Bài giảng Xác suất thống kê

MẪU THỐNG KÊ I Một số định nghĩa: 1) Tổng thể: Tập hợp tất phần tử mang đặc tính X vấn đề cần nghiên cứu gọi tổng thể Nếu gọi M tổng thể N số phần tử tổng thể Thông thường, ta khơng thể chọn hết N - N q lớn - Thời gian kinh phí khơng cho phép - Có thể làm hư hại đến phần tử M Do đó, để nghiên cứu người ta chọn mẫu 2) Mẫu: Một tập n phần tử mang đặc tính X chọn từ tổng thể M gọi mẫu cỡ n Điều kiện chọn mẫu: - Các phần tử mẫu phải lấy ngẫu nhiên từ M - Các phần tử mẫu phải lấy độc lập với Xét biến ngẫu nhiên X, thực quan trắc n lần độc lập ta n biến ngẫu nhiên X , X , , X n độc lập có phân phối với X Bộ WX = ( X , X , , X n ) gọi mẫu lý thuyết lấy từ X Khi có số liệu cụ thể ( x1 , , xn ) gọi mẫu thực nghiệm II Biểu diễn số liệu: 1) Bảng thống kê đơn giản: Xét mẫu WX = ( X , X , , X n ) Bảng thống kê đơn giản trình bày giá trị thu theo thứ tự quan sát i … Xi X1 X2 … n Xn 2) Bảng thống kê tần số: Xét mẫu WX = ( X , X , , X n ) Bảng thống kê theo tần số gom giá trị trung lại Xi X1 X2 … ni n1 Xk n2 … nk với n1 + n2 + + nk = n 3) Bảng tần số theo khoảng: Xi [a1,b1) ni n1 [a2,b2) … n2 … [ak,bk) nk Ta chuyển bảng dạng khoảng dạng tần số bình thường cách đặt X i = + bi III Các đặc trưng mẫu: 1) Xét mẫu WX = ( X , X , , X n ) biểu diễn theo bảng thống kê đơn giản i … Xi X1 X2 … n Xn Các đặc trưng mẫu tính sau - Trung bình mẫu: X = n ∑ Xi n i =1 - Phương sai mẫu: s = n ( X i − X )2 ∑ n i =1 Hay s = X − ( X ) với X = - n ∑ Xi n i =1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh: S = Vậy: S = n ( X i − X )2 ∑ n − i =1 n s n −1 2) Xét mẫu WX = ( X , X , , X n ) biểu diễn theo thống kê tần số i … Xi X1 X2 … k Xk với n1 + n2 + + nk = n Các đặc trưng mẫu tính sau - Trung bình mẫu: X = k ∑ ni X i n i =1 - Phương sai mẫu: s = k ni ( X i − X ) ∑ n i =1 Hay s = X − ( X ) với X = - n ∑ ni X i2 n i =1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh: S = Vậy: S = n s n −1 n ∑ ni ( X i − X )2 n − i =1 Bài tập: 1) Tính tay đặc trưng mẫu X , s , S , S sau: (bằng máy tính điện tử) a X: trọng lương bao gạo (kg) Trọng lượng (Kg) Số bao gạo 49,7 49,8 49,9 50 18 50,1 25 50,2 19 50,3 16 50,4 b Y: Hàm lượng cholesterol máu (ng/mL) i Hàm lượng Cholesterol 265 240 258 295 251 245 287 260 249 10 283 c Z: thời gian tự học SV (giờ/ngày) Thời gian tự học Số sv 17 24 20 14 2) Dùng số liệu file baitap1.xls, tính đặc trưng mẫu excel Biết hàm tính trung bình X , độ lệch tiêu chuẩn hiệu chỉnh mẫu S Xét dãy ô A1 đến An ô chứa giá trị ( x1 , , xn ) Trung bình: AVERAGE(A1:An) Phương sai mẫu hiệu chỉnh: VAR(A1:An) Độ lệch tiêu chuẩn hiệu chỉnh: STDEV(A1:An) Giá trị lớn nhất, bé nhất: MAX(A1:An), MIN(A1:An) Trung vị, mode: MEDIAN(A1:An), MODE(A1:An) SUM(A1:An): tổng giá trị ô A1 đến ô An COUNT(A1:An): đếm số phần tử từ ô A1 đến ô An COUNTIF(A1:An,’Điều kiện’): đếm số phần tử từ A1 đến An thỏa Điều kiện Ví dụ đếm phần tử từ ô A1 đến ô A100 mà lớn 10: COUNTIF(A1:A100,’>=10’) Vào mục Insert -> Function -> Statistical để xem thêm hàm thống kê Lưu ý hàm áp dụng cho số liệu cột (trình bày từ A1 đến An) tức tương ứng với liệu ( x1 , , xn ) trình bày theo bảng thống kê đơn giản Nếu liệu trình bày theo bảng tần số, phải tính đặc trưng mẫu theo công thức (Xem file mẫu) ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ A- ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM I Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f ( x;θ ) , θ tham số chưa biết hàm mật độ, ta cần tìm θ Xét mẫu ngẫu nhiên cỡ n: ( X , , X n ) lấy từ X Một ˆ = h ( X , , X ) gọi ước lượng điểm θ Bài tốn tìm Θ ˆ gọi thống kê Θ n ˆ = θˆ ước lượng điểm cụ thể cho θ tốn ước lượng điểm Và giá trị Θ Ví dụ - Xét X biến ngẫu nhiên có phân phố chuẩn X ∼ N ( μ , σ ) Thì hai tham số cần tìm Θ = (θ1 ,θ ) = ( μ , σ ) Hai ước lượng cho μ σ là: n n μˆ = X = ∑ X i σˆ = s = ∑ ( X i − X )2 n i =1 n i =1 II Các tiêu chuẩn ước lượng: Có tiêu chuẩn: không chệch, hiệu bền vững Ước lượng không chệch: ˆ = h( X , …, X ) gọi ước lượng không chệch cho tham số θ Một ước lượng Θ n ˆ =θ EΘ ˆ −θ Độ chệch ước lượng: E Θ Ví dụ Cho X ∼ N ( μ , σ ) Lấy mẫu ( X , , X n ) Kiểm tra xem X ước lượng không chệch cho μ n ⎡1 n ⎤ n EX = E ⎢ ∑ X i ⎥ = ∑ EX i = ∑ μ = ( nμ ) = μ n i =1 n ⎣ n i =1 ⎦ n i =1 Câu hỏi: Xét xem s S có ước lượng không chệch cho σ hay không? Ước lượng hiệu quả: ˆ gọi hiệu ước lượng Θ ˆ Ước lượng Θ ˆ Θ ˆ ước lượng không chệch cho θ i Θ ˆ ) < Var (Θ ˆ ) ii Var (Θ ˆ Như ước lượng Θ MV gọi ước lượng hiệu (hay có phương sai bé – minimum variance) ˆ ước lượng không chệch cho θ i Θ MV ˆ ) < Var (Θ ˆ ) với ước lượng Θ ˆ ii Var (Θ MV Ước lượng bền vững: ˆ phụ thuộc vào cỡ mẫu n, ta kí hiệu Θ ˆ = h( X , …, X ) , Θ ˆ Xét ước lượng Θ n n ˆ gọi ước lượng bền vững Θ n ( ) ( ) ˆ − θ |< ε = 1, ∀ε > lim P | Θ n n →∞ hay ˆ − θ |≥ ε = 0, ∀ε > lim P | Θ n n →∞ Điều tương đương với ˆ =θ i lim E Θ ( ) ˆ )=0 ii lim Var ( Θ n →∞ n →∞ n n III Các phương pháp ước lượng: Phương pháp moment: * Định nghĩa 1: - Xét ( X , , X n ) mẫu ngẫu nhiên lấy từ biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f ( x) Moment bậc k tổng thể EX k , k = 1, 2, n Tương ứng, ta có moment bậc k mẫu (1 n) ∑ X ik i =1 Ước lượng điểm θ thu cách đồng moment tổng thể moment mẫu * Định nghĩa 2: - Xét ( X , , X n ) mẫu ngẫu nhiên lấy từ biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f ( x;θ ) , ˆ , …, Θ ˆ thu cách θ = (θ1 , …,θ m ) chưa biết; ước lượng moment Θ m đồng m moment tổng thể với m moment mẫu Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N ( μ , σ ) Lấy mẫu ( X , , X n ) , tìm ước lượng cho μ σ Ta có: Moment bậc 1: EX - Moment mẫu bậc 1: (1/ n ) ∑ i =1 X i n Moment bậc 2: EX - Moment mẫu bậc 2: (1/ n ) ∑ i =1 X i2 n Suy ra: μˆ = X Ta có VarX = EX − ( EX ) ⇔ σ = EX − μ ⇒ EX = σ + μ n n n EX = ∑ X i2 ⇔ σ + μ = ∑ X i2 ⇒ σ = n i =1 n i =1 ∑X i =1 i − μ2 n ⎛1 n ⎞ X − ˆ μ − X ∑ ⎜ n ∑ Xi ⎟ ∑ n ⎝ i =1 ⎠ = ( X − X ) = s Với μˆ = X σˆ = i =1 = i =1 ∑ i n n n i =1 n n i 2 i Câu hỏi: Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ có hàm mật độ xác suất ⎧λ e − λ x , x > f ( x) = ⎨ ,x≤0 ⎩0 Biết EX= Dùng phương pháp moment tìm ước lượng cho λ λ Giả sử X ,…, X n làm mẫu ngẫu nhiên lấy từ biến ngẫu nhiên X có phân phối gamma r r (r + 1) EX = với tham số r λ Biết phân phối gamma EX = Dùng phương pháp moment, tìm ước lượng cho r λ λ λ Phương pháp hợp lý cực đại: (Maximum Likelihood) Sử dụng hàm hợp lý để tìm ước lượng * Định nghĩa: Xét biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f ( x;θ ) với tham số θ chưa biết Gọi x1 , x2 ,…, xn giá trị thực nghiệm từ mẫu cỡ n Hàm hợp lý mẫu xác định sau L(θ ) = f ( x1 ;θ ) f ( x2 ;θ ) … f ( xn ;θ ) Lưu ý hàm L(θ ) phụ thuộc vào tham số θ Ước lượng hợp lý cực đại θ giá trị mà làm cực đại hàm hợp lý L(θ ) Ví dụ Xét X biến ngẫu nhiên Bernoulli X ~ B(1, p) Hàm xác suất X xác định sau ⎧ p x (1 − p )1− x , x = 0,1 f ( x) = ⎨ , ≠ ⎩0 với p tham số cần ước lượng Hàm hợp lý cho mẫu cỡ n sau L( p) = p x1 (1 − p)1− x1 p x2 (1 − p )1− x2 … p xn (1 − p)1− xn n ∑ xi n = ∏ p xi (1 − p)1− xi = p i=1 (1 − p) n− n ∑ xi i =1 i =1 Giá trị pˆ làm cực đại hàm L( p) làm cực đại hàm ln L( p) , n ⎛ n ⎞ ⎛ ⎞ ln L( p ) = ⎜ ∑ xi ⎟ ln p + ⎜ n − ∑ xi ⎟ ln(1 − p ) i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ ⎠ n ⎛ ⎞ xi ⎟ − ∑ ⎜ d ln L( p) i =1 = − ⎝ i =1 ⎠ (1 − p) dp p n ∑ xi Ta thu giá trị làm ln L( p ) cực đại pˆ = n ∑ xi n i =1 ước lượng cho p Câu hỏi: Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N ( μ , σ ) Dùng phương pháp hợp lý cực đại tìm ước lượng cho - μ với giả sử biết σ - μ σ Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ Dùng phương pháp hợp ý cực đại tìm ước lượng cho λ Bài tập: Xét mẫu cỡ 2n : ( X ,…, X n ) lấy từ biến ngẫu nhiên X, đặt EX = μ ,VarX = σ Ta có hai ước lượng cho μ X1 = 2n n X X = ∑ i ∑ Xi 2n i =1 n i =1 Hãy xét xem ước lượng ước lượng tốt cho μ ? Xét ( X ,…, X ) mẫu ngẫu nhiên lấy từ biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng μ phương sai σ Xét hai ước lượng μ ˆ = X + X +…+ X Θ ˆ = X1 − X + X Θ 2 ˆ Θ ˆ có ước lượng không chệch cho μ ? a Θ b Ước lượng tốt nhất? Biết X s12 trung bình mẫu phương sai mẫu lấy từ tổng thể có kỳ vọng μ1 phương sai σ 12 X s22 trung bình mẫu phương sai mẫu lấy từ tổng thể thứ hai độc lập có kỳ vọng μ2 phương sai σ 22 Cỡ mẫu lấy từ hai tổng thể n1 n2 a Chỉ X - X ước lượng không chệch cho μ1 - μ2 b Giả sử phương sai hai tổng thể σ 12 = σ 22 = σ Chỉ S= (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S22 n1 + n2 − ước lượng không chệch cho σ Xét biến ngẫu nhiên X có phân phố Poisson X ~ P(λ ) e− λ λ x , x = 0,1, 2,… x! Giả sử cỡ mẫu n, tìm ước lượng hợp lý cực đại cho λ f ( x) = Xét X biến ngẫu nhiên có phân phối sau ⎧⎪(θ + 1) xθ , ≤ x ≤ f ( x) = ⎨ , ≠ ⎪⎩0 Tìm ước lượng hợp lý cực đại cho θ dựa cỡ mẫu n 6 Xét biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ ⎧c(1 + θ x) , −1 ≤ x ≤ f ( x) = ⎨ , ≠ ⎩0 a b c d Tìm số c Xác định ước lượng moment θ Chỉ θˆ = 3X ước lượng không chệch θ Tìm ước lượng hợp lý cực đại cho θ B TÌM KHOẢNG TIN CẬY Bài tốn tìm khoảng tin cậy: Xét biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f ( x,θ ) với tham số θ chưa biết Lấy mẫu ( X , …, X n ) , xét hai thống kê Θ1 = L( X ,…, X n ) Θ = H ( X ,…, X n ) Với số α nhỏ, khoảng L ≤ θ ≤ H gọi khoảng tin cậy cho θ với độ tin cậy γ = − α P ( Θ1 ≤ θ ≤ Θ2 ) = γ (1.1) Khi có mẫu cụ thể X = x1 ,…, X n = xn , khoảng tin cậy cho θ θ1 ≤ θ ≤ θ Các tốn tìm khoảng tin cậy cho tham số: Tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng Tìm khoảng tin cậy cho phương sai Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ Tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng: a Trường hợp biết trước phương sai: Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn, X ~ N ( μ , σ ) , σ biết trước Cần tìm khoảng tin cậy cho tham số μ với độ tin cậy γ Lấy mẫu ( X ,…, X n ) , tính X Đặt Z= (X − μ) n (2.1) σ Khi Z có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N(0,1) Khoảng tin cậy cho μ với độ tin cậy γ có dạng sau X − z1+γ σ ≤ μ ≤ X + z1+γ n σ n (2.2) 1+ γ Z ~ N (0,1) 2 (Định nghĩa: Xét biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N (0,1) Giá trị z1+γ gọi Với z1+γ phân vị mức phân vị mức ⎛ 1+ γ Z Φ ⎜ z1+γ ⎝ ⎞ 1+ γ , với Φ (.) hàm phân phối xác suất ⎟= ⎠ Z) Để tìm z1+γ , tra bảng chuẩn N(0,1) Đặt: ε = z1+γ σ , ε gọi sai số hay độ xác n Khoảng tin cậy cho μ : [ μ − ε, μ + ε ] Chứng minh: Giả sử X ~ N ( μ , σ ) với σ biết trước, tìm KTC cho μ với độ tin cậy γ Đặt Z = ( X − μ) n σ , Z ~ N(0,1) Do đó, ta viết P ( −c ≤ Z ≤ c ) = γ ⎛ ⎞ ( X − μ) n cσ ⎞ ⎛ cσ ⇔ P ⎜⎜ −c ≤ ≤ c ⎟⎟ = γ ⇔ P ⎜ − ≤ X −μ ≤ ⎟=γ σ n n⎠ ⎝ ⎝ ⎠ cσ cσ ⎞ ⎛ ⇔ P⎜ X − ≤μ≤X+ ⎟=γ n n⎠ ⎝ cσ cσ ⎤ ⎡ Do đó, theo (1.1): ⎢ X − ,X + ⎥ KTC với độ tin cậy γ cho μ n n⎦ ⎣ Tìm c: P ( −c ≤ Z ≤ c ) = γ ⇒ Φ (c) − Φ (−c) = γ ⇒ Φ (c) − [1 − Φ (c) ] = γ ⇒ 2Φ ( c ) − = γ ⇒ Φ ( c ) = => c phân vị mức 1+ γ ⎛ 1+ γ Z, đặt z1+γ = c ; Vậy Φ ⎜ z1+γ 2 ⎝ N(0,1) Khoảng tin cậy cho μ có dạng (2.1) ⎞ 1+ γ : tra bảng chuẩn ⎟= ⎠ b Trường hợp phương sai: * Khi n < 30: Giả sử X ~ N ( μ , σ ) , μ σ khơng biết Cần tìm KTC cho μ với ĐTC γ Lấy mẫu ( X ,…, X n ), n < 30 Đặt (X − μ) n S Khi đó, T đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Student với n – bậc tự Khoảng tin cậy cho μ với độ tin cậy γ có dạng sau T= X −t S S X t ≤ μ ≤ + n−1;1+γ n n−1;1+γ n (2.3) (2.4) S : sai số (Độ xác) n KTC: [ μ − ε, μ + ε ] Với ε = t 1+γ n −1; Với X S trung bình mẫu phương sai mẫu hiệu chỉnh tính từ ( X ,…, X n ) 1+ γ 1+ γ T Tra bảng Student với n – bậc tự Tìm t 1+γ : phân vị mức n −1; 2 ⎛ ⎞ 1+ γ với F hàm phân phối T) ( F ⎜ T ≤ t 1+γ ⎟ = n −1; ⎝ ⎠ * Khi n ≥ 30: Giả sử X ~ N ( μ , σ ) , μ σ khơng biết Cần tìm KTC cho μ với ĐTC γ Lấy mẫu ( X ,…, X n ), n ≥ 30 Đặt ( X − μ) n (2.5) Z= S Khi Z ~ N(0,1) Khoảng tin cậy cho μ với độ tin cậy γ có dạng sau X − z1+γ S S ≤ μ ≤ X + z1+γ n n (2.6) Khoảng tin cậy cho μ tương tự (2.1) thay phương sai σ phương sai mẫu hiệu chỉnh S Sai số (Độ xác): ε = z1+γ S n Tìm z1+γ , tra bảng chuẩn N(0,1) Tìm khoảng tin cậy cho phương sai: a Trường hợp biết trước kỳ vọng: Xét biến ngẫu nhiên X ~ N ( μ , σ ) μ biết trước, cần tìm KTC cho σ với ĐTC γ Lấy mẫu ( X ,…, X n ) Đặt n Y= ∑( X i =1 i − μ) (3.1) σ2 Y đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Chi – bình phương với n bậc tự do, Y ~ χ (n) Với γ cho trước, ta có n ⎛ ⎞ ( Xi − μ ) ∑ ⎜ ⎟ i =1 ⎜ ≤ y2 ⎟ = γ P ( y1 ≤ Y ≤ y2 ) = γ ⇔ P y1 ≤ σ2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n ⎛ n 2 ⎞ − X μ ( ) ( Xi − μ ) ⎟ ∑ ∑ i ⎜ ⎟=γ ⇔ P ⎜ i =1 ≤ σ ≤ i =1 y2 y1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Vậy, KTC cho phương sai σ với ĐTC γ có dạng n ∑( Xi − μ ) i =1 y2 Với y2 > y1 > P (Y < y1 ) = n ≤σ2 ≤ ∑( X i =1 i y1 n; 2 (3.2) 1− γ = P ( Y > y2 ) Với y1 = χ 1−γ , y2 = χ 1+γ , tra bảng Chi – bình phương mức n; − μ) 1− γ 1+ γ n bậc tự ; 2 1− γ y1 y2 b Trường hợp kỳ vọng: Xét biến ngẫu nhiên X ~ N ( μ , σ ) μ khơng biết, cần tìm KTC cho σ với ĐTC γ Lấy mẫu ( X ,…, X n ) Đặt n Y= ∑( X i =1 i −X) σ2 = (n − 1) S σ2 (3.3) Y đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Chi – bình phương với n-1 bậc tự do, Y ~ χ (n − 1) KTC cho phương sai σ với ĐTC γ có dạng ( n − 1) S ≤ σ ≤ ( n − 1) S y2 Với y2 > y1 > P (Y < y1 ) = y1 1− γ = P ( Y > y2 ) Với y1 = χ 1−γ , y2 = χ 1+γ , tra bảng Chi – bình phương mức n; n; (3.4) 1− γ 1+ γ ; n bậc tự 2 Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ: Xét biến ngẫu nhiên X ~ B(n, p) , p chưa biết Cần tìm KTC cho tham số p với độ tin cậy γ Đặt X − np = Z= npq ( X n − p ) n = ( pˆ − p ) npq n (4.1) pq Theo định lý giới hạn trung tâm, Z ~ N(0,1) Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p với ĐTC γ có dạng pˆ − z1+γ với pˆ = pˆ (1 − pˆ ) ≤ p ≤ pˆ + z1+γ n pˆ (1 − pˆ ) n (4.2) X 1+ γ Z: tra bảng chuẩn N(0,1) , z1+γ phân vị mức n Sai số (Độ xác): ε = z1+γ pˆ (1 − pˆ ) Bài tập: Gọi X sản lượng lúa tính tạ/ha Giả sử X có phân phối chuẩn Lấy mẫu 10 ruộng cho kết bảng sau: i 10 Xi 51 48 56 57 44 52 50 60 46 47 Hãy tìm khoảng tin cậy cho sản lượng lúa trung bình với độ tin cậy 99% Quan sát trọng lượng X (kg) nhóm niên ta có bảng số liệu sau: Trọng lượng Số người 42,5 – 47,5 47,5 – 52,5 14 52,5 – 57,5 28 57,5 – 62,5 18 62,5 – 67,5 12 a Tính tham số mẫu b Tìm KTC cho trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95% c Những niên có trọng lượng từ 55 kg trở lên gọi nhóm có sức khỏa loại A, tìm KTC cho tỷ lệ niên có sức khỏe loại A với ĐTC 98% 3 Mức hao phí nhiên liệu cho đơn vị sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Xét 25 sản phẩm ta thu kết sau: Xi ni 19,5 20 18 20,5 Hãy tìm KTC cho phương sai với độ tin cậy 95% trường hợp sau: a Biết kỳ vọng μ = 20 kg b Chưa biết kỳ vọng Tại vùng rừng nguyên sinh, người ta theo dõi lồi chim cách đeo vòng cho chúng Tiến hành đeo vòng cho 1000 Sau thời gian, bắt lại 200 thấy 40 có đeo vòng Hãy ước lượng số chim vùng rừng với độ tin cậy 99% Kiểm tra 100 sản phẩm lơ hàng thấy có 20 phế phẩm a Hãy tìm KTC 95% cho tỉ lệ phế phẩm b Nếu độ xác 0,04 độ tin cậy ước lượng c Nếu muốn có độ tin cậy 99% độ xác 0,04 phải kiểm tra sản phẩm  ... theo công thức (Xem file mẫu) ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ A- ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM I Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f ( x;θ ) , θ tham số chưa biết hàm mật độ,... -> Statistical để xem thêm hàm thống kê Lưu ý hàm áp dụng cho số liệu cột (trình bày từ A1 đến An) tức tương ứng với liệu ( x1 , , xn ) trình bày theo bảng thống kê đơn giản Nếu liệu trình bày... ngẫu nhiên cỡ n: ( X , , X n ) lấy từ X Một ˆ = h ( X , , X ) gọi ước lượng điểm θ Bài tốn tìm Θ ˆ gọi thống kê Θ n ˆ = θˆ ước lượng điểm cụ thể cho θ toán ước lượng điểm Và giá trị Θ Ví dụ -