãy phân kì.Viết gọn lại lim

n→+∞an= a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 : ∀n ≥ N0 ⇒ |an− a| < ε

Chú ý 1.2 Nếu lim

n→+∞an= 0 thì dãy {an} được gọi là dãy vô cùng bé

Định nghĩa 1.4 Dãy dần đến vô cùng

lim

n→+∞an= ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 : ∀n ≥ N0 ⇒ |an| > MCác tính chất

1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

2 Nếu an→ a, bn→ b khi n → +∞ (a, b hữu hạn) thì an±bn→ a±b, anbn→ ab,

a n

b n → ab, b 6= 0

3 Cho hai dãy hội tụ {an}, {bn}

• Nếu tồn tại N0 ∈ N : an= bn, ∀n ≥ N0 thì lim

Trang 11

1.3 Giới hạn của hàm số thực 10

4 Cho 3 dãy {an}, {bn}, {cn} Nếu an≤ bn≤ cn, ∀n và lim

n→+∞cn= Lthì lim

n→+∞qn= 0 ⇔ |q| < 1lim

lim

x→af (x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

lie in successively smaller intervals centered at 2 if the distance from to 1 is less than It turns out that it is always possible to find such a number

, no matter how small the interval is In other words, for any positive number , no

matter how small, there exists a positive number such that

This indicates that

and suggests a more precise way of defining the limit of a general function.

Definition Let be a function defined on some open interval that contains

the number , except possibly at itself Then we say that the limit of as approaches is , and we write

if for every number there is a corresponding number such that

Definition 1 is illustrated in Figures 3– 5 If a number is given, then we draw the horizontal lines and and the graph of (See Figure 3.) If

, then we can find a number such that if we restrict to lie in

lines and (See Figure 4.) You can see that if such a has been found, then any smaller will also work.

It’s important to realize that the process illustrated in Figures 3 and 4 must work

a

y

y=L+∑ y=L-∑

when x is in here

(x≠ a)

ƒ

is in here

f 共x兲

a a

APPENDIX D PRECISE DEFINITIONS OF LIMITS ◆ A31

▲ The condition is just

another way of saying that x a.

= 0

Trang 12

1.3 Giới hạn của hàm số thực 11Giải ∀ε > 0 bé tuỳ ý, ta có

x cos1

x − 0

= |x|

cos1x

... đô la Nếu bán 10 la bán 18 0 bản.Lợi nhuận (10 − 4) 18 0 = 10 48 la Gọi x số tiền giảm Khi lợinhuận f (x) = (10 − x − 4) (18 0 + 60x) = 60(6 − x)(3 + x) = 60 −x2+ 3x + 18 .Hàm đạt giá...

x2x=

12 Chú ý 1. 7 Số VCB cấp cao trình

2 Nếu f1< /sub>(x) ∼ g1< /small>(x), f2(x) ∼ g2(x) VCB tương đương mộtquá trình f1< /sub>(x)f2(x)... class="text_page_counter">Trang 21< /span>

1. 4 Hàm số liên tục 20Chú ý 1. 9 f (x) liên tục a ⇔ f (x) vừa liên tục trái liên tục phải a.

Định nghĩa 1. 14 Hàm số f (x)