Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

đây là bài tập chương 4 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 3 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,5,6,7,8 nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt

Chương Ma trận hệ phương trình tuyến tính 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ n phương trình tuyến tính, n ẩn Dạng Ax = b  a11 a12  a21 a22  A    an1 an a1n   a2 n    ann   x1    x2  T  x   x1 x2 xn       xn   b1    b2   b      bn  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận • Khơng gian tuyến tính thực Rⁿ • Chuẩn vector x  Rⁿ số thực ║x║ thỏa  x  Rⁿ, ║x║  0; ║x║ =  x =  x  Rⁿ, λ  R, ║λ x║= │λ│║x║  x, y  Rⁿ, ║x + y║ ≤ ║x║ + ║y║ (bất đẳng thức tam giác) • Giả sử x vector, xét chủ yếu chuẩn thường dùng sau:  x1  x  x  2      xn  n Chuẩn cột x  x1  x2   xn   xk k 1 Chuẩn Euclid Chuẩn hàng 1/2   x  x1  x2   xn    xk   k 1  x   max  x1 , x2 , , xn   max xk 2 n k 1, n 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận Ví dụ:  2  x     5     x | 2 |  | |  | 5 | 10  2 x  |  |  | |  |  |  24    x   max{| 2 |  | |  | 5 |}  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận Max “tổng cột” Max “tổng hàng” 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận Ví dụ 4.5.1 Ta có:  1  A   1   2 5    A  max{| 1 |  | |  | |,| |  | |  | 2 |,|1 |  | 1 |  | 5 |}  max{7, 4,7}  A   max{| 1 |  | |  |1 |,| |  | |  | 1 |,| |  | 2 |  | 5 |}  max{2, 7,9}  A  | 1 |2  | |2  |1 |2  | |2  | |2  | 1 |2  | |2  | 2 |2  | 5 |2     16      25  56 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Sự hội tụ dãy vector Dãy véctơ x k    k 0 với x(k) Rn hội tụ véctơ k  +  x( k )  x  k + (hội tụ theo chuẩn) lim x( k )  x k  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Jacobi (I) Với giả thiết ma trận A có tính chéo trội, hệ số aii ≠ 0, i = 1,2, ,n nên ta chia phương trình thứ i hệ (I) cho aii nhận hệ phương trình tương tương 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Jacobi 4 x1  1x2  x3  16   1x1  3x2  1x3  10 1x  x  x  12  16   x1  x1  x2  x3   1 10  x   x  x  x   2 3 3  12  x   x  x  x   5 β 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4.5.1 Giải hệ phương trình phương pháp lặp (Jacobi) 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Gauss - Seidel Chú ý: • n số cột ma trận α • Sai số dùng cơng thức: Sai số:  qi  pi   ij , qi   ij ,   max   i  p j 1 j i i   i 1 n Khi sai số là: x (k )   1  x ( k )  x ( k 1)  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Gauss - Seidel Chú ý: • n số cột ma trận α • Sai số dùng cơng thức: Sai số:  qi  pi   ij , qi   ij ,   max   i  p j 1 j i i   i 1 n Khi sai số là: x (k )   1  x ( k )  x ( k 1)  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Gauss - Seidel Ví dụ cho sai số:  a11 a12 a a22 21   a31 a32 a13  p1  0, q1  a11  a12  a13  a23  p2  a21 , q2  a22  a23  a33  p3  a31  a 32 , q3  a33 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.2 Giải: Chuyển hệ phương trình tương đương Lấy (0) x  0; x (0)  0; x (0) 0 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.2 Sai số:  0.9992   1.2     1.00536    1.06   0.999098   0.948      0.2008  0.05464  0.051098  0.2008  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 Tìm nghiệm xấp xỉ x(k) phép lặp Gauss - Seidel hệ phương trình sau với sai số bé 10-2 Nghiệm xác x = (0.5, 1, 1)T Giải: Chuyển phương trình tương đương  x1  0.7  0.1x2  0.1x3   x2   0.2 x1  0.1x3  x  1.1  0.4 x  0.1x  Lấy x1(0)  0; x2(0)  0; x3(0)  10 x1  x2  x3   2 x1  10 x2  x3  10 4 x  x  10 x  11  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 Sử dụng phép lặp Gauss - Seidel ta có:  x1(1)  0.7 - 0.1  - 0.1   0.7  (1)  x2  1- 0.2  0.7  0.1   0.86  x (1)  1.1- 0.4  0.7  0.1  0.86  0.906   x1(2)  0.7 - 0.1  0.86 - 0.1  0.906  0.5234  (2)  x2  1- 0.2  0.5234  0.1  0.906  0.98592  x (2)  1.1- 0.4  0.5234  0.1  0.98592  0.989232   0.5234   0.7     0.98592    0.86   0.989232   0.906      0.1766  0.1766  102  0.12592  0.083232   x1  0.7 - 0.1  - 0.1   0.7  (1)  x2  1- 0.2  0.7  0.1   0.86  x (1)  1.1- 0.4  0.7  0.1  0.86  0.906  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3  x1(2)  0.7 - 0.1  0.86 - 0.1  0.906  0.5234  (2)  x2  1- 0.2  0.5234  0.1  0.906  0.98592  x (2)  1.1- 0.4  0.5234  0.1  0.98592  0.989232   x1(3)  0.7 - 0.1  0.98592 - 0.1  0.989232  0.502485  (3)  x2  1- 0.2  0.502485  0.1  0.989232  0.998426  x (3)  1.1- 0.4  0.502485  0.1  0.998426  0.998849   0.502485   0.5234     0.998426    0.98592   0.998849   0.989232      0.02092  0.02092  102  0.012506  0.009617  4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3  x1(3)  0.7 - 0.1  0.98592 - 0.1  0.989232  0.502485  (3)  x2  1- 0.2  0.502485  0.1  0.989232  0.998426  x (3)  1.1- 0.4  0.502485  0.1  0.998426  0.998849   x1(4)  0.7 - 0.1  0.998426 - 0.1  0.998849  0.5002725  (4)  x2  1- 0.2  0.5002725  0.1  0.998849  0.9998304  x (4)  1.1- 0.4  0.5002725  0.1  0.9998304  0.99987404   0.5002725   0.502485     0.9998304    0.998426   0.99987404   0.998849      0.00221  0.001404  0.001025   0.00221  102 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 Kết quả: Nghiệm Sai số  x1  0.5002725   x2  0.9998304  x  0.99987404    0.00221 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Dùng phương pháp lặp Gause-Seidel tìm nghiệm gần hệ phương trình: Giải: Chuyển phương trình tương đương: 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Giải: Kiểm tra hội tụ: α=    4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Giải: Chọn x(0) = (2, 3, 5)T  x1(1)   0.06   0.02   1.92  (1)  0.03  1.92  0.05   3.1924  x2   x (1)   0.01  1.92  0.02  3.1924  5.044648  p1 = 0; q1 = 0.08; μ1 = 0.08/(1-0) = 0.08 p2 = 0.03; q2 = 0.05; μ2 = 0.05/(1-0.03) = 0.0515464 p3 = 0.01+0.02 = 0.03; q3 =0; μ3 = 0/(1-0.03) = μ = max{0.08, 0.0515464,0} = 0.08 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Giải: x (1)   1  x (1)  x (0)   1.92    0.08     3  3.1924     0.08    5 5.044648     0.08  0.0869565  0.08  1.92     3.1924      0.1924      5.044648        x (1)  0.0869565  0.1924  0.01673  Luyện tập Giải hệ phương trình phương pháp lặp Jacobi Gauss – Seidel với sai số 10-2 ... 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví...  x  x   5 β 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4.5.1 Giải hệ phương trình phương pháp lặp (Jacobi) 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4.5.1 Giải hệ phương trình phương pháp lặp (Jacobi)... Dựa ma trận A: n | aii |  | aij |,(i  1,2, , n) j i Dựa ma trận α: ‖