Đang tải... (xem toàn văn)
đây là bài tập chương 2 của môn học phương pháp tính trong lập trình mà các trường đại học, cao đẳng thường dùng đến về chuyên ngành CNTT,... chương phương trình phi tuyến khá rõ ràng và giải rất chi tiết... các bạn nhớ xem chương 345678 nữa để học tập thật tốt nhé
Phương trình phi tuyến Khoảng cách ly nghiệm Hình 1-1 Minh họa khoảng cách ly nghiệm (a, b) Tìm khoảng cách ly nghiệm 2.1 Tìm phương pháp giải tích Lập bảng biến thiên chia khoảng để xét dấu VD: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x + Tìm khoảng cách ly nghiệm f'(x) = 3x2 – = 3(x2 – 1) f’(x) = 3(x2 – 1) = x2 – = x = ± f(-1) = 4; f(1) = 0; f’’(x) = 6x; f’’(-1) = -6 < hàm số cực đại x = -1; fCĐ = f’’(1) = > hàm số cực tiểu x = 1; fCT = Bảng biến thiên: Tìm khoảng cách ly nghiệm: x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 y - + + + + + + + + + Khoảng phân ly nghiệm [-2.5, -1.5] Hàm số: 2.2 Tìm phương pháp dựa đồ thị Giả sử ta có hình sơ đồ thị hàm số, dựa ta đốn nhận khoảng cách ly nghiệm Ví dụ: Dựa hình ta có thề suy luận có khoảng phân ly nghiệm [-5, -3], [-2, 0] [1, 3] Vì phương trình bậc nên có tối đa nghiệm nên kết tìm hợp lý Kiểm tra khoảng cách ly nghiệm Phương trình f(x) = có nghiệm [a, b] thỏa điểu kiện sau: f(a) khác dấu f(b) f(a)f(b) < Đạo hàm cấp f’(x) không đổi dấu [a,b] Đạo hàm cấp hai f’’(x) khơng đổi dấu [a,b] => khơng có điểm uốn Tìm nghiệm phương pháp chia đơi Thuật tốn: Giả sử a b ta có: f(a)×f(b) m = |𝑓 ′ (𝑥𝑛 )| Ví dụ: Tìm nghiệm gần cho sai số tuyệt đối nhỏ 10-4 phương trình: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 6𝑥 + = Biết khoảng cách ly nghiệm (0, 1) Giải: Ta có: f(0) = >0; f(1) = – + = -3 < f'(x) = 3x2 – f’’(x) = 6x; f’’(0) = 0; f’’(1) = 6; f’’(x) > d = a = 0; x0 = b = 1; 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0 )(𝑥0 − 𝑑) 𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑑) x1 = – ((-3)*(1 - 0))/(-3 – 2) = – 3/5 = 0.4 Δx1 = |f(0.4)|/|f’(0.4)| = 0.060869565 > 0.0001 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1 )(𝑥1 − 𝑑) 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑑) X2 = 0.4 – (-0.336*0.4)/ (-0.336 - 2) =0.342465753 Δx2 = |f(0.342465753)|/|f’(0.342465753)| = 0.002590082 > 0.0001 𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2 )(𝑥2 − 𝑑) 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑑) X3 = 0.342465753 – (-0.014629178*0.342465753)/( -0.014629178 - 2) = 0.339978947 Δx3 = |f(0.339978947)|/|f’(0.339978947)| = 0.000102062 > 0.0001 𝑥4 = 𝑥3 − 𝑓(𝑥3 )(𝑥3 − 𝑑) 𝑓(𝑥3 ) − 𝑓(𝑑) X4 = 0.339978947 – (-0.000576983*0.339978947)/( -0.000576983 - 2) = 0.339880894 Δx4 = |f(0.339880894)|/|f’(0.339880894)| = 0.0000040073797138 < 0.0001 Nghiệm gần tìm là: x = 0.339880894 Sai số: 0.0000040073797138 Đồ thị hàm số: Tìm nghiệm phương pháp lặp Mơ tả phương pháp • Giả sử phương trình f(x) = có khoảng cách ly nghiệm (a,b) • Biến đổi phương trình tương đương: x = φ(x) • Chọn x0 chon x0 = (a + b)/2, tính xấp xỉ theo cơng thức: xn = φ(xn-1) (n=1, 2, 3,…) • Đánh giá sai số Δ = |x – α|, đặt: n sai số cần tìm: 𝛥𝑛 ≤ n 𝑞 = max{|𝜑′(𝑥)|} 𝑥∈[𝑎,𝑏] 𝑞 |𝑥 − 𝑥𝑛−1 | 1−𝑞 𝑛 Điều kiện phương pháp - (a, b) khoảng cách ly nghiệm phương trình f(x) = 0; - φ’(x) hàm số liên tục [a, b]; - Mọi xi tính theo công thức lặp thuộc [a, b]; - |φ’(x)| ≤ q 0; f(1) = – + = -3 < f'(x) = 3x2 – f’(0) = -6; f’(1) = -3; f’(x) < với x thuộc (0, 1) M = đặt φ(x) = x + (x3 – 6x + 2)/6 Bước 2: Tìm q kiểm tra xem hàm φ có thỏa mãn điều kiện hội tụ: φ'(x) = + 1/6(3x2 – 6); φ'(0) = 0; φ'(1) = + 1/6*(3-6) = – 1/2 = 0.5 q = max{φ'(x)} = 0.5 < Thỏa mãn điều kiện Bước 3: Tính giá trị nghiệm đánh giá sai số Chọn x0 = (1 + 0)/2 =0.5 x1 = φ(x0) = φ(0.5) = 0.5 + (0.5^3 – 6*0.5 + 2)/6 = 0.354166667 Δx1 = 0.5/0.5*|0.354166667 – 0.5| = 0.145833333 > 0.0001 x2 = φ(x1) = φ(0.145833333) = 0.145833333+ (0.145833333^3 – 6*0.145833333+ 2)/6 = 0.333850248 Δx2 = |0.333850248 - 0.354166667| = 0.020316419 > 0.0001 x3 = φ(x2) = φ(0.333850248) = 0.333850248+ (0.333850248^3 – 6*0.333850248+ 2)/6 = 0.339534935 Δx3 = |0.339534935- 0.333850248| = 0.005684687 > 0.0001 x4 = φ(x3) = φ(0.339534935) = 0.339534935+ (0.339534935^3 – 6*0.339534935+ 2)/6 = 0.339857156 Δx4 = |0.339857156-0.339534935| =0.000322221 > 0.0001 x5 = φ(x4) = φ(0.339857156) = 0.339857156+ (0.339857156^3 – 6*0.339857156+ 2)/6 = 0.339875747 Δx5 = |0.339875747 - 0.339857156| = 0.000018591 < 0.0001 Nghiệm gần đúng: x = 0.339875747 Sai số: 0.000018591 ≈ 0.00002 nghiệm gần đúng: 0.339875747 ± 0.00002 Tìm nghiệm phương pháp tiếp tuyến (Newton) Áp dụng công thức: 𝑥n = 𝑥n−1 − 𝑓(𝑥𝑛−1 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑛−1 ) với n = 1, 2, …, : x0 = b f(b) f”(x) dấu; x0 = a f(a) f”(x) dấu Sai số: |𝑥𝑛 − 𝛼| < |𝑓(𝑥𝑛 )| 𝑚 < 𝑚 ≤ |𝑓 ′ (𝑥𝑛 )| => m = |𝑓 ′ (𝑥𝑛 )| Ví dụ: Tìm nghiệm gần cho sai số tuyệt đối nhỏ 10-4 phương trình: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 6𝑥 + = Biết khoảng cách ly nghiệm (0, 1) Giải: Ta có: f(0) = >0; f(1) = – + = -3 < f'(x) = 3x2 – f’’(x) = 6x; f’’(0) = 0; f’’(1) = 6; f’’(x) > x0 = a = 0; 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0 ) 𝑓 ′ (𝑥0 ) x1 = – 2/(-6) = 1/3 Δx1 = |f(1/3)|/|f’(1/3)| = 0.0065359477124183 > 0.0001 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1 ) 𝑓 ′ (𝑥1 ) x2 = 1/3 - 0.037037037/(-5.666666667) = 0.339869281 Δx2 = |f(0.339869281)|/|f’(0.339869281)| = 0.0000076056127499 < 0.0001 Nghiệm gần tìm là: x = 0.339869281 Sai số: 0.0000076056127499 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hàm số f(x) = x4 + 2x3 − x − Biết (0, 1) khoảng phân ly nghiệm Tìm nghiệm gần với sai số bé 10-4 phương pháp Đồ thị hàm số: Bài 2: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x + Biết (-2.5, -1.5) khoảng phân ly nghiệm Tìm nghiệm gần với sai số bé 10-4 phương pháp Đồ thị hàm số: ... 0.0000040073797138 Đồ thị hàm số: Tìm nghiệm phương pháp lặp Mơ tả phương pháp • Giả sử phương trình f(x) = có khoảng cách ly nghiệm (a,b) • Biến đổi phương trình tương đương: x = φ(x) • Chọn x0 chon... Ví dụ: Tìm nghiệm gần cho sai số tuyệt đối nhỏ 10-4 phương trình: