... khả tích nếu: lim Sn < ∞ d →0 với phân hoạch tùy ý D Tích phân kép f D giới hạn có Sn Sn ∫∫ f ( x , y )ds = dlim →0 D Phân hoạch D theo đường // ox, oy Dij Khi f khả tích, việc tính tích phân. .. diện tích Dk miền Dk d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn điểm Dk d = max{d (Dk )} k =1, n Đường kính phân hoạch Mk chọn tùy ý Dk f(Mk) ∆Sk = S ( Dk ) D Mk n Sn = ∑ f (Mk )∆Sk k =1 Tổng tích phân. .. xỉ Ω hình trụ Thể tích xấp xỉ hình trụ Vij ≈ S (Dij ) × f ( xij* , y ij* ) V (Ω) = ∑Vij i, j Dij ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định miền D đóng bị chận D Phân hoạch D thành
Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI Phần 1: TÍCH PHÂN KÉP BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ Ω được giới hạn trên bởi mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy. Tìm thể tích Ω. D z z = f(x, y) D x y Xấp xỉ Ω bằng các hình trụ con Thể tích xấp xỉ của hình trụ con Vij ≈ S (Dij ) × f ( xij* , y ij* ) V (Ω) = ∑Vij i, j Dij ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D đóng và bị chận. D Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, …, Dn ∆Sk là diện tích Dk của miền con Dk. d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk. d = max{d (Dk )} k =1, n Đường kính phân hoạch Mk được chọn tùy ý trong Dk f(Mk) ∆Sk = S ( Dk ) D Mk n Sn = ∑ f (Mk )∆Sk k =1 Tổng tích phân của f n Sn = ∑ f (Mk )∆Sk k =1 f khả tích nếu: lim Sn < ∞ d →0 với phân hoạch tùy ý của D Tích phân kép của f trên D là giới hạn nếu có của Sn Sn ∫∫ f ( x , y )ds = dlim →0 D Phân hoạch D theo các đường // ox, oy Dij Khi f khả tích, việc tính tích phân không phụ thuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy. Dk là hình chữ nhật với các cạnh ∆x, ∆y ⇒ ∆Sk = ∆x. ∆y ⇒ Thay cách viết tp kép ∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f ( x , y )ds D D Nhận dạng hàm khả tích • Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0) ∈ (C) nếu y’(x) liên tục tại x0. • (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành hữu hạn các đoạn trơn. Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên D. Tính chất hàm khả tích Cho D là miền đóng và bị chận 1 / S (D) = ∫∫1dxdy (Diện tích D) D 2 / ∫∫ c.f ( x , y )dxdy = c.∫∫ f ( x , y )dxdy D D ∫∫ (f + g )dxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ gdxdy D D D 3 / D = D1 U D2 , D1 vaø D2 khoâng daãm nhau (toái ña chæ dính bieân) ∫∫ fdxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ fdxdy D1 UD2 D1 D2 Định lý giá trị trung bình D là miền liên thông nếu 2 điểm tùy ý trong D có thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D. Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên thông D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0) ∈ D sao cho 1 f (M0 ) = f ( x , y )dxdy ∫∫ S (D) D 1 f ( x , y )dxdy ∫∫ S (D ) D gọi là giá trị trung bình của f trên D. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP y = y 2 (x) a ≤ x ≤ b D: y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ) D b y2 (x ) y = y1 ( x ) a Cách viết: b ∫∫ D ∫a y ∫( x ) f ( x , y )dy dx 1 b ∫ f ( x , y )dxdy = dx a y2 (x) ∫ y1 ( x ) f ( x , y )dy d x = x2 ( y ) c ≤ y ≤ d D: x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ) D c d x2 ( y ) x = x1 ( y ) Cách viết: ∫∫ D f ( x , y )dx ÷dy ÷ c x1 ( y ) ∫ ∫ d ∫ f ( x , y )dxdy = dy c x2 ( y ) ∫ x1 ( y ) f ( x , y )dx VÍ DỤ 1/ Tính I = ∫∫ xydxdy D với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1) CÁCH 1 B 1 y= x A O 1 0 ≤ x ≤1 D: 0 ≤ y ≤ x 1 x 1 2 x y I = dx xydy = x dx 2 0 0 0 0 ∫ ∫ ∫ 1 3 x 1 = dx = 2 8 ∫ 0 B 1 y= x D 1 A O I = ∫∫ xydxdy 1 CÁCH 2 0 ≤ y ≤1 D: y ≤ x ≤ 1 1 ∫ ∫ = dy xydx 0 1 y 2 1 x = y dy 2 y 0 ∫ 1 2 1− y 1 = y dy = 2 8 ∫ 0 2/ Tính I = ∫∫ ( x + y )dxdy D với D: x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 y = 1− x 2 1− x 2 −1 0 I = ∫ dx ∫ ( x + y )dy 1 -1 1 1 2 y = xy + 2 0 −1 ∫ 1− x 2 dx −1 ≤ x ≤1 1 2 D: 2 2 1− x 2 0 ≤ y ≤ 1 − x = ∫ x 1 − x + dx = −1 2 3 y = 1− x 2 I = ∫∫ ( x + y )dxdy D 1− y 2 1 ∫ I = dy -1 1 0 ≤ y ≤1 D: 2 2 − 1 − y ≤ x ≤ 1 − y 0 ∫ ( x + y )dx 1− y 2 1 ∫0 2 = 2y 1 − y dy 2 = 3 I = ∫∫ ( x + 1)dxdy 3/ Tính D với D giới hạn bởi các đường y = x, y = x2 y=x y = x 0 ≤ x ≤ 1 D: 2 x ≤ y ≤ x 2 1 x 0 x2 I = ∫ dx ∫ ( x + 1)dy 1 2 = ∫ ( x + 1)( x − x )dx 0 1 1 = ∫ ( x − x )dx = 4 0 3 4/ Tính I = ∫∫ ( x + 1)dxdy D với D giới hạn bởi các đường y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 2 y 2 y −2≤ x ≤ 2− D : 48 8 − 24 ≤ y ≤ 24 y2 – 24x = 48 y2 + 8x = 16 5/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường 2 y = (2 − x ) x , y = x − 2 x Hoành độ giao điểm (2 − x ) x = x 2 − 2 x ⇔ x = 0, x = 2 x ≥ 0 0 ≤ x ≤ 2 D: 2 x − 2 x ≤ y ≤ (2 − x ) x 2 S (D) = ∫∫D ∫0 dxdy = dx (2 − x ) x ∫ x 2 −2 x dy 2y xe dxdy 6/ Tính 4−y D miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 4 – x2, x ≥ 0, ∫∫ 4− x 2 2 4 y = 4−x 2 ∫ I = dx 0 ∫ 0 2y xe dy 4−y Đổi thứ tự 4 2 ∫ I = dy 0 4− y ∫ 0 xe 2 y dx 4−y Khó lấy nguyên hàm 4− y 4 ∫ I = dy 0 4 ∫ 0 2y xe dx 4−y 2 4− y e x = 4 − y 2 0 0 ∫ 4 2y 2y e = dy 2 ∫0 8 dy e 1 = − 4 4 7/ Tính ∫∫ x − y dxdy D miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2 2 D2 D1 − 2 2 − 2 y = x 1 2 6/ Tính ∫∫ x − y dxdy D miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2 I= ∫∫D 2 ( y − x )dxdy D1 1 + ∫∫ D 2 ( x − y )dxdy D2 − 2 y = x 1 2 7/ Vẽ miền lấy tích phân và đổi thứ tự lấy tp trong các VD sau 1 2− y 0 y 4 4y 0 y 2 2− y 1 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx 2 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx 3 / I = ∫ dy 1 ∫ f ( x , y )dx − 2− y 1 2− y 0 y 1 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y 1 2− y 0 y 1 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y x = 2−y 1 2− y 0 y 1 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y x = 2−y x y →2 − y y 0 →1 1 2− y 0 y 1 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y x = 2−y y →2 − x 0 0 →x x y x → 2 − y x →2 1 →1 0 y 0 →1 y 2 [...]...Khi f khả tích, việc tính tích phân khơng phụ thuộc vào phân hoạch Do đó có thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy Dk là hình chữ nhật với các cạnh ∆x, ∆y ⇒ ∆Sk = ∆x ∆y ⇒ Thay cách viết tp kép ∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f ( x , y )ds D D Nhận dạng hàm khả tích • Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0) ∈ (C) nếu y’(x) liên tục... = 3 I = ∫∫ ( x + 1)dxdy 3/ Tính D với D giới hạn bởi các đường y = x, y = x2 y=x y = x 0 ≤ x ≤ 1 D: 2 x ≤ y ≤ x 2 1 x 0 x2 I = ∫ dx ∫ ( x + 1)dy 1 2 = ∫ ( x + 1)( x − x )dx 0 1 1 = ∫ ( x − x )dx = 4 0 3 4/ Tính I = ∫∫ ( x + 1)dxdy D với D giới hạn bởi các đường y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 2 y 2 y −2≤ x ≤ 2− D : 48 8 − 24 ≤ y ≤ 24 y2 – 24x = 48 y2 + 8x = 16 5/ Tính diện tích miền D giới hạn... tại x0 • (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành hữu hạn các đoạn trơn Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên D Tính chất hàm khả tích Cho D là miền đóng và bị chận 1 / S (D) = ∫∫1dxdy (Diện tích D) D 2 / ∫∫ c.f ( x , y )dxdy = c.∫∫ f ( x , y )dxdy D D ∫∫ (f + g )dxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ gdxdy D D D 3 / D = D1 U D2 , D1 và D2 không dẫm nhau (tối đa... tục trên tập đóng, bị chận, liên thơng D Khi đó tồn tại M0(x0, y0) ∈ D sao cho 1 f (M0 ) = f ( x , y )dxdy ∫∫ S (D) D 1 f ( x , y )dxdy ∫∫ S (D ) D gọi là giá trị trung bình của f trên D CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP y = y 2 (x) a ≤ x ≤ b D: y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ) D b y2 (x ) y = y1 ( x ) a Cách viết: b ∫∫ D ∫a y ∫( x ) f ( x , y )dy dx 1 b ∫ f ( x , y )dxdy = dx a y2 (x) ∫ y1 ( x ) f ( x , y )dy... = 0, y= 2 – x2 2 D2 D1 − 2 2 − 2 y = x 1 2 6/ Tính ∫∫ x − y dxdy D miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2 I= ∫∫D 2 ( y − x )dxdy D1 1 + ∫∫ D 2 ( x − y )dxdy D2 − 2 y = x 1 2 7/ Vẽ miền lấy tích phân và đổi thứ tự lấy tp trong các VD sau 1 2− y 0 y 4 4y 0 y 2 2− y 1 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx 2 / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx 3 / I = ∫ dy 1 ∫ f ( x , y )dx − 2− y 1 2− y 0 y 1 / I = ∫ dy ∫ f ( x... y ) Cách viết: ∫∫ D f ( x , y )dx ÷dy ÷ c x1 ( y ) ∫ ∫ d ∫ f ( x , y )dxdy = dy c x2 ( y ) ∫ x1 ( y ) f ( x , y )dx VÍ DỤ 1/ Tính I = ∫∫ xydxdy D với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1) CÁCH 1 B 1 y= x A O 1 0 ≤ x ≤1 D: 0 ≤ y ≤ x 1 x 1 2 x y I = dx xydy = x dx 2 0 0 0 0 ∫ ∫ ∫ 1 3 x 1 = dx = 2 8 ∫ 0 B 1 y= x D 1 A O I = ∫∫ xydxdy 1 CÁCH 2 0 ≤ y ≤1 D: y ≤ x ≤ 1 1 ∫ ∫ =