Bài giảng giải tích nhiều biến (đại học thủy lợi)

Giải tích nhiều biến số Bài giảng 1-Tốn II (Khóa 49) Phó Đức Anh Trường Đại học Thủy lợi II/2008 BG_1_TII_PDA Chương I- Không gian ba chiều Hàm nhiều biến • Thời lượng: buổi • Nội dung buổi thứ nhất: – Phép tính véc tơ: Mục 17.3; 18.1; 18.2;18.3 (Tự đọc) – Giải tích hàm véc tơ biến (Mục 17.4; 17.6) – Đường thẳng mặt phẳng-Mục 18.4 (Tự đọc) – Mặt trụ, Mặt tròn xoay, Mặt bậc hai (Mục 18.5; 18.6) II/2008 BG_1_TII_PDA Tiết thứ Giải tích Hàm véc tơ biến số (Mục 17.4, tr.551 17.6, trang 566) 1) Các khái niệm 2) Nghiên cứu hàm véc tơ biến số theo phương pháp tọa độ 3) Nghiên cứu hàm véc tơ biến số theo đường đầu tốc Ứng dụng Giải tích véc tơ II/2008 BG_1_TII_PDA I).Các khái niệm Hàm véc tơ biến số • Véc tơ vận tốc, véc tơ gia tốc chất điểm chuyển động thường thay đổi phương, hướng độ dài theo thời gian Ta nói: V = V (t ); a = a (t ) • Người ta mơ tả: Kim đồng hồ, cánh quạt, dòng nước… chuyển động véctơ biến đổi theo thời gian t II/2008 BG_1_TII_PDA Định nghĩa hàm véc tơ biến số r = r (t ) • Nếu ứng với giá trị biến số (thường thời gian) t ∈T⊂ ℜ, ta có quy luật để xác định véc tơ r (về phương, hướng độ lớn (mơ đun)) ta nói có hàm véc tơ theo biến số t T II/2008 BG_1_TII_PDA Giới hạn r = r (t ) • Xét hàm véc tơ biến số: • Giới hạn định nghĩa sau: lim r (t ) = a ↔ t → t0 {∀ε > ∃δ > : < t − t II/2008 < δ ⇒ r (t ) − a < ε BG_1_TII_PDA } Tính liên tục Đạo hàm • Hàm véc tơ liên tục t0 lim r (t ) = r (t0 ) t → t0 • Đạo hàm hàm véc tơ điểm: d r (t ) r '(t0 ) = dt II/2008 t =t0 r (t ) − r (t0 ) Δr = lim = lim t →t0 Δt → Δt t − t0 BG_1_TII_PDA Ý nghĩa học ĐH cấp I, cấp II • Tương tự ta xét hàm biến số: – Đạo hàm cấp một hàm véc tơ điểm cho ta véc tơ vận tốc, thể suất biến đổi theo biến số hàm véc tơ điểm – Đạo hàm cấp hai hàm véc tơ điểm cho ta véc tơ gia tốc, thể suất biến đổi theo biến số hàm vận tốc điểm • Sau đây, ta xét cơng thức tính đạo hàm … II/2008 BG_1_TII_PDA Cơng thức tính đạo hàm tích d d r (t ) (α r (t )) = α (α = const ) dt dt d r2 (t ) d r1 (t ) d (r1 (t )ir2 (t )) = r1 (t )i + r2 (t )i dt dt dt ⎡ d r1 (t ) ⎤ ⎡ d r2 (t ) ⎤ d ⎡ r1 (t ); r2 (t ) ⎤ = ⎢ + ; ( ) ( ); r t r t ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ ⎣ II/2008 BG_1_TII_PDA Các cơng thức ĐH khác • ĐH tổng (hiệu) vt • ĐH hàm hợp • ĐH hàm vt có phương khơng đổi… tương tự công thức học ĐH hàm biến số Chẳng hạn: d r du du d r r = r [u (t ) ] → r '(t ) = ⋅ = ⋅ du dt dt du II/2008 BG_1_TII_PDA 10 CM TVT không bảo tồn • Với TVT F phụ thuộc (x, y, z), ta CM khơng phải TBT hai cách • Cách thứ nhất: Chứng tỏ TPĐ F.dR theo hai đường cong khác nhau, chung điểm đầu điểm cuối khác • Cách thứ hai: Chứng tỏ ĐK cần TBT không thỏa mãn, nghĩa là: • CurlF ≠ V/2008 BG_14_TII_PDA 32 Tính TPĐ ∫ y z dx + xyz dy + 3xy z dz 3 2 j AB • Với A(0, 0, 0); B(1, 1, 1) • Nhận thấy F(y2z3; 2xyz3;3xy2z2) có curlF = (xem slide 6) →F TBT↔ TPĐ khơng phụ thuộc đường • Chọn đường thích hợp, chẳng hạn: V/2008 BG_14_TII_PDA 33 A(0, 0, 0)→C(1, 0, 0)→ D(1, 1, 0)→B(1, 1, 1) • Ta dễ dàng tính được: • Trên đoạn AC (y = z = 0, 0≤ x ≤ 1) →TPĐ cho 0) • Trên đoạn CD (x =1; z = 0, 0≤ y ≤ 1) →TPĐ cho 0) • Trên đoạn DB (x = y = 1, 0≤ z ≤ 1) →TPĐ cho 1) • Đáp số: TPĐ đường cong AB V/2008 BG_14_TII_PDA 34 Nội dung BG-15-TII-(Tuần 15) • Ơn tập tồn chương trình Tốn II • Các bạn nên đọc lại chủ điểm học • Xem lại dạng tập làm • Làm lại kiểm tra chương I, chương II • Hết BG-14-Tốn II (Ngày 20/5/2008) V/2008 BG_14_TII_PDA 35 Giải tích nhiều biến số Bài giảng 15-Tốn II (Khóa 49) Phó Đức Anh Trường Đại học Thủy lợi VI/2008 BG_15_TII_PDA Chương III- TP đường TP mặt Nội dung buổi bốn/bốn • Ơn tập tồn Ba chương Tốn II • Nắm vững ý chính; Các dạng ví dụ, tập VI/2008 BG_15_TII_PDA Các chủ điểm cần ôn tập • • • A Vi phân hàm nhiều biến B Tích phân hàm nhiều biến C Các ví dụ tập thuộc dạng VI/2008 BG_15_TII_PDA A Vi phân hàm nhiều biến • • • • Tìm TXĐ hàm hai biến, ba biến Đường mức; Mặt mức Vẽ hình biểu diễn mặt trụ; mặt bậc hai, mặt tròn xoay… Xét tính liên tục Tìm giới hạn hàm hai, ba biến Tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm nhiều biến VI/2008 BG_15_TII_PDA (tiếp) • • • • • Đạo hàm hàm hợp (Quy tắc dây chuyền) Đạo hàm hàm ẩn Trường vô hướng Trường véc tơ Đạo hàm theo hướng Véc tơ gradien TVH; divF curlF TVT Tìm véc tơ vận tốc; véc tơ gia tốc; Quỹ đạo chuyển động VI/2008 BG_15_TII_PDA (tiếp) • • • • 10 Phương trình tiếp diện; PT pháp tuyến tiếp tuyến mặt cong điểm 11 Tìm cực trị tự hàm hai, ba biến 12 Cực trị có điều kiện 13 Các phương trình Laplace; PT truyền nhiệt; PT truyền sóng VI/2008 BG_15_TII_PDA B Tích phân hàm nhiều biến • • • Tính Tích phân bội hai (TPBH) Đổi biến số TPBH.TPBH hệ tọa độ cực Ứng dụng TPBH (Tính DT hình phẳng; DT mặt cong;Thể tích; Tìm khối lượng; Tọa độ khối tâm; mơ men mơ men qn tính phẳng trục x; trục y; gốc O) VI/2008 BG_15_TII_PDA (tiếp) • • • Tính Tích phân bội ba (TPBB) Đổi biến số TPBB TPBB hệ tọa độ trụ; Hệ tọa độ cầu Ứng dụng TPBB (Tính Thể tích; Tìm khối lượng; Tọa độ khối tâm; mơ men mơ men qn tính vật thể trục tọa độ) VI/2008 BG_15_TII_PDA (tiếp) • • • • Tính Tích phân đường TPĐ không phụ thuộc đường Trường véc tơ bảo toàn Hàm Bốn mệnh đề tương đương 10 Tính Tích phân đường đường cong kín VI/2008 BG_15_TII_PDA (tiếp) • 11 Cơng thức Green • 12 Cơng thức Stoke • 13 Tính Tích phân mặt; Thông lượng TVT qua mặt S; Định lý Gauss • Chú ý ơn tập theo sát Đề cương Bộ mơn Giải tích đưa lên mạng • Các ví dụ tập thuộc dạng nằm sách nghe thêm lớp LT BT… VI/2008 BG_15_TII_PDA 10 Kết thúc Tốn II • Các em nên đọc lại chủ điểm học • Xem lại dạng tập làm • Làm lại kiểm tra chương I, chương II … • Chúc em may mắn thành cơng! • Hết 15 BG-Tốn II (Ngày 01/6/2008) VI/2008 BG_15_TII_PDA 11 ...Chương I- Không gian ba chiều Hàm nhiều biến • Thời lượng: buổi • Nội dung buổi thứ nhất: – Phép tính véc tơ: Mục 17.3; 18.1; 18.2;18.3 (Tự đọc) – Giải tích hàm véc tơ biến (Mục 17.4; 17.6) – Đường... BG_1_TII_PDA Tiết thứ Giải tích Hàm véc tơ biến số (Mục 17.4, tr.551 17.6, trang 566) 1) Các khái niệm 2) Nghiên cứu hàm véc tơ biến số theo phương pháp tọa độ 3) Nghiên cứu hàm véc tơ biến số theo đường... Δt t − t0 BG_1_TII_PDA Ý nghĩa học ĐH cấp I, cấp II • Tương tự ta xét hàm biến số: – Đạo hàm cấp một hàm véc tơ điểm cho ta véc tơ vận tốc, thể suất biến đổi theo biến số hàm véc tơ điểm – Đạo