Bài giảng giải tích một biến đại học thủy lợi 2

Nhiệt liệt chào mừng bạn sinh viên K50 Giải tích biến PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Bài Giới thiệu mơn học • • • • Giải tích biến (HKI)-Tốn Giải tích nhiều biến (HKII)-Tốn Phương trình vi phân (HKIV)-Tốn Đề cuơng chi tiết Giải tích biến đề cương ơn tập • Trước 300 năm Galile nói rằng: “Cuốn sách vĩ đại tự nhiên viết kí hiệu Tốn học” • Tốn mơn học chứa nhiều thành tựu lớn nhân loại có sức hút cưỡng lại nhà nghiên cứu cánh đồng hoa quyến rũ đàn ong • Giải tích phần quan trọng Tốn học, công cụ thiếu hầu hết lĩnh vực khoa học: Vật lí, hóa học, sinh học địa chất, thiết kế chí số nghành khoa học xã hội • Phương pháp ứng dụng Giải tích ln coi thành tựu trí tuệ bậc văn minh nhân loại Cách học • Thói quen làm tập nhà chưa đọc phần giải thích giáo trình lý thuyết việc làm kỳ cục, vô lý, giống việc xỏ giầy trước tất • Câu ngạn ngữ Pháp: ‘’ Ai muốn giải thích điều thấy minh trò chuyện phòng rỗng Chương I Đạo hàm vi phân hàm biến $1 Vận tốc tốc độ biến thiên (2.4) 1.1 Hàm số 1.2 Vận tốc 1.3 Suất biến đổi Chương I Đạo hàm vi phân hàm biến $1 Vận tốc tốc độ biến thiên 1.1 Hàm số • ĐN: Một hàm số xác định D (tập R) quy tắc cho phép xác định giá trị y ứng với giá trị x cho D Viết y=f(x) với x biến độc lập, y-hàm số, D-miền xác định 1.2 Vận tốc • Ví dụ 1: Xét chuyển động rơi tự đá rơi từ cạnh vách đá cao 400 ft (Hình 2.11) Bằng kinh nghiệm, người ta biết đá rơi độ cao feet t giây Khi t = 5, s = 400 Do sau rơi giây, hịn đá chạm mặt đất cơng thức (2) ≤ t ≤ Ví dụ • Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu 128ft/s Tên lửa chuyển động lên xuống dọc theo đường thẳng Tuy nhiên, hai phần đường chia Hình 2.12 • Đặt s = f(t) độ cao tên lửa sau phóng t giây Nếu bỏ qua trọng lực, tên lửa tiếp tục chuyển động lên với vận tốc khơng đổi 128ft/s, ta có s = f(t) = 128t Tuy nhiên, lực hấp dẫn gây ra, chuyển động chậm dần, dừng lại điểm cao đường bay, rơi xuống trái đất với tốc độ tăng dần Bằng kết thực nghiệm độ cao tên lửa chuyến bay cho cơng thức Vận tốc thời điểm t 1.3 Suất biến đổi • = e x sin x + ∫ e x ( − sin x ) dx • = e x sin x + ∫ e x d ( cos x ) • = e x sin x + e x cos x − ∫ e x cos xdx ⇒ 2∫ e x cos xdx = e x ( sin x + cos x ) + 2C hay ∫ e x cos xdx = x e ( sin x + cos x ) + C Ví dụ 5: Tìm cơng thức giảm bậc cho In = ∫ sinn xdx, •I = ∫ sinn − xd ( − cos x ) n • = − sinn − x cos x − ∫ ( − cos x ) d sinn − x ( n∈» ) • = − sinn − x cos x + ∫ ( n − 1) sinn − x cos x.cos xdx ( ) • = − sinn − x cos x + ( n − 1) ∫ sinn − x − sin2 x dx • = − sinn − x cos x + ( n − 1) I −I   n −2 n • = − sinn − x cos x + ( n − 1) I − ( n − 1) I n−2 n •I (1 + n − 1) = − sinn − x cos x + ( n − 1) I n n−2  •I =  − sinn − x cos x + ( n − 1) I  n n n −  n −1 • = − sinn − x cos x + I n n n−2 Công thức cho phép ta giảm số mũ hàm sinx đơn vị, sử dụng công thức sau hữu hạn bước chuyển việc tính In tính ∫ dx (khi n ∫ sin xdx (khi n lẻ) Ví dụ 6: Tính ∫ sin xdx chẵn) Vận dụng công thức có −1 sin x cos x + ∫ sin2 xdx 4 x 1 •∫ sin2 xdx = − sin x cos x + ∫ dx = − sin x cos x + + C1 2 2 •∫ sin4 xdx = 3 x −1  sin x cos x +  − sin x cos x + + C1  4 2  3x −1 = sin3 x cos x − sin x cos x + +C 8 •∫ sin4 xdx = π Ví dụ 7: Tính ∫ sin xdx π 7 • = − sin x cos x + 8 π •=0+ π ∫ sin xdx ∫ sin xdx π π   7 5 •= − sin x cos x + ∫ sin xdx  8 6    •= π ∫ sin xdx π   2 5 • = − sin x cos x + ∫ sin xdx  6    π   2 • = + ∫ sin xdx  6    π π  2  3 • = − sin x cos x + ∫ dx 4    π 2 3 • = 0 + x   4   π 36π •= = 2 256 Nhận xét: • Cơng thức hạ bậc nói áp dụng để xây dựng công thức hay tốn học: tích vơ hạn Wallis số π : π = 2 4 6 3 5 (Xem phụ lục A.10 Giải tích nhiều biến số) • Trong hàm lượng giác ngược ta có: x x dt tan x = ∫ = ∫ (1 − t + t − t + ) dt 1+ t 0 −1 x3 x5 x7 =x− + − + thay x = có: π = 1− 1 + − + Nhờ sử dụng sáng tạo công thức tích phân phần , Leibnitz phát cơng thức (xem phụ lục A.11 Giải tích nhiều biến số) Các hàm khơng tích phân ∫e − x2 dx dx ∫ ln x ∫ − x dx ex ∫ x dx ∫ ∫ ∫ cos x dx sin xdx ∫ sin x dx x dx 1− x3 Dạng tốn: Tính tích phân, tập lẻ đến 25 (trang 310) CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ CHUỖI § Các dạng vơ định quy tắc L’Hospital • Các dạng vơ định • Quy tắc L’Hospital Các dạng vơ định: Cho a hữu hạn hay vơ hạn • lim f ( x ) = = lim g ( x ) x →a x →a f (x) g (x) • lim f ( x ) = ∞,lim g ( x ) = ∞ x →a x →a dạng vô định f (x) 0 dạng vô định g (x) ∞ ∞ • lim f ( x ) = 0,lim g ( x ) = ∞ f ( x ) g ( x ) dạng vơ định 0.∞ x →a x →a • lim f ( x ) = ±∞,lim g ( x ) = ±∞ (cùng dấu) f ( x ) − g ( x ) dạng vô định ∞ − ∞ x →a x →a • lim f ( x ) = 0,lim g ( x ) = ( f ( x ) ) g( x ) • lim f ( x ) = 1,lim g ( x ) = ∞ ( f ( x ) ) g( x ) x →a x →a x →a x →a • lim f ( x ) = ∞,lim g ( x ) = ( f ( x ) ) x →a x →a g( x ) dạng vô định 00 dạng vô định 1∞ dạng vơ định ∞0 Quy tắc L’Hospital: Giả sử: • lim f ( x ) = = lim g ( x ) x →a x →a • f ( x ) , g ( x ) khả vi liên tục lân cận a (a hữu hạn vơ hạn) • g ' ( x ) ≠ lân cận a • lim x →a f '(x) g '(x) có lim x →a =A f (x) g (x) = A (A hữu hạn hay vô hạn) 3x − 7x + Ví dụ 1: Tính lim x →2 x + x − 14 • Dạng 0 6x − x →2 x + • = lim •= sin x x →0 x Ví dụ 2: Tính lim • Dạng 0 cos x x →0 • =1 • = lim tan x x →0 e x − Ví dụ 3: Tính lim • Dạng 0 sec x • = lim x →0 2e x •= =3 Nhận xét: Quy tắc L’Hospital phải vận dụng vài lần tìm giới hạn − cos x x →0 x2 Ví dụ 4: Tính lim • Dạng 0 sin x x →0 x • = lim • Dạng 0 cos x = x →0 2 • = lim   + x − 1 + x    Ví dụ 5: Tính lim x →0 x • Dạng 0 • = lim x + x →0 2x • Dạng • = lim 0 −1 (1 + x )3 / 2 x →0 •=− − Nhận xét: Quy tắc L’Hospital lim f ( x ) = ∞,lim g ( x ) = ∞ (a hữu hạn x →a hay vô hạn), cụ thể lim x →a f '(x) g '(x) Ví dụ 1: Tính lim− ( x − 1) ln (1 − x ) x →1 • = lim− x →1 ln (1 − x ) x −1 • Dạng ∞ ∞ −1 • = lim− − x x →1 −1 ( x − 1) x − 1) ( • = lim 1− x • = lim− (1 − x ) = x →1− x →1 x2 Ví dụ 2: Tính lim x x →+∞ e • Dạng ∞ ∞ 2x x →+∞ e x • = lim = A lim x →a f (x) g (x) x →a =A (A hữu hạn hay vơ hạn) x →+∞ e x •=0 • = lim Nhận xét: Có thể biến đổi dạng vơ định lại để sử dụng quy tắc L’Hospital; 0 ∞ ∞ = = 1 ∞ ∞ • Dạng 0.∞ = 1 − 1 ∞ ∞ • Dạng ∞ − ∞ = − = = 1 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • Dạng = e ln1∞ • Dạng ∞ = e • Dạng = e ln ∞0 ln00 =e ∞ ln1 =e =e ln x , x →∞ x p Ví dụ 1: Tính lim • Dạng ∞ ∞ • = lim xp −1 x →∞ px • = lim p x →∞ px •=0 Ví dụ 2: Tính lim+ x ln x x →0 • Dạng 0.∞ • = lim+ x →0 ln x x =e 0ln ∞ 0ln0 ln1 ∞ =e =e =e ln ∞ ln0 0 =e =e p>0 ∞ ∞ ∞ ∞ • = lim+ x x →0 −1 x2 • = lim+ ( − x ) x →0 •=0 Ví dụ 3: Tính lim ( sec x − tan x ) x→ π • Dạng ∞ − ∞ sin x   • = limπ  −  cos x  x →  cos x − sin x π cos x x→ • = lim • = lim x→ π − cos x =0 − sin x Ví dụ 4: Tính lim+ x x x →0 • Dạng 00 • = lim+ eln x x x →0 • = lim+ e x ln x x →0 • = lim+ e ln x x x →0 • Dạng ∞ ∞ x −1 • = lim+ e x x →0 • = lim+ e − x = x →0 Ví dụ 5: Tính lim x x →∞ • Dạng ∞0 x • = lim e ln x x x →∞ • = lim e ln x x x →∞ • = lim e ln x x x →∞ ∞ ∞ • Dạng •=e •=e lim x x →∞ 1 lim x →∞ x = e0 = Ví dụ 6: Tính lim (1 + ax ) x x →0 • Dạng 1∞ • = lim e ln(1+ ax ) x x →0 ln(1+ ax ) • = lim e x x →0 •=e lim ln(1+ ax ) x →0 • Dạng •=e x 0 a + lim ax x →0 • = ea Nhận xét: • Trong số trường hợp dùng quy tắc L’Hospital không thu kết quả, chẳng hạn tính lim x →+∞ • Dạng • = lim x →+∞ ∞ ∞ x x +1 :1 x2 + x • = lim x →+∞ • Dạng x x2 + ∞ ∞ x • = lim x →+∞ x2 + • = lim x →+∞ x2 + trở lại dạng ban đầu x Tuy nhiên dễ dàng giải cách khác: x 1+ • = lim x2 x x →+∞ x 1+ x →+∞ x x • = lim • = lim + x →+∞ =1 x2 x5 + x3 + • Khơng vận dụng máy móc quy tắc L’Hospital, ví dụ cần tính lim x →∞ x + x + • Dạng ∞ ∞ • Nếu dùng quy tắc L’Hospital phải vận dụng lần kết 1  x 1 + +  x x   • = lim x →∞ 1  2x 1 + + 5 2x x   1  1+ +   x x  • = lim  = x →∞  1 + 1 +  2x x   Dạng tốn: Tính giới hạn, tập từ đến 25 (trang 343); đến 43 (trang 348) §2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG I Tích phân suy rộng với cận vô tận Định nghĩa: f(x) liên tục [a, +∞ ) , ta có t +∞ ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx t →+∞ a a Nếu giới hạn tồn (hữu hạn) tích phân suy rộng hội tụ có giá trị giới hạn Trong trường hợp ngược lại, ta nói tích phân suy rộng phân kỳ +∞ Ví dụ 1: Xét hội tụ, phân kỳ ∫e −x dx t t = lim ∫ e − x dx = lim ( −e − x ) = lim (1 − e − t ) = t →+∞ 0 t →+∞ t →+∞ Tích phân suy rộng hội tụ +∞ Ví dụ 2: Xét hội tụ, phân kỳ ∫ dx x t t dx = lim ln x = lim ( ln t − ln1) = +∞ t →+∞ t →+∞ x t →+∞ = lim ∫ Tích phân suy rộng phân kỳ +∞ Ví dụ 3: Xét hội tụ, phân kỳ ∫ dx x2 t t dx  1  1 = lim ∫ = lim  −  = lim  −  = t →+∞ t →+∞ x  x  t →+∞  t  2 Tích phân suy rộng hội tụ +∞ Ví dụ 4: Xét hội tụ, phân kỳ tích phân sau ∫ cos dx t t = lim ∫ cos dx = lim sin x = lim ( sin t − ) t →+∞ t →+∞ t →+∞ Giới hạn không tồn tại, tích phân suy rộng phân kỳ +∞ Ví dụ 5: Xét hội tụ, phân kỳ dx ∫x p , p số thực • Khi p = ta biết tích phân suy rộng phân kỳ (ví dụ 2) • Khi p ≠ 1, ta có: t  t dx x − p+1 t 1− p −  −p = lim ∫ p = lim ∫ x dx = lim = lim = p −1 t →+∞ t →+∞ t →+∞ − p + t →+∞ − p x 1 +∞  t p > p < Từ có tích phân suy rộng hội tụ p > phân kỳ p < Ta có +∞ dx ∫x p = 1 p −1 p > Tích phân suy rộng phân kỳ p ≤ Hình 12.5 Từ hình có diện tích hữu hạn p > 1, vô hạn p ≤ Tương tự ta có định nghĩa sau Định nghĩa: cho f(x) liên tục ( −∞,b ] , ta nói b b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx t →−∞ −∞ t Nếu giới hạn tồn (hữu hạn) ta nói tích phân suy rộng hội tụ có giá trị giới hạn nói Trong trường hợp ngược lại, ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Ví dụ 1: Xét hội tụ phân kỳ ∫ e dx x −∞ 0 = lim ∫ e x dx = lim ( e x ) = lim (1 − et ) = t →−∞ Tích phân suy rộng hội tụ t t →−∞ t t →−∞ −1 dx x −∞ ∫ Ví dụ 2: Xét hội tụ, phân kỳ −1 dx = lim ln x t →−∞ ∫ x t →−∞ t = lim −1 t = lim ( − ln t ) = −∞ t →−∞ Tích phân suy rộng phân kỳ −2 dx x2 −∞ ∫ Ví dụ 3: Xét hội tụ, phân kỳ −2 = lim t →−∞ ∫ t −2 dx −1  1 = lim = lim  + = t →−∞ x t →−∞ x t t  ∫ sin x dx Ví dụ 4: Xét hội tụ, phân kỳ −∞ 0 = lim ∫ sin x dx = lim ( − cos x ) t = lim ( cos t − 1) t →−∞ t →−∞ t t →−∞ Giới hạn không tồn tại, tích phân suy rộng phân kỳ −1 Ví dụ 5: Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng sau dx ∫x p −∞ • p = ta biết tích phân suy rộng phân kỳ (ví dụ 2) • p ≠1 −1  −1 −1 dx x − p+1 −1 − t 1− p  −p = lim ∫ p = lim ∫ x dx = lim = lim = 1 − p t →−∞ t →−∞ t →−∞ − p + t →−∞ − p x t t t −∞  −1 Kết luận: −1 dx ∫x p −∞ = 1− p p > Tích phân suy rộng phân kỳ p ≤ Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục ( −∞, +∞ ) , ta nói +∞ a +∞ −∞ −∞ a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx với a số thực tuỳ ý cho trước p > p < Ta nói tích phân suy rộng hội tụ hai tích phân suy rộng vế phải hội tụ Trong trường hợp lại, ta nói tích phân suy rộng phân kỳ +∞ Ví dụ 1: Xét hội tụ, phân kỳ dx = ∫ + x + −∞ +∞ ∫ dx ∫ 1+ x2 −∞ t dx dx dx = lim ∫ + lim ∫ 2 t →−∞ + x t →+∞ + x 1+ x t 0 t = lim tan−1 x + lim tan−1 x = lim ( − tan−1 t ) + lim ( tan−1 t − ) t t →−∞ t →+∞ t →−∞ t →+∞  π π = −−  + = π  2 +∞ Ví dụ 2: Xét hội tụ, phân kỳ ∫ xe − x dx −∞ = ∫ xe − x2 +∞ dx + ∫ xe − x2 dx = lim ∫ xe t →−∞ −∞ − x2 t dx + lim ∫ xe − x dx t →+∞ t t 2  1  1 = lim  −  ∫ e − x d ( − x ) + lim  −  ∫ e − x d ( − x ) t →−∞ t →+∞  2 t  2  1 = lim  −  e − x t →−∞  2  1 + lim  −  e − x t →+∞  2 t t 2  1  1 = lim  −  − e − t + lim  −  e −t − t →−∞ t →+∞  2  2  1 = − +  −  ( −1) =  2 ( ) ( ) Nh n xét: • Có khơng khẳng định tích phân suy rộng khơng tích phân hàm lẻ lấy miền đối xứng? • Chúng ta thấy có miền vơ hạn (khơng giới nội) lại có diện tích hữu hạn, ví dụ: tính diện tích tạo y = x , y = 0, x ≥ +∞ s= ∫ t −2− x −x = = dx lim dx lim t →+∞ ∫ t →+∞ ln 2x t (1 − 2−t ) t →+∞ ln = lim = ln • Tích phân suy rộng đóng vai trị đáng kể tốn học phép tính tích phân, chẳng hạn: +∞ Γ ( p) = ∫x p −1 − x e dx, Re p > 0 Đây hàm Gamma Euler, có nhiều ứng dụng toán ứng dụng, vật lý, lý thuyết số nguyên phần tốn học khác +∞ • ( Lf )( p ) = ∫ e − px f ( x ) dx Đây hàm p nhận từ hàm f(x) gọi phép biến đổi Laplace hàm f(x) Nó tìm nhiều ứng dụng khác tính tốn chuyển động điện tử, chuyển động màng dẫn nhiệt, giải phương trình đạo hàm riêng phương trình vật lý tốn Dạng tốn: Xét hội tụ, phân kì tính (nếu tồn tại), tập từ đến 24 (trang 353) Chú ý Tuần sau học: - Tích phân suy rộng (tiếp theo), mục 12.4 - Chuỗi số 14.3 – 14.7 - Tuần từ 17/11 đến 21/11 có kiểm tra thứ vào tiết 9, 10, 15, 16 (giờ tập học vào tiết 8, 11, 14, 17) ... điểm t 1.3 Suất biến đổi  $2 Độ dốc đạo hàm Giới hạn liên tục (2. 2, 2. 3, 2. 5) 2. 1 Bài tốn tiếp tuyến 2. 2 Tính độ dốc 2. 3 Định nghĩa đạo hàm 2. 4 Giới hạn 2. 5 Hàm số liên tục $2 Độ dốc đạo hàm...Giới thiệu mơn học • • • • Giải tích biến (HKI)-Tốn Giải tích nhiều biến (HKII)-Tốn Phương trình vi phân (HKIV)-Tốn Đề cuơng chi tiết Giải tích biến đề cương ơn tập • Trước 300... hàm vi phân hàm biến $1 Vận tốc tốc độ biến thiên (2. 4) 1.1 Hàm số 1 .2 Vận tốc 1.3 Suất biến đổi Chương I Đạo hàm vi phân hàm biến $1 Vận tốc tốc độ biến thiên 1.1 Hàm số • ĐN: Một hàm số xác