1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Đạo hàm và vi phân - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

7 17 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 262,2 KB

Nội dung

[r]

(1)

Mục tiêu

 Hiểu khái niệm đạo hàm, vi phân hàm số

 Giải tập vềđạo hàm, vi phân

 Biết vận dụng linh hoạt định lý, khai triển quy tắc giải tập

 Khảo sát tính chất, dáng điệu hàm

 Hiểu ý nghĩa hình học ý nghĩa thực tiễn đạo hàm vi phân

Thời lượng Nội dung

 Bài trình bày khoảng tiết tập tiết lý thuyết

 Bạn nên dành tuần khoảng 120 phút vịng hai tuần để học

 Ơn tập, củng cố khái niệm đạo hàm, vi phân hàm số biến số

 Các tính chất, ứng dụng lớp hàm khả vi toán học

Hướng dẫn học

 Bạn cần đọc kỹ ví dụđể nắm vững lý thuyết

 Bạn nên học thuộc số khái niệm bản, bảng đạo hàm hàm số sơ cấp định lý Cauchy, Lagrange, Fermat,…

(2)

Bài 2: Đạo hàm vi phân

2.1. Đạo hàm

2.1.1. Khái niệm đạo hàm

Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) x0(a, b) Nếu tồn giới hạn tỉ số

0

f (x) f (x ) x x

 xx0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số

y f (x) điểm x , kí hi0 ệu là: f '(x ) hay 0 y '(x ) 0 Đặt:   x x x , y y y0    0 ta được: 0

x

y y '(x ) lim

x

 

 

Nếu hàm số f (x) có đạo hàm x f (x) liên t0 ục x 0

Về mặt hình học, đạo hàm hàm số f (x) điểm x bi0 ểu diễn hệ số góc đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y f (x) điểm M (x ,f (x )) 0 0 0

Phương trình tiếp tuyến điểm x là: 0 y f (x )(x x ) f (x ) 0  0  0

Hình 2.1

2.1.2. Các phép tốn vềđạo hàm

Nếu hàm số u(x), v(x) có đạo hàm x thì:

 u(x) v(x) có đạo hàm x (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)  

 u(x) v(x) có đạo hàm x (u(x).v(x)) ' u '(x).v(x) u(x).v '(x).   u(x)

v(x) có đạo hàm x , trừ v(x) 0

2

u(x) u '(x).v(x) u(x).v '(x) '

v(x) v (x)

   

 

 

(3)

2.1.3. Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp Ta có bảng tương ứng đạo hàm hàm hợp

 c  0 (c số)  x   x1  , 0

 ax  a ln ax a 0,a 1  

x x

(e ) ' e

 a 

1

log x ' (a 0,a 1, x 0) x ln a

   

1 (ln x) '

x

 x 0  (sin x) ' cos x

(cos x) ' sin x

 

1 tgx '

cos x

 (x k , k )

2      (cotgx) ' sin x

  (x k , k  )

2

1 (arcsin x) '

1 x

 x 1 

2

1 (arccosx) '

1 x

 

 x 1 

2 (arctgx) ' x   (arcotgx) ' x   

u(x) '  u(x) u '(x)1  , x 0 

 

u(x ) u(x)

(a ) ' a ln a u '(x) a 0,a 1  

u(x) u(x)

(e ) ' e u '(x)

 a 

u '(x)

log u(x) ' (a 0,a 1, u(x) 0) u(x) ln a

   

u '(x) (ln u(x)) '

u(x)

 u(x) 0 

 

(sin u(x)) ' cos u(x) u '(x)

 

(cos u(x)) ' sin u(x) u '(x)

 

u '(x) tgu(x) '

cos u(x)

 (u(x) k , k )

2      u '(x) (cotgu(x)) ' sin u(x)

  u x   k , k 

2

u '(x) (arcsin u(x)) '

1 u(x)

 u(x) 1 

2

u '(x) (arccosu(x)) '

1 u(x)

 

 u(x) 1 

2 u '(x) (arctgu(x)) ' u(x)   u (x) (arcotgu(x)) ' u(x)    

2.2. Vi phân

2.2.1. Định nghĩa vi phân

Cho hàm số y f (x) , có đạo hàm x , theo định nghĩa đạo hàm ta có:

x

y f '(x) lim

x

 

 

trong đó: y = f(x + x) – f(x)

Vậy khi: x 0, y f '(x) k, k x

    

  x

(4)

Bài 2: Đạo hàm vi phân Ta có số hạng k x VCB bậc cao x Do y f '(x) x hai VCB tương đương Biểu thức f '(x) x gọi vi phân hàm số y f (x) x Kí hiệu dy hay df (x)

Vậy: dy f '(x) x  (2.1)

Nếu hàm số có vi phân x , ta nói f (x) khả vi x Như vậy, hàm số biến số khái niệm hàm số có đạo hàm x khái niệm hàm số khả vi x tương đương

Nếu y x dy dx x   Vậy biến độc lập x , ta có dx x Do đó, cơng thức (2.1) viết là: dy f '(x)dx (2.2)

Ví dụ 1:

Nếu y ln x y ' x ln x

 Do

1

dy dx

2x ln x

2.2.2. Vi phân tổng, tích, thương

Từ cơng thức đạo hàm tổng, tích, thương hai hàm số suy ra: d(u v) du dv  

d(u.v) u.dv vdu 

2

u vdu udv

d (v 0)

v v

   

   

2.2.3. Vi phân hàm hợp - tính bất biến dạng biểu thức vi phân

Nếu y f (x) hàm số khả vi biến độc lập x vi phân tính theo cơng thức (2.2) , ta xét trường hợp x hàm số khả vi biến độc lập t đó:

x (t)

Khi y hàm số biến độc lập t : y f ( (t)) 

Theo cơng thức tính vi phân theo quy tắc tính đạo hàm hàm hợp, ta có:

t x t x t x

dy y ' dt (y ' x ' )dt y ' (x ' dt) y ' dx.   

Như biểu thức vi phân giữ nguyên dạng trường hợp x biến độc lập, mà phụ thuộc vào biến độc lập khác Nói cách khác, biểu thức vi phân bất biến phép đổi biến số: x (t)

2.2.4. Ứng dụng vi phân vào tính gần

Vì  x 0; f (x0  x) f (x )0 VCB tương đương với f '(x ) x0  , nên

x

 nhỏ, ta có cơng thức tính gần đúng:

0 0

(5)

Ví dụ 2:

Tính gần 415,8

Ta cần tính gần đúng:

1

y f (x) x  15,8 16 0, 2  Đặt x0 16, x  0,

Ta có: f (x0  x) f (x ) f '(x ) x.0  

Vì:

3

4

0 4 3 4 3

1 1

f (x ) 16 2,f '(x) x ,f '(x )

4 4 x 4 16 32

     

Ta được: 415,8 416 0, 2 0,00625 1,9938.

32

    

2.3. Các định lý hàm số khả vi

2.3.1. Định lý Fermat

Giả sử hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) c (a, b) Khi c hàm số f (x) có đạo hàm f '(c) 0

Chứng minh:

Giả sử hàm số f (x) nhận giá trị lớn c Với x (a, b) ta có: f (x) f (c) f (x) f (c) 0 

Nếu hàm số f (x) có đạo hàm cthì

x c

f (x) f (c)

f '(c) lim

x c

 

 

Với giả thiết x c ta có:

x c

f (x) f (c) f (x) f (c)

0 f '(c) lim

x c   x c

 

   

 

Với giả thiết x  c ta có:

x c

f (x) f (c) f (x) f (c)

0 f '(c) lim

x c   x c

 

   

 

Do suy f (c) =

Trường hợp f(x) đạt giá trị nhỏ điểm c(a,b) chứng minh hoàn toàn tương tự

2.3.2. Định lý Rolle

Giả sử hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện:

 Xác định liên tục  a, b

 Khả vi khoảng (a, b)

 f (a) f (b)

(6)

Bài 2: Đạo hàm vi phân Chứng minh:

Đặt f(x) = f(b) = d Xét trường hợp:

 Nếu f x   d, x  a, b f x  hàm  a, b Khi c điểm tùy ý thuộc a, b

 Nếu  x  a, b cho f(x)  d, f liên tục  a, b nên tồn giá trị lớn M f(x)  a, b đạt c a, b Do M  d nên c a, b , c điểm tới hạn f Mặt khác f khả vi (a,b) nên f c 0

 Trường hợp  x  a, b , cho f(x)  d lập luận tương tự

Ý nghĩa hính học định lý Rolle: Nếu hai điểm A,B có tung độ nối với đường cong liên tục y f x ,   có tiếp tuyến điểm, đường cong có điểm mà tiếp tuyến song song với trục hồnh

2.3.3. Định lý Lagrange

Giả sử hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện sau:

 Xác định liên tục  a, b

 Khả vi khoảng (a, b)

Khi đó, tồn điểm c (a, b) cho: f '(c) f (b) f (a) b a

 

Chứng minh:

Đặt: g(x) f (x) f (a) f (b) f (a)(x a) b a

   

 , x a, b

Từ giả thiết định lý Lagrange dễ dàng thấy hàm số g(x) thỏa mãn điều kiện:

 Liên tục  a, b

 Có đạo hàm (a, b) : g '(x) f '(x) f (b) f (a), x (a, b) b a

   

 g(a) g(b) 0 

Theo định lý Rolle, tồn c (a, b) cho:

f (b) f (a) f (b) f (a) g '(c) f '(c) f '(c)

b a b a

 

    

 

Định lý chứng minh

(7)

Hình 2.2

2.3.4. Định lý Cauchy

Giả sử hàm số f (x) g(x) thỏa mãn điều kiện sau Xác định liên tục  a, b

 Khả vi khoảng (a, b)

 g '(x) 0, x (a, b)  

Khi tồn điểm c (a, b) cho: f '(c) f (b) f (a) g '(c) g(b) g(a)

 

Chứng minh:

Trước hết ta thấy rằng, với giả thiết định lý g(b) g(a) Thật vậy, g(b) g(a) theo định lý Rolle, tồn điểm c cho g '(c) 0 , điều trái với giả thiết g '(x) x (a, b).  

Xét hàm số:

       

f (b) f (a)

(x) f (x) g x , x a, b g b g a

   

 Dễ thấy rằng:

 (x) liên tục  a, b

 (x) khả vi (a, b)

 (a) (b)

Theo định lý Rolle, tồn điểm c (a, b) cho

   

f (b) f (a)

'(c) f '(c) g '(c) g b g a

   

 f '(c) f (b) f (a)

g '(c) g(b) g(a)

 

Định lý chứng minh

Ngày đăng: 01/04/2021, 03:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w