bài tập ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân NG D NG TÍNH DI N TÍCH DI N TÍCH HÌNH PH NG ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Tích phân tính di n tích hình ph ng thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ 1) y  x ln( x  1) ; tr c hoành x  e  ng : 2) y  x3  x2  y  x2  x  3) y   x2 y  x2 Gi i: 1) y  x ln( x  1) ; tr c hoành x  e  +) Ph ng trình hồnh đ giao m c a đ ng cong y  x ln( x  1) tr c hoành ( y  ) là: x   x ln( x  1)     x   x   x   +) Khi di n tích hình ph ng c n tìm : S e 1  x ln( x  1) dx  e 1  x ln( x  1)dx (vì x ln( x  1)  v i x   2; e  1 ) dx  du     u x ln( 1)   x 1  t  dv  xdx v  x  +) e 1 x2 Khi S  ln( x  1)  2 e 1  x2 (e  1)2  dx  x 1 2 e 1     x   x 1  dx e 1   (e  1)2  x2 e2     x  ln x    2 2 e2  (đvdt) 2) y  x3  x2  y  x2  x  V y S +) Ph ng trình hồnh đ giao m c a đ ng cong y  x3  x2  đ ng cong y  x2  x  là:  x  1 x  x   x  x   x  x   x( x  1)    x   x  +) Khi di n tích hình ph ng c n tìm : Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1 S   ( x3  x2  2)  ( x2  x  2) dx   x3  xdx  1 1 Nguyên hàm – Tích phân 1 3  ( x  x)dx   ( x  x)dx  x3 x2   x3 x2            1   1   6 V y S  (đvdt) 3) y   x2 y  +) Ph x2 ng cong y   x2 đ ng trình hồnh đ giao m c a đ ng cong y  x2 là: x2 4 x   9(4  x2 )  x4  ( x2  3)( x2  12)   x   3 +) Khi di n tích hình ph ng c n tìm :  x2 x2   x  dx     x2  dx ( 3  3 S   3  x2 x3  x dx   dx  I    I    x2  x2  v i x    3;  ) 3 3 +) Tính I    x2 dx   dx  2cos tdt    t x  2sin t v i t    ;    2  2    x   4sin t  2cos t  2cos t   i c n x 3t  ; x 3t  3    4  3  Khi I   cos tdt   (1  cos 2t ) dt   t  sin 2t           3 Suy S  3 4 4  4  V y S (đvdt)  3  3 3 Chú ý: Khi gi i ph ng trình hồnh đ giao m f ( x)  g ( x) cho ta hai nghi m x1 ; x2 ( x1  x2 ) vi c xác đ nh d u c a f ( x)  g ( x)  h( x) ( h( x) liên t c) ta ch c n tính h( x0 ) v i x0 giá tr b t kì thu c  x1; x2  Ví nh ý 4) vi c xác đ nh d u c a x2  x   h( x) ta ch c n tính h(0)   (ch n x2  v i x    3;  Nh n xét : Nh v y toán u c u tính di n tích hình ph ng đ bu c ph i cho hai đ ng y  f ( x) y  g ( x) Còn hai đ ng th ng x  a ; x  b đ ch a có ta s ph i tìm b ng x    3;  ) nên ta k t lu n đ cách gi i ph c  x2  ng trình hồnh đ giao m f ( x)  g ( x) N u tìm đ thành n  tích phân mà Hocmai.vn – Ngôi tr c n nghi m ( n  ) ta s tách m i tích phân có c n nghi m g n nh t Gi s ta tìm đ ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 c3 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân nghi m x1 , x2 , x3 v i x1  x2  x3 x2 x3 x2 x3 x1 x2 x1 x2 S   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx    f ( x)  g ( x) dx    f ( x)  g ( x) dx Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ x 1) y   y  ng : x (B – 2002) 3x  hai tr c t a đ (D – 2002) x 1 3) Parabol (P) : y  x2  x  hai ti p n t i m A(1;2), B(4;5) n m (P) 2) y  4) x2  y2  x2  y2  x  ng th ng x  5) y  x  3x2 , tr c hoành đ Gi i: x 1) y   Ph y  x (B – 2002) ng trình hồnh đ giao m: Trên  2 2; 2  : x2 x2 x2 x4   4   x2   x  2 4 32 x2 x2  hình ph ng đ i x ng qua Oy 4 2 2  1 x2 x2  x2 dx  S1  S2  4  dx   16  x2 dx     4 2 2 0   2 S2 4 4  2 *) Tính: S1   t x  4sin t  dx  4cos tdt 16  x  4cos t v i t :   16  x2 dx   4   S1  16  cos tdt 8  (1  cos 2t )dt  8t  4sin 2t   2  0 2 *) Tính S2    S  2   x3 x dx  2  16 16  2  (đvdt) 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 3x  hai tr c t a đ (D – 2002) x 1 3x   y  Hình ph ng gi i h n b i :  x 1   y x0 0;  3x  1   3x    x   Ph ng trình hồnh đ giao m: x 1 0 3x  3x  S  dx   dx x 1 1 x 1 2) y    3 4   (đvdt)    3  dx    3x  4ln x     1  ln x 1  1  3) Parabol (P) : y  x2  x  hai ti p n t i m A(1;2), B(4;5) n m (P) Ta có: y '  x  Áp d ng công th c ph Ta đ c ph V y ph ng trình ti p n: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 ng trình ti p n t i A(1;2), B(4;5) l n l t là: y  2 x  y  x  11 ng trình hồnh đ giao m c a hai ti p n: 2 x   x  11  x  c chia thành hai mi n di n tích b i m chia x  Khi di n tích S đ 5 5 ( x  1)3 ( x  4)3   ( x2  x  1)dx   ( x2  x  16)dx   ( x  1) d ( x  1)   ( x  4) d ( x  4)   3 5 1 4 CHÚ Ý: Khi hình ph ng đ c gi i h n b i đ  ng cong: y  f ( x) ; y  g ( x) y  h( x) b n ph i tìm cách chia ph n di n tích thành ph n mà Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t đ c gi i h n b i hai ba đ T ng đài t v n: 1900 58-58-12 ng cong - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) đ Nguyên hàm – Tích phân ng th ng x  a ; x  b (ngh a ph n biên khơng có có s xu t hi n đ ng th i c đ ng cong trên) 4) x  y  x  y  x  2 2 ng trịn tâm O có R  ( C1 ) Ta có: x2  y2  : Là đ ng trịn tâm O '(1;0) có R '  x2  y2  x   ( x  1)2  y2  : Là đ ( C2 ) Do tính đ i x ng c a hình ph ng c n tính (nh hình v ) nên: S  2(S1  S2 )  y   x *) V i S1 di n tích gi i h n b i:  2   y   x  x   ( x  1) ; x  0  S1   (  x2   ( x  1) )dx 2  y   x2  S2    x2 dx *) V i S2 ph n di n tích gi i h n b i:   y  0; x  0 Ta tính: I   a  u du đ t u  a sin t v i t     ;    a2 a 2t a sin 2t du  a cos tdt 2 cos (1 cos )  I  a tdt   t dt    C (*)    2 a u a cos t a cos t      Áp d ng (*)  +) V i x  2sin t ( x  2  t   x   t  ) nên suy  2  4t 4sin 2t   x dx 4  cos tdt           2 2 +) T ng t   ( x  1)2 dx  2   S1         S2    x2 dx   S       3 (đvdt) 2  CHÚ Ý: *) Th c ch t n u s d ng ki n th c c p (các em l p bi t cách tính di n tích hình trịn) 2 Thì ta s có: S  S(C1 )  S(C2 )      3 (là cách gi i t i u nh t c a toán này) *)Cách gi i ch ch ng minh m t u tích phân có th tính đ Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t c di n tích c tình hu ng T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân ng th ng x  5) y  x  3x2 , tr c hồnh đ +) Ph ng trình hồnh đ giao m : x  3x2   x  +) Khi di n tích hình ph ng c n tính : 1 0 S   x  3x2 dx   x  3x2 dx +) t t   3x2  t   3x2  2tdt  xdx  xdx  tdt i c n x   t  x   t  2 2 7 tdt t3 +) Suy S   t (đvdt) V y di n tích hình ph ng S  (đvdt)   t dt   31 91 Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng: y  x2 ln( x  1) ; y  ln ; x 1 x 1 Gi i:  x2 ln( x  1)  ln( x  1)  x 1  ( x  1) ln( x  1)   ln( x  1)   x    x  Xét ph ng trình hồnh đ giao m : x2 ln( x  1)  ln V y di n tích hình ph ng : S   x2 ln( x  1)  ln 1 dx   x2 ln( x  1)  ln( x  1) dx   ( x2  1) ln( x  1)dx x 1 0 dx  du   ln( 1) u x     x 1  t  3 dv  ( x  1)dx v  x  x  x  3x  3 1  x3  x3  3x   dx  ln    x  x   Khi : S    x  ln( x  1)    dx 3 x x       0   x3 x2 23  ln     x  4ln x    ln  (đvdt) 3 18 0 Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s : y +) Ph x ln ( x2  1) ; tr c hoành đ x2  Gi i: ng trình hồnh đ giao m c a đ ng th ng x  e  x ln ( x2  1) ng y  y  (tr c hoành) : x2  x ln ( x2  1) 0 x0 x2  +) Khi di n tích hình ph ng : S e 1  V y S x ln ( x2  1) dx  2 x 1 e 1  d ( x2  1) ln ( x  1)  x 1 2 e 1  ln ( x  1)d ln( x  1)  ln ( x2  1) 2 e 1  (đvdt) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân ng : y  5x2 ; hai tr c t a đ y   x Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ Gi i: nên ta xét ph ng trình Do  v i x  hoành đ giao m: +) 5x2   x  f ( x)  5x2  x    x  x (vì f ( x) đ ng bi n v i x  ) +)  x   x  Khi di n tích hình ph ng c n tính là: S  5 x  x2  x 24 dx   (3  x)dx    3x     ln   25ln 2 Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng y  3x ; y  y  x Gi i: +) Ph ng trình hồnh đ giao m c a y  3x y  3  f ( x)  3x    x  x x (Do f ( x) đ ng bi n v i x  x  ph : x 3x  ng trình vơ nghi m) +) Ph ng trình hồnh đ giao m c a y  3x y  : 3x   x  +) Ph ng trình hồnh đ giao m c a y  3 y  :   x  x x 3  D a vào hình v ta có di n tích hình ph ng là: S     dx     3x dx x 1 1  3x    x  3ln x    x   ln     3ln   6 V y S  15  3ln   15  3ln  ln ln ln Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng : y  x2  (C1 ) y   x (C2 ) Gi i: Cách (dùng đ th ): Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) +) Ph Ngun hàm – Tích phân ng trình hoành đ giao m c a (C1 ) (C2 ) là: 5  x  x 5     x2    x    x2    x    x2  x    x   x  2      x x     x  x     +) Khi di n tích hình ph ng gi i h n b i (C1 ) (C2 ) S đ c chia thành S1 S2 Do tính đ i x ng nên ta có S1  S2  S  S1  S2  2S2 (*) +) Ta s chia di n tích S2 thành Sa , Sb di n tích Sa đ x  0; x  , di n tích Sb đ c gi i h n b i y   x; y   x2 c gi i h n b i y   x; y  x2  x  0; x  1 V y S2  Sa  Sb   (5  x)  (1  x2 ) dx   (5  x)  ( x2  1)  dx  x3 x2   x3 x2     x  x   dx     x  x   dx     x       x   0  1 1 2 23 13   hay S2  (2*) 6 +) Thay (2*) vào (*) ta đ c di n tích hình ph ng: S  12 Cách (làm theo ph ng pháp đ i s ): +) Ph ng trình hồnh đ giao m c a (C1 ) (C2 ) là:  5  x  x 5     x2    x    x2    x    x2  x    x   x  2      x x     x  x     +) Khi di n tích hình ph ng gi i h n b i (C1 ) (C2 ) đ S  x2     x  dx  2 c xác đ nh:  x2   x  dx 2 +) B ng xét d u phá tr t đ i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1 Suy S  x 2 Nguyên hàm – Tích phân  x  dx    x  x  dx    x  x  dx   x2  x  dx 2 1 1 1 1    ( x2  x  6)dx   ( x2  x  4)dx   ( x2  x  4)dx   ( x2  x  6)dx 2 1  x3 x2   x3 x2   x3 x2   x3 x2       6x     4x     4x     6x   2   1  0  1 13 23 23 13     12 6 6 +) V y di n tích hình ph ng S  12 Nh n xét :  +) Khi ph n hình ph ng c n tính di n tích có tính đ i x ng ta có s d ng cơng th c S  S1  S2  2S2 S1 S2 đ i x ng qua m t m t tr c ( tốn ph n di n tích hình ph ng S1 đ i x ng v i S2 qua tr c tung) +) Khi tính di n tích hình ph ng mà ph n biên (vi n) c a đ c c u t o t đ ng (cong) tr lên ( đ ng đ c bi u di n y theo x ) đ ng th ng x  a ; x  b bu c ta ph i chia hình ph ng m i ph n ch đ thành ph n mà Nh ví d c gi i h n b i đ ph n di n tích S2 c a hình ph ng đ ng (n u đ i vai trò x, y ta c ng làm t c gi i h n b i đ ng t ) ng biên y   x2 ; y  x2  x ; y   x x  0; x  nên ta bu c ph i chia hình ph ng thành ph n Sa , Sb mà m i ph n ch đ c gi i h n b i y   x2 ; y   x x  0; x  (v i Sa ) y  x2  1; y   x x  1; x  (v i Sb ) Bài Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ y  x2 (C1 ) ; y  Hocmai.vn – Ngôi tr ng : x (C2 ) ; y  (C3 ) ; y  (C4 ) x x Gi i ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) ng trình hồnh đ giao m c a: +) (C1 ) (C3 ) : x2   x3   x  x Nguyên hàm – Tích phân *) Xét ph +) (C1 ) (C4 ) : x2   x3   x  x x2 x2   x3   x    x3  32  x  +) (C2 ) (C4 ) : x x *) G i S di n tích hình ph ng c n tìm ta s chia S thành hai ph n di n tích S1 , S2 (nh hình +) (C2 ) (C3 ) : v ) Trong S1 ph n di n tích gi i h n b i đ S2 ph n di n tích gi i h n b i đ 2  Suy S  S1  S2    x2  dx  x  2 23  ng : y  x2 (C1 ) ; y  ng : y  (C3 ) x  2; x  x x2 (C2 ) ; y  (C4 ) x  2; x  4 x  x2    dx x  23  x3   x3     2ln x    8ln x   12    32     16     ln    ln    4ln   3  *) V y di n tích hình ph ng c n tìm S  4ln Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CĨ TH H U ÍCH CHO B N Là khố h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua q trình ơn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ơn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -