bài giảng đạo hàm và vi phân

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN. Bài toán: Vận động viên chạy và bơi phối hợp. Hỏi: chạy bao xa thì bắt đầu bơi sẽ về đích nhanh nhất? 4m/s 1.5m/s 200m 50m x 200-x ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho y = f(x) xác định trong (a, b) ∋ x 0 , xét tỷ số 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x x f x x x x x ∆ − + ∆ − = = ∆ − ∆ Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x 0 hay ∆x → 0 thì f có đạo hàm tại x 0 . Đặt 0 0 0 ( 0) ( ) ( ) lim x x x f x f x x → ∆ → ∆ ′ = ∆ 0 ( ) tan f x x ϕ ∆ = ∆ 0 tan ( )f x α ′ = x → x 0 f’(x 0 ) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x 0 , f(x 0 )) ∆x ∆f(x 0 ) ϕ α x 0 x Đạo hàm trái tại x 0 : 0 0 0 ( 0 ) ( ) ( ) lim x x x f x f x x − − − → ∆ → ∆ ′ = ∆ 0 0 0 ( 0 ) ( ) ( ) lim x x x f x f x x + + + → ∆ → ∆ ′ = ∆ Đạo hàm phải tại x 0 : f có đạo hàm tại x 0 0 0 ( ) ( )f x f x − + ′ ′ =⇔ Cách tính đạo hàm 1.Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp). 2.Nếu tại x 0 , biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa. 3.Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x 0 : tính bằng định nghĩa. 4.Nếu f(x) = u(x) v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’ Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra ln ( ) 2 ln 2( ln ) x x f x x x ′ ′ = (1) ln 2f ′ = ln 1/ ( ) 2 x x f x = tại x = 1 ln 2 ln 2(ln 1) x x x= + , 0 ( ) , 0 x x f x x x ≥  =  − <  0 ( ) (0) 0 x f x f x x − − = − 2 / ( )f x x= tại x = 0 1 x → 0 - −1 ⇒f ’(0) không tồn tại x → 0 + 2 1 sin , 0 4 / ( ) 0, 0 x x f x x x  ≠  =   =  ( ) (0) 0 f x f x − − 2 1 sin 0x x x − = 1 sinx x = 0 0 x→ → (0) 0f ′ ⇒ = 2 , 1 5 / ( ) 2 1, >1 x x f x x x  ≤ =  −  1 ( ) (1) lim 1 x f x f x − → − − 2 1 1 lim 1 x x x − → − = − 2= 1 ( ) (1) lim 1 x f x f x + → − − 2= 1 2 1 1 lim 1 x x x + → − − = − tại x = 1 (1) 2f ′ ⇒ = [...]... dx Đạo hàm và vi phân f khả vi tại x0 ⇔ f có đạo hàm tại x0 df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x Cách vi t thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx Cách vi t khác của đạo hàm: df ( x0 ) = f ′( x0 ) dx Ví dụ 1.Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia ∆f và vi phân df tại x = 1 với ∆x =0.01 ∆f (1) = f (1 + ∆x) − f (1) 2 2 = 3(1 + ∆x) − (1 + ∆x) − (3.1 − 1) = 5∆x + 3(∆x) 2 = 5 × 0.01 + 3(0.01) df ( 1) 2 = 0.0503 2.Tìm vi phân. .. có đạo hàm tại x0, đặt f ′′( x0 ) = ( f ′( x) ) ′ Có thể vi t: x = x0 f ′′( x) = ( f ′( x) ) ′ Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) f (n)  f ( n −1) ( x) ′ ( x) =   Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1: f ( x ) = arctan x 1 1 1 1  1 ′ =− 2 f ′( x) =  ÷ 2 2 =− 2  x x 1+ x 1+ x 1 1+  ÷ 2  x x  − 1 ′ f ′′( x) =  2÷  1+ x  1 ⇒ f ′′(1) = 2 = 2x (1+ x ) 2 2 Đạo. .. ′ = Đạo hàm hàm cho theo tham số Cho các hàm số :  x = x (t )   y = y (t ) Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x) * x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0 y′( x) = y′(t ).t ′( x) y′(t ) y′( x) = x′(t ) Ví dụ  x(t ) = t.et − 1 Cho :  Tính y’(x) tại x = −1  y (t ) = t 2 + t   y′(t ) 2t + 1 y′( x) = = t x′(t ) e + t.et x = −1 ⇔ t.et – 1 = – 1 ⇔ t = 0 ⇒ y′(−1) = 1 ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f(x) có đạo hàm. .. y0 = f(x0), f −1 có đạo hàm và (f −1 )′( y0 ) = Ta thường vi t: ( f −1 1 f ′( x0 ) 1 )′ = f′ Đạo hàm các hàm lượng giác ngược  π π 1 y = arcsin x, x ∈(−1, 1)⇔ x = sin y, y ∈  − , ÷  2 2 1 1 1 1 = y′( x) = = = 2 cos y x′( y ) 1 − sin 2 y 1− x  π π 2 y = arctan x, x∈R ⇔ x = tan y, y ∈  − , ÷  2 2 1 1 1 = = y′( x) = 2 x′( y ) 1 + tan y 1 + x 2 Bảng công thức đạo hàm các hàm mới ( arcsin x ).. .Đạo hàm và liên tục f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0 VD: tìm các hằng số a, b để f có đạo hàm tại x0 (Nên xét tính liên tục tại x0 trước) a sin x + b cos x + 1, x < 0 f ( x) =  2 x + 1, x ≥ 0 Tìm a, b để f có đạo hàm tại x = 0 a sin x + b cos x + 1, x < 0 f ( x) =  2 x + 1, x ≥ 0 f liên tục tại x... 2 2 3 3 (3t − 1) (3t − 1) SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi tại x0 nếu tồn tại một hằng số A sao cho ∆y = f ( x) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o( x − x0 ) hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o(∆x ) Khi đó đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x gọi là vi phân của f tại x0 Quan sát y o ( ∆x ) M ( x0 , y0 ) y0 x0 α ∆x ∆y tan α ∆x = dy x Ví dụ Cho f(x) = x2 , chứng minh f khả vi và tìm df(1) f ( x) − f (1) = x 2... x−0 x → 0+ f có đạo hàm tại x = 0 ⇔ a = 2, b = 0 Định lý Nếu f liên tục tại x0 và lim f ′ ( x ) = lim− f ′ ( x ) = a + x → x0 thì Ví dụ: x → x0 f ′ ( x0 ) = a a sin x + b cos x + 1, x < 0 f ( x) =  2 x + 1, x ≥ 0 a cos x − b sin x, x < 0 f ′( x) =  2 , x > 0 Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục và tăng ngặt Khi đó tồn tại hàm ngược f −1: (c, d) → (a, b) liên tục và tăng ngặt Nếu... b)] = a sin  ÷ 2  ( n)  ax + b + n π  n [ cos(ax + b)] = a cos  ÷ 2  (n) n Công thức đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao ( f ± g) (n) = f ( n) ±g (n) của tổng hiệu: Đạo hàm cấp cao của tích: Lưu ( 0) x = f x ý: f ( ) ( ) ( f g ) ( n) n = ∑ k =0 k Cn f (k ) (n −k ) g (công thức Leibnitz) Ví dụ 1.Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1 f ( x) = 2x − 3 2 x −x−2 5 1 1 1 = + 3 x +1 3 x − 2 5 (−1)7 7! 1 ( −1)7 7!... 2.Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1: f ( x ) = ( x − x).e f (7) 7 ( x) = ∑ k =0 0 = C7 ( x 2 − x) 2 2 +C7 ( x k C7 ( x 2 (0) − x) − x) (k ) (e ) (2) 2 x (7) (e ) = 1.( x 2 − x)27 e2 x 2 x (7 − 2) 2x (e ) 2 x (7 − k ) 1 +C7 ( x 2 3 +C7 ( x 2 − x) (1) (e ) (3) (e ) − x) +7(2 x − 1)26 e 2 x 2 x (7 −1) 2 x (7 −3) +0 +21.2.25 e 2 x + 0 Đạo hàm cấp cao của hàm tham số y′(t ) y′( x) = x′(t )  x = x(t ) Cho các hàm. .. ′′( x) =  2÷  1+ x  1 ⇒ f ′′(1) = 2 = 2x (1+ x ) 2 2 Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản (a ) x ( n) α  (n) ( ax + b )   (n)  1   ÷  ax + b  [ ln(ax + b)] ( n) = a x ( ln a ) n (e ) ax + b ( n ) n ax + b =a e = a α (α − 1)L (α − n + 1) ( ax + b ) n n = (−1) n! = (−1) n −1 a n (ax + b) (n − 1)! n +1 a n (ax + b) n α −n Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản  ax + b + n π  [ sin(ax + b)] = a sin  ÷ 2 . ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN. Bài toán: Vận động vi n chạy và bơi phối hợp. Hỏi: chạy bao xa thì bắt đầu bơi sẽ về đích nhanh nhất? 4m/s 1.5m/s 200m 50m x 200-x ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho. x x x x x ′ = ′ = ′ = ′ = − Đạo hàm hàm cho theo tham số Cho các hàm số : ( ) ( ) x x t y y t =   =  Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x) * x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0 ( ) ( ). ( )y. thể vi t: Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) Ví dụ 1 ( ) arctanf x x = 2 1 1 ( ) 1 1 f x x x ′   ′ =  ÷     +  ÷   2 2 2 1 1 1x x x = − + 2 1 1 x = − + Tìm đạo