Bài giảng giải tích nhiều biến (đại học thủy lợi)

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ Bài PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § 18.7 HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ, HỆ TOẠ ĐỘ CẦU • Các dạng tốn • Hệ toạ độ trụ • Hệ toạ độ cầu Ngồi hệ toạ độ vng góc quen thuộc, làm quen với hai hệ toạ độ khác không gian ba chiều giúp ích cho việc giải toán đặc biệt là: Hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu Hệ toạ độ trụ • P(x, y, z) toạ độ vng góc • x = rcosθ, y = rsinθ, z = z, ≤ θ ≤ 2π ; θ = (OP, Ox) y • Có r2 = x2 + y2, tanθ = , z = z x Hình 18.39 • (r ; θ ; z) Ví dụ Tìm toạ độ trụ điểm P2 biết toạ độ vng góc tương ứng chúng (2 ; ; 5) • Đối với P2 có r = 12 + = π • tanθ = ⇒θ = •z=5 π   ; 5 • Toạ độ trụ  ;   Ví dụ Mơ tả mặt cong a) r(2cosθ + 5sinθ) + 3z = b) r + z = a) • Có x = rcosθ, y = rsinθ • 2x + 5y + 3z = phương trình mặt phẳng b) • Giao mặt phẳng r + z = với mặt phẳng x = đường thẳng y + z = • Giao mặt phẳng r + z = với mặt phẳng y = đường thẳng x + z = • Phương trình khuyết θ nên mặt cong đối xứng với trục Oz • Mặt cong mặt nón tạo thành quay đường thẳng y + z = quanh trục Oz Ví dụ Tìm phương trình hệ toạ độ trụ cho: a) Mặt cầu x2 + y2 + 2z2 = b) Hyperbol paraboloid z = x2 – y2 a) • x = rcosθ, y = rsinθ, ≤ θ ≤ 2π ; z = z • r2 cos2θ + y2sin2θ + 2z2 = • r2 + 2z2 = b) • z = (rcosθ)2 – (rsinθ)2 • z = r2cos2θ Chú ý Trong vật lý, hệ toạ độ trụ đặc biệt thuận lợi tốn có trục đối xứng Có hai lớp tốn quan trọng: Một liên quan tới dịng nhiệt trụ rắn, dao động màng tròn màng trống Hệ toạ độ cầu • P(x, y, z) • x = ρsinφ cosθ , y = ρsinφ sinθ, z = ρcosφ, • ≤ φ ≤ π, ≤ θ ≤ 2π, φ = (OP, Oz), θ = (OP', Ox) • x2 + y2 + z2 = ρ2sin2φ cos2θ + ρ2sin2φ sin2θ + ρ2 cos2φ = ρ2sin2φ + ρ2cos2φ = ρ2 x2 + y sin φ ρ sin φ • tan φ = = = cos φ ρ cos φ z y • tanθ = x • (ρ, φ, θ) Ví dụ Tìm phương trình hệ toạ độ cầu hình cầu x2 + y2 + z2 – 2az = 0, a > • x=ρsinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosθ • ρ2 – 2aρ cosθ = • ρ(ρ – 2a cosθ) = ⇔ ρ = ρ = 2acosθ ⇔ ρ = 2acosθ phương trình mặt cầu bán kính a tiếp xúc với mặt phẳng Oxy gốc toạ độ x + y + ( z – a)2 = a2 Ví dụ a) Tìm toạ độ cầu cho điểm P ; ; ( )  π  b) Tìm toạ độ vng góc điểm có toạ độ cầu sau  ; ; π    a) • ρ2 = 2 ( ) ( ) ( + + ) = 16 •ρ=4 ( ) ( ) • tanφ = •φ= 2 = π • tanθ = •θ= + y =1 x π  π π • P ; ;   4 Hình 18.41 b) • x = 6sin • y = 6sin π • z = 6cos π cosπ = – sinπ = π =0 • P( – ; ; 0) Ví dụ Mơ tả mặt cong sau biết phương trình toạ độ cầu ρ = 2a sinφ • Ta biết mặt cong tròn xoay quanh trục Oz (vì khuyết θ) • Trong mặt phẳng yOz, phương trình ρ = 2a sinφ biểu diễn đường trịn bán kính a ρ2 = 2aρ sinφ • ρ2cos2φ + ρ2sin2φ = 2aρ sinφ • z2 + y2 = 2ay • z2 + (y – a)2 = a2 • Quay đường trịn nói quanh trục Oz, mặt Hình 18.42 xuyến Các dạng tốn Tìm toạ độ trụ điểm có toạ độ vng góc • 1(tr 55) c) ( ; ; ) +) z = 2, x = 3, y = +) r = x + y = y π +) tanθ = = ⇒θ= x π   +)  ; ; 2   Tìm toạ độ cầu điểm có toạ độ vng góc sau • 3(tr 55) a) (1; 1; ) +) x = 1, y = 1, z = +) r = x + y + z = 2 y π +) tanθ = = ⇒ θ = x x2 + y 2 π +) tan φ = = = ⇒φ= z 6 π π  +)  2 ; ;  4  Tìm phương trình toạ độ trụ mặt cong có phương trình toạ độ vng góc cho trước • 5(tr 56) x2 + y2 + z2 = 16 (mặt cầu) +) x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, z = z +) ρ2 + z2 = 16 • 7(tr 56) x2 + y2 = z2 (mặt nón) +) x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, z = z +) ρ2 = z2 • 9(tr 56) x2 + y2 − 2y = (mặt trụ) +) x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, z = z +) ρ2 − 2ρ sinθ = ⇒ ρ = 2sinθ Tìm phương trình toạ độ cầu cho mặt cong có phương trình toạ độ vng góc cho trước • 13(tr 56) x2 + y2 + z2 = 16 (hình cầu) +) x = ρ sinφ cosθ , y = ρ sinφ sinθ, z = cosφ +) ρ2 sin2φ cos2θ + ρ2 sin2φ sin2θ + ρ2 cos2φ = 16 +) ρ2 = 16 +) ρ = • 15(tr 56) x2 + y2 + z2 − 6z = (mặt cầu) +) x = ρ sinφ cosθ , y = ρ sinφ sinθ, z = cosφ +) ρ2 − 6ρ cosφ = +) ρ = 6cosφ • 17(tr 56) z = − x2 − y2 +) x = ρ sinφ cosθ , y = ρ sinφ sinθ, z = cosφ +) ρ cosθ = − ρ2sin2φ +) ρ cosθ + ρ2sin2φ = § 19.1 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân Hàm nhiều biến số Các dạng toán Liên tục I Hàm nhiều biến số Định nghĩa Hàm hai biến số z = f(x, y) ánh xạ: f : D ⊂ »×» → » ( x, y ) → z = f ( x, y ) Nghĩa là, (x, y) ⊂ D có tương ứng với số thực z ∈ » Ví dụ z = x2 + y2 hàm hai biến số Ví dụ z2 = a2 – x2 – y2, a > hàm hai biến số x = y = a Định nghĩa Hàm ba biến số u = f(x, y, z) ánh xạ trị tương ứng z = ± a có hai giá f: D ⊂ »×»×» → » ( x ;y ;z) → u = f ( x, y , z ) Việc biểu diễn hàm ba biến gặp khó khăn phải cần đến khơng gian chiều Định nghĩa • Miền xác định hàm z = f(x, y) l {(x, y) ằìằ: z = f(x, y)} ã Miền giá trị hàm z = f(x, y) {z∈»: z = f(x, y), (x, y) ∈ MXĐ} Ví dụ z = x2 + 4y2 • MXĐ: »2 • MGT: z ≥ Ví dụ z = − x − y • MXĐ: x2 + y2 ≤ • MGT: z ≥ Ví dụ z = ln(x2 + y2 – 4) • MXĐ: x2 + y2 > • MGT: » Ví dụ z =  y2  ln  − x −    y2 y2 y2 2 • MXĐ: − x − > − x − ≠1 ⇔ x + < bỏ điểm (0 ; 0) 2 • MGT: ∀z ≠ Liên tục Định nghĩa Hàm số z = f(x, y) gọi liên tục (x0 ; y0) thuộc MXĐ ⇔ ∀ ε > bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: ∀ (x ; y) ∈ MXĐ cho ( x − x0 )2 + ( y − y )2 < δ (ε ) có |f(x, y) – f(x0, y0)| < ε Hàm số gọi liên tục liên tục điểm thuộc MXĐ Ví dụ z = xy • MXĐ: » • ( x0 ; y ) ∈ » có |xy – x0y0| = |xy – xy0 + xy0 – x0y0| =|x(y – y0) + y0(x – x0)| ≤ |x||y – y0| + |y0||x – x0| ≤ |c||y – y0| + |y0||x – x0|, |x| < c ε   ε • Chọn δ(ε) =  ;   y 2c  • xy − x0 y < c ε 2c + y0 ε y0 = ε + Chú ý f(x, y) liên tục (x0, y0) ⇔ ε =ε lim ( x , y ) → ( x0 , y ) f ( x, y ) = f ( x0 , y )  xy  Ví dụ f ( x, y ) =  x + y 0  Xét tính liên tục điểm (0 ; 0) • (0 ; 0) thuộc MXĐ ( x ; y ) ≠ (0 ; 0) ( x ; y ) = (0 ; 0) x2 • Chọn x = y có lim f ( x, y ) = lim = x = y →0 x →0 x • f(0, 0) = • f(0, 0) ≠ lim f ( x, y ) x = y →0 • khơng liên tục (0 ; 0) Hàm n biến số (n ≥ 3) a) Hàm ba biến w = f(x, y, z) • Đồ thị có dạng mặt cong ba chiều khơng gian bốn chiều • Miền xác định D nằm “mặt phẳng toạ độ” ba chiều chứa tất điểm có dạng (x, y, z, 0) b) Hàm n biến w = f(x1, x2, , xn), n ≥ • Đồ thị có dạng mặt cong n chiều không gian (n + 1) chiều Các dạng tốn Tìm MXĐ hàm số sau • 3(tr 61) f = xy +) x ≥ 0, y ≥ x ≤ 0, y ≤ +) Góc phần tư thứ thứ • 5(tr 62) f = ln(y − 3x) +) y > 3x +) Phía đường thẳng y = 3x • 9(tr 62) f = 16 − x − y − z +) x2 + y2 + z2 ≤ 16 +) Hình cầu tâm (0 ; ; 0) bán kính R = xy  , ( x, y ) ≠ ( 0, )  2 • 13(tr 62) CMR f ( x, y ) =  x + y  ( x, y ) = ( 0, ) 0 liên tục gốc toạ độ +) x = r cosθ, y = r sinθ r cos θ sinθ , r ≠ +) f ( r , θ ) =  r =0 0 hàm liên tục § 19.2 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân f ( x +∆x ) − f ( x ) ∆x →0 ∆x • Có cách vận dụng kỹ thuật để nghiên cứu hàm hai biến số? • Cho hàm hai biến z = f(x, y), ta xét f(x, y0) với y0 cố định xét f ( x0 + ∆x,y ) − f ( x0 , y ) ∆x f ( x0 + ∆x, y ) − f ( x0 , y ) d • Ta có lim = f ( x, y ) ∆x →0 ∆x dx x = x0 Đạo hàm riêng cấp ∂z f ( x0 + ∆x, y ) − f ( x0 , y ) a) Định nghĩa zx ( x0 , y ) ≡ ( x0 , y ) = lim ∆x→0 ∂x ∆x 3 Ví dụ z(x, y) = x – 3x y + y , tính zx ( x0 , y ) d d = = (3 x − xy 03 ) x =x0 = x02 − x0 y 03 zx ( x0 , y ) = z( x, y ) ( x − x y 03 + y 02 ) dx dx x = x0 x = x0 • Ta biết hàm biến y = f(x) có định nghĩa y ′( x ) = lim Ví dụ z( x, y ) = xe xy Tính zx (2,3) d zx (2,3) = ( xe9 x ) = (e9 x + xe9 x ) x=2 =e18 + 18e18 = 19e18 dx x =2 f ( x0 , y + ∆y ) − f ( x0 , y ) d Tương tự ta có lim = f ( x0 , y ) ∆y →0 ∆y dy y =y ∂z f ( x0 , y + ∆y ) − f ( x0 , y ) ( x0 , y ) = lim ∆y →0 ∂y ∆y Ví dụ z(x, y) = 3x – 6xy , tính zy (3,2) d d zy (3,2) = z(3, y ) = (27 −18 y ) = −54 y y =2 = −216 dy dy y =2 y =2 Định nghĩa zy ( x0 , y ) ≡ Ví dụ z( x,y ) = xe xy , tính zy ( x0 ,y ) d d = ( x0e x0 y ) = x0 (2yx0 )e x0 y y =y0 = x02 y 0e x0 y zy ( x0 ,y ) = z( x0 ,y ) dy dy y =y y =y Ví dụ z(x, y) = xy, tính zx (2,3) zy (2,3) d d +) zx (2,3) = z( x,3) = ( x ) =3x2|x = = 12 dx dx x =2 x =2 d d y = +) zy (2,3) = z(2, y ) = 2y ln2 y =3 = 8ln2 dy dy y =3 y =3 Có thể mở rộng kết cho hàm số với số lượng biến Ví dụ w(x, y, z, u, v) = xy2 + 2x3 + xyz + zu + tan(uv) Tính đạo hàm riêng ∂w ∂w ∂w ∂w ∂w = y + x + yz ; = xy + xz ; = xy + u ; = z + v sec (uv ) ; = u sec (uv ) ∂y ∂x ∂z ∂u ∂v Chú ý dy • Đối với hàm biến số y = y(x) hợp pháp hố phân số dx • Khơng thể vận dụng ý cho hàm nhiều biến, tức khơng thể hợp pháp ∂z phân số hố ∂x Ví dụ Định luật khí lí tưởng nói số lượng khí có, áp suất P, thể tích V, nhiệt độ tuyệt đối T liên hệ với phương trình PV = nRT, n số lượng phân tử gam khí điều kiện lí tưởng, R số nRT ∂P nRT P= ; =− V ∂V V nRT ∂V nR V= ; = P ∂T P PV ∂T V T= ; = nR ∂P nR ∂P ∂V ∂T  nRT  nR V nRT =  −  =− = −1 ∂V ∂T ∂P  V  P nR PV Trong vận dụng kết tương tự hàm biến số có ∂P ∂V ∂T =1 ∂V ∂T ∂P ∂z • ( x0 ,y ) = tanα , α góc tạo tiếp tuyến đường ∂x cong z(x, y0) x = x0 với chiều dương trục Ox ∂z • Tương tự có ( x0 ,y ) = tan β , β góc tạo tiếp ∂y tuyến đường cong z(x0, y) y = y0 với chiều dương trục Oy Hình 19.5 b) Tính chất ∂ ∂ ∂ • Tuyến tính: (α u( x, y ) + β u( x, y )) =α u( x, y ) + β v ( x, y ) ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ • u ( x, y ).v ( x, y )) = v ( x, y ) u ( x, y ) + u ( x, y ) v ( x, y ) ( ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ v x , y u x , y − u x , y v ( x, y ) ( ) ( ) ( ) ∂ u ( x, y ) ∂ x ∂ x • = ∂x v ( x, y ) v ( x, y ) Các dạng toán Tính đạo hàm riêng ∂z ∂z , ∂x ∂y 2y • 3(tr 68) z = 3x + ∂z −3 +) = 2y ∂x ( x + 1)2 ∂z 4y = +) ∂y x + • 5(tr 68) z = x2siny ∂z = x sin y +) ∂x ∂z +) = x cos y ∂y • 7(tr 68) z = x tan2y + y tan3x ∂z +) = tan 2y + y sec x ∂x ∂z +) = x.2sec 2y + tan3 x ∂y • 9(tr 68) z = cos(3x − y) ∂z +) = −3 sin ( x − y ) ∂x ∂z +) = sin ( x − y ) ∂y • 11(tr 68) z = ex siny ∂z +) = e x sin y ∂x ∂z +) = e x cos y ∂y • 13(tr 68) z = ey lnx2 ∂z 2x = ey = ey +) ∂x x x ∂z +) = e y ln x ∂y GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ Bài PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân (19.2) (tiếp theo) Đạo hàm riêng cấp cao a) Đạo hàm riêng cấp hai z = z(x, y) Định nghĩa ∂ 2z ∂  ∂  ∂ 2z ∂  ∂z  ∂ z ∂  ∂z  ∂ 2z ∂  ∂z  zxx ≡ =  z  ; zyy ≡ =   ; zyx ≡ =   =   ; zxy ≡ ∂y ∂x ∂y  ∂x  ∂x ∂x  ∂x  ∂y ∂y  ∂y  ∂x∂y ∂x  ∂y  Thứ tự đạo hàm riêng luôn tạo nên khác biệt, chẳng hạn xét ví dụ sau: z(x, y) = x3e5y + ysin2x • zx = x 2e5 y + 2y cos2 x • zy = x 3e5 y + sin2 x • zxy =15 x 2e5 y + 2cos2 x • zyx =15 x 2e5 y + 2cos2 x Nhận thấy zxy = zyx Định lý Cho z = f(x, y) có fxy , fyx xác định lân cận (x0, y0) liên tục (x0, y0), ta có fxy ( x0 ,y ) = fyx ( x0 ,y ) Chứng minh (xem trang 380) b) Các đạo hàm riêng cấp lớn Cho hàm w = f(x, y, z), tương tự ta có định nghĩa ∂ 3f ∂  ∂ 2f  ∂  ∂  ∂f   =  =   = fzyx ∂x∂y ∂z ∂x  ∂y ∂z  ∂x  ∂y  ∂z   ∂ 4f ∂  ∂ 3f  ∂  ∂  ∂ 2f   = =   = fxxyz ∂z∂y ∂x ∂z  ∂y ∂x  ∂z  ∂y  ∂x   Nếu đạo hàm riêng liên tục ln đổi thứ tự mà không thay đổi kết IV Số gia vi phân Bổ đề ∆y a) Cho hàm số f(x) khả vi x0, ta có f ′ ( x0 ) = lim với ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆ x →0 ∆ x ∆y = f ′ ( x0 ) + ε với lim ε = ∆ x →0 ∆x Ta có ∆y = f′(x0)∆x + ε∆x Có thể phát triển tương tự kết cho hàm hai biến? b) Cho hàm hai biến số z = f(x, y) có fx ( x0 , y ) , fy ( x0 , y ) , có hay khơng biểu diễn sau? ∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0) = fx ( x0 , y ) ∆ x + fy ( x0 , y ) ∆y + ε1∆ x + ε 2∆y ε1 ε2 → ∆x ∆y → { - x BC ) E I - L 67 C 'G) " I - s % $%- C" 6#, ?< FGH) _ !h ! "9 Z G "! I ! I "9 Z I • ( _ r / " # $3 -S \ s E "S h v - 6+ +1 / " # $3 ,5 = ∫∫ ( ) ∫ % - E ( 6-HC 0) $%- U-S $%.! 06 # 6J! "-S n 6+ % / $0 % / E) ! BC) • U0 ) G`7 $0- L CL / )MC 6K [ h !I < - h G F + ,-O ∆ + U-S # ! I "S G 0) 'E 'R ( ) ∆ -( I - 6+ < A "S U-S C / - G IH C : Um ? < Z 6+ A "S h R D \ C7 $0! U-S !0< V: > < T! 6+ ≈ ∑( ∫ =Y ∑(