Bài giảng giải tích một biến đại học thủy lợi

Chương TÍCH PHÂN 3.1 Tích phân bất định Định nghĩa 3.1 Nguyên hàm Hàm F (x) gọi nguyên hàm hàm f (x) (a, b) F (x) = f (x), ∀x ∈ (a, b) Ví dụ 3.1 Hàm sin x nguyên hàm cos x tồn trục số Định nghĩa 3.2 Tích phân bất định Tập tất nguyên hàm hàm số f (x) (a, b) gọi tích phân bất định hàm số f (x) kí hiệu f (x)dx = F (x) + C f (x) hàm dấu tích phân, f (x)dx biểu thức dấu tích phân, x biến tích phân Chú ý 3.1 Ta có f (x)dx = f (x) d f (x)dx = f (x)dx F (x)dx = d(F (x)) = F (x) + C Bảng tích phân xα+1 α+1 xα dx = dx x ax dx = sin xdx = − cos x + C cos xdx = sin x + C dx cos2 x = tan x + C dx sin2 x = − cot x + C √ dx 1−x2 + C, (α = 1) = ln |x| + C ax ln a +C = arcsin x + C = − arccos x + C TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 55 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định dx 1+x2 = arctan x + C = −arccotx + C Định lý 3.1 Nếu hàm f (x) liên tục (a, b) (a, b) f (x)dx tồn khoảng Các tính chất tích phân bất định • Tính chất tuyến tính • Nếu 3.2 [λf (x) + µg(x)] dx = λ f (x)dx = F (x) + C f (x)dx + µ g(x)dx f (u)du = F (u) + C Các phương pháp tính tích phân bất định Biến đổi biểu thức dấu tích phân Biến đổi đại số, biến đổi lượng giác, biến đổi vi phân Ví dụ 3.2 √ √ dx √ = x+ x+1 = x+1− √ x dx (x + 1)1/2 d(x + 1) − x1/2 dx 2 = (x + 1)3/2 − x3/2 + C 3 Ví dụ 3.3 sin2 x + cos2 x dx sin2 x cos2 x dx dx = + cos x sin2 x = tan x − cot x + C dx = sin x cos2 x Ví dụ 3.4 sin(ax)dx = a sin(ax)d(ax) = − cos(ax) + C a Ví dụ 3.5 Ví dụ 3.6 cos(ax)dx = √ dx = a − x2 a sin(ax) + C d( xa ) 1− x a = arcsin x +C a TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 56 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định Ví dụ 3.7 dx = 2 a +x a Ví dụ 3.8 x3 dx = + x4 Ví dụ 3.9 dx = x(1 + x) d 1+ x a x a = x arctan + C a a d(1 + x4 ) = ln |1 + x4 | + C + x4 1 − x x+1 dx = ln |x|−ln |x+1|+C = ln x +C x+1 Ví dụ 3.10 sin(3x) cos xdx = =− = Ví dụ 3.11 ln xdx = x (sin(4x) + sin(2x))dx cos(4x) cos(2x) +C + cos 4x + cos 2x + C 2 ln x + C ln xd(ln x) = Phương pháp tích phân phần Từ công thức đạo hàm (uv) = u v + uv ta có cơng thức tích phân phần udv = uv − vdu Ví dụ 3.12 ln xdx = x ln x − xd(ln x) = x ln x − dx = x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C Ví dụ 3.13 xex dx = xd(ex ) = xex − ex dx = xex − ex + C = ex (x − 1) + C Ví dụ 3.14 √ x ln(x + + x2 ) √ dx = + x2 ln(x + + x2 )d( x2 ln(x + 1+ + x2 ) x2 ) − = 1+ 1+ = + x2 ln(x + + x2 ) − = + x2 ln(x + + x2 ) − x + C x2 x + √1+x √ dx x + + x2 dx TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 57 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định Chú ý 3.2 Khi gặp dạng sau ta dùng tích phân phần     ln x arctan x dx ta đưa đa thức Pn (x) vào dấu vi phân Dạng Pn (x)   arcsin x tích phân phần  x   e  sin x Dạng Pn (x) dx ta đưa hàm siêu việt vào dấu vi phân tích   cos x phân phần n lần sin βx dx ta đưa hai thừa số vào dấu vi phân cos βx tích phân phần hai lần làm xuất tích phân cần tìm với hệ số khác chuyển vế suy kết eαx Dạng Ví dụ 3.15 (x2 + x − 1) ln xdx = ln xd( x3 x2 + − x) x3 x2 x3 x2 + − x) ln x − ( + − x) dx 3 x x3 x2 x3 x2 =( + − x) ln x − − +x+C =( Ví dụ 3.16 (x2 − x + 2) cos xdx = (x2 − x + 2)d(sin x) = (x2 − x + 2) sin x − (sin x)(2x − 1)dx = (x2 − x + 2) sin x + (2x − 1) cos x − cos xdx = (x2 − x + 2) sin x + (2x − 1) cos x − sin x + C = (x2 − x) sin x + (2x − 1) cos x + C TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 58 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định Ví dụ 3.17 ex sin xdx = sin xdex = ex sin x − ex cos xdx = ex sin x − cos xd(ex ) = ex sin x − ex cos x + ex (− sin x)dx Vậy ex sin xdx = ex (sin x − cos x) + C ex sin xdx = ⇒ ex (sin x − cos x) +C Đổi biến số tích phân Có hai cách đổi biến x = ϕ(t) t = ψ(x) Chú ý sau đổi biến ta viết biểu thức dấu tích phân biến t Khi tính tích phân theo biến t ta phải viết kết trở lại biến x √ Ví dụ 3.18 Tính tích phân bất định I = a2 − x2 dx, a > Giải Đặt x = a sin t, − π2 ≤ t ≤ √ a cos2 t = a cos t Do I= a cos t.a cos tdt = a2 Vì x = a sin t, − π2 ≤ t ≤ π π dx = a cos tdt, cos2 tdt = a2 √ a2 − x2 = a2 − a2 sin2 t = + cos 2t a2 sin 2t dt = (t + )+C 2 nên t = arcsin xa Ta có x sin 2t = sin t cos t = a x 1− a √ 2x a2 − x2 = a2 Vậy a2 − x2 dx = a2 x x arcsin + a a2 − x2 + C Ví dụ 3.19 Tính tích phân bất định I= √ dx ± a2 x2 TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 59 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định Giải Đặt t = √ x2 ± a2 dt = √ √ xdx x2 ±a2 dx dx dt dx + dt d(x + t) = = = = t x x+t x+t ±a x2 Vậy √ I= dx = x2 ± a2 d(x + t) = ln |x + t| + C x+t Trở lại biến x √ dx = ln |x + ± a2 x2 ± a2 | + C x2 √ Ví dụ 3.20 Tính tích phân bất định x2 ± a2 dx Giải x2 dx x2 ± a2 x ± a2 ∓ a2 √ dx x2 ± a2 x2 ± a2 dx = x x2 ± a2 − =x x2 ± a2 − =x x2 ± a2 − =x x2 ± a2 − I ± a2 ln |x + √ x2 ± a2 dx ∓ a2 √ dx ± a2 x2 x ± a | + C1 Vậy x2 ± a2 dx = x x2 ± a2 ± a2 ln |x + x2 ± a2 | + C Ví dụ 3.21 Tính tích phân bất định dx √ 2(1 + x) Giải Đặt x = t2 dx = 2dt Vậy dx √ = 2(1 + x) cuối 2tdt = 2(1 + t) dt − dt = t − ln |t + 1| + C t+1 √ √ dx √ = x − ln( x + 1) + C 2(1 + x) TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 60 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định Ví dụ 3.22 Tính tích phân bất định dx (1 + x2 )2 I= Giải Đặt x = tan t dx = I= dt cos2 t cos2 tdt = + x2 = cos2 t Vậy sin 2t )+C (1 + cos 2t)dt = (t + 2 Quay trở biến x dx = 2 (1 + x ) arctan x + 2x + x2 +C dx = (1 + x2 )2 arctan x + x + x2 +C Chú ý 3.3 Tổng quát tích phân In = (a2 dx + x2 )n ta dùng phép đổi biến x = a tan t Hơn ta có cơng thức truy hồi I1 = 2na2 x (x2 +a2 )n x a arctan a + C In+1 = + (2n − 1)In Thật In = (x2 dx + a2 )n x (x2 + a2 )n x = (x + a2 )n x = (x + a2 )n x = (x + a2 )n = (x2 + a2 )n 2nx2 + dx (x2 + a2 )n+1 dx + 2n − a2 (x2 + a2 )n − xd dx (x2 + a2 )n+1 + 2n In − a2 In+1 Từ suy In+1 = x + (2n − 1)In 2 2na (x + a2 )n TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 61 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định Ví dụ 3.23 Tính tích phân bất định e2x dx + ex Giải Đặt ex = t x = ln t nên dx = (dt)/t Vậy e2x dx = + ex t2 dt = 1+t t t dt = t+1 1− t+1 dt = t − ln |1 + t| + C Cuối e2x dx = ex − ln(1 + ex ) + C + ex Chú ý 3.4 Nói chung dạng R(ex )dx R(t) hàm hữu tỉ đặt ex = t Bảng tích phân mở rộng xα+1 + C, α = α+1 xα dx = dx = ln |x| + C x ax dx = sin xdx = − cos x + C cos xdx = sin x + C dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x √ ax +C ln a dx x x = arcsin + C = − arccos + C, a > a a a2 − x2 a2 dx x x = arctan + C = − arccot + C +x a a a a 10 a+x dx ln + C, a = = a2 − x2 2a a−x 11 √ dx = ln |x + x2 ± a2 x2 ± a2 | + C, a > TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 62 3.3 Tích phân bất định vài lớp hàm 12 a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 x arcsin + C, a > a 13 x2 ± a2 dx = x x2 ± a2 ± a2 ln |x + 3.3 x2 ± a2 | + C Tích phân bất định vài lớp hàm Định nghĩa 3.3 Hàm hữu tỉ đơn giản Hàm hữu tỉ đơn giản hay phân số hữu tỉ đơn giản có dạng: A , k ∈ N∗ (x − a)k Mx + N , p2 − 4q < (đk đk để mẫu vơ nghiệm) + px + q)k (x2 Tích phân hàm hữu tỉ đơn giản A , k ∈ N∗ (x − a)k • Khi k = ta có • Khi k ≥ ta có A dx = A ln |x − a| + C x−a A A dx = +C − k (x − a)k−1 (x − a)k Mx + N , p2 − 4q < (x2 + px + q)k 2 Ta có x2 + px + q = (x + p2 )2 + (q − p4 ) = t2 + a2 t = x + p2 , a2 = q − p4 M (t − p2 ) + N dt (t2 + a2 )k tdt Mp dt =M ) + (N − (t2 + a2 )k (t2 + a2 )k Mp M = + (N − )Ik 2 k−1 − k (t + a ) Mx + N dx = (x + px + q)k Ví dụ 3.24 Tính tích phân I= (x2 3x + dx + x + 1)2 TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 63 3.3 Tích phân bất định vài lớp hàm Giải 3x + dx = 2 (x + x + 1) =− t = x + Ta tính 1 + 2x +x+1 Đặt t = α tan u dt = αdu cos2 u arctan √ = √ 3 √ + 2 dt + α2 )2 √ x+ dt + α2 )2 = cos4 u α4 Từ ta có + cos 2u du = 2α3 t t α + α 1+ t α arctan (t2 (t2 +α2 )2 1 cos2 udu = 3 α α tan u = u+ 2α3 + tan2 u = 2 I1 = 2α3 (t2 x+ √ α = I1 = = d x+ 2x + 1 dx + 2 (x + x + 1) + = 2α3 arctan u+ sin 2u +C t αt + α α + t2 √ (x + 12 ) +C + (x + 21 ) √ 2x + 2x + arctan √ + x2 + x + +C Cuối 2x + 2x + + + √ arctan √ +C 2 x + x + 6(x + x + 1) 3 x−4 2x + = + √ arctan √ +C 3(x2 + x + 1) 3 I=− Định nghĩa 3.4 Hàm hữu tỉ Hàm hữu tỉ hàm có dạng f (x) = Pn (x) Qm (x) Pn (x), Qm (x) đa thức tương ứng có bậc m, n khơng có nghiệm chung • Nếu n < m f (x) gọi hàm hữu tỉ thực TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 113 4.6 Chuỗi lũy thừa khơng tính tổng qt ta xét chuỗi lũy thừa dạng +∞ an xn n=0 +∞ Định lý 4.9 Định lí Abel Cho chuỗi lũy thừa an xn Nếu hội tụ x = x0 n=0 (x0 = 0) hội tụ tuyệt x thỏa mãn |x| < |x0 | Chú ý 4.4 Từ định lý Abel ta suy +∞ Nếu chuỗi lũy thừa an xn phân kì x = x1 phân kì x n=0 mà |x| > |x1 | +∞ Với chuỗi lũy thừa dạng an xn tồn số R ≥ cho chuỗi n=0 lũy thừa hội tụ với x mà |x| < R phân kì với x mà |x| > R Trong trường hợp R = x = điểm hội tụ Số R gọi +∞ bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa an xn n=0 Quy tắc tìm bán kính hội tụ, khoảng hội tụ, miền hội tụ chuỗi lũy thừa Cho chuỗi lũy thừa +∞ an xn n=0 Nếu lim n→+∞ |an+1 | =l |an | lim n→+∞ n |an | = l bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa xác định sau  < l < +∞  l, 0, l = +∞ R=  +∞, l = khoảng (−R, R) gọi khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa Như để tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa, trước hết ta phải tìm khoảng hội tụ (−R, R), sau xét thêm hội tụ chuỗi lũy thừa hai đầu mút Ví dụ 4.12 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm +∞ n=1 xn n +∞ (−1)n−1 n=1 (n + 1) (x − 1)n 2n TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 114 4.6 Chuỗi lũy thừa Giải Ta có an = n l = lim n→+∞ |an+1 | = lim n→+∞ |an | 1 : n+1 n =1 Do bán kính hội tụ R = Nên khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa cho (−1, 1) Tại x = 1, ta có chuỗi số +∞ n n=1 chuỗi số điều hịa nên phân kì Tại x = −1, ta có chuỗi số +∞ n=1 (−1)n n hội tụ theo tiêu chuẩn Lép-nít Kết luận Miền hội tụ chuỗi số [−1, 1) Đặt X = x − Ta đưa chuỗi dạng +∞ (−1)n−1 n=1 an = (−1)n−1 (n + 1) , 2n (n + 1) n X 2n an+1 = (−1)n (n + 2) 2n+1 Ta có |an+1 | n + 2n n+2 = lim = lim = n→+∞ |an | n→+∞ 2.2n n + n→+∞ 2(n + 1) l = lim Do bán kính hội tụ R = khoảng hội tụ biến X (−2, 2) Tại X = −2 ta có chuỗi số +∞ (−1)n−1 n=1 (n + 1) (−2)n = − 2n +∞ (n + 1) n=1 Chuỗi phân kì theo điều kiện cần lim (n + 1) = +∞ = n→+∞ Tại X = ta có chuỗi số +∞ (−1)n−1 n=1 (n + 1) n (2) = 2n +∞ (−1)n−1 (n + 1) n=1 Chuỗi phân kì theo điều kiện cần lim (−1)n−1 (n + 1) = n→+∞ Vậy miền hội tụ X −2 < X < miền hội tụ biến x −1 < x < TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 115 4.6 Chuỗi lũy thừa Các tính chất chuỗi lũy thừa +∞ an xn hàm số liên tục miền hội tụ Tổng chuỗi lũy thừa n=0 +∞ Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi lũy thừa an xn đoạn [a, b] n=0 miền hội tụ có nghĩa b b +∞ S(x)dx = a an x an xn dx dx = n=0 a b +∞ n n=0 a Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi lũy thừa điểm miền hội tụ +∞ S (x) = +∞ an x n (an xn ) = n=0 n=0 Ví dụ 4.13 Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi hàm +∞ +∞ nxn n=1 n=1 xn n Giải Miền hội tụ chuỗi (−1, 1) Gọi S(x) tổng chuỗi Trong miền hội tụ ta có +∞ +∞ nxn = x S(x) = n=1 +∞ nxn−1 = x n=1 +∞ xn =x =x n=1 (xn ) n=1 x 1−x = x (1 − x)2 Miền hội tụ chuỗi cho [−1, 1) Ta có  x  +∞ n +∞ x  tn−1 dt = S(x) = n n=1 x n=1 x +∞ n−1 = t 0 n=1 dt = − ln(1 − x) 1−t dt = TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 116 4.7 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 4.7 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Giả sử f (x) có đạo hàm cấp lân cận điểm x0 tồn M > cho f (k) (x) ≤ M , ∀k ∈ N ta có +∞ f (x) = n=0 f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! cơng thức khai triển hàm f (x) thành chuỗi Taylor lân cận điểm x0 Khi x0 = ta có chuỗi Maclaurin hàm f (x) +∞ f (x) = n=0 f (n) (0) n x n! Khai triển số hàm sơ cấp thành chuỗi Maclaurin f (x) = ex Ta có f (n) (x) = ex ⇒ f (n) (0) = +∞ x e = n=0 xn n! Chuỗi có miền hội tụ (−∞, +∞) f (x) = sin x f (n) (x) = sin x + f (n) (0) = sin nπ nπ n chẵn (−1)k n = 2k + +∞ (−1)n−1 sin x = n=1 x2n−1 (2n − 1)! Chuỗi có miền hội tụ (−∞, +∞) f (x) = cos x f (n) (x) = cos x + f (n) (0) = cos nπ nπ n lẻ (−1)k n = 2k +∞ (−1)n cos x = n=0 x2n (2n)! Chuỗi có miền hội tụ (−∞, +∞) TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 117 4.7 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin f (x) = (1 + x)α f (n) (x) = α(α − 1)(α − 2) (α − n + 1)(1 + x)α−n f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2) (α − n + 1) (1 + x)α = + αx + α(α − 1) α(α − 1) (α − n + 1) n x + + x + n! Chuỗi có khoảng hội tụ (−1, 1), hai đầu mút hội tụ tùy thuộc vào α Với α = −1 ta có = − x + x2 − x3 + + (−1)n xn + = x+1 +∞ (−1)n xn n=0 Nếu thay khai triển x −x ta có = + x + x2 + x3 + + xn + = 1−x +∞ xn n=0 Hai chuỗi có miền hội tụ (−1, 1) Ta có (ln(1 + x)) = hay 1+x x dt , 1+t ln(1 + x) = −1 < x < Theo tính chất chuỗi lũy thừa lấy tích phân số hạng nên ta có x x dt = 1+t ln(1 + x) = (−1)n tn x +∞ (−1)n = n=0 +∞ n=0 +∞ tn dt = dt (−1)n−1 n=1 xn n Chuỗi có miền hội tụ (−1, 1] Khi x = ta có 1 1 ln = − + − + + Thay x −x ta có +∞ ln(1 − x) = − n=1 xn x2 x3 = −x − − − n TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 118 4.7 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Từ suy ln 1+x 1−x x3 x5 = ln(1 + x) − ln(1 − x) = x + + + = Trong khai triển hàm +∞ n=1 x2n−1 2n − 1 thay x x2 ta có x+1 = − x2 + x4 − x6 + + (−1)n x2n + = + x2 +∞ (−1)n x2n n=0 x dt + t2 arctan x = nên +∞ (−1)n−1 arctan x = n=1 x2n−1 2n − Trong khai triển hàm (1 + x)α thay x −x2 , α −1/2 ta √ 1 1.3 1.3.5 = + x2 + x4 + + x6 + 2 2! 3! 1−x Do arcsin x = x + −1 +∞, < a < π lim arccotx = π lim x→∞ an bm m = n, n < m ∞ n > m sin x =0 x x = e, lim (1 + x) x = e x→0 loga (1 + x) = , x ln a ax − = ln a, x 11 lim (1 + x)α − = α, x x→0 a>1 0 a 13 x2 ± a2 dx = x x2 ± a2 ± a2 ln |x + d (cot x) = − csc2 x = − dx sin x d d (arcsin x) = (sin−1 x) = √ 14 dx dx − x2 15 d d (arccos x) = (cos−1 x) = − √ dx dx − x2 16 d d (arctan x) = (tan−1 x) = dx dx + x2 17 d d (arccotx) = (cot−1 x) = − dx dx + x2 x2 ± a2 | + C, a > TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com x2 ± a2 | + C ෇ b ϩ b b c d R E F E R E N C E PA G E S ෇ natural logarithms, so Formula 10 enables calculators have a key for ϫ Scientific ෇ C ෇ 2␲ r s ෇ r ␪ ͑␪ in radians͒ ab sin ␪ b usc to use bc a calculator to compute a෇logarithm with any base (as shown in the next example) Similarly, Formula 10 allows us to graph any logarithmic function on a ␲ ␲ a graphing calculator or computer (see Exercises 43 and 44) tanrϪ1x ෇ y s&? tan y ෇ x and Ϫ Ͻ y Ͻ h EXPONENTS AND RADICALS ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● G E O M E T RY xm ● x m x n ෇ x mϩn IONS Phụ lục n n na xy ෇ s xs y s n x y m͞n ͱ n ෇ ● ● ● ● ● ● b ෇ x mϪnEXAMPLE 10 Evaluate log correct to six decimal places ෇ r ෇ sx ෇ (sx ) m n m n x x s ෇ n y sy POLYNOMIALS xy ϩ y 2͒ xy ϩ y 2͒ ͑x Ϫ y͒2 ෇ x Ϫ 2xy ϩ y 3xy Ϫ y n͑n Ϫ 1͒ nϪ2 x y ͩͪ n nϪk k x y ϩ и и и ϩ nxy nϪ1 ϩ y n k и и ͑n Ϫ k ϩ 1͒ ؒ иии ؒ k r ͩͪ y nx෇ Ϫb Ϯ sb Ϫ 4ac 2a ABSOLUTE VALUE a Ͻ c ϩ c m APPENDIX B COORDINATE GEOMETRY ln͑2Ϫt͞25 ͒ ෇ ln APPENDIX B COORDINATE GEOMETRYure 20 ◆ 24 ■ A16 Խ Խ ͩ ca Ͼ cb ͩͪ ͩ or ■ or Խ Խ Խ Խ Խ Խ x ෇ a means x ෇ a or x ෇ Ϫa Point-slope equation of line through P1͑x 1, y1͒ with slope m: Exercises x Ͻ a means Ϫa Ͻ x Ͻ a B Hyperbolas x Ͼ a means yx Ϫ Ͼ ya1 ෇orm͑xxϪϽxϪa ͒ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ● ● ● ● ● ● tended by a central angle of 72Њ ● ● ● ■ ● ● ■ ● ■ ● ■ ● ● ■ ● ■ ● ■ ● ■ ● ■ ● ● ■ ● ͑x Ϫ h͒2 ϩ ͑ y Ϫ k͒2 ෇ r ■ ● A circle has radius 1.5 m What angle is sl center of the circle by an arc m long? ● ● x Find the radius of a circular sector with an length cm EXAMPLE Evaluate ■ ● ● ● ● ● ● ● SOLUTION To evaluate the lim 11–24 ■distances Find an equation ■ Find theisdistance the points A1–2 hyperbola the set between of all points in a plane the difference of whose from of the line that satisfies thethegiven numerator and denomin conditions two fixed points and (the foci) is a constant This definition is illustrated in F F ͑1, m ͑1, Ϫ3͒, ͑5, 7͒ 1͒,and͑4,y-intercept 5͒ nator (We may assume tha Slope-intercept equation of line with slope b: P(x, y) Figure 23 11 Through ͑2, Ϫ3͒, slope Notice a hyperbola ellipse; the only the the slopedefinition of the lineof through P and Q.is similar to that of12.anThrough y ෇ mx3–4 ϩ b■ Findthat ͑Ϫ3, Ϫ5͒, slope Ϫ2 change is that the sum of distances has become a difference of distances It is left as F¡(_c, 0) F™(c, 0) x P͑Ϫ3, 3͒, Q͑Ϫ1, Ϫ6͒ P͑Ϫ1, Ϫ4͒, Q͑6, 0͒ 13 Through and ͑2, 1͒ ͑1, 6͒ Exercise 51 to show that when the foci are on the x-axis at ͑Ϯc, 0͒ and the difference CIRCLES of distances is Խ PF1 Խ Ϫ Խ PF2 Խ ෇ Ϯ2a, then the equation of the 14 hyperbola Throughis͑Ϫ1, Ϫ2͒ and ͑4, 3͒ y ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Show that the points ͑Ϫ2, 9͒, ͑4, 6͒, ͑1, 0͒, and ͑Ϫ5, 3͒ are Equation of the circle with center ͑h, k͒ and radius r: the vertices of a square FIGURE 23 x Ͻ Ϫa ● Likea slope parabolas, reflection property that has practical with of ellipses have an interesting 3–4 ■ Convert from radians to degrees (_4, 0) (4, 0) consequences If a source of light or sound is placed at one focuswith of slope a surface with Slope-intercept equation of line m and y-intercept b: (0, _3) (_5, 0) 3␲ (5, 0) x LINES Ϫ surface (a)or4␲sound is reflected off(b)the If a Ͻ b, then a ϩ c Ͻ b ϩ c elliptical cross-sections, then all the light to the Slope of cline P1͑x y1.͒ and other P2͑x 2,focus y2͒: (see Exercise 55) This principle is used in lithotripsy, a treatment y෇ mx8␲ϩ b for kidIfFIGURE and aϽ b 22 Ͼ through 0, then ca Ͻ1,cb 7␲ FIGURE 25 ney stones A reflector with elliptical is placed in such 4.cross-section (a) Ϫ (b) a way that the If9≈+16¥=144 a Ͻ b and c Ͻ 0, then ca Ͼ cb 9≈-16¥=144 ykidney Ϫ y1 stone is at one focus High-intensity sound waves generated at the other focus m෇ CIRCLES are reflected to the stone and destroy it without damaging surrounding tissue The x Ϫ x1 If a Ͼ 0, then patient is spared the trauma of surgery and recovers within few days Equation of the circle witha center ͑h, k͒ and radius r: 13 b Ͻ c, then a Ͻ c If FIGURE a Ͻ b and x ෇ Ϫa ns Ϫa Ͻ x Ͻ a ● ͪ ■ xϾa ͪ ͩͪ ■ ca Ͻ cb x෇a SOLUTION Instead of using trigonometric identities1as in Solution 1, 0.01 easier to use a diagram If y ෇ tanϪ1x, then tan y 100 and we can re ෇ x,෇ A15 illustrates the case y Ͼ 0) that (which FIGURE 20 Cone y In fact, by taking x large en y t1 b x ഛ Ϫa.according ෇ bln m Ϫ lnThis 24 shows thaty x ജ a 2, so x ෇ sx ജ a Therefore, we have x ജ a or r 2h2y= Therefore, to De y=_ a x VϪ෇ ␲ln DISTANCE AND MIDPOINT FORMULAS Ϫ1 ax 25 cos͑tan x͒ ෇ cos y ෇ 2This means π hyperbola consists of two parts, called its branches that the y x s1 ϩ x y=∆ ϩ ෇ (0, b) P125 ͑xa1,hyperbola y1͒ and P2͑x , yuseful 25 Distance we draw it 2is to first draw its asymptotes, which are the 2between 2͒: (_a, 0) a mWhen t ෇(a, 0) Ϫ ͑ln Ϫb ln 24͒ ෇ ͑ln 24 Ϫ ln m͒ (_a, 0) in Figure 24 Both branches of the hyperln lines y ෇ ͑b͞a͒xlnand y ෇ Ϫ͑b͞a͒x shown ͑x ϩ y͒2 ෇ x ϩb 2xy ϩay ͑x Ϫ ry͒2 ෇ x Ϫ 2xy ϩ y The inverse tangent function, tanϪ1 ෇ arctan, has domain ‫ޒ‬ (a, 0) is,͑ y bola approach 0the dasymptotes; they come arbitrarily close to the asymptotes ෇ s͑x Ϫ xthat 1͒ ϩ Ϫ y 1͒ (c, 0) x (_c, 0) Its graph is shown in Figure 21 We know that the lin ͑Ϫ ␲ ͞2, ␲ ͞2͒ x ͑x ϩ y͒(_c, 0) ෇ x ϩ0 3x ycϩ (c, 0) 3xy ϩ y 3x the Figure foci of 21.) a hyperbola are on find its the roles y-axis, weare equation by reversing x So thec 2inverse Similar reasoning shows th where 49Ifand Notice that thethe ෇ a Ϫfunction b (SeeisExercise x-intercepts r h vertical asymptotes of the graph of tan Since the graph of tanϪ1 is ob x and also have with Ϯa, theh y-intercepts are Ϯb, the fociofare ͑Ϯc,y.0͒, and the ellipse is symmetric ͑x Ϫ y͒3 ෇ x Ϫ 3x y ϩ 3xy Ϫ y ing the graph of the restricted tangent function about the line y ෇ x, i 25 are locatedxπ1onϩthe (0, _b) x y1 ϩ yat2 ͑0, Ϯc͒, then r foci respect to both axes If the an ellipse _ 2m͒ ,y-axis f Ϫ1of͑m͒ ෇ ͑ln Midpoint of P24 : ln lines y ෇ ␲͞2 and y ෇ Ϫ␲ asymptotes of the graph P2Ϫ n͑n Ϫ 1͒ nϪ2 ͞2 are horizontal 2 n y2 n 22 y2 nϪ1 EXAMPLE Find the foci and asymptotes of the hyperbola and 9x Ϫ 16y ෇ 144 ln 2 x x ͑x ϩ y͒ ෇ x ϩ nx 2y ϩ by interchanging x and y in (1) x weycan find its equation −1 + = c = a −b FIGURE − 24 = c2 = a2 +b2 sketch y = arctan x Of the six inverse trigonometric functions, arcsin and arctan are its graph.x = tan most useful for the purposes of calculus The inverse cosine function a2 21 b aThis b2 FIGURE 21 FIGURE function gives the time required for 2the mass to decay to m milligrams In par¥ ≈ y FIGURE 13 Sketch the graph of 9x ϩy=tan–! x=arctan x locate the foci.of the 16y ෇If144 n nϪk k EXAMPLE Exercise 46 by The144, remaining inverse trigonometric functions don’t ar   nxy =1 SOLUTION weand divide both sides equation it becomes nϪ1 n ≈ ¥ ϩ и и и ϩ x y ϩ и и и ϩ ϩ y ticular, the time required for the mass to be reduced to mg is It follows that the line y ෇ b@ a@ +   =1 1 y=´ k lim lim =0 a@ b@ SOLUTION Divide both sides of the equation LINES by 144: ` x =0, y ෇ 1͞x (This is an equilat x y=x x x _` x y DISTANCE AND MIDPOINT FORMULAS Ϫ ෇1 25 n͑n Ϫ 1͒ и и и ͑n Ϫ k ϩ 1͒ n Ϫ1 Slope line P56.58 16 1͑x1, yyears 1͒ and P2͑x 2, y2͒: ͑lnof Ϫ through t ෇ f ͑5͒ ෇ 24 ln 5͒ Ϸ where ෇ Distance between P ͑x , y ͒ and P ͑x , y ͒: Most of the Limit Laws k lnx ϩ y ෇ y ؒ 21ؒ 31 ؒ 1и и и ؒ k 2 16which9is of the form given in (2) with a ෇ and b ෇ Since c ෇ 16 ϩity can , be proved that th ෇It 25 y Ϫ y 1 (0, 3) Exercises d෇ ϩ ͑ yanswer that in ෇ Example in s͑x Ϫ x1͒2This y=ln x Laws and 10) are also va m theCestimate foci are The asymptotes are theSeclines y ෇ 34 x and y ෇ Ϫ 34 x The graph ͑Ϯ5,we 0͒.made Ϫ y1͒ agrees with the graphical QUADRATIC FORMULA , The is now in the standard form for an so we have ax 22 Ϫ ෇ x16 tionequation 1.5 particular, if we combine L is shown inellipse, Figure 25 Ϫ 4ac Ϫbx Ϯ sb are Ϯ4from anddegrees the y-intercepts b2 ෇ 9, a ෇ 4, and b ෇ The x-intercepts ing important calcu 1–2 ■ Convert to radians are Ϯ3 Find the length of a circularrule arc for subtended If ax ϩ(_4, 0) bx ϩ c ෇ 0, then x ෇ 2 y x1 ϩ x(4, 0) y2a y1 ϩ Also, x Point-slope equation of line through with slope m: P ͑x , y ͒ 2 3 1 , so and the foci are The graph is c ෇ a Ϫ b ෇ c ෇ ( Ϯs7, ) y ෇ e and its inverse (b) The graphs of the exponentials7 function function, ␲͞12 rad if the radius of the circle is 36 c y=_ y= x Midpoint of P1 P2 : , (a) 210Њ 9Њ x the natural x 2 sketched in Figure 22.are shown in Figure 13 Because the curve y ෇ e crosses the logarithm function, x {_œ„ 7, 0} {œ„ 7, 0} (a) Ϫ315Њ (b) 36Њ If a circle has radius the lengt m͑x Ϫ xthe INEQUALITIES AND ABSOLUTE VALUE ෇ 1͒ x-axis y-axis with a slope of 1, it follows that the reflected curve y Ϫ ෇ yln x crosses is a find positive int n cm, If10 x ϩ y ෇ ͑x ϩ y͒͑x Ϫ xy ϩ y 2͒ Sphere Cylinder x Ϫ y ෇4 ͑x 3Ϫ y͒͑x ϩ xy ϩ y 2͒ V ෇ ␲r y V ෇ ␲ r 2h A ෇ 4␲ r THEOREM BINOMIAL ■ A As x becomes large, we appro ͑x͒␲͞2 SOLUTION Let y ෇ tanϪ1x Then tan y ෇ negative W x and Ϫ␲values, ͞2 Ͻ y fϽ ● 3xy y ă CHAPTER LIMITS AND DERIVATIVES 127 ln Ϸ 0.773976 ln 24 x Ϫ y ෇ ͑x ϩ y͒͑x Ϫ y͒ ■ r EXAMPLE Simplify the expression cos͑tanϪ1x͒ SOLUTION Formula 10 gives log ෇ r 136 ● ͱ h b ͒ ns ● FACTORING SPECIAL POLYNOMIALS xn yn n ă cos y but, since tan y is known, it is easier to find sec y first: Circle Sector of Circle Sphere Cylinder Cone xn x n lim f ෇2 n 2 x lϱ 90 A෇ ␲ r A ෇ r ␪ V ෇ ␲ r V ෇ ␲ r h V ෇sec y y Sr that EXAMPLE 11 In Example in Section 1.5 we showed that the mass of ␲2ry h ෇ ϩ tan2 y ෇ ϩ x Ϫt͞25 C m͞n ෇ 2␲ rn remains r ␪ ͑␪ in radians͒ froms a෇24-mg sample after t years Find the A෇ 4␲ r is m ෇ f ͑t͒ ෇ 24 и n This means that both y ෇ x ෇s x m ෇ (s x )m inverse of this function and interpret it sec y ෇ s1 ϩ x ͑since sec y Ͼ for Ϫ␲͞2 Ͻ y Ͻ ␲͞ r n Ϫt͞25 sxSOLUTION We need to solve the equation m ෇ 24 и for t We start by isolating n x r EXAMPLE Find lim and ෇ n s x lϱ x y sythe exponential and taking natural logarithms of both sides: 1 r h r Ϫ1 œ„„„„„ 1+≈ h Thus cos͑tan x͒ ෇ cos y ă m SOLUTION sec Observe y ϩ x 2when s1 that x Ϫt͞25 Triangle ͑xy͒n ෇ x1n y n A ෇ bh ෇n 12 ab sin ␪ 1͞n x ෇s x x ෇ x mϪn xn xϪn ෇ n x ns ● Ϫn mn m ϩ ● ͑x ͒ ෇ x x ෇ n Formulas for area A, circumference x C, and volume V: m n DICALS ă GEOMETRIC FORMULAS a c ad ϩ bc ϩ ෇ b d bd a b a d ad ෇ ϫ ෇ c b c bc d x xn APPENDIX C TRIGONOM 15 Slope 3, y-intercept Ϫ2 x 11͒y, and C͑5, 15͒ (a)2 Show Ϫ ෇1 ෇ r that the points A͑Ϫ1, 3͒, B͑3, P is on the hyperbola when ͑x Ϫ h͒ ϩ ͑ y Ϫ2 k͒ are a by showing b collinear (lie on the same line) that Խ Խ Խ Խ Խ 16 Slope 5, y-intercept Խ 17 x-intercept 1, y-intercept Ϫ3 AB ϩ BC ෇ AC (b) Use slopes to show that A, B, and C are collinear | PF¡|-| PF™ |=Ϯ2a 2 y-intercept where c ෇ a ϩ b Notice that the x-intercepts are again Ϯa,18 Butx-intercept if we putϪ8x, ෇ ■ Sketch the graph of the equation in7–10 Equation we get y ෇ Ϫb 2, which is impossible, so there is19.noThrough y-intercept parallel to the x-axis ͑4, 5͒, The x ෇ is symmetric with respect y ෇ hyperbola toϪ2 both axes Through ͑4, 5͒, parallel to the y-axis the hyperbola further, at Equation and 20 obtain xyanalyze ෇0 ෇ look 9.To 10 y we Խ Խ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ x2 y2 ෇1ϩ ജ1 a2 b ■ ■ ■ ■ ■ ■ 21 Through ͑1, Ϫ6͒, parallel to the line x ϩ 2y ෇ TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com ... x) +C Đổi biến số tích phân Có hai cách đổi biến x = ϕ(t) t = ψ(x) Chú ý sau đổi biến ta viết biểu thức dấu tích phân biến t Khi tính tích phân theo biến t ta phải viết kết trở lại biến x √ Ví... µ g(x)dx f (u)du = F (u) + C Các phương pháp tính tích phân bất định Biến đổi biểu thức dấu tích phân Biến đổi đại số, biến đổi lượng giác, biến đổi vi phân Ví dụ 3.2 √ √ dx √ = x+ x+1 = x+1−... Phép đổi biến số Giống tích phân bất định ta có phép đổi biến x = ϕ(t) t = ψ(x) Chỉ khác đổi biến tích phân xác định ta phải đổi cận Ví dụ 3.43 Tính tích phân xác định I = 2√ − x2 dx √ Giải Đặt