Bài giảng giải tích một biến (đại học thủy lợi)

Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số Giới hạn tính liên tục hàm số 1.1 Hàm số biến số Định nghĩa hàm số Cho tập hợp D E tập R Tương ứng f : D → E cho tương ứng phần tử x ∈ D với phần tử y ∈ E gọi hàm số biến số thực + Tập D gọi miền xác f + Tập f(X) gọi miền giá trị f + x ∈ D gọi biến số độc lập ( hay đối số ) + f ( x ), x ∈ D gọi biến số phụ thuộc ( hay hàm số ) Đồ thị hàm số: G f = {( x, f ( x) ) | x ∈ A} + Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng: Một đường cong mặt phẳng xy đồ thị hàm x đường thẳng song song với Oy cắt đương cong nhiều điểm Đồ thị hàm số Không đồ thị hàm số 1.2 Giới hạn hàm số: Ví dụ 1: Xét hàm số y = f ( x ) = x − x + Ta lập bảng giá trị hàm số điểm x gần x0 = Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Nhận thấy x tiến gần đến x0 = giá trị hàm số f ( x ) tiến gần đến Ta nói hàm số có giới hạn x → x0 = Định nghĩa giới hạn hàm số Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn L (hữu hạn) x → x0 viết lim f ( x ) = L với dãy { xn } mà xn → x0 lim f ( xn ) = L n →∞ x → x0 Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ − ε lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε x → x0 Chú ý + Nếu hàm f ( x ) không thoả mãn định nghĩa, ta nói f ( x ) khơng có giới hạn x → x0 , lim f ( x ) không tồn x → x0 + Khi tìm giới hạn, ta quan tâm đến giá trị “x dần tới x0 ” xét x = x0 Do hàm số f ( x ) khơng xác định x = x0 phải xác định điểm thuộc lân cận điểm x −1 Ví dụ 2: Hàm số f ( x ) = không xác định x = Ta lập bảng tính giá trị x −1 f ( x ) x → Từ xem f ( x ) dần đến giá trị Nhận thấy x tiến gần đến x0 = giá trị hàm số f ( x ) tiến gần đến 0,5 Ta nói hàm số có giới hạn 0,5 x → x0 = Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Cách mô tả chủ yếu cho ta dáng điệu f(x) x gần a, dự đốn giá trị giới hạn, có lợi trực giác phù hợp với mục đích thực hành Tuy nhiên không chặt chẽ x −1 Sử dụng định nghĩa, lim = x →1 x − Thật vậy, cho trước ε > , chọn δ = ε Ta có: x −1 < δ x −1 x −1 = < x − < ε ( với x lân cận 1) x +1 x −1 Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim cos x →0 x Giải: Đặt f ( x ) = cos x , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = + Với x = 2nπ 1 + Với x = , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = Vậy lim cos không tồn π x →0 x + 2nπ Giới hạn vô cực Định nghĩa: + lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > , ∃N > đủ lớn, cho ∀x > N ⇒ f ( x) − L < ε − x →+∞ + lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > , ∃N > đủ lớn, cho ∀x < − N ⇒ f ( x) − L < ε x →−∞ Ví dụ 4: Chứng minh + Từ lim x →+∞ =0 x 1 −0 ε x + Ta có: ∀ε > , chọn N = ε2 Khi ∀x > N ⇒ f ( x) − < ε Các tính chất giới hạn Định lí 1: Giả sử c số lim f ( x) = L, x→a lim g ( x) = M Khi x→a lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M lim c f ( x) = cL x→a x→a x→a lim x→a lim f ( x).g ( x) = L.M x→a f ( x) L = M ≠ g ( x) M Định lý 2: ( giới hạn kẹp) Giả sử hàm số f ( x), g ( x), h( x) thoả mãn bất đẳng thức f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) lân cận điểm a Khi lim f ( x) = lim h( x) = L lim g ( x) = L x→a x→a x →a Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải sin x = x →∞ x Ví dụ 5: Chứng minh lim Ta có: ≤ sin x sin x ≤ Mà lim = nên lim = , hay ta có đpcm x →∞ x →∞ x x x x Một số phương pháp khử dạng vô định: ∞ , , ∞ − ∞, 1∞ ∞ + Phân tích đa thức thành nhân tử nhân biểu thức liên hợp để khử dạng vô định + Sử dụng giới hạn kẹp + Sử dụng số giới hạn sau: sin x a x −1 = ln a , =1, lim x →0 x →0 x x lim a x = 0, ( < a < 1) , … x  a lim 1 +  = e a , x →∞  x ln( x + 1) = 1, x →0 x lim lim x →+∞ xm − xn − Ví dụ 6: Tìm lim x →1 Giải: + Dạng x m −1 + x m − + + 1) m ( x − 1) ( x m−1 + x m−2 + + 1) ( xm − + lim n = lim = lim = x →1 x − x →1 x − x n −1 + x n − + + ( )( ) x→1 ( x n−1 + x n−2 + + 1) n Ví dụ 7: Tìm lim x→2 + Dạng x −1 − 2x − x−2 0 x −1 − 2x − + lim = lim x→2 x→2 x−2 ( + lim x→2 ( + lim x→2 ) x −1 −1 dang = x−2 ) 2x − −1 x−2 + Vậy lim x→2 ( ) ( x −1 −1 − x−2 0 dang 0 = x −1 − 2x − = +1 = x−2 3 ) = lim ( 2x − −1 x→2 ) − lim ( x −1 −1 x−2 x→2 ) 2x − −1 x−2 Bài giảng Toán cho SV K54 x+ x x +1 Ví dụ 8: Tìm lim x →+∞ Giải: Dạng + lim x →+∞ Ths Lê Thị Minh Hải ∞ ∞ x+ x = x +1 + KQ: Ví dụ 9: Tìm lim x →+∞ ( x2 + x − x ) + Dạng ∞ − ∞ + lim x →+∞ ( ) x2 + x − x = + KQ: ∞  x2 +  lim   x →+∞ x −   Ví dụ 10: Tìm x2 + x , + Dạng 1∞ ( x2 + x  x2 +  + lim   x →+∞ x −   x +2 x    = lim 1 +  x →+∞  x −   Ví dụ 11: Tìm giới hạn sau lim x →0 + Dạng + lim x →0  x −1           − cos x.cos x = − cos x = + KQ: Ví dụ 12: Tìm giới hạn sau lim ( cos x ) x2 x →0 + Dạng 1∞ + Ta có: cos x = − (1 − cos x ) = − 2sin x →0 x ( x2 + x =e − cos x.cos x − cos x + lim ( cos x ) x2 = ) x −1 lim x→+∞ x −1 ) = e2 Bài giảng Toán cho SV K54 − Ths Lê Thị Minh Hải + KQ: e Giới hạn phía a Định nghĩa: Giới hạn f(x) x → a, x < a (hoặc x → a, x > a ) tồn gọi giới hạn trái ( giới hạn phải ) Ký hiệu lim− f ( x) = f (a − ), lim+ f ( x) = f (a + ) x→a Ký hiệu khác: lim f ( x) = f (a − 0), x →a lim f ( x) = f (a + 0) x → a −0 x→a +0 ∃ lim f ( x)  x → a−  b Định lý: Tồn lim f ( x) = L ∃ lim+ f ( x) x →a  x→a f ( x) = lim+ f ( x) = L  xlim → a− x →a Ví dụ 13: Xét tồn lim x →0 Ta có: lim+ x →0 x x = lim+ Ví dụ 14: Nếu x →0 x x x x x −x = , lim− = lim− = −1 Vậy lim không tồn x → x → x → x x x x  x − 4, x > f ( x) =  8 − x, x < , Xác định tồn lim f ( x ) x →4 GIẢI: Vì f ( x ) = x − với x > , có: lim f ( x ) = lim+ x − = − = x → 4+ x→4 Vì f ( x ) = − x với x < , có : lim f ( x ) = lim− ( − x ) = − 2.4 = x → 4− x →4 Giới hạn trái giới hạn phải Vì vậy, giới hạn tồn lim f ( x ) = x→4 Đồ thị f Hình Bài giảng Tốn cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải HÌNH Vô lớn, vô bé Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi vô bé, viết tắt VCB x → x0 lim f ( x) = Hàm số f(x) gọi vô lớn, viết tắt VCL x → x0 x → x0 lim f ( x) = +∞ x → x0 Chú ý: + x0 hữu hạn vô hạn 1 = f ( x) = (1 + x) x + lim f ( x) = ∞ ⇔ lim x → x0 x → x0 f ( x ) f ( x) = ta nói f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f ( x) ∼ g ( x) g ( x) ♦ Một số VCB bậc x → : sin x ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, e x − ∼ x ln(1 + x) =1 ln(1+x) ∼ x x→ v× lim x →0 x ♦ Nếu lim x → x0 Định lý: f ( x) f * ( x) = lim * Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) x → x0 Khi : lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) Ví dụ 15: Tính e2 x − lim x → ln(1 + sin x ) Ta có: e x − ∼ 2x x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x x → e2 x − 2x = lim = Do : lim x →0 ln(1 + sin x ) x→0 x 1.3 Tính liên tục hàm số Định nghĩa Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục điểm x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Hàm số y = f(x) liên tục miền D liên tục điểm thuộc miền D Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục điểm x0 cần đến điều kiện: x0 thuộc tập xác định hàm số Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Tồn lim f ( x) x → x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Nhận xét: + Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit hàm số liên tục miền xác định + Hàm số y = f(x) liên tục (a, b) đồ thị đường cong trơn khoảng (tức không bị gãy, không bị đứt đoạn) Định nghĩa 2: Hàm số f (x) gọi liên tục phải x0 lim+ f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Hàm số f (x) gọi liên tục trái x0 lim− f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Hàm số y = f (x) liên tục x0 vừa liên tục trái, vừa liên tục phải x0  x2 − x −  Ví dụ 16: Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x −  1 x≠2 x=2 + Ta thấy hàm số liên tục điểm x ≠ + Xét x = ( x − )( x + 1) = lim x + = 3, f (2) = x2 − x − lim f ( x ) = lim = lim ( ) x→2 x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 Nhưng lim f ( x ) ≠ f ( ) Nên f không liên tục x →2 Ví dụ 17: Tìm a để hàm số sau liên tục R  sin x  f ( x) =  x  aeax + x −  x>0 x≤0 + Hàm số liên tục với x ≠ , để hàm số liên tục R phải liên tục x =0 + T ại x = lim+ f ( x ) = lim+ x →0 x →0 sin x =2 x , lim f ( x ) = lim− ( aeax + x − 1) = a − = f (0) x → 0− x →0 Để hàm số liên tục x = f (0+ ) = f (0− ) = f (0) ⇔ a − = ⇔ a = Ví dụ 18: Hàm số f(x) khơng xác định x = 0, xác định f(0) để hàm số f(x) liên tục x = với : f ( x ) = (1+ x )x Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải x Giải: Để hàm số liên tục x = f (0) = lim f ( x) = lim(1 + x) = e2 x →0 x →0 Điểm gián đoạn hàm số Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi gián đoạn x = a x = a hàm số không liên tục Nếu tồn f (a + ), f (a − ) f (a + ) ≠ f (a − ) x = a gọi điểm gián đoạn loại Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi gián đoạn loại Ví dụ 19: Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số sau: x a f ( x) = b f ( x) = x x e1− x − Giải: a Xét x = lim+ f ( x ) = x →0 lim f ( x ) = x → 0− nên x = gián đoạn loại b ♦ Tại x = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = x →1 x →1 nên x = gián đoạn loại ♦ Tại x = lim+ f ( x ) = lim f ( x ) = x → 0− x →0 nên x = gián đoạn loại Ví dụ 20: Khảo sát liên tục hàm số tính chất điểm gián đoạn  πx cos x ≤1 f(x) =   x >1  x − (ĐS: x = - điểm gián đoạn loại 1) Bài số Đạo hàm hàm số biến 2.1 Định nghĩa đạo hàm Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f ( x) , đạo hàm f '( x) hàm số f ( x) hàm có giá trị điểm x xác định giới hạn sau (khi giới hạn tồn tại): Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x → ∆x + Nếu giới hạn tồn với x = a, hàm số y = f(x) gọi khả vi a + Hàm khả vi hàm số khả vi điểm tập xác định f '( x) = lim y = f(x) y Q f(x0 +∆x) - f(x 0) P ∆x x0 x0 + ∆x x ● Chú ý : + f’(x) độ dốc tiếp tuyến đường cong y = f(x) P + Có nhiều cách ký hiệu khác đạo hàm hàm số y = f ( x) : dy df ( x) d f '( x) , y’ , , , f ( x) dx dx dx dy + Nếu y = f ( x) cịn gọi suất biến đổi y theo x dx + Nếu ta muốn viết giá trị số đạo hàm điểm cụ thể x = 3, ta viết :  dy  dy   , f’(3)  dx x =3 dx x =3 + ∆x = x − x0 nên f '( x) = lim ∆x → f ( x) − f ( x0 ) f ( x + ∆x) − f ( x) = lim x → x0 ∆x x − x0 Quy tắc tìm đạo hàm điểm theo định nghĩa: ● B
c Tìm số gia f(x + ∆x) - f(x) tiến hành rút gọn f ( x + ∆x) − f ( x0 ) ● B
c Thiết lập tỷ số: ∆x ● B
c Tính giới hạn tỷ số ∆x→0 Nếu giới hạn tồn đạo hàm hàm số điểm cần tìm : f ( x + ∆x) − f ( x) f '( x) = lim ∆x → ∆x Ví dụ Tìm f’(x) f(x) = x Bước 1: f ( x + ∆x) − f ( x) = Bước 1 x − ( x + ∆x) −∆x − = = x + ∆x x x( x + ∆x) x( x + ∆x) Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải ∞ ∑ (−1)n+1 n =1 2n n! Giải: + an = 2n a 2n +1 n ! , có n +1 = n = → < nên chuỗi hội tụ tuyệt đối n! an ( n + 1)! n + Bài tập nhà: Các Tr 388; 409, 418, 423, 430, 434, 439 Đọc mục: 13.3, 13.4, 14.8, 14.9, 14.10, 14.11,chuẩn bị cho Bài số 9: Chuỗi hàm Bài số CHUỖI HÀM, CHUỖI LUỸ THỪA I CHUỖI HÀM Dạng: ∞ ∑ u ( x) , u ( x), n = 1, 2,3, hàm số biến n n x n =1 Điểm x thuộc tập xác định chuỗi hàm x ∈ ∩ Dn , n = 1, 2, Dn n tập xác định hàm số un Với x0 thuộc tập xác định ta có chuỗi số hội tụ (phân kỳ) ta nói chuỗi hàm hợp tất điểm mà chuỗi hàm ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ an =∑ un ( x0 ) , chuỗi số ∑ u ( x) n n =1 ∞ ∑ u ( x) n n =1 t chuỗi hàm ∞ hội tụ (phân kỳ) x0 Tập hội tụ gọi mi n h i Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải ∞ cos nx + x2 ∑n Ví dụ 1: Xét hội tụ chuỗi hàm số n =1 Giải: cos nx < , ∀x ∈ R 2 n +x n ∞ + chuỗi số ∑ hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi hàm hội tụ với n =1 n + Ta có: x Vậy miền hội tụ R Ví dụ 2: Xét hội tụ chuỗi hàm: ∞ ∑n x n =1 Ta có: ∞ ∑n p p-chuỗi, hội tụ p>1, phân kỳ p ≤ nên chuỗi hàm số n =1 anỳ hội tụ x > phân kỳ x ≤ Một chuỗi hàm có ý nghĩa miền hội tụ Tuy nhiên việc tìm miền hội tụ chuỗi hàm khơng đơn giản, chương trình học quan tâm tới dạng chuỗi hàm đặc biệt: Chu i lũy th a II CHUỖI LUỸ THỪA Định nghĩa Dạng: Chuỗi luỹ thừa chuỗi hàm có dạng sau: ∞ ∑a x n n = a0 + a1 x + a2 x + + an x n + (1) n =0 hệ số an hệ số x biến Chú ý : + Chuỗi luỹ thừa thường đánh số từ n = đến n = ∞, biểu diễn chuỗi (1) dạng rút gọn Σanxn + Mọi chuỗi lũy thừa hội tụ điểm x = ∞ Ví dụ 3: + Chuỗi hàm ∑ , n n =0 + x (−1)n+1 : Không chuỗi lũy thừa ∑ 2x n =0 + n ∞ + Chuỗi cấp số nhân : ∞ ∑x n =1 + x + x + + x n + chuỗi lũy thừa với an =, n = 1, 2, n =0 + Chuỗi hàm: + x + x + chuỗi lũy thừa với : n = 2k + 0, an =  , k = 0,1, 2, n + 1, n = 2k ∞ ta viết : + 3x + x + = ∑ (2n + 1) x n n =0 Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải S h i t c a chu i lũy th a a) Bổ đề Abel Nh n xét: + Rõ ràng chuỗi luỹ thừa hội tụ với x = + Có chuỗi hội tụ x = 0, ví dụ chuỗi ∑n x n n = x + 22 x + 33 x3 + 44 x Thật : Để ý với giá trị x ≠ ta có |nx| > n đủ lớn, với xo phần tử thứ n : un = (nx0 )n không tiến tới chuỗi hội tụ ∑ un ( x ) = ∑ + Xét chuỗi : xn x2 x3 = + x + + + hội tụ với giá trị x n! 2! 3! Thật : - Tại x= : Ta có chuỗi số hội tụ - Với x0 ≠ ta có chuỗi số ∑ | un ( x0 ) | (*) dương, xét tỉ số : n +1 x0 n+1 / ( n + 1)! un+1 ( x0 ) x0 x n! = = = →0 n n un ( x0 ) x0 / n ! ( n +1)! x0 n +1 n suy tổng riêng Sn = ∑ uk ( x0 ) tạo thành dãy giảm, từ chuỗi số (*) hội tụ, tức k =0 chuỗi hàm ∑ u ( x ) h ộ i t ụ t i mọ i n + Xét chuỗi cấp số nhân : x0 ≠ ∞ ∑x n =1 + x + x + + x n + hội tụ khoảng |x| < n =0 1, phân kỳ x nằm khoảng Bổ đề Abel: + Nếu chuỗi lũy thừa Σanxn hội tụ x0, x0 ≠ 0, hội tụ tất điểm x thoả mãn |x| < |x0|; + Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ x1 phân kỳ tất điểm x thoả mãn |x| > |x1| x1 |x| > |x1|: phân kỳ − x0 |x| < |x0|: hội tụ Nh n xét Mọi chuỗi luỹ thừa hội tụ x = x0 R |x| > |x1|: phân kỳ Bài giảng Tốn cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Tôn \f số R ( ≤ R < +∞ ) cho chuỗi ∑a x hội tụ tuyệt đối n n ( - R, R) phân kỳ khoảng (−∞,−R ) ; (R,+∞) Tại x = R x = - R chuỗi hội tụ phân kỳ Số R gọi bán kính hội tụ, khoảng ( - R, R) gọi khoảng hội tụ Khoảng hội tụ –R Phân kỳ R a Bán kính h/tụ Phân kỳ b Cơng th c tính bán kính h i t Cho chuỗi lũy thừa ∑a x n n , gọi R bán kính h i t Khi đó, R tính hai công thức sau: R = lim n→+∞ an an+1 hoặc: R = lim n→+∞ n an c Quy t c tìm mi m h i t c a chu i lũy th a B
c + Tìm bán kính hội tụ R, - Nếu R = : Miền hội tụ tập điểm {O} , - Nếu R = +∞ : Miền hội tụ toàn tập số thực » - Nếu < R < +∞ suy chuỗi lũy thừa hội tụ ( − R, R ) , sau chuyển xuống bước B
c Kiểm tra tính hội tụ chuỗi hai đầu mút B
c Kết luận Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi: xn x x3 = x + + + ∑ 22 32 n =1 n +∞ Giải: + Tìm bán kính hội tụ: ta có R = lim n →+∞ an 1/ n (n + 1)2 = lim = lim =1 an+1 n→+∞ 1/(n + 1)2 n→+∞ n R = suy chuỗi lũy thừa hộ tụ ( −1,1) + Tại x = chuỗi trở thành Σ1/n2, chuỗi p-chuỗi hội tụ + Tại x = -1 chuỗi trở thành Σ(-1)n/n2, chuỗi đan dấu hội tụ tiêu chuẩn Leibniz Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải + Do khoảng hội tụ chuỗi tồn khồng [-1, 1] Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi sau ∑n n xn Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau ∑ n+2 n x = + x + x + n 3 Giải: ĐS : Vậy khoảng hội tụ (-3, 3) Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau ∑ (−1)n x2n x2 x4 = − + − (2n)! 2! 4! Giải: + Ta không áp dụng cách trực tiếp Ví dụ nửa hệ số chuỗi + Đặt y = x chuỗi viết dạng: − y y2 + − 2! 4! (**) Ta tìm miền hội tụ (**) + Tính bán kính hội tụ: R = lim n→+∞ an 1/(2n)! (2n + 2)! = lim = lim = lim (2n + 1)(2n + 2) = +∞ n→+∞ an+1 n→+∞ 1/(2n + 2)! n→+∞ (2n)! R = ∞ chuỗi (**), nên chuỗi (**) hội tụ với y ≥ + Vậy nên chuỗi ban đầu hội tụ với x, khoảng hội tụ cần tìm (-∞, ∞) Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau x n +1 x3 x5 ∑ n = + + x0 n +1 x02 n +1 x02 n +1 Giải: + Với x0 ∈ » ta có chuỗi số: ∑ với an = ; an +1 = n n n +1 n =1 +∞ (***) Bài giảng Toán cho SV K54 + Xét: lim n →∞ Ths Lê Thị Minh Hải an +1 x n +3 n = lim n +1 = x02 n →∞ an (n + 1) x0 + Chuỗi (***) hội tụ −1 < x0 < , phân kỳ x0 < −1; x0 > +∞ (−1) n +1 = −∑ phân kỳ + Tại x0 = −1 : ta có chuỗi số ∑ n n =1 n =1 n +∞ + Tại x0 = : ta có chuỗi số ∑ phân kỳ n =1 n + Vậy miền hội tụ chuỗi cho (−1;1) +∞ Chú ý : Nếu a số thực, chuỗi ∞ ∑ a ( x − a) n n = a0 + a1 ( x − a) + a2 ( x − a) + (2) n =0 gọi chuỗi luỹ thừa tâm a + Chúng ta đặt z = x – a, (2) trở thành Σanzn (3) chuỗi luỹ thừa z + Nếu Σanzn có miền hội tụ chẳng hạn [-R, R) tức (3) hội tụ hội tụ với – R ≤ z < R, ta có –R ≤ x –a < R hay a - R ≤ x < a + R [a – R, a + R) khoảng hội tụ (*) R bán kính hội tụ chuỗi (*) + Do ta thường xét chủ yếu tới chuỗi luỹ thừa x Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 2n  1 n ∑ 1 +  ( x − 2) n n =1  +∞ (4) 2n Giải : + Đặt y = ( x − 2) ta có chuỗi ∑ 1 +  y n n n =1  +∞ (5) Xét chuỗi (5) : + Ta có R = , từ chuỗi (5) hội tụ ( −1,1) + Tại y = −1 , chuỗi (5) phân kỳ + Tại y = , chuỗi (5) phân kỳ + Do chuỗi (5) có miền hội tụ ( −1,1) + Vậy chuỗi (4) hội tụ miền (1,3) Đ o hàm tích phân chu i lũy th a Xét chu i lu th a Σanxn h i t v i bán kính h i t d
ơng R, với x nằm mi n h i t định nghĩa f(x) tổng chuỗi: +∞ f ( x) = ∑ an x n =a0 + a1 x + a2 x + + an x n + n =0 Khi ta có khẳng định sau : (1) Bài giảng Tốn cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải i Hàm số f(x) định nghĩa (1) liên t c khoảng mở (-R, R) ii Hàm số f(x) lấy đạo hàm (- R, R), đạo hàm d d  +∞  f ( x) =  ∑ an x n  = a1 + 2a2 x + 3a3 x + + nan x n−1 + dx dx  n=0  (2) iii Nếu x thuộc (-R, R) ta có : ∫ x x ∞ 1 f (t )dt = ∫ ∑ ant n dt = a0 x + a1 x + a2 x3 + + an x n+1 + + n n =0 Chú ý : Như : miền miền hội tụ chuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa hàm khả vi vơ hạn, ∫ x d d  +∞  f ( x) =  ∑ an x n  dx dx  n=0  x ∞ f (t )dt = ∫ ∑ ant n dt hội tụ khoảng (-R, R) n =0 Khẳng định (trong miền hội tụ) chuỗi lũy thừa, chuỗi hàm điều chưa ∞ Ví dụ 10 : Xét chuỗi hàm ∑ n =1 (sin nx) / n : + Chuỗi hàm hội tụ với x ∈ » + Lấy đạo hàm phần tử cho ta chuỗi Σ(cos nx)/n , điều khơng thể chuỗi phân kỳ với x = Ví dụ 11 Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm số ln (1 + x) d ( ln( x + 1) ) = dx 1+ x + Mà với |x| < ta có = − x + x − x3 + x − + (−1)n x + 1+ x Lời giải: + Ta có + Tiếp theo sử dụng (iii) với để ý ln (1 + x) x = 0, thu : x ∞ x2 x3 x n+1 xn dt = x − + − + (−1) n + == ∑ (−1) n+1 + t n + n n = ln (1 + x) = ∫ Ví dụ 12 Tìm khai triển thành chuỗi lũy thừa tan-1 x d tan −1 x = dx + x2 + Mà , x < ta có = − x + x − + (−1) n x n + 1+ x Lời giải: + Ta có ( ) + Áp dụng (iii) : tan −1 x = x ∫0 dt = 1+ t2 x ∫0 (1 − t + t − t + ) dt Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải n +1 ∞ x3 x5 x7 n x = x− + + + = ∑ ( −1) , 2n + n =0 Ví dụ 13 Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm Lời giải: +Ta nhận thấy : + Ta lại có (1 − x ) = với |x| < 1 ( 1− x )2 d     dx  − x  +∞ = ∑ x n với |x| < 1, − x n =0 + Do : d = (1 + x + x + + x n + ) = + x + x + x n−1 + (1 − x) dx ∞ = ∞ ∑ nx n −1 = ∑ (n +1)x n n =1 n =0 Một số khai triển cần nhớ = − x + x − x + , với -1 < x < 1; 1+ x x2 x3 ln(1 + x ) = x − + − , với -1 < x ≤ 1; x x5 tan −1 x = x − + − , với -1 ≤ x ≤ 1; x2 x3 + + , với x; ex = + x + 2! 3! x3 x5 sin x = x − + + , với x ; 3! 5! x2 x4 cos x = − + − , với x; 2! 4! III CHUỖI TAYLOR VÀ CÔNG THỨC TAYLOR Cho hàm số f ( x) có đaoh hàm cấp x = a , chu i Taylor f ( x) x = a : +∞ f '(a ) f ''(a ) f ( n ) (a) f ( n ) (a ) n f (a ) + ( x − a) + ( x − a ) + + ( x − a ) + = ∑ ( x − a ) n (1) 1! 2! n! n! n =0 Khi a = ta có chuỗi Maclaurint : Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải +∞ f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n x+ x + + x + = ∑ x 1! 2! n! n! n =0 f (0) + (2) Nếu chuỗi lũy thừa h i t với bán kính hội tụ R > mi n h i t , chuỗi lũy thừa hội tụ tới hàm f ( x) , ta có : f ( x) = f (a ) + +∞ f '(a ) f ''( a) f ( n ) (a) f ( n ) (a) ( x − a) + ( x − a ) + + ( x − a )n + = ∑ ( x − a)n 1! 2! n! n ! n=0 (3) f ( x) = f (0) + +∞ f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n x+ x + + x + = ∑ x , 1! 2! n! n! n =0 (4) Và ta nói hàm số f ( x) khai triển thành chuỗi Taylor (hoặc chuỗi Maclaurint) f n (a) f n (0) (hoặc an = ) gọi h s Taylor f(x) khai n! n! triển (3) (2) + S ố an = + Phần dư Rn(x) (trong khai triển (4)) : f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n f ( x) = f (0) + x+ x + + x + Rn ( x) 1! 2! n! + Chuỗi Taylor vế phải (4) hội tụ f(x) : lim R n (x) = n →∞ + Công thức chung tiện lợi cho Rn(x) Rn ( x) = f ( n +1) (c) n +1 x , với (n + 1)! 00 f ( x ) =  xe +  x ≤0 2ax + a − b Trang 104 : Bài a, c ; a, b Trang 108 : Bài a, c, d, f, g ; b, d Trang 112 : Bài b, c, e ; a, b, a, c, d Trang 117 : Bài 42 Trang 133 : Bài 2, 15, 17, 21, 26 Trang 362: Bài 2, 5, 7, 8, Trang 367 : Bài 2, 11, 16, 21, 22, 23, 25, 31, 32, 38 Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Tuần Trang 304: Bài 3, 6, 19, 28, 32, 34 Trang 280: 7, 20 Trang 282: Bài 17, 19, 20 Trang 308: Bài 2, 4, 6, 10, 13, 18 Trang 312: Bài 4, 5, 6, 10 Trang 315: Bài 1, 13, 14, 16 Trang 321: Bài 3, 4, 6, 10, 11, 12 Trang 326: Bài 1, 2, 4, 5, 10, 11, 12, 14 Tuần Trang 372 : Bài 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13 – 17, 25 a, c, d Trang 515: Bài a, b Trang 519: Bài a, b, 3, a, b, e, p, d, g Tuần Trang 210: Bài a, d, e, k Trang 222: Bài a, e, f 5, 11 Trang 229 : Bài 1, 3, Trang 534: Bài 5, 12, 14 Trang 540: Bài 1, 4, 9, 12 Trang 219 : Bài 2, 9, 14, 15 Trang 226 : Bài 4, 5, 6, 11 Trang 233: Bài 1, 2, Tuần Trang 423: a, b, c, g, 4, 10, 13 Trang 430: Bài 1, 3, 7, 8, 10 Trang 434: Bài 2, 6, 10, 11, 16, 19, 20, 22 Thêm: Xét hội tụ phân kỳ chuỗi số sau:   ln 1+  ∑  n  n =1 ∞ 6.1 ∞ 6.3 ∑ ( −1) n n =1 n n + 2011 ∞ 6.2 ∑ n sin n =1 6.4 n   −  n n + 10  ∑  Tuần Trang 439: Bài 1, 11, 17, 22, 27 Trang 445: Bài 1, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 21, 25 Trang 455-456: Bài 1a, c, 2, 5, 6, 7, 12 ... →0 x →0 Bài t p v nhà : Trang 133 ( - 30), trang 362 ( - 25), trang 367 (bài - 44) Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I NGUN HÀM (TÍCH PHÂN... tích phân xác định hàm đa thức, phân thức hữu tỷ, Bài giảng Toán cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải BÀI GIẢNG SỐ TÍCH PHÂN SUY RỘNG b Chúng ta biết tích phân ∫ f ( x )dx xác định hàm f(x) liên tục... kính đáy h chiều cao hộp hình trụ + Khi thể tích là: V0 = π r h diện tích mặt tồn phần là: A = π r + π r h + Đưa A hàm biến số r, ta có : A= (1) (2) Bài giảng Tốn cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải