Bài tập ứng dụng của tích phân

WWW.ToanCapBa.Net CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x) + 0 - 0 + Bước 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - + ò ò ò ò . Ví dụ 1. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx - = - + ò . Giải Bảng xét dấu x 3- 1 2 2 x 3x 2- + + 0 - 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 - = - + - - + = ò ò . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4cos x 4sinxdx p = - - ò . Giải 2 2 2 0 0 I 4sin x 4sinx 1dx 2sin x 1 dx p p = - + = - ò ò . Bảng xét dấu x 0 6 p 2 p 2sinx 1- - 0 + WWW.ToanCapBa.Net 1 WWW.ToanCapBa.Net ( ) ( ) 6 2 0 6 I 2sin x 1 dx 2sinx 1 dx 2 3 2 6 p p p p = - - + - = - - ò ò . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân [ ] b a I f(x) g(x) dx= ± ò , ta thực hiện: Cách 1. Tách [ ] b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ± ò ò ò rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 3. Tính tích phân ( ) 2 1 I x x 1 dx - = - - ò . Giải Cách 1. ( ) 2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx - - - = - - = - - ò ò ò 0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx - - = - + + - - - ò ò ò ò 0 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2 - - æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = - + + - - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 + + x – 1 – – 0 + ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx - = - + - + + - + - + ò ò ò ( ) 1 2 0 2 1 1 0 x x x x 0 - = - + - + = . Vậy I 0= . 3. Dạng 3 WWW.ToanCapBa.Net 2 WWW.ToanCapBa.Net Để tính các tích phân { } b a I max f(x), g(x) dx= ò và { } b a J min f(x), g(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)= - trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) 0> thì { } max f(x), g(x) f(x)= và { } min f(x), g(x) g(x)= . + Nếu h(x) 0< thì { } max f(x), g(x) g(x)= và { } min f(x), g(x) f(x)= . Ví dụ 4. Tính tích phân { } 4 2 0 I max x 1, 4x 2 dx= + - ò . Giải Đặt ( ) ( ) 2 2 h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - + . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + ( ) ( ) ( ) 1 3 4 2 2 0 1 3 80 I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx 3 = + + - + + = ò ò ò . Ví dụ 5. Tính tích phân { } 2 x 0 I min 3 , 4 x dx= - ò . Giải Đặt ( ) x x h(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + - . Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + ( ) 1 2 2 1 x 2 x 0 1 0 1 3 x 2 5 I 3 dx 4 x dx 4x ln3 2 ln3 2 æ ö ÷ ç = + - = + - = + ÷ ç ÷ ç è ø ò ò . B. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong WWW.ToanCapBa.Net 3 WWW.ToanCapBa.Net Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y f(x), x a, x b= = = và trục hoành là: ò b a S = f(x) dx . Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b a f(x) dx ò . Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y lnx, x 1, x e= = = và Ox. Giải Do [ ] lnx 0 x 1; e³ " Î nên: ( ) e e e 1 1 1 S lnx dx lnxdx x ln x 1 1= = = - = ò ò . Vậy S 1= (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = = và Ox. Giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + - ò ò 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 8 2x 3x 2x 3x 3 3 3 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = - - + + + - + + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Vậy 8 S 3 = (đvdt). 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x), x a, x b= = = = là: ò b a S = f(x) - g(x) dx . Phương pháp giải toán WWW.ToanCapBa.Net 4 WWW.ToanCapBa.Net Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x)- trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b a f(x) g(x) dx- ò . 2.2. Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x)= = là: b a ò S = f(x) - g(x) dx . Trong đó , a b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) g(x)= ( ) a b£ a < b £ . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x)= . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x)- trên đoạn [ ] ; a b . Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx b a - ò . Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 2 y x 11x 6, y 6x= + - = , x 0, x 2= = . Giải Đặt 3 2 3 2 h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + - h(x) 0 x 1 x 2 x 3= Û = Ú = Ú = (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 0 ( ) ( ) 1 2 3 2 3 2 0 1 S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + - ò ò 1 2 4 2 4 2 3 3 0 1 x 11x x 11x 5 2x 6x 2x 6x 4 2 4 2 2 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = - - + - + - + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Vậy 5 S 2 = (đvdt). Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2 y x 11x 6, y 6x= + - = . WWW.ToanCapBa.Net 5 WWW.ToanCapBa.Net Gii t 3 2 3 2 h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + - h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = = . Bng xột du x 1 2 3 h(x) 0 + 0 0 ( ) ( ) 2 3 3 2 3 2 1 2 S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + - ũ ũ 2 3 4 2 4 2 3 3 1 2 x 11x x 11x 1 2x 6x 2x 6x 4 2 4 2 2 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = - + - - - + - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . Vy 1 S 2 = (vdt). Chỳ ý: 1) Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ phi v hỡnh, tuy nhiờn hu ht rt khú xỏc nh ỳng min phng cn tớnh din tớch (cú th vỡ th m thi i hc khụng ra). 2) Nu trong khong ( ) ; a b phng trỡnh f(x) g(x)= khụng cú nghim thỡ ta cú th dựng cụng thc: f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx b b a a ộ ự - = - ở ỷ ũ ũ 3) Nu tớch din tớch hỡnh phng gii hn bi x = f(y) v x = g(y) thỡ ta gii nh trờn nhng nh i vai trũ x cho y (xem vớ d 9). Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 3 y x , y 4x= = . Gii Phng trỡnh honh giao im: 3 x 4x x 2 x 0 x 2= = - = = ( ) ( ) 0 2 3 3 2 0 S x 4x dx x 4x dx - ị = - + - ũ ũ 0 2 4 4 2 2 2 0 x x 2x 2x 8 4 4 - ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = - + - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . Vy S 8= (vdt). Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y x 4 x 3= - + v trc honh. Gii Phng trỡnh honh giao im: WWW.ToanCapBa.Net 6 WWW.ToanCapBa.Net 2 2 x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = - + = = t 1 x 1 x 1 t 3 x 3 x 3 = = = ộ ộ ộ ờ ờ ờ ờ ờ ờ = = = ở ở ở 3 3 2 2 3 0 S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx - ị = - + = - + ũ ũ ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx ộ ự ờ ỳ = - + + - + ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ũ ũ 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 16 2 2x 3x 2x 3x 3 3 3 ộ ự ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ờ ỳ = - + + - + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ờ ỳ ố ứ ố ứ ở ỷ . Vy 16 S 3 = (vdt). Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y x 4x 3= - + v y x 3= + . Gii Phng trỡnh honh giao im: 2 x 4x 3 x 3- + = + 2 2 x 3 0 x 0 x 4x 3 x 3 x 5 x 4x 3 x 3 + ỡ ù ù = ộ ù ù ộ ờ - + = + ớ ờ ờ = ù ù ở ờ ù - + = - - ờ ù ợ ở . Bng xột du x 0 1 3 5 2 x 4x 3- + + 0 0 + ( ) ( ) ( ) 1 3 5 2 2 2 0 1 3 S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dxị = - + - + - + - ũ ũ ũ 1 3 5 3 2 3 2 3 2 0 1 3 x 5x x 3x x 5x 109 6x 3 2 3 2 3 2 6 ổ ử ổ ử ổ ử - ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = - + + - + - = ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ . Vy 109 S 6 = (vdt). Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y x 1 , y x 5= - = + . Gii Phng trỡnh honh giao im: 2 2 x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + = 2 2 t x 0 t x 0 t 1 t 5 x 3 t 3 t 1 t 5 = ỡ ù ù = ỡ ù ù ù ù ộ - = + = ớ ớ ờ =ù ù ù ù ợ ờ ù - = - - ờ ù ợ ở ( ) ( ) 3 3 2 2 3 0 S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx - ị = - - + = - - + ũ ũ WWW.ToanCapBa.Net 7 WWW.ToanCapBa.Net Bảng xét dấu x 0 1 3 2 x 1- – 0 + ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S 2 x x 4 dx x x 6 dxÞ = - - - + - - ò ò 1 3 3 2 3 2 0 1 x x x x 73 2 4x 6x 3 2 3 2 3 æ ö æ ö - ÷ ÷ ç ç = - - + - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Vậy 73 S 3 = (đvdt). Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 y x, y 0, y 2 x= = = - . Giải Ta có: 2 2 y 2 x x 2 y , x 0= - Û = - ³ . Phương trình tung độ giao điểm: 2 y 2 y y 1= - Û = . ( ) 1 1 2 2 0 0 S 2 y y dy 2 y y dyÞ = - - = - - ò ò ( ) 1 1 4 2 4 2 0 0 0 0 1 y 2cos tdt ydy t sin2t 2 2 p p = - = + - ò ò . Vậy S 4 p = (đvdt). Cách khác: Vẽ hình ta thấy S bằng 1 8 diện tích hình tròn bán kính R 2= nên 2 1 S R 8 4 p = p = . II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường [ ] y f(x) 0 x a;b= ³ " Î , y 0= , x a= và x b (a b)= < quay quanh trục Ox là: b 2 a V f (x)dx= p ò . Ví dụ 1. Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2 (C) : x y R+ = quay quanh Ox. Giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2 x R x R= Û = ± . Phương trình 2 2 2 2 2 2 (C) : x y R y R x+ = Û = - ( ) ( ) R R 2 2 2 2 R 0 V R x dx 2 R x dx - Þ = p - = p - ò ò R 3 3 2 0 x 4 R 2 R x 3 3 æ ö p ÷ ç = p - = ÷ ç ÷ ç è ø . WWW.ToanCapBa.Net 8 WWW.ToanCapBa.Net Vy 3 4 R V 3 p = (vtt). 2. Trng hp 2 Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng [ ] x g(y) 0 y c;d= " ẻ , x 0= , y c= v y d (c d)= < quay quanh trc Oy l: d 2 c V g (y)dy= p ũ . Vớ d 2. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse 2 2 2 2 x y (E) : 1 a b + = quay quanh Oy. Gii Tung giao im ca (E) v Oy l 2 2 y 1 y b b = = . Phng trỡnh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y a y (E) : 1 x a a b b + = = - b b 2 2 2 2 2 2 2 2 b 0 a y a y V a dy 2 a dy b b - ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ị = p - = p - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ũ ũ R 2 3 2 2 2 0 a y 4 a b 2 a y 3 3b ổ ử p ữ ỗ = p - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Vy 2 4 a b V 3 p = (vtt). 3. Trng hp 3 Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y f(x), y g(x)= = , x a= v [ ] x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b )= < " ẻ quay quanh trc Ox l: b 2 2 a V f (x) g (x) dx= p - ũ . Vớ d 3. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox. Gii Honh giao im: 4 x 0 x 0 x 1 x x = ỡ ộ ù ù ờ ớ ờ =ù = ù ở ợ . ( ) 1 1 4 4 0 0 V x x dx x x dxị = p - = p - ũ ũ ( ) 1 5 2 0 1 1 3 x x 5 2 10 p = p - = . Vy 3 V 10 p = (vtt). 4. Trng hp 4 WWW.ToanCapBa.Net 9 WWW.ToanCapBa.Net Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng x f(y), x g(y)= = , y c= v [ ] y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d )= < " ẻ quay quanh trc Oy l: d 2 2 c V f (y) g (y) dy= p - ũ . Vớ d 4. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng 2 x y 5= - + , x 3 y= - quay quanh Oy. Gii Tung giao im: 2 y 1 y 5 3 y y 2 = - ộ ờ - + = - ờ = ở . ( ) ( ) 2 2 2 2 1 V y 5 3 y dy - ị = p - + - - ũ ( ) 2 4 2 1 y 11y 6y 16 dy - = p - + + ũ 2 5 3 2 1 y 11y 153 3y 16y 5 3 5 - ổ ử p ữ ỗ = p - + + = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Vy 153 V 5 p = (vtt). BI TP Bi 1. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng cú phng trỡnh sau 1) y sinx, y 0= = , x 0, x 2= = p 2) 3 y x , y 0= = , x 1, x 2= - = 3) 2 2 y x 2x, y x 4x= - = - + 4) 3 y x , y 4x= = , x 1, x 2= - = 5) 2 y x 5, y 6x= - - = - , x 0, x 1= = 6) 2 y x 2, y 3x= - - = - , x 0, x 2= = 7) 2 y x 2x, y x 2= - - = - - 8) 3 2 y x 2x x 2= - - + v trc honh 9) 2 3 y x 2x x 2= - - + v trc honh 10) 2 2 x x y 4 , y 4 4 2 = - = 11) 2 2 y 4 x , x 3y 0= - - + = 12) 2 y x 4x 3 , y 3= - + = 13) 2 y x 4 x 3 , y 0= - + = WWW.ToanCapBa.Net 10 . WWW.ToanCapBa.Net CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ò , ta thực hiện các. + ÷ ç ÷ ç è ø ò ò . B. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong WWW.ToanCapBa.Net 3 WWW.ToanCapBa.Net Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang. 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 3. Tính tích phân ( ) 2 1 I x x 1 dx - = -