Bài giảng xác suất thống kê ( Nguyễn Văn Thìn ) - Chương 2 pps

Tập hợp - Giải tích tổ hợpBiến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Các phép toán trên các biến cố Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Các công thức tính xác suất cơ bản.

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biến cố và xác suất ———————–

Quan hệ giữa các biến cố

Các phép toán trên các biến cố

Khái niệm và các định nghĩa về xác suất

Các công thức tính xác suất cơ bản

Phép thử ngẫu nhiên (random experiment)

là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( làm thí nghiệm)

và có thể lặp lại nhiều lần Kết quả của phép thử ta không xác

định trước được

Ví dụ

Điểm thi kết thúc môn {0, 1, 2, , 10}

Tuổi thọ của một linh kiện điện tử t > 0 giây

• Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phépthử gọi là không gian mẫuhay không gian các biến cố sơ cấp(sample space), ký hiệu Ω.

• Mỗi kết quả của phép thử ngẫu nhiên, ω, (ω ∈ Ω) gọi là mộtbiến cố sơ cấp(simple event)

• Một tập con của không gian mẫu có nhiều biến cố được gọi làbiến cố ngẫu nhiên(event) Kí hiệu là A, B, C ,

• Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử là biến cố chắc

chắn, ký hiệu Ω

• Biến cố luôn không xảy ra gọi là biến cố bất khả( haybiến cốkhông thể có ) (empty event), kí hiệu Ø

Gọi Ai là biến cố được i chấm i = 1, 6
,

B là biến cố được số chấm chia hết cho 3,

C =" Số chấm chẵn" ,

P2 =" Số chấm nguyên tố chẵn" ,

Khi đó ta có A2⊂ C , A3 ⊂ B, A2⊂ P2, P2 ⊂ A2

Biến cố tổng (Union)

Biến cố tổng của A và B, ký hiệu A + B hay A ∪ B là biến cố xảy

ra nếu có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra

Biến cố tích (intersection)

Biến cố tích của A và B, ký hiệu A.B,là biến cố xảy ra nếu A và Bcùng đồng thời xảy ra

Biến cố hiệu

Biến cố hiệu của A và B, ký hiệu A \ B, là biến cố xảy ra nếu Axảy ra nhưng B không xảy ra

Các biến cố xung khắc (mutually exclusive)

A xung khắc với B nếu A và B không đồng thời xảy ra, A.B = Ø

Dãy các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi

một nếu Ai.Aj = Ø, ∀i 6= j

Biến cố đối lập ( biến cố bù) (complement)

Biến cố đối lập của A, ký hiệu A, là biến cố xảy ra khi A không xảy

ra và ngược lại, nghĩa là

(

A + A = ΩA.A = Ø hay A = Ω \ A.

Tính chất

A + B = A.BA.B = A + B

Hệ đầy đủ các biến cố (exhaustive)

Hệ đầy đủ các biến cố Dãy n các biến cố A1, A2, , An được gọi

là một hệ đầy đủ các biến cố nếu:

(

Ai.Aj = Ø, ∀i 6= j , i , j = 1, n

A1+ A2+ · · · + An= Ω

Ví dụ

Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một cái bia Gọibiến cố Ai = " xạ thủ thứ i bán trúng bia" , i = 1, 2, 3 Hãy biểudiễn Ai các biến cố sau:

1 A = " Bia bị trúng đạn"

2 B = " Bia không bị trúng đạn"

3 C = " Bia bị trúng 3 viên đạn"

4 D =" Bia bị trúng 1 viên đạn"

Khái niệm về xác suất

Xác suất của biến cố A là một con số , số đó đặc trưng cho khảnăng xuất hiện của biến cố A trong phép thử tương ứng Ký hiệu

Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Nếu trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả

năng, nghĩa là P(ω1) = P(ω2) = = P(ωn) = 1

n, trong đó có mbiến cố thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của A, ký hiệu, P (A),

Ví dụ

Trong một hộp có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đỏ giống hệt nhau

về kích thước Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất

để được

1 3 quả cầu đỏ

2 2 quả cầu trắng và 1 quả đỏ

Tổng số quả cầu trong hộp là 8 Mỗi cách lấy ra 3 quả cầu ứng vớiviệc chọn một tổ hợp chập 3 từ 8 phần tử Do đó có tất cả các

biến cố sơ cấp đồng khả năng là card (Ω) = C3

8

1 ĐặtA = " được 3 quả cầu đỏ"

Xác suất xảy ra biến cố A là : P (A) = card (A)

card (Ω) =

C3 5

C3 8

= 10

56.

2 ĐặtB = " được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đỏ"

2 quả cầu trắng có thể chọn từ 3 quả cầu trắng trong hộp

Ưu điểm và nhược điểm

• Ưu điểm : tính được chính xác giá trị của xác suất mà khôngcần tiến hành phép thử

• Nhược điểm: do đòi hỏi phải có hữu hạn các biến cố và tínhđồng khả năng của chúng mà trong thực tế lại có nhiều phépthử không có tính chất đó Vì vậy, cần đưa ra định nghĩa khác

về xác suất để khắc phục những hạn chế trên

Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê‘

Thực hiện phép thử n lần Giả sử biến cố A xuất hiện m lần Khi

đó m gọi làtần số xuất hiện biến cố A trong n phép thử, và tỷ số

m

n được gọi là tần suấtxuất hiện biến cố A trong n phép thử,kýhiệu, fn(A) = m

n.Thực hiện phép thử vô hạn lần, (n → ∞) tần suất xuất hiện biến

cố A dần về một số xác định gọi là xác suất của biến cố A

P (A) = fn(A) = m

n

Ví dụ

Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung đồng tiền,

người ta tiến hành tung đồng tiền đó nhiều lần và thu được kết

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————–

Khái niệm và các định nghĩa về xác suất

Ưu điểm và nhược điểm

• Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng

khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được

ứng dụng rộng rãi

Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng

α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra

trong phép thử

• Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng

β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy

ra trong phép thử

Ưu điểm và nhược điểm

• Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng

khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy đượcứng dụng rộng rãi

• Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử Trong

nhiều bài toán thực tế điều này không cho phép do điều kiện

và kinh phí làm phép thử

Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng

α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ratrong phép thử

• Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng

β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy

ra trong phép thử

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần

tử và được biểu diễn thành một miền hình học Ω có độ đo xác

định (độ dài, diện tích, thể tích) Biến cố A ⊂ Ω được biểu diễnbởi miền hình học A Khi đó, xác suất xảy ra A được xác định bởi:

P(A) = Độ đo của miền A

Độ đo của miền Ω

Ví dụ

Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong hình vuông cạnh a Tính xácsuất để M thuộc hình tròn nội tiếp hình vuông trên

Công thức cộng xác suất

1 Cho các biến cố tùy ý:

1.1 A, B tùy ý ta có P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B)

1.2 A 1 , A 2 , , A n :

P

n X

i =1

P (A i ) − X

1≤i <j ≤n

P (A i A j ) + · · · + + (−1)n−1P (A 1 A 2 A n )

2 Cho các biến cố xung khắc

2.1 A, B xung khắc ta có P (A + B) = P (A) + P (B)

2.2 A 1 , A2, , An xung khắc từng đôi một (A i Aj = Ø, ∀i 6= j )

P

n X

A i

!

=

n X

P (A i )

Qua điều tra trong sinh viên, ta biết 40% học thêm ngoại ngữ,

55% học thêm tin học và 30% học thêm cả hai môn này Chọn

ngẫu nhiên một sinh viên Tính xác suất gặp được

1 Sinh viên học thêm (ngoại ngữ hay tin học)

2 Sinh viên không học thêm môn nào cả

Bài giải

A="gặp được sinh viên học thêm ngoại ngữ",

B="gặp được sinh viên học thêm tin học"

Khi đó A ∩ B="gặp được sinh viên học thêm cả hai môn ngoại

ngữ và tin học", và

P(A) = 0.4, P(B) = 0.55, P(A ∩ B) = 0.3

Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0 Xác suất của biến cố A vớiđiều kiện biến cố B đã xảy ra là

Công thức nhân xác suất

Với các biến cố tùy ý A và B ta có

P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

Công thức nhân xác suất (tổng quát)

Cho Ai, (i = 1, , n) là họ n biến cố khi đó

P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2 An−1)

với mọi tổ hợp chập 2 (i , j ), chập ba (i , j , k), của n chỉ số.

Công thức xác suất đầy đủ

Cho Ai, (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cốnào đó thì

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + + P(B|An)

Công thức xác suất Bayes

Cho Ai, (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cốnào đó sao cho P(B) > 0.Khi đó với mọi i (i = 1, , n)

P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)

P(Ai)P(B|Ai)

Pn

i =1P(Ai)P(B|Ai)

Ví dụ

Một công ty sản xuất bóng đèn có hai nhà máy sản xuất I và II.Biết rằng nhà máy II sản xuất gấp 4 lần nhà máy I Biết số phế

phẩm tương ứng của hai nhà máy là 10 % và 20 %

• Hãy tìm xác suất để khi ta mua 1 bóng đèn thì trúng phải

bóng đèn hư

• Biết rằng đã mua phải bóng đèn hư Hãy tìm xác suất để

bóng hư này là do nhà máy I sản xuất