Đang tải... (xem toàn văn)
đây là bài tập chương 8 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 3 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,5,6, nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt
Chương Tối ưu hóa 8.1 Bài tốn tối ưu hóa Tối ưu hố thuật ngữ thường dùng để cực tiểu hoá hay cực đại hoá hàm ==> Tìm cực trị Chỉ cần tìm cực tiểu hàm f(x) Việc tìm cực đại xem tìm cực tiểu hàm –f(x) Các thuật toán cực tiểu hố đòi hỏi giá trị ban đầu biến x Nếu f(x) có nhiều cực tiểu địa phương, việc chọn giá trị đầu xác định cực tiểu tính Ta khơng có cách bảo đảm tìm cực tiểu tồn cục 8.3 Phương pháp Newton 8.3.1 Đặt vấn đề Việc tìm điểm cực tiểu hàm f(x) tương đương với việc xác định x đạo hàm g(x) hàm f(x) Nghiệm g(x) = tìm cách dùng phương pháp Newton cho hệ phương trình phi tuyến 8.3.2 Phương pháp Newton Khi tính nghiệm phương trình f(x) = ta dùng công thức lặp Newton (dựa phương trình tiếp tuyến): f ( xi ) xi 1 xi f '( xi ) 8.3 Phương pháp Newton 8.3.2 Phương pháp Newton (tiếp) Một cách tương tự,để tìm giá trị cực trị hàm f(x) ta đặt g(x)=f’(x) Như vậy, ta cần tìm giá trị x để g(x) = Như công thức lặp Newton là: g ( xi ) f '( xi ) xi 1 xi xi g '( xi ) f ''( xi ) Các đạo hàm f’(xi) f”(xi) xác định theo công thức: f ( xi h) f ( xi h) f '( xi ) 2h f ( xi h) f ( xi ) f ( xi h) f ''( xi ) h2 Tại giá trị f’(x) = hàm đạt giá trị cực đại f”(x) < cực tiểu f”(x) > 8.3 Phương pháp Newton 8.3.3 Thuật toán Vào: • Cận trái khoảng chứa cực trị: a • Sai số ԑ Ra: • xopt: giá trị đạt cực trị • y: giá trị hàm số xopt 8.3 Phương pháp Newton 8.3.3 Thuật toán Bước 1: Cho x1 = a; Bước 2: Lặp: x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1); t = |x2-x1|; Đến t ==> Hàm số đạt cực tiểu x1, y = f(x1) Ngược lại ==> Hàm số đạt cực đại x1, y = f(x1) Hết x1 = x2; 8.3 Phương pháp Newton Ví dụ 8.3.1: Tìm cực trị hàm số f(x) = x3 – 3x + khoảng [-1.5, 0] phương pháp Newton với ԑ = 0.001 Giải: Bước 1: f’(x) = 3x2 – f’’(x) = 6x Cho x1 = a = -1.5; Bước 2: Lặp lần 1: x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) = -1.5 – (3*(-1.5)^2 – 3)/(6*(-1.5)) = -1.08333; t = |x2-x1| = 0.416666667 > 0.001; x1 = x2 = -1.08333; 8.3 Phương pháp Newton Ví dụ 8.3.1: Giải: Bước 2: Lặp lần 2: x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) = = -1.08333 – (3*(-1.08333 )^2 – 3)/(6*(-1.08333 )) = -1.0032 ; t = |x2-x1| = 0.08013 > 0.001 ; x1 = x2 = -1.0032 ; Lặp lần 3: x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) = = -1.0032 – (3*(-1.0032 )^2 – 3)/(6*(-1.0032)) = -1.00001 ; t = |x2-x1| = 0.00319 > 0.001; x1 = x2 = -1.00001; 8.3 Phương pháp Newton Ví dụ 8.3.1: Giải: Bước 2: Lặp lần 4: x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) = = -1.00001– (3*(-1.00001)^2 – 3)/(6*(-1.00001)) = -1 ; t = |x2-x1| = 0.00000999995 < 0.001; x1 = x2 = -1; Dừng Bước 3: Tính f’’(x1) = 6*(-1) = -6 < => Hàm số đạt cực đại x = -1 f(-1) = Bài tập Tìm cực trị hàm số f(x) = x4 – 2x2 + khoảng [-1.5, -0.5] [-0.5, 0.5] phương pháp Newton .. .8. 1 Bài tốn tối ưu hóa Tối ưu hố thuật ngữ thường dùng để cực tiểu hoá hay cực đại hố hàm ==> Tìm cực trị Chỉ... 3)/(6*(-1.5)) = -1. 083 33; t = |x2-x1| = 0.416666667 > 0.001; x1 = x2 = -1. 083 33; 8. 3 Phương pháp Newton Ví dụ 8. 3.1: Giải: Bước 2: Lặp lần 2: x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) = = -1. 083 33 – (3*(-1. 083 33 )^2 –... tiểu f”(x) > 8. 3 Phương pháp Newton 8. 3.3 Thuật tốn Vào: • Cận trái khoảng chứa cực trị: a • Sai số ԑ Ra: • xopt: giá trị đạt cực trị • y: giá trị hàm số xopt 8. 3 Phương pháp Newton 8. 3.3 Thuật