Bài giảng xác suất thống kê ( Nguyễn Văn Thìn ) - Chương 6 doc

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Ước lượng tỷ lệ của tổng thể. Xác định kích thước mẫu Xác định độ tin cậy Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Giới thiệu về bài toán ước lượng thống kê Bài toán ước lượng Các tham số đặc trưng của tổng thể như trung bình tổng thể, tỷ lệ tổng thể, phương sai tổng thể, được sử dụng rất nhiều trong phân tích kinh tế xã hội và các lĩnh vực khác. Nhưng các tham số đăc trưng này thường là chưa biết. Vì vậy đặt ra vấn đề cần ước lượng chúng bằng phương pháp mẫu. Phát biểu bài toán Cho đại lượng ngẫu nhiên X có thể đã biết một phần hoặc hoàn toàn chưa biết quy luật phân phối xác suất và chưa biết tham số θ nào đó của nó. Hãy ước lượng tham số θ bằng phương pháp mẫu. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Giới thiệu về bài toán ước lượng thống kê Các loại ước lượng Vì θ là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ. Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng điểm. Ngoài dùng ước lượng điểm ta còn dùng ước lượng khoảng. Tức là chỉ ra môt khoảng nào đó có thể chứa θ. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Phương pháp khoảng tin cậy Mô tả phương pháp khoảng tin cậy: Để ước lượng tham số θ của đại lượng ngẫu nhiên X , từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên (X 1 , , X n ) Chọn thống kê ˆ θ = f (X 1 , X 2 , , X n , θ) sao cho mặc dù chưa biết giá trị của θ nhưng qui luật phân phối xác suất của ˆ θ vẫn hoàn toàn xác định. Do đó với xác suất α khá bé ta có thể tìm được hai số a, b thõa mãn P(a ≤ ˆ θ ≤ b) ≤ 1 − α. • Khoảng ( ˆ θ 1 , ˆ θ 2 ) được gọi là khoảng tin cậy của θ. • (1 − α) gọi là độ tin cậy của ước lượng. • l = ˆ θ 2 − ˆ θ 1 gọi là độ dài khoảng tin cậy. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Bài toán Cho tổng thể với trung bình µ với phương sai có thể đã biết hoặc chưa biết. Từ mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) hãy ước lượng µ với độ tin cậy 1 − α. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn), σ 2 đã biết Xét đại lượng ngẫu nhiên Z = ¯ X − µ σ √ n = √ n( ¯ X − µ) σ Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là  ¯ X − z 1− α 2 σ √ n , ¯ X + z 1− α 2 σ √ n  =  ¯ X − , ¯ X +   với  = z 1− α 2 σ √ n được gọi là độ chính xác của ước lượng. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30, σ 2 chưa biết Ta có thể dùng ước lượng của Var(X ) là S 2 để thay thế cho σ 2 Xét đại lượng ngẫu nhiên Z = ¯ X − µ S √ n = √ n( ¯ X − µ) S Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là  ¯ X − z 1− α 2 S √ n , ¯ X + z 1− α 2 S √ n  =  ¯ X − , ¯ X +   với  = z 1− α 2 S √ n . Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n < 30, σ 2 chưa biết, X tuân theo quy luật phân phối chuẩn. Xét đại lượng ngẫu nhiên T = ¯ X − µ S √ n = √ n( ¯ X − µ) S Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là  ¯ X − t 1− α 2 S √ n , ¯ X + t 1− α 2 S √ n  =  ¯ X − , ¯ X +   với  = t 1− α 2 S √ n . Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng tỷ lệ của tổng thể. Bài toán Cho tổng thể X , trong đó tỷ lệ cá thể mang đặc tính A nào đó là trong tổng thể là p. Từ mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) hãy ước lượng p với độ tin cậy 1 − α. [...]... s 2 Từ đó xác định được kích thước mẫu theo công thức n = (z1−α/2 )2 s2 2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Xác định kích thước mẫu Xác định kích thước mẫu khi ước lượng tỷ lệ tổng thể a Nếu biết f ( ớc lượng điểm của p) từ công thức = z1−α/2 f (1 − f ) n ta suy ra n = (z1−α/2 )2 f (1 − f ) 2 b Nếu chưa biết f , ( ớc lượng... 2 f (1 − f ) , f + z1− α 2 n f (1 −f ) n f (1 − f ) = f − ,f + n được gọi là độ chính xác của ước lượng Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Xác định kích thước mẫu Ta thấy chất lượng của ước lượng phản ánh qua độ tin cậy 1 − α và độ chính xác Độ tin cậy và độ chính xác càng cao thì ước lượng đó càng tốt Nhưng độ chính xác lại... độ tin cậy (1 − ) sẽ là bao nhiêu? Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Xác định độ tin cậy Xác định độ tin cậy khi ước lượng trung bình tổng thể a Nếu biết Var (X ) = σ 2 thì từ công thức σ = z1−α/2 √ n ta suy ra √ n z1−α/2 = σ sau khi xác định được z1−α/2 ta suy ra độ tin cậy 1 − α (tra bảng) b Nếu chưa biết Var (X ) = σ 2 ,... A trong n phép thử thì F ∼ B(1, p) Gọi (F1 , , Fn ) là một mẫu ngẫu nhiên của F , khi đó 1 ¯ F = n n Fi = f i=1 Xét đại lượng ngẫu nhiên Z= ¯ F −p pq n √ = ¯ n(F − p) √ pq Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là f − z1− α 2 p(1 − p) , f + z1− α 2 n p(1 − p) n ¯ Trong đó f chính là F... lượng điểm của p) Từ công thức = z1−α/2 pq n ta suy ra n = (z1−α/2 )2 pq 2 Nhưng do pq đạt cực đại khi p = q = 0.5 nên n ≥ 0.25(z1−α/2 )2 2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Xác định độ tin cậy Khi ước lượng các số đặc trưng của tổng thể bằng các số liệu quan sát của một mẫu kích thước n, nếu ta muốn độ chính xác đạt được ở... cậy 1 − α và độ chính xác đạt được ở một mức độ nào đó cho trước thì cần kích thước mẫu n tối thiểu là bao nhiêu? Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Xác định kích thước mẫu Xác định kích thước mẫu khi ước lượng trung bình tổng thể a Nếu biết Var (X ) = σ 2 , từ công thức σ = z1−α/2 √ n ta suy ra n = (z1−α/2 )2 σ2 2 b Nếu chưa... vào mẫu đã cho để tính s Từ đó xác định z1−α/2 theo công thức √ n z1−α/2 = s Rồi suy tiếp ra độ tin cậy 1 − α như đã làm ở trên Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Xác định độ tin cậy Xác định độ tin cậy khi ước lượng tỷ lệ tổng thể Từ công thức = z1−α/2 f (1 − f ) n ta suy ra z1−α/2 = n f (1 − f ) Từ đây ta suy ngược ra 1 −... hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Ước lượng tỷ lệ của tổng thể Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn, σ 2 đã biết: Quan sát sự xuất hiện của biến cố "Cá thể mang đặc tính A" trong n phép thử độc lập Nếu có m lần xuất hiện biến cố trên thì tần suất f = m là một ước lượng điểm của xác suất P(A) = . hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Bài Giảng Môn học Xác Suất. nhiên (X 1 , , X n ) Chọn thống kê ˆ θ = f (X 1 , X 2 , , X n , ) sao cho mặc dù chưa biết giá trị của θ nhưng qui luật phân phối xác suất của ˆ θ vẫn hoàn toàn xác định. Do đó với xác suất α. (z 1−α/2 ) 2 s 2  2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Xác