bài giảng ứng dụng của tích phân

Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng a b Trong mp cho miền D giới hạn bởi 1 2 ( ) ( ) a x b f x y f x ≤ ≤   ≤ ≤  y=f 1 (x) y=f 2 (x) Từ định nghĩa tp xác định ta suy ra ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) b a S D f x f x dx= − ∫ Hoặc chưa xác định được đường nằm trên, dưới thì 2 1 ( ) | ( ) ( ) | b a S D f x f x dx= − ∫ Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y=x và y=5x-x 2 ( ) 4 2 0 ( ) (5 )S D x x x dx= − − ∫ 32 3 = Ta tìm giao điểm 2 đường cong để có cận tích phân 2 2 5 4 0x x x x x = − ⇔ − = 0, 4x x⇔ = = Vậy Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y 2 =2x và 2y=x 2 2 2 0 ( ) 2 2 x S D x dx   = −  ÷ ∫  ÷   4 3 = Giao điểm 2 2 2 x x = 4 4 2 8 4 x x x x⇔ = ⇔ = 0, 2x x⇔ = = Vậy Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x 2 +y 2 =8, 2x=y 2 , x>0 2 2 2 2 ( ) 8 2 y S D y dy −   = − −  ÷ ∫  ÷   4 2 3 π = + Giao điểm 22 2 8x xy = −= 2, 4x x⇔ = = − Ta loại nghiệm x=-4 vì x>0 Từ hình vẽ suy ra 2 8 2 0 2 ( ) 2 2 2 8S D xdx x dx= + − ∫ ∫ Hoặc tính theo y Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Cho vật thể V giới hạn bởi 1 mặt cong kín và bị chặn giữa 2 mặt phẳng x=a, x=b x=x i+1 Chia V thành n phần bởi các mặt phẳng x=x i : a=x 0 <x 1 <…<x n =b. Trong mỗi đoạn [x i ,x i+1 ] lấy điểm M i tuỳ ý và thay miền nằm giữa 2 mặt phẳng x=x i và x=x i+1 x=x i bằng hình trụ với đường cao Δx i =x i+1 -x i và đáy là diện tích thiết diện tạo bởi mặt x=M i và V, kí hiệu là S(M i ) Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Khi đó, tương tự như cách tính diện tích hình thang cong, ta có thể tích V được tính bằng cách qua giới hạn tổng 1 max{ } 0 0 lim ( ). i n i i x i S M x − ∆ → = ∆ ∑ Theo định nghĩa tích phân, ta có công thức tính thể tích vật thể: ( ) b a V S x dx = ∫ Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Trường hợp đặc biệt: V là vật thể tạo ra khi quay hình thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Ox thì: 2 ( ) ( )S x f x π = → 2 ( ) b x a V f x dx π = ∫ Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi 2y=x 2 , 2x+2y-3=0 quanh trục Ox Giao điểm: x=-3, x=1 2 4 1 3 3 2 4 x x V x dx π −      ÷ = − − ∫  ÷  ÷     272 25 π = Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Quay hình thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Oy: a bx x+Δx y y+Δy A E D C B Ta đặt V=V[a,b] là thể tích cần tính và V(x)=V[a,x] Suy ra: ΔV = V(x+Δx)-V(x) =V[a, x+Δx]-V[a,x] = V[x,x+Δx] Gọi V 1 , V 2 , V 3 lần lượt là thể tích vật thể tạo ra khi quay hình chữ nhật AEDB, F Khi đó : ΔV=V 1 +V 2 , V 2 <V 3 tam giác cong BDC, hình chữ nhật BDCF quanh Oy. Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay ( ) ( ) 2 2 2 1 2V x x y x y x x x y π π π = + ∆ − = ∆ + ∆ Ta tính lần lượt V 1 , V 2 , V 3 ( ) ( ) 2 2 2 3 . . 2 .V x x y x y x x x y π π π = + ∆ ∆ − ∆ = ∆ + ∆ ∆ ( )o x= ∆ Do hàm f(x) liên tục nên : ( ) ( ) 0 0x y∆ → → ∆ → Mà V 2 <V 3 nên V 2 =o(Δx). Suy ra: 2 2 ( ) b b a a b y a V xf x dxdV xydx π π =⇒ = = ∫ ∫ ∫ ( ) 2 1 2 2 ( ) 2 ( )V V V x x x y o x xy x o x π π ∆ = + = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ + ∆ 2dV xy x π ⇒ = ∆ Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi quanh trục Oy 2 1, 1, 0 x x y e y e x − − = − = + = 2 1 2 (ln 2 ) 4 π = − -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x x = 0, y = t y Tìm giao điểm: 2 1 1 x x e e − − − = + 2 2 0 x x e e − − ⇔ − − = ln 2x ⇔ = − ( ) 0 ln 2 2 ( 1) ( )2 1 y x x x e eV dx π − − − + − −= ∫ Lưu ý: Khi chưa xác định dấu của hàm x.f(x), ta nên viết |x.f(x)| trong công thức trên [...]... −2 2 2 2 Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b quay quanh trục Ox sẽ tạo thành 1 mặt cong Xây dựng công thức tính diện tích mặt cong giống như công thức tính thể tích Vy ta sẽ được: b b a a ′2 dx S = 2π ∫ | y | dl = 2π ∫ | y | 1 + y Khi quay quanh trục Oy, ta đổi vai trò của x và y bằng cách tính x=x(y) từ pt y=f(x) Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt... ellipse cũng nhận Ox là trục đối xứng nên ta cũng chỉ cần lấy nửa phía trên hoặc dưới quay như khi tính thể tích vật thể tròn xoay Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Áp dụng công thức trên cho nửa trên ellipse tức là đường cong : y = 1 − x 2 / 4, −2 ≤ x ≤ 2 y′ = −x 4 − x2 2 S = 2π ∫ −2 ⇒ 1 + y′ = 2 4 − x2 2 2 4− x 2 2 4 − x2 dx = 8π Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính.. .Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y=x2+1, y=5 quay quanh a Trục Oy b Đt y=5 a Quay quanh trục Oy: Miền D nhận Oy là trục đối xứng nên chỉ cần lấy nửa trái hoặc phải rồi quay là đủ 2 ( ) V y = 2π ∫ x 5 − ( x 2 + 1) dx 0 = 8π Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay b Quay quanh... L = ∫ 1 + f ′( x )2 dx a Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Ta gọi vi phân cung C có phương trình y=f(x) là ′( x )2 dx dl = 1 + f thì công thức tính độ dài cung C từ a đến b là: b b a a L = ∫ dl = ∫ 1 + f ′( x ) 2 dx Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x2 nằm dưới đt y=1 Phần parabol nằm dưới đt y=1 ứng với -1≤x≤1 1 L = ∫ 1 + 4 x 2 dx = ln( 5 + 2) + 5 2 −1 Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Ví dụ:... 4) 2 S x = 2π ∫ (12 − x ) 1 + dx 16 x 1 6 12 ( x + 4)(12 − x ) 1573π = 2π ∫ dx = 24 1 36 12 Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung x = 4 − y 2 , −2 ≤ y ≤ 2 quanh trục Oy 2 ′2 dy S y = 2π ∫ | x | 1 + x −2 π = 65ln 17 + 124 17 16 ( ) Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Cho hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] Độ dài phần đường cong y=f(x), a≤x≤b... yi ) 2 = ∆x 2 + ∆y 2 Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Theo định lý giá trị trung bình: tồn tại c trong đoạn [xi,xi+1] sao cho xi +1 1 f (c ) = xi +1 − xi ∫ f ( x )dx xi ⇔ f ′( c ) ( xi +1 − xi ) = f ( xi +1 ) − f ( xi ) ⇔ f ′( c) ∆x = ∆y Thay vào đẳng thức tính L ở trên: n −1 ∑ n →∞ L = lim i =0 n −1 ′( c ) ) 2 Pi +1 − Pi = lim ∑ ∆x 1 + ( f n →∞ i =0 Dựa vào định nghĩa tích phân xác định, ta được: . diện tích thiết diện tạo bởi mặt x=M i và V, kí hiệu là S(M i ) Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Khi đó, tương tự như cách tính diện tích hình thang cong, ta có thể tích. ). i n i i x i S M x − ∆ → = ∆ ∑ Theo định nghĩa tích phân, ta có công thức tính thể tích vật thể: ( ) b a V S x dx = ∫ Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Trường hợp đặc biệt: V. nhận Ox là trục đối xứng nên ta cũng chỉ cần lấy nửa phía trên hoặc dưới quay như khi tính thể tích vật thể tròn xoay Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Áp dụng công thức trên