chương 6 đạo hàm và tích phân xác định

đây là bài tập chương 6 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 3 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,5,4,7,8 nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt

Chương Đạo hàm tích phân xác định Chương Đạo hàm tích phân xác định 6.1 Đặt vấn đề 6.2 Tính gần đạo hàm 6.3 Tính gần tích phân xác định Bài tập 6.1 Đặt vấn đề Trong thực tế: • Hàm y = f(x) dạng bảng số cơng thức tường chưa biết • Hoặc hàm số f(x) phức tạp => để tính đạo hàm tích phân f(x) ta chọn cơng thức gần đùng • Cơng thức gần cho phép dễ lập trình máy tính xk x0 … xn yk = f(xk) y0 … yn 6.2 Tính gần đạo hàm Cho hàm y = f(x) bảng số xk x0 … xn yk = f(xk) y0 … yn Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm công thức Taylor , đa thức nội suy Lagrange L(x) hay đa thức nội suy Newton N(x) Khi ta có: f’(x)  T’(x) f”(x)  T” (x) (6.1) f’(x)  L’(x) f”(x)  L” (x) (6.2) f’(x)  N’(x) f”(x)  N” (x) (6.3) 6.2 Tính gần đạo hàm 6.2.1 Biểu diễn f(x) qua chuỗi Taylor bậc f ' ( x0 )(x  x ) f " ( x0 )(x  x )2 f ( n ) ( x0 )( x  x0 )n (6.4) f ( x )  f ( x0 )     1! 2! n! Đặt: h  x  x0  x  x0  h f "( x0 ) f  x0  h   f ( x0 )  f '( x0 )h  h (6.5) Khi |h| bé ta có: f ( x0  h)  f ( x0 ) f '( x0 )  h (6.6) 6.2 Tính gần đạo hàm Sai số: f "( ) M R( x0 )  h  h; f "( x )  M , x  [x , x  h] 2 Ví dụ 6.1: Cho f(x) = x3 + 2x2 – Tính f’(1)? Giải: chọn h = 0.001 ta có: f (1  0.001)  f (1) (1.0013   1.0012  3)  (13   12  3) f ' 1   0.001 0.001 0.007005   7.005001 0.001 Sai số: f "( x )  x   f "(1)  10  M M 10  h   0.001  0.005 2 (6.7) 6.2 Tính gần đạo hàm 6.2.2 Tính đạo hàm đa thức nội suy Xấp xỉ hàm f(x) đa thức nội suy Pn(x) n + mốc: f ( x )  Pn ( x )  R( x ) (6.8) f '( x )  Pn' (x)  R ' ( x ) (6.9)  f '( x)  Pn' (x),  x  [a, b] Sai số: (6.10) f ( n 1) (c) n R '( x )  ( x  xi ), c  [a, b]  (n  1)! i 0 R '( x )  max f   a ,b  n 1  x  n  1 !  x  x0   x  xn   (6.11) (6.12) 6.2 Tính gần đạo hàm Tính đạo hàm đa thức nội suy Lagrange n L( x)   pn( k )  x  yk (6.11) k 0 (k ) n p x  x0  x  x1   x  xk 1  x  xk 1  x  xn    x   xk  x0  xk  x1   xk  xk 1  xk  xk 1  xk  xn  (6.12) Trường hợp mốc cách xk+1 – xk = h = const Đặt q = (x – x0)/h 1 q  q  1  q  n   L  x   yk k ! n  k ! q  k  k 0 n nk (6.13) 6.2 Tính gần đạo hàm Tính đạo hàm đa thức nội suy Lagrange Tính đạo hàm mốc: x x0 x1 y y0 y1 y0 = f(x0) y1 = f(x1) = f(x0 + h) Đa thức nội suy Lagrange có dạng x  x0 x  x1 L  x   y0  y1 h h y1  y0 f  x0  h   f  x0  f  x   h h h  x1  x0 (6.12)  x [x0 , x1] (6.13) (6.14) 6.2 Tính gần đạo hàm Tính đạo hàm đa thức nội suy Lagrange Ví dụ 6.2: Cho f(x) = ln(x) Tính f’(1.2)? Giải: chọn h = 0.001 ta có: f (1.2  h )  f (1.2) f (1.201)  f (1.2) f '(1.2)   h 0.001 0.183155  0.182322   0.832986 0.001 1 𝑓′(𝑥) = ⇒ 𝑓′(1.2) = = 0.833333 𝑥 1.2 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Đối với phải, tích phân ta thay hàm f(x) đa thức Newton bậc p1(x) Với tích phân thứ ta có:  x1 x0 x1 f (x)dx   p1 (x)dx x0 Đổi biến x = x0 + ht => dx = hdt, ứng với x0 t = 0, x1 t =  x1 x0 t 1 t p1 (x) dx  h  ( y0  t y0 )dt  h( y0t  y0 ) t 0 y0 y0  y1  h ( y0  )h , y0  y1  y0 2 x1 y0  y1   f (x) dx  h x0 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Về mặt hình học y1=f(x1) B y=f(x) (y0 + y1)/2 y0=f(x0) A h x0 x1 x 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Tương tự với tích phân i + 1, ta có: h a f (x) dx  [(y0  y1 )  (y1  y2 )   (yn1  yn )] y0  y n  h[  y1  y   y n 1 ] (b  a ) h n b (6.33) (6.34) (6.35) 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Về mặt hình học: ba h n f(x) x0 h x1 h x2 h x3 h x4 x 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Sai số: h2  b  a  M 12 M  max f   x  x a ,b (6.36) (6.37) 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Ví dụ 6.5: Cho hàm f(x) dạng bảng sau Tính tích phân hình thang Giải: x 0.25 0.5 0.75 y 0.77880 0.60653 0.47237 0.36788 y0  y n 0 f (x) dx  h[  y1  y2   yn1 ] h  0.25 1  0.36788 0 f (x) dx  0.25[  0.7788  0.60653  0.47237]  0.63541 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Ví dụ 6.5: Tính tích phân hình thang cho cơng thức sau với n = 10 Tính sai số I   e x dx Giải: h = 0.1 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 f(x) 1.105170918 1.221402758 1.349858808 1.491824698 1.648721271 1.8221188 2.013752707 2.225540928 2.459603111 2.718281828 y y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10  2.718281828  0 e dx  0.1  ( x 1.105170918  1.221402758  1.349858808  1.491824698  1.648721271  1.8221188  2.013752707  2.225540928  2.459603111) 6.3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Ví dụ 6.5: Tính tích phân hình thang cho cơng thức sau với n = 10 Tính sai số I   e x dx Giải: Sai số: f  x  ex  f  x  ex , f   x   e x , max f   x   f  1  e x 0,1 h2 b  a  M e   12 12n f 4  x  ex 6.3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson Thay tính tích phân hàm f(x), cơng thức tính tích phân đa thưc nội suy L(x) y f(x) x0 h L(x) x1 h x2 x 6.3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson Ta chia [a, b] thành 2n đoạn điểm chia xi: a = x0 < x1 < … < xn-1 < xn = b 𝑏−𝑎 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, ℎ = , 𝑖 = 0,1, , 2𝑛 2n Đặt yi = f(xi) Ta có:  b a x2 x4 x2 n x0 x2 x2 n  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx    f (x)dx (6.38) Đối với phải, tích phân ta thay hàm f(x) đa thức Newton bậc hai p2(x) 6.3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson Chia đoạn [a, b] làm 2n đoạn nhau, độ dài b  a ba h 2n h f  x  dx   (y  y n )  4(y1  y   y n 1 )  2(y  y   y n 2 )   h  n   n 1    y0    y2 k 1     y2 k   y2 n  3  k 1   k 1   Sai số h4  b  a  M 180 (6.39) M  max f (4)  x  x a ,b (6.40) 6.3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson Về mặt hình học: ba h 2n f(x) … x0 h x1 h x2 h x3 h x4 x2n-2 x2n-1 x2n 6.3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson Ví dụ 6.6: Tính tích phân Simpson cho cơng thức sau với n = Tính sai số I   e x dx Giải: h = 0.1 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 f(x) 1.105170918 1.221402758 1.349858808 1.491824698 1.648721271 1.8221188 2.013752707 2.225540928 2.459603111 2.718281828 y y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 0.1 0 e dx   (1  2.718281828  x 4  (1.105170918  1.349858808  1.648721271  2.013752707  2.459603111)   (1.221402758 1.491824698  1.8221188  2.225540928)) 6.3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson Ví dụ 6.6: Tính tích phân Simpson cho cơng thức sau với n = Tính sai số I   e x dx Giải: Sai số: f  x  ex  f  x  ex , f   x   e x , max f (4)  x   f (4) 1  e x 0,1 h4 b  a  M e   180 180n f 4  x  ex Bài tập Bài Cho hàm số f(x) dạng bảng Tính tích phân hình thang Simpson Bài Cho tích phân I Hãy tính tích phân xấp xỉ hình thang Simpson với n = 10 .. .Chương Đạo hàm tích phân xác định 6. 1 Đặt vấn đề 6. 2 Tính gần đạo hàm 6. 3 Tính gần tích phân xác định Bài tập 6. 1 Đặt vấn đề Trong thực tế: • Hàm y = f(x) dạng bảng số... x a ,b (6. 36) (6. 37) 6. 3 Tính gần tích phân Tích phân hình thang Ví dụ 6. 5: Cho hàm f(x) dạng bảng sau Tính tích phân hình thang Giải: x 0.25 0.5 0.75 y 0.77880 0 .60 653 0.47237 0. 367 88 y0 ...  x  ex 6. 3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson Thay tính tích phân hàm f(x), cơng thức tính tích phân đa thưc nội suy L(x) y f(x) x0 h L(x) x1 h x2 x 6. 3 Tính gần tích phân Tích phân Simpson