Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÔNG THỨC Công thức tính diện tích hình phẳng y y xb (C1 ) : y f ( x) xa (C1 ) : y f ( x) (C ) : y g ( x) (H ) : 1 : x a : x b (H ) x a O (C ) : y g ( x) b (C ) : x g ( y) yb b (H ) x O (C1 ) : x f ( y) b S ya a (C1 ) : x f ( y ) (C ) : x g ( y ) (H ) : : y a : y b b f ( x) S g ( x) dx f ( y) g ( y ) dy a a Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay xb (C ) : y f ( x) y xa O a y0 x b V f ( x) dx b a NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 y yb (C ) : x f ( y ) b x0 ya a x O V f ( y ) dy b a SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y thẳng y x2 x đường x Bài giải ♥ Phương trình hoành độ giao điểm hai đường x2 x x2 2x 3x x x ♥ Diện tích hình phẳng cần tìm x2 S 3x dx x 3x x3 3x 2 2x Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn , y 0, x 3x đường y x 1 xung quanh trục hoành Bài giải ♥ Thể tích khối tròn xoay V ♥ Đặt t 3x , Khi ta có ta có x0 dx 1 3x t 2, x 1 t 1 x t2 nên dx 2t dt 2t 2 t 2 1 V dt dt dt 2 (t 1) t (t 1) (1 t ) 2 2 2 ln | t 1| ln 6ln 1 t 1 6 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y e x ,trục hoành, x = ln3 x = ln8 Diện tích S ln8 e x 1dx ; Đặt t e x t e x e x t ln Khi x = ln3 t = ; Khi x = ln8 t = 3; Ta có 2tdt = e xdx dx 2t dt t 1 2t 2 t 1 3 Do S dt dt 2t ln ln (đvdt) t 1 t 1 t 1 2 2 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y Đồ thị hàm số cắt trục hoành (-1; 0) Do S 1 x 1 1 x 2dx = Ta có S (1 x )dx ( x 3ln x )| 1 1 x 1 trục tọa độ x2 x 1 dx x2 3ln 3ln Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y ( x 1) ln x đường thẳng y x +) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 + Diện tích cần tìm là: y x -8 -6 -4 -2 -5 x = x = e e e e 1 x2 S ( x 1)(ln x 1) dx ( x 1)(ln x 1)dx (ln x 1)d ( x ) e x2 x 1 ( x )(ln x 1) |1e ( 1)dx x x |1e 2 4 e 4e (đvdt) Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y x2 , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 y x2 , trục hoành hai đường thẳng x= 0, x=2 Trên [0; 2] ta có x2 x [0;2] Diện tích hình phẳng cho: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 S x dx x 3 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y x2 , y 2 x hai đường thẳng x =0, x=2 Đặt f1 ( x) x , f ( x) 2 x x 1 [0;2] Ta có: f1 ( x) f ( x) x (2 x 3) x x x 3 [0;2] Diện tích hình phẳng cho S | x x | dx ( x x 3)dx ( x x 3)dx 1 x3 x3 x 3x x 3x 0 1 1 3 3 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y x , y x x 1 Ta có: x ( x 2) x x x Diện tích hình phẳng x3 x 1 S | x x | dx 2x 2 1 1 2 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây: y x 4x 3x y 2x Cho x 4x 3x 2x 1 Diện tích cần tìm là: S hay S (x 4x 5x 2)dx x3 4x x3 x4 5x 4x 5x 4x 3 5x 2 x x 2 dx 2x 1 12 (đvdt) 12 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C : y x 3x đường thẳng : y x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương trình hoành độ giao điểm C là: x 3x x x 3x x x 1 x x Diện tích hình phẳng phải tìm: S x 3 3x 4 x 1 dx 1 1 x x 3x x dx 1 x 3 3x x dx x 3x x dx 3x x 3dx 1 x 3 3x x 3dx 1 x4 x4 x2 x2 3 x 3x x 3x 2 1 1 (đvdt) Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y ( x 1).( x x) với trục hoành Ta có x ( x 1).( x x) x x Do diện tích cần tìm S ( x 1).( x x) dx ( x 1).( x x) dx ( x 1).( x x) dx 1 ( x 1).( x x)dx ( x 1).( x x)dx 1 1 ( x x)d ( x x) ( x x)d ( x x) 20 21 1 ( x x) ( x x) 1 (0 1) Câu 10 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn y x , y NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ta có: x2 x 1 b Áp dụng công thức: V f ( x)dx a 2x x5 2 Ta có: V (1 x ) dx 1 2x x dx x 1 1 1 1 16 1 1 15 Câu 11 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị (C): y x sin x , trục Ox, Oy đường thẳng x Tính thể tích khối tròn xoay sinh cho (H) quay quanh Ox Thể tích khối tròn xoay cần tính V= ( x sin x) dx = 04 x.sin xdx 04 x 4 x + xdx = + 2 cos x dx xdx x cos xdx 2 32 x cos xdx Đặt phần u = x, dv = cos 2xdx Ta có du = dx, v = Từ đó, tính x cos xdx = sin 2x ( 4 8) Do đó, V = 64 Câu 12 Tính thể tích vật thể tròn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y = tanx ; y=0 ; x=0; x = quanh trục Ox Gọi V thể tích vật thể cần tìm: ( 1) dx (tan x 1) 04 (1 ) cos x V tan xdx Câu 13 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y x3 ,y =0,x =0,x =1 quay xung quanh trục Ox Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y x3 y=0: x3 x 1 0;1 Gọi V thể tích vật thể cần tìm: x7 1 23 V ( x 1) dx ( x x 1)dx x x 1 (đvtt ) 14 0 0 1 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ