Hướng dẫn giải và bài tập ứng dụng của tích phân

Header Page of 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A LÝ THUYẾT I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Định lí Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, không âm a; b  Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành x a,x = b hai đường thẳng: = là: y y = f (x) b S = ∫ f ( x ) dx a a b tích S xcủa hình phẳng (D) giới Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục a;Ob  Khi diện x a;= x b là: hạn bởi: Đồ thị hàm số y = f ( x ) ; trục Ox : ( y = ) hai đường thẳng = b S = ∫ f ( x ) dx a Bài toán Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị: ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) hai y x a,x = b Được xác đường đường thẳng = = S định công thức: y = f (x) b ∫a f ( x ) − g ( x ) dx a O y = g( x ) b Chú ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: * Giải phương trình: f ( x ) = g ( x ) tìm nghiệm x1 , x2 , , xn ∈ ( a; b ) ( x1 < x2 < < xn ) Tính: S = ∫ x1 a = x x2 x1 f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + + ∫ b xn f ( x ) − g ( x ) dx b ∫a ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + + ∫xn ( f ( x ) − g ( x ) ) dx Ngoài cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối 2) Trong nhiều trường hợp, toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị xn = S ∫ f ( x ) − g ( x ) dx ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) Khi đó, ta có công thức tính sau: x1 Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ nhất, lớn phương trình: f ( x ) = g ( x ) II THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY a Tính thể tích vật thể Định lí Cắt vật thể C hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) vuông góc với trục Ox = x a,= x b ( a < b ) Một mặt phẳng vuông góc với Ox điểm x ( a ≤ x ≤ b ) cắt C theo Footer Page of 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 Header Page of 258 thiết diện có diện tích S ( x ) Giả sử S ( x ) hàm liên tục a; b  Khi thể tích vật thể C giới b hạn hai mp ( P ) ( Q ) tính theo công thức: V = ∫ S ( x ) dx a b Tính thể tích tròn xoay Bài toán Tính thể tích vật thể tròn xoay quay miền D giới hạn đường = y f ( x )= ; y 0;= x a;= x b quanh trục Ox Thiết diện khối tròn xoay cắt mặt phẳng vuông góc với Ox điểm có hoành độ x hình tròn có bán kính R = f ( x ) nên diện tích thiết diện S (x) = πR = πf ( x ) Vậy thể tích khối tròn xoay tính theo công thức: V= b b a a y ∫ S ( x ) dx = π∫ f ( x ) dx O a y = f (x) b x Chú ý: Nếu hình phẳng D giới hạn đường = y f= x a,= x b (Với (x) , y g (x) , = f ( x ) g ( x ) ≥ ∀x ∈ a; b  ) thể tích khối tròn xoay sinh quay D quanh trục Ox tính công thức: b V= π∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Bài toán Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng D giới hạn đường b = x g ( y )= , y a,= y b, Oy quanh trục Oy tính theo công thức: V = π∫ g ( y ) dy a Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm x theo y ta giải toán theo cách sau Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục đơn điệu [c; d] với = c = {g(a),g(b)} ,d max {g(a),g(b)} Khi phương trình y = f(x) có nghiệm x = g(y) Thực phép đổi biến = x g(y),dy = f '(x)dx d ta có: V = π∫ x2 f '(x)dx B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN c I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f(x), x  a, x  b trục hoành Phương pháp Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] Footer Page of 258 Header Page of 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x) dx  S a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x2  x  0, x  Ox Giải Trên [0;2] ta có x > 0∀x ∈ [0;2] 2 Vậy diện tích hình phẳng cho = S ∫ x= dx ∫ = x dx = x 3 0 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x  4x  3, x  0, x  Ox Giải Bảng xét dấu x y – + S  x  4x  dx    x  4x   dx    x2  4x   dx 2 1  x3   x3       2x2  3x      2x  3x       3 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  ln x, x  1, x  e Ox Giải e Do ln x  x   1; e  nên: S   e ln x dx   e ln xdx  x  ln x    1 ln x , Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x x 1,x = e y = 0,= ln x ≥ 0,∀x ∈ [1;e] nên diện tích hình phẳng cần tìm là: x e e ln x ln x = S ∫= dx ∫ dx x x 1 Đặt: t = ln x ⇒ dt = dx x Đổi cận: Với x = ta t = Với x = e ta t = 1 1 1 Khi đó:= = − = Vậy: Diện tích hình phẳng cần tìm S ∫= t dt = t 3 3 Footer Page of 258 Vì: CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y =− x − 2, x =0, x =3, y =0 Giải Ta có − x − =−( x + 2) < 0∀x ∈ [0;3] Vậy diện tích cần tính Header Page of 258  x2  21 S = ∫ − x − dx = ∫ ( x + 2)dx =  + x  =  0 0 3 = y f= ( x) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành đường thẳng x = −1, x = Giải −x − =0 ⇔ x =−2 ∉ [ − 1;0] x −1 BXD x -∞ -2 +∞ + −x − x −1 −x − Từ BXD ta có > 0∀x ∈ [ − 1;0] x −1 Vậy diện tích cần tính 0 0 −x − −x − −x − dx = = = = S ∫ dx ∫ dx ∫ dx − ∫ dx − ∫ x −1 x −1 x −1 x −1 −1 −1 −1 −1 −1 = ( − x − 3ln x − ) −1 −x − , x −1 = 3ln − Ví dụ 6: Cho hàm số y =x3 − x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, trục tung đường thẳng x = Giải Trục tung có phương trình x =  x = 1∈ [0;2] x3 − 3x + = ⇔   x= ∈ [0;2] BXD: x -∞ + x − 3x + +∞ + Dựa vào BXD ta có x3 − x + ≥ ∀x ∈ [0;1], x3 − x + ≤ ∀x ∈ [1;2] Vậy diện tích càn tính Footer Page of 258 Header Page of 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 S= ∫x ∫ (x − x + dx = 0 − x + 2)dx − ∫ ( x3 − x + 2)dx 1  x4   x4  =  − x + x  −  − x3 + x  =  0  1 Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f(x), y  g(x), x  a, x  b Phương pháp Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x)  g(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x)  g(x) dx  S a Ví dụ 0: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x2 , y = −2 x + 3, x = 0, x = Giải Đặt f ( x) = x , g ( x) = −2 x + ta xét dấu f ( x) − g ( x)  x = 1∈ [0;2] Ta có f ( x) − g ( x) = ⇔ x + x − = ⇔   x =−3 ∉ [0;2] BXD: x f ( x) − g ( x) / + Vậy diện tích hình phẳng cho S= ∫x + x − dx = ∫x 2 + x − 3dx + ∫ x + x − 3dx 1  x3   x3  = + x − x  +  + x − x  = + =4  0  1 3 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x  11x  6, y  6x , x  0, x  Giải h(x)  (x  11x  6)  6x2  x  6x2  11x  h(x)   x   x   x  (loại) Bảng xét dấu Footer Page of 258 x CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 h(x) – + Header Page of 258 S    x  6x  11x   dx    x  6x2  11x   dx 1  x4   x4  11x2 11x2 3       2x   6x     2x   6x      2  Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y =x3 − x − x + 3, y =− x3 − x + x + hai đường thẳng= x 0,= x Giải Đặt: f ( x) =x3 − x − x + 3, g ( x) =− x3 − x + x + −1  = x ∉ [0;2]   f ( x) − g ( x) = ⇔ x3 + x − x − = ⇔  x = 1∈ [0;2]  x =−1∉ [0;2]   Vậy diện tích cần tính = S ∫ (2 x + x − x − 1) dx = ∫ (2 x + x − x − 1)dx + ∫ (2 x3 + x − x − 1)dx = Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y =x − x, y =x + 1, x =−1, x =2 Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x + =0 ⇔ x =− Diện tích cần tính − S= ∫ −1 x + 1dx = ∫ (2 x + 1)dx + −1 ∫ (2 x + 1)dx = ( x + x ) −1 −1 −1 + ( x + x ) −1 = 2 13 Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f(x), y  g(x) Phương pháp Bước Giải phương trình f(x)  g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x)  g(x) đoạn  ;   Trong ,  nghiệm nhỏ lớn phương trình f(x)  g(x)  Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x)  g(x) dx  S  Ví dụ 0: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x , y= x + Giải Footer PageĐặt of f258 ( x)= x , g ( x)= x + CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017  x = −1 Ta có f ( x) − g ( x) = ⇔ x − x − = ⇔  x = Vậy diện tích hình phẳng cần tính Header Page of 258  x3 x  S= ∫ x − x − dx= ∫ ( x − x − 2)dx=  − − x  =   −1 −1 −1 2 Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = y ( x − 1)ln x đường thẳng y= x − +) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 ⇔ x = x = e + Diện tích cần tìm là: e e e x2 S= ∫ ( x − 1)(ln x − 1) dx =∫ ( x − 1)(ln x − 1)dx =∫ (ln x − 1)d ( − x) = 1 e 1 x2 x  =( − x)(ln x − 1) |1e − ∫ ( − 1)dx =− −  x − x  |1e 2 4  e − 4e + = (đvdt) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x 3, y  4x Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x  4x  x  2  x   x  S  x  4x  dx  2  x4     2x2     x  4x  dx 0 2  x4      2x     Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  11x  6, y  6x Giải 3 Đặt h(x)  (x  11x  6)  6x  x  6x2  11x  h(x)   x   x   x  Bảng xét dấu x h(x) + – S  x Footer Page of 258 3  6x  11x   dx    x  6x2  11x   dx 2 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 2  x4   x4  11x 11x 3      2x   6x     2x   6x   2    2 Header Page of 258 Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x4 + 5x2 − Với trục hoành Giải Trục tung có phương trình x =  x = ±1 Xét phương trình − x + x − = ⇔   x = ±2 BXD: x -∞ -2 -1 +∞ + + − x + 5x − Dựa vào BXD ta có: − x + x − ≤ ∀x ∈ [ − 1;1], − x + x − ≤ ∀x ∈ [ − 2; −1] ∪ [1;2] Vậy diện tích cần tính −1 S= ∫ (−x −2 + x − )dx − ∫ ( − x + x − )dx + ∫ ( − x + x − )dx −1 −1 1  x5 x3   x5 x3   x5 x3  =− + − 4x  −  − + − 4x  +  − + − x  =8  3   −2   −1  1 Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + Và đường thẳng y= x − Giải Đặt f ( x) =x − x + 2, g ( x) =x − x =1 f ( x) − g ( x) = ⇔ x − x + = ⇔  x = Diện tích cần tính S= ∫ x3 x − x + dx = ∫ ( x − x + 3)dx = − x + 3x = 3 1 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ ĐÁP ÁN Câu Diện tích hình phẳng màu vàng hình vẽ Footer Page of 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 Header Page of 258 b f1  x   f  x  dx A  C   f x  f a b a  x   dx a f1  x   f  x  dx B  D   f x  f b a b  x   dx Câu Thể tích V phần vật thể hình ảnh tính công thức b A V   S x  dx a b B V   S x  dx a b C V   S2  x  dx a b D V   S2  x  dx a Câu Thể tích V khối tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) b b b b A V   f  x  dx B V   f  x  dx C V  2  f  x  dx D V   f  x  dx a a a a Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x 1, y  2x 1 hai đường thẳng x = 1, x = A 11 12 Footer Page of 258 B  11 12 C 94 12 D 37 12 Header Page 10 of 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 Câu Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y  x  1, x  0, x  1, y  quay quanh trục Ox A 28 15 28 15 B C  D Câu Để tìm diện tích hình phẳng giới hạn C : y  x ; y  0; x  -1; x  học sinh thực theo bước sau: Bước I S   x dx 1 x4 Bước II S  1 Bước III S    15 Cách làm sai từ bước nào? A Bước I B Bước II C Bước III D Không có bước sai Câu Diện tích hình phẳng giới hạn C : y  x ; y  0; x  1; x  là: A B 17 C 15 D 19 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn C : y  3x  4x  5;Ox ; x  1; x  là: A 212 15 B 213 15 C 214 15 D 43 Câu Cho hai hàm số f  x  g  x  liên tục a; b  thỏa mãn:  g  x   f  x  , x  a; b  Gọi V thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh Ox hình phẳng H  giới hạn đường: y  f  x  , y  g  x  , x  a ; x  b Khi V dược tính công thức sau đây? b A  b B  f  x   g  x  dx  f  x   g  x  dx   a a  b  C  f  x   g  x  dx  a    Footer Page 10 of 258 b D  a f  x   g  x  dx Header Page 25 of 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 443 25 B  ln C D A  ln 24 y  x  Quay hình (H) x Câu 126 Cho hình (H) giới hạn đường y  quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: A 9 B 15  ln C 33  ln D 9 Câu 127 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox, đường thẳng x=a, x=b (a