Bài giảng xác suất thống kê ( Nguyễn Văn Thìn ) - Chương 3 pps

Nội dungTập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nh

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Nội dung

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biến cố và xác suất

Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó

có thể nhận là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập hợp các giá trị mà nónhận được là một khoảng dạng (a, b) hoặc toàn bộ R

Ví dụ

Các biến ngẫu nhiên sau là biến ngẫu nhiên liên tục:

a Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó

b Thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử

Quy luật phân phối xác suất

Định nghĩa

Một hệ thức cho phép biễu diễn mối quan hệ giữa các giá trị cóthể có của biến ngẫu nhiên với xác suất nhận các giá trị tương ứnggọi là quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (xác định trên

không gian các biến cố sơ cấp Ω) là hàm F (x ) được định nghĩa

với mọi x ∈ (−∞, +∞)

Tính chất

Hàm phân phối xác suất F (x ) có các tính chất cơ bản sau

ii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị có thể x1, x2, , xn, với xác suất tương ứng là P (X = xi), ta đặt

f (x ) =



P (X = x ) khi x ∈ {x1, , xn, }

0 khi x /∈ {x1, , xn, }

gọi là hàm giá trị xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị

x , để đơn gia ta gọi là hàm xác suất

Trong kết quả phép thử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc phảilấy một trong các giá trị x1, , xn, cho nên hàm phân phối xácsuất

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Lý luận tương tự như trên ta thu được

Để mô tả biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nào đó với xác suất

tương ứng là bao nhiên thì người ta dùng bảng phân phối xác suất.Bảng phân phối xác suất có hai dòng

• Dòng thứ nhất là các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X

• Dòng thứ hai là xác suất biến ngẫu nhiên X nhận các giá trịtương ứng

Bảng phân phối có dạng như sau:

P f (x1) f (x2) · · · f (xn) · · ·

Ví dụ

Một người đi thi bằng lái xe, xác suất đậu của anh ta ở mỗi lần thi

là 0.3 Anh ta sẽ thi đến khi đạt được bằng lái xe thì thôi Gọi Z là

số lần người đó dự thi Lập bảng phân phối xác suất của Z

của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x ) là

Ví dụ

Cho hàm

f (x ) =

(2x nếu x ∈ [0, 1]

b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất

400 giờ Tính tỉ lệ loại A

Kỳ vọng

Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc)

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục)

Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x ),

Ví dụ

Cho X là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ

f (x ) =

(2x nếu x ∈ [0, 1]

Tính chất của kỳ vọng

Cho X , Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và C ∈ R thì kỳ vọng củabiến ngẫu nhiên có các tính chất sau

i) E(C ) = C

ii) E(CX ) = C E(X ).

iii) E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).

iv) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì

E(XY ) = E(X )E(Y )

Trong thực tế, để tính phương sai của biến ngẫu nhiên X ta

thường sử dụng công thức Var (X ) = E(X2) − (E(X ))2

Định nghĩa (Độ lệch chuẩn)

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu σ(X ), là căn bậchai của Var (X )

σ(X ) = Var (X )

Tính chất phương sai

Cho hai biến ngẫu nhiên X , Y và hằng số thực C ∈ R, phương sai

có các tính chất sau

i) Var (C ) = 0.

ii) Var (CX ) = C2Var (X ).

iii) Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y )

Ý nghĩa của Phương sai

• Phương sai là kỳ vọng của bình phương các sai lệch giữa X vàE(X ), nói cách khác phương sai là trung bình bình phương sailệch, nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫunhiên xung quanh giá trị trung bình

• Trong công nghiệp phương sai biểu thị độ chính xác trong sảnxuất Trong canh tác, phương sai biểu thị mức độ ổn định củanăng suất