Bai tap ung dung cua tich phan

Netschool.edu.vn CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b I f(x) dx Giả sử cần tính tích phân , ta thực bước sau Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x a f(x) b I x2 0 x1 b f(x)dx a b x2 f(x) dx Bước Tính x1 f(x)dx a f(x)dx x1 x2 x2 I Ví dụ Tính tích phân 3x dx Giải Bảng xét dấu x x 3x 2 x2 I 3x x2 dx 3x dx 59 I Ví dụ Tính tích phân cos2 x sin xdx Giải 2 I sin x sin x 1dx sin x Bảng xét dấu x sin x 0 Netschool.edu.vn 1 dx Netschool.edu.vn I sin x dx sin x dx Dạng b I f(x) Giả sử cần tính tích phân Cách , ta thực hiện: b I Tách g(x) dx a b f(x) g(x) dx b f(x) dx a g(x) dx a sử dụng dạng a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) I x Ví dụ Tính tích phân x dx Giải Cách 2 I x x 1 dx x dx xdx (x 0 1)dx x2 dx (x 1)dx 1 x2 x xdx x2 2 x2 x x Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 – – I 0 + – + + x x dx x x dx x x x2 x Vậy I x 12 Dạng Netschool.edu.vn x dx Netschool.edu.vn b I b max f(x), g(x) dx Để tính tích phân thực bước sau: f(x) max f(x), g(x) max f(x), g(x) + Nếu h(x) f(x), g(x) dx a Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) Bước + Nếu h(x) J a , ta g(x) đoạn [a; b] f(x) f(x), g(x) g(x) f(x), g(x) g(x) f(x) max x2 I Ví dụ Tính tích phân dx x2 h(x) Đặt 1, 4x Giải 4x x2 4x Bảng xét dấu x h(x) + I – + x dx 4x x2 dx 1 dx 80 3x , I Ví dụ Tính tích phân x dx 3x Đặt h(x) Giải x 3x x Bảng xét dấu x h(x) dx – x I x dx + 3x ln 4x B ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Netschool.edu.vn x2 2 ln Netschool.edu.vn Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn b đường y f(x), x a, x b trục hoành là: S= f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] b f(x) dx Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y Giải 1; e nên: Do ln x x e ln x, x ln x dx ln xdx x ln x e 1 Vậy S (đvdt) x2 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y Ox Giải Bảng xét dấu x y – + S 4x 3, x 0, x x 4x x2 dx 4x dx x3 Vậy e Ox e S S 1, x 2x x3 3x 2x 3x (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn b đường y f(x), y g(x), x a, x b là: S= Phương pháp giải toán Netschool.edu.vn f(x) - g(x) dx a Netschool.edu.vn Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] b f(x) Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân g(x) dx a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y Trong , f(x), y S= g(x) là: f(x) - g(x) dx nghiệm nhỏ lớn phương trình f(x) b a g(x) Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) đoạn f(x) ; g(x) dx Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y x3 11x 6, y 6x2 , x 0, x Đặt h(x) h(x) (x 11x 6) x x Giải 6x x 6x2 11x x (loại) Bảng xét dấu x h(x) S x 6x 2 11x x3 dx 6x2 11x dx x S + Vậy – 2x 11x 2 6x x4 2x 11x2 2 6x (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y Netschool.edu.vn x3 11x 6, y 6x2 Netschool.edu.vn Giải 6x2 x3 6x2 x (x3 11x 6) x x Đặt h(x) h(x) 11x Bảng xét dấu x h(x) + 6x2 11x x3 dx Vậy – 6x2 11x dx x4 S 3 x3 S 2 11x2 2x3 x4 6x 11x2 2x3 6x 2 (đvdt) Chú ý: 1) Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên phải vẽ hình, nhiên hầu hết khó xác định miền phẳng cần tính diện tích (có thể mà đề thi Đại học không ra) 2) Nếu khoảng dùng công thức: ; phương trình f(x) f(x) g(x) dx g(x) nghiệm ta f(x) g(x) dx 3) Nếu tích diện tích hình phẳng giới hạn x = f(y) x = g(y) ta giải nhớ đổi vai trò x cho y (xem ví dụ 9) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x3, y 4x Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x3 x3 x3 4x dx Vậy S x x x 2 S x4 4x 4x dx 0 2x 2 x4 2x (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x2 Netschool.edu.vn 4x trục hoành Netschool.edu.vn x2 4x t t 3 t2 x 4t x x x 3 0, t x x dx x2 4x dx x 4x x2 dx 4x dx x3 2x x3 3x 2x 16 3x 16 (đvdt) S 4x x x2 4x x2 4x x2 y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x x2 S Vậy x x 4x x x x – y x Bảng xét dấu x x 4x S x x 3x dx x 5x 2 x + 5x dx Vậy + S x2 5x dx 5x 2 3 3x 3 x 6x 109 109 (đvdt) x2 y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x t2 t 5, t x t x t t2 t t t2 t S x dx x2 x Netschool.edu.vn x x x 1, y x dx Netschool.edu.vn Bảng xét dấu x x – 1 S x2 x x2 dx Vậy + x dx x 3 x x3 4x x2 73 6x 73 (đvdt) S Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y Giải 2 x x y , x Ta có: y Phương trình tung độ giao điểm: y y2 x, y y 0, y x2 1 S 2 y y dy y2 y dy 2 cos tdt ydy t sin 2t y2 0 S (đvdt) Vậy Cách khác: Vẽ hình ta thấy S diện tích hình tròn bán kính R S R2 f(x) x a;b , nên II THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y b y 0, x a x b (a b) quay quanh trục Ox là: f (x)dx V a (C) : x y R Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn quay quanh Ox Giải R2 x R Hoành độ giao điểm (C) Ox x 2 2 2 y R y R x Phương trình (C) : x R V R R R 2 x dx R2 x dx Netschool.edu.vn R2 x x3 R R3 Netschool.edu.vn Vậy R3 (đvtt) V Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x g(y) y c;d , d c y g2 (y)dy V d) quay quanh trục Oy là: c 2 x y (E) : a b2 Ví dụ Tính thể tích hình khối ellipse quay quanh Oy Giải y2 y b Tung độ giao điểm (E) Oy b 2 2 x y ay (E) : x2 a2 a b b2 Phương trình 0, y x b V a b d (c b a y2 dy b2 a y2 dy b2 a2 2 a2 y a2 y3 3b2 R a2 b Vậy ab (đvtt) V Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y f(x), y g(x) , a; b ) quay quanh trục Ox là: x a x b (a b, f(x) 0,g(x) x b f (x) V g2 (x) dx a Ví dụ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2, y2 = x quay quanh Ox Giải x x Hoành độ giao điểm: x4 V x4 x dx Vậy x4 V x x x dx x 10 (đvtt) Trường hợp Netschool.edu.vn x 10 Netschool.edu.vn Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x f(y), x g(y) , y c y d (c d, f(y) 0,g(y) y c; d ) quay quanh trục Oy là: d f (y) V g2 (y) dy c Ví dụ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x x y quay quanh Oy y Giải y y y Tung độ giao điểm: y2 V y y4 dy Vậy 11y2 6y 16 dy 1 V 2 y 11y 153 (đvtt) 3y2 153 16y BÀI TẬP Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình sau 1) y sin x, y , x 0, x 2) y 3) y x3, y x2 0, x 1, x x2 2x, y 4x 4) y 5) y x3, y x2 5, y 6x , x 0, x 6) y 7) y x2 2, y 3x, x 0, x x2 2x, y 8) y 9) y y x3 2x2 x x2 x x2 x2 , x2 4x 2 trục hoành x trục hoành x2 , y 4 1, x x x 2x2 x3 10) 11) y y 12) y 13) 4x , x 3y 3, y 3, y Netschool.edu.vn 10 y2 5, Netschool.edu.vn y, x x ,x y2 14) 15) 16) y 17) y y 18) 19) x y 20) y y 21) 22) y 23) y 24) y 25) y 26) x (2 y2 , y y2 cos x)sin x, y 0, x y , x x x2 , y , x ln x ,y x , x 1, x e ln x , y x 1, x e x , 0, y ln x , x 2, x e 1 ,y x , x sin x cos2 x , 2 x , y 4x , y x(x 1)(x x xe , y 0, x 4x, x y 0, x y 2), y 0, x 2, x 1, x 0, y 0, y y Bài Tính thể tích hình phẳng giới hạn đường 1) y 3x, y x , x 0, x quay quanh Ox y 2) 3) y 4) y x2 , y y 4, x , quay quanh Oy (x 1) , x y quay quanh Ox x, x quay quanh Oy 5) (C) : x (y 4)2 quay quanh Oy x2 y2 (E) : 16 6) ellipse quay quanh Ox 2 x x (E) : 16 7) ellipse quay quanh Oy 2 2, y x quay quanh Ox 8) y x x quay quanh Ox 9) y x , y 10) y x2 , x2 3y quay quanh Ox HƯỚNG DẪN GIẢI Netschool.edu.vn 11 Netschool.edu.vn Bài 2 S sin x dx 1) (đvdt) sin xdx 2 S x dx 2x x x4 x3 dx x dx 2) 3) x sin xdx 4x x x (x 2x) ( x 2 (2x 4x) dx 17 9(đvdt) 4x 4) x x x 2 x S x 6x)dx (x (x3 4x)dx 2x x S 23 (đvdt) 6x 4x)dx 2x x x (loại) 1 x2 S 6x x 3x 4x dx 2 (loại) (x2 dx 6x x3 5)dx 0 3x2 5x (đvdt) S 3x x x S x (x 3x dx 3x x 3x 2x x x x x2 S x (x2 dx 3x x 2x x 2)dx (đvdt) S Vậy 2x2 8) x x x = 1(đvdt) 2 2)dx 2 1 3x 2x (x2 2)dx x 2 2 2 =4 (đvdt) 2x3 0 7) x4 S Vậy 6) x cos x 3 Vậy 5) x cos x 0 x Netschool.edu.vn 12 x3 x2 2x = Netschool.edu.vn x3 S 2x2 x dx 1 (x 2x x (x3 2)dx S 2x 3 x2 x4 2x 2x 3 2x2 x t x t3 2t2 t 2x 2x2 x3 x dx 2 (x3 2x2 x 2)dx x 2x x t 2 2 2 2x2 x dx (x3 2x2 x 2)dx 128 16 cos tdt 2 2x 3 x 2 2 2x x2 dx 2 x dx 2 x2dx sin2t t 4 (đvdt) x2 y 9x 36 x 2 2 16 = 3(đvdt) 2 x2 4 x2 x x2 dx x2 x2 3 x2 x2 dx Netschool.edu.vn 13 x x x2 dx 2 8x2 x2 dx 4 S x2 dx x2 4 3y x3 x4 2x x4 x2 4 x 2 S x S t 10) x S x4 x2 t 9) x2 2)dx 37 12 (đvdt) x3 Vậy 11) x x4 Vậy 2x2 x3 2 2 Netschool.edu.vn x dx sin 2t 22 t S Vậy x x dx cos tdt 0 x3 3 x dx 3 3 (đvdt) 4x 3 12) Bảng xét dấu x2 4x x2 4x x x 3 4x + x x – + x2 S 4x 3 dx x 4x dx x 4x 1 x 2x 3 2x 6x x2 x x x 4x 2x x = 8(đvdt) x x x 3 – x2 S x dx x2 4x dx x2 4x dx x2 4x dx 1 Vậy + x3 0 4x dx x x2 x 13) Bảng xét dấu S x2 dx x 2x x3 3x 2x 3x 16 (đvdt) y 14) Tung độ giao điểm y2 , y Netschool.edu.vn 14 y y 3 Netschool.edu.vn S Vậy y y2 S Vậy =… (đvdt) y2 15) Tung độ giao điểm S y dy y2 3 y dy S 3 y 2 y2 dy y y2 y2 dy =… 12 (đvdt) 3 S (2 cos x) sin x dx 16) cos2x x x2 dx x x2 d(1 lnx t e x x2 )3 1; e t dx e dt e t 1 td e t t e t et dt ln x x x dx 1, x t2 e ln x x ln x t e ln x t dx 2tdt dx x Netschool.edu.vn 15 e et e (đvdt) t e 0, x S t x tet dt et S Đặt = 3(đvdt) 2 (đvdt) e e ln x ln x ln x dx dx x x x 1 19) x x2 dx (1 x2 ) Vậy S cos x) sin xdx 18) Đặt t x x 1 S (2 S Vậy cos x cos2x 17) Hoành độ giao điểm x S cos x) sin xdx 2 cos x (2 Netschool.edu.vn 2 S 1 e S 20) Vậy S 2 (đvdt) S Vậy 2 t 2t2 dt t.2tdt e ln x dx ln xdx x ln x dx 2 21) cos x ln sin2 x cos2 x S e e 2 x ; dx sin2 x cos2 x cos2 x dx sin2 x cos2 x cotgx tgx cotgx dx sin2 x 12 (đvdt) y x2 4x2 y 22) Tọa độ giao điểm y x2 x y y 4x2 x y y dy y3 Ta có: S y S dx sin2 x tgx Vậy cos2 x Vậy dx sin2 x S (đvdt) x y S 23) x(x 1)(x 2) dx x x 2x dx x x4 x x3 2x dx x3 x2 x4 x2 2x dx 0 x3 x2 Netschool.edu.vn 16 x4 x3 x2 Netschool.edu.vn 37 (đvdt) S Vậy 2 xex dx S 24) Vậy e S y 2e e Vậy 26) x y3 x y y x 1 y S x (y 1) dy y y y 1 x y3 x ex y2 4y 2 y3 4 dy 2y2 4y x y3 S y y y3 1 y dy Vậy ex (đvdt) y S x (đvdt) 4x y 25) S xe x dx x xe x dx y3 y y y 1 y 2y Bài V 3x x dx x3 x dx 1) Vậy (đvtt) V y 2) Ta có Vậy V 12 x2 x2 V 2y x dy 2ydy 2 Vậy V 4) Ta có (đvtt) 3) Ta có (x y2 1)3 x V y dx (đvtt) y2 x x x x 0 2 y2 y Netschool.edu.vn 17 (x 1)3 dx 1)4 (x Netschool.edu.vn V y 2 dy 8y3 16y Vậy V y5 512 15 (đvtt) 5) Tung độ giao điểm (C) : x 4)2 (y 4)2 Oy: y y V (y x dy 4) dy y y y3 (y 4y 12y Cách khác: 23 V Vậy V Hình khối tròn xoay hình cầu bán kính R = nên x2 y2 (E) : 16 6) Hoành độ giao điểm Ox x 2 x y y2 16 x2 16 16 Ta có: 16 V y dx Vậy V 48 4 (E) : 16 x dy x2 16 x2 16 y2 y2 (9 x2 x x 2 x 2 dx 24 x dx 24 16 (đvtt) 9) Hoành độ giao điểm x V x4 x x x x dx V 1 Vậy 1 Vậy V Oy y 16 x2 y2 32 y3 y2 )dy 9y Vậy V 64 (đvtt) 8) Hoành độ giao điểm x V x3 16x x2 )dx (16 (đvtt) (đvtt) 7) Tung độ giao điểm V 32 x x dx x x5 10 (đvtt) Netschool.edu.vn 18 x x2 1 x3 x Netschool.edu.vn 10) Hoành độ giao điểm V Vậy V 3x3 36 x4 dx 28 x x2 x2 36x 3x3 x5 x x4 dx x2 4 (đvtt) Netschool.edu.vn 19 [...]... 3 dx 0 1 1 3 Vậy + 1 0 4 x3 3 0 0 3 2 4x dx 3 x 3 2 0 x2 4 x 13) Bảng xét dấu S x2 6 dx x 3 2x 2 x3 3 3x 0 3 2x 2 3x 1 16 3 (đvdt) y 14) Tung độ giao điểm 3 4 y2 , 0 y 2 Netschool.edu.vn 14 y y 1 3 3 Netschool.edu.vn 3 S Vậy y 2 y2 2 S Vậy =… 6 (đvdt) 2 y2 15) Tung độ giao điểm S y dy y2 4 1 3 1 2 3 y dy 2 4 1 S 3 3 1 2 1 8 2 1 y 2 2 y2 dy 2 y y2 8 2 1 y2 8 dy =… 12 (đvdt) 3 2 3 2 S (2 cos x) sin... 3) Ta có (x y2 1)3 0 x V 1 y dx 1 4 (đvtt) y2 4 x x 4 x x 0 0 2 2 y2 y 1 2 Netschool.edu.vn 17 (x 1)3 dx 1)4 (x 4 2 1 Netschool.edu.vn 2 V 4 y 2 2 dy 2 8y3 3 16y 2 Vậy V y5 5 2 0 512 15 (đvtt) 2 5) Tung độ giao điểm (C) : x 4)2 (y 6 4 4)2 4 và Oy: y 4 2 y 4 2 6 2 V (y x dy 4 2 4) dy 2 y 6 y 2 6 y3 3 2 (y 4y 2 12y 2 Cách khác: 4 23 V 3 Vậy V Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên x2... giao điểm x 1 V x4 x x 1 x 4 x dx 0 V 1 1 Vậy 0 1 1 Vậy V 4 3 và Oy là y 16 1 x2 9 y2 9 3 32 y3 y2 )dy 9y 9 3 0 3 Vậy V 64 (đvtt) 2 8) Hoành độ giao điểm x V 4 x3 3 9 16x 8 x2 )dx (16 (đvtt) (đvtt) 7) Tung độ giao điểm V 4 32 3 x 4 x dx 0 x 0 x5 5 3 10 (đvtt) Netschool.edu.vn 18 x x2 2 1 1 0 x3 3 1 x 0 Netschool.edu.vn 10) Hoành độ giao điểm 3 V 3 2 9 Vậy V 3 3x3 36 x4 dx 0 28 x x2 3 x2 3 36x 3x3 x5 ... dấu S x2 dx x 2x x3 3x 2x 3x 16 (đvdt) y 14) Tung độ giao điểm y2 , y Netschool.edu.vn 14 y y 3 Netschool.edu.vn S Vậy y y2 S Vậy =… (đvdt) y2 15) Tung độ giao điểm S y dy y2 3 y dy S 3 y 2 y2... 73 (đvdt) S Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y Giải 2 x x y , x Ta có: y Phương trình tung độ giao điểm: y y2 x, y y 0, y x2 1 S 2 y y dy y2 y dy 2 cos tdt ydy t sin 2t y2 0 S (đvdt)... trục Oy là: c 2 x y (E) : a b2 Ví dụ Tính thể tích hình khối ellipse quay quanh Oy Giải y2 y b Tung độ giao điểm (E) Oy b 2 2 x y ay (E) : x2 a2 a b b2 Phương trình 0, y x b V a b d (c b a y2