đây là bài tập chương 4 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 3 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,5,6,7,8 nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt
Chương Ma trận hệ phương trình tuyến tính 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ n phương trình tuyến tính, n ẩn Dạng Ax = b a11 a12 a21 a22 A an1 an a1n a2 n ann x1 x2 T x x1 x2 xn xn b1 b2 b bn 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận • Khơng gian tuyến tính thực Rⁿ • Chuẩn vector x Rⁿ số thực ║x║ thỏa x Rⁿ, ║x║ 0; ║x║ = x = x Rⁿ, λ R, ║λ x║= │λ│║x║ x, y Rⁿ, ║x + y║ ≤ ║x║ + ║y║ (bất đẳng thức tam giác) • Giả sử x vector, xét chủ yếu chuẩn thường dùng sau: x1 x x 2 xn n Chuẩn cột x x1 x2 xn xk k 1 Chuẩn Euclid Chuẩn hàng 1/2 x x1 x2 xn xk k 1 x max x1 , x2 , , xn max xk 2 n k 1, n 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận Ví dụ: 2 x 5 x | 2 | | | | 5 | 10 2 x | | | | | | 24 x max{| 2 | | | | 5 |} 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận Max “tổng cột” Max “tổng hàng” 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuẩn vector chuẩn ma trận Ví dụ 4.5.1 Ta có: 1 A 1 2 5 A max{| 1 | | | | |,| | | | | 2 |,|1 | | 1 | | 5 |} max{7, 4,7} A max{| 1 | | | |1 |,| | | | | 1 |,| | | 2 | | 5 |} max{2, 7,9} A | 1 |2 | |2 |1 |2 | |2 | |2 | 1 |2 | |2 | 2 |2 | 5 |2 16 25 56 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Sự hội tụ dãy vector Dãy véctơ x k k 0 với x(k) Rn hội tụ véctơ k + x( k ) x k + (hội tụ theo chuẩn) lim x( k ) x k 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Jacobi (I) Với giả thiết ma trận A có tính chéo trội, hệ số aii ≠ 0, i = 1,2, ,n nên ta chia phương trình thứ i hệ (I) cho aii nhận hệ phương trình tương tương 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Jacobi 4 x1 1x2 x3 16 1x1 3x2 1x3 10 1x x x 12 16 x1 x1 x2 x3 1 10 x x x x 2 3 3 12 x x x x 5 β 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4.5.1 Giải hệ phương trình phương pháp lặp (Jacobi) 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Gauss - Seidel Chú ý: • n số cột ma trận α • Sai số dùng cơng thức: Sai số: qi pi ij , qi ij , max i p j 1 j i i i 1 n Khi sai số là: x (k ) 1 x ( k ) x ( k 1) 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Gauss - Seidel Chú ý: • n số cột ma trận α • Sai số dùng cơng thức: Sai số: qi pi ij , qi ij , max i p j 1 j i i i 1 n Khi sai số là: x (k ) 1 x ( k ) x ( k 1) 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp lặp Gauss - Seidel Ví dụ cho sai số: a11 a12 a a22 21 a31 a32 a13 p1 0, q1 a11 a12 a13 a23 p2 a21 , q2 a22 a23 a33 p3 a31 a 32 , q3 a33 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.2 Giải: Chuyển hệ phương trình tương đương Lấy (0) x 0; x (0) 0; x (0) 0 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.2 Sai số: 0.9992 1.2 1.00536 1.06 0.999098 0.948 0.2008 0.05464 0.051098 0.2008 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 Tìm nghiệm xấp xỉ x(k) phép lặp Gauss - Seidel hệ phương trình sau với sai số bé 10-2 Nghiệm xác x = (0.5, 1, 1)T Giải: Chuyển phương trình tương đương x1 0.7 0.1x2 0.1x3 x2 0.2 x1 0.1x3 x 1.1 0.4 x 0.1x Lấy x1(0) 0; x2(0) 0; x3(0) 10 x1 x2 x3 2 x1 10 x2 x3 10 4 x x 10 x 11 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 Sử dụng phép lặp Gauss - Seidel ta có: x1(1) 0.7 - 0.1 - 0.1 0.7 (1) x2 1- 0.2 0.7 0.1 0.86 x (1) 1.1- 0.4 0.7 0.1 0.86 0.906 x1(2) 0.7 - 0.1 0.86 - 0.1 0.906 0.5234 (2) x2 1- 0.2 0.5234 0.1 0.906 0.98592 x (2) 1.1- 0.4 0.5234 0.1 0.98592 0.989232 0.5234 0.7 0.98592 0.86 0.989232 0.906 0.1766 0.1766 102 0.12592 0.083232 x1 0.7 - 0.1 - 0.1 0.7 (1) x2 1- 0.2 0.7 0.1 0.86 x (1) 1.1- 0.4 0.7 0.1 0.86 0.906 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 x1(2) 0.7 - 0.1 0.86 - 0.1 0.906 0.5234 (2) x2 1- 0.2 0.5234 0.1 0.906 0.98592 x (2) 1.1- 0.4 0.5234 0.1 0.98592 0.989232 x1(3) 0.7 - 0.1 0.98592 - 0.1 0.989232 0.502485 (3) x2 1- 0.2 0.502485 0.1 0.989232 0.998426 x (3) 1.1- 0.4 0.502485 0.1 0.998426 0.998849 0.502485 0.5234 0.998426 0.98592 0.998849 0.989232 0.02092 0.02092 102 0.012506 0.009617 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 x1(3) 0.7 - 0.1 0.98592 - 0.1 0.989232 0.502485 (3) x2 1- 0.2 0.502485 0.1 0.989232 0.998426 x (3) 1.1- 0.4 0.502485 0.1 0.998426 0.998849 x1(4) 0.7 - 0.1 0.998426 - 0.1 0.998849 0.5002725 (4) x2 1- 0.2 0.5002725 0.1 0.998849 0.9998304 x (4) 1.1- 0.4 0.5002725 0.1 0.9998304 0.99987404 0.5002725 0.502485 0.9998304 0.998426 0.99987404 0.998849 0.00221 0.001404 0.001025 0.00221 102 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.3 Kết quả: Nghiệm Sai số x1 0.5002725 x2 0.9998304 x 0.99987404 0.00221 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Dùng phương pháp lặp Gause-Seidel tìm nghiệm gần hệ phương trình: Giải: Chuyển phương trình tương đương: 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Giải: Kiểm tra hội tụ: α= 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Giải: Chọn x(0) = (2, 3, 5)T x1(1) 0.06 0.02 1.92 (1) 0.03 1.92 0.05 3.1924 x2 x (1) 0.01 1.92 0.02 3.1924 5.044648 p1 = 0; q1 = 0.08; μ1 = 0.08/(1-0) = 0.08 p2 = 0.03; q2 = 0.05; μ2 = 0.05/(1-0.03) = 0.0515464 p3 = 0.01+0.02 = 0.03; q3 =0; μ3 = 0/(1-0.03) = μ = max{0.08, 0.0515464,0} = 0.08 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.4 Giải: x (1) 1 x (1) x (0) 1.92 0.08 3 3.1924 0.08 5 5.044648 0.08 0.0869565 0.08 1.92 3.1924 0.1924 5.044648 x (1) 0.0869565 0.1924 0.01673 Luyện tập Giải hệ phương trình phương pháp lặp Jacobi Gauss – Seidel với sai số 10-2 ... 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 4.5.1 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví... x x 5 β 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4.5.1 Giải hệ phương trình phương pháp lặp (Jacobi) 4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4.5.1 Giải hệ phương trình phương pháp lặp (Jacobi)... Dựa ma trận A: n | aii | | aij |,(i 1,2, , n) j i Dựa ma trận α: ‖