Chương 5 nội suy và xấp xỉ hàm

đây là bài tập chương 5 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 5 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,4,6,7,8 nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt

Chương Nội suy xấp xỉ hàm Chương Nội suy xấp xỉ hàm 5.1 Nội suy đa thức 5.2 Khớp đường cong nội suy spline 5.3 Xấp xỉ hàm phương pháp bình phương cực tiểu Bài tập 5.1 Nội suy đa thức 5.1.1 Đa thức nội suy Trong thực hành, ta gặp hàm số y = f(x) mà ta biểu thức giải tích cụ thể f chúng Thơng thương, ta biết giá trị y0, y1, …, yn hàm số điểm x0, x1, …, xn đoạn [a, b] (đa thức) Khi sử dụng hàm số trên, làm để biết giá trị hàm điểm không trùng với xi (i = 1, 2, …, n)? Muốn thực điều này, ta cần xây dựng đa thức có dạng: 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎0 𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑛−1 + +𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑎𝑛 (5.1) thỏa mãn: 𝑃𝑛 (𝑥𝑖 ) = 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑦𝑖 , 𝑖 = 0,1,2, , 𝑛 Pn(x) gọi đa thức nội suy hàm f(x) (5.2) 5.1 Nội suy đa thức 5.1.1 Đa thức nội suy Lý chọn đa thức • Đa thức Pn(x) hàm số dễ tính tốn • Có thể xấp xỉ hàm liên tục với sai số tùy ý • Có thể lấy đạo hàm tích phân lần tùy ý • Tính giá trị đa thức đạo hàm dễ dàng Chúng ta đa thức Pn(x) thay cho hàm số f(x) f(x) tính phức tạp 5.1 Nội suy đa thức 5.1.1 Đa thức nội suy Ví dụ 5.1.1: Chúng ta có hàm f, khơng biết thức giải tích nó, biết giá trị mốc xi –1 yi 0.5 Nếu muốn biết giá trị f điểm - 0.7 hay 0.5 ta cần xây dựng đa thức P(x), sau tính P(-0.7) P(0.5) 5.1 Nội suy đa thức 5.1.1 Đa thức nội suy Về hình học, ta tìm đường cong (đa thức) Pn(x) thay cho hàm f(x) để tính gần giá trị hàm số f(x) y = f (x) y M M1 Mn-1 Mi Mn y = Pn(x) x0 x1 … xi … xn-1 xn x • Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(xk) = yk, k = … n  y ()  P() 5.1 Nội suy đa thức 5.1.1 Đa thức nội suy • Bảng chứa (n+1) cặp liệu { (xk, yk) }, k =  n • Chúng ta có điểm x = α  xk , x ∈ [x0, xn] cần biết giá trị y => phải nội suy từ điểm biết • Chúng ta có điểm x = α  [x0, xn] cần biết giá trị y => ngoại suy từ điểm biết Mốc nội suy x0 x1 … x =   xk  … xn-1 xn Giá trị nội suy y0 y1 … y=? … yn-1 yn xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy 5.1 Nội suy đa thức 5.1.2 Đa thức nội suy Lagrange Lagrange đề xuất xây dựng đa thức bậc n có dạng Ln ( x )  pn(0)  x  y0  pn(1)  x  y1  pn(2)  x  y2   pn( n )  x  yn (5.3) Trong P(k) đa thức phụ có bậc n thỏa (k ) n p 1  x j   0  khi jk jk (5.4) 5.1 Nội suy đa thức 5.1.2 Đa thức nội suy Lagrange Do đa thức phụ có bậc n có n nghiệm x0, x1, …xk-1, xk+1, xn, nên pn( k )  x   C  x  x0  x  x1   x  xk 1  x  xk 1   x  xn  (5.5) pn( k )  xk    (k ) n p  xk   C  xk  x0  xk  x1   xk  xk 1  xk  xk 1   xk  xn   C  (k ) n p  xk  x0  xk  x1   xk  xk 1  xk  xk 1   xk  xn  x  x0  x  x1   x  xk 1  x  xk 1   x  xn    x   xk  x0  xk  x1   xk  xk 1  xk  xk 1   xk  xn  (5.6) (5.7) (5.8) 5.1 Nội suy đa thức 5.1.2 Đa thức nội suy Lagrange Đa thức nội suy Lagrange có dạng n Ln ( x )   pn( k )  x  yk k 0 x  x0  x  x1   x  xi 1  x  xi 1   x  xn   Ln  x    yi  xi  xi 1  xi  xi 1   xi  xn  i 0  xi  x0  xi  x1  n (5.9) (5.10) 5.2 Khớp đường cong nội suy spline 5.2.5 Spline bậc ràng buộc Ví dụ 5.2.3: Xây dựng spline ràng buộc nội suy hàm theo bảng số x y 1 2 với điều kiện g’(0)=g’(2) = Giải Bước 1: h0 = h1 = a0 = 1, a1 = 2, a2 = 5.2 Khớp đường cong nội suy spline 5.2.5 Spline bậc ràng buộc Bước 2: 5.2 Khớp đường cong nội suy spline 5.2.5 Spline bậc ràng buộc Bước 3: Tính hệ số bk, dk: 5.2 Khớp đường cong nội suy spline 5.2.5 Spline bậc ràng buộc Kết luận : spline ràng buộc Bài tập phần nội suy spline Bài Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm theo bảng số x y 1 2 Bài Xây dựng spline ràng buộc nội suy hàm theo bảng số x y 1 2 với điều kiện g’(1)=g’(4) = 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Trong thực tế, giá trị yk xác định thơng qua thực nghiệm hay đo đạc nên thiếu xác Khi việc xây dựng đa thức nội suy qua tất điểm Mk(xk, yk) khơng xác Giải quyết: tìm hàm f(x) đơn giản thể tốt dáng điệu tập hợp điểm, không thiết qua điểm Đây tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu: n g  f     f  xk   yk   k 1 (5.56) 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Hàm f tổng quát đa dạng Để đơn giản, ta tìm hàm f theo dạng: a) y  a  bx b) y  a  bx  cx c) y  a cos x  b sin x 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Trường hợp tuyến tính f(x) = a + bx n g  f     f  xk   yk   k 1 n g  a , b     a  bxk  yk   k 1 Điểm dừng =>     a  bxk  yk    k 1  n   a  bx  y  x  k k k   k 1 g  0, a g 0 b n Rút gọn, ta có => n n  na  b xk   yk   k 1 k 1  n n n a x  b x  x y   k k k k   k 1 k 1 k 1 (5.57) 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Trường hợp tuyến tính f(x) = a + bx Ví dụ 5.3.1 Tìm hàm f(x) = a + bx xấp xỉ bảng số theo phương pháp BPCT Giải n n  Theo CT (5.57) na  b xk   yk   k 1 k 1  n n n a x  b x  x y   k k k k   k 1 k 1 k 1  10a  29b  39   29a  109b  140 Nghiệm a = 0.7671, b=1.0803 Vậy f(x) = 0.7671+1.0803x 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Trường hợp tuyến tính f(x) = a + bx + cx² g  a , b, c     a  bxk  cx  yk   n k k 1 Điểm dừng g  0, a g  0, b g 0 c n n n  na  b x  c x   k k   yk  k 1 k 1 k 1  n n n  n  a  xk  b  xk  c  x k   x k y k k 1 k 1 k 1  k 1 n n n  n a x  b x  c x  x   k    k k k yk  k 1 k 1 k 1 k 1 (5.58) 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Trường hợp tuyến tính f(x) = a + bx + cx² Ví dụ 5.3.2 Tìm hàm f(x) = a + bx+cx2 xấp xỉ bảng số theo phương pháp BPCT Giải  Theo CT (5.58) ta có:  7a  19b  65c  61.70  19a  65b  253c  211.04 65a  253b  1061c  835.78  Nghiệm a = 4.3, b = -0.71, c = 0.69 Vậy f(x) = 4.3 - 0.71x + 0.69x2 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Trường hợp tuyến tính f(x) = acos x + bsin x n g  a, b     a cos xk  b sin xk  yk   k 1 Điểm dừng g  0, a g 0 b n n  n a cos xk  b cos xk sin xk   yk cos xk    k 1 k 1 k 1  n n n  a cos x sin x  b sin x  yk sin xk    k k k  k 1 k 1 k 1 (5.59) 5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu Trường hợp tuyến tính f(x) = acos x + bsin x Ví dụ 5.3.3 Tìm hàm f(x) = acosx + bsinx xấp xỉ bảng số theo phương pháp BPCT Giải Theo CT (5.59) ta có: Nghiệm a = -0.1633, b=0.0151 => f(x) = -0.1633cosx+0.0151sinx Bài tập: Phương pháp bình phương cực tiểu Bài Tìm cơng thức thực nghiệm dạng f(x) = acosx + bsinx theo bảng số: x y 0.5 1.5 1.5 Bài Tìm cơng thức thực nghiệm dạng f(x) = acosx + bsinx theo bảng số: x y 1.5 3.5 1.9 Bài tập: Phương pháp bình phương cực tiểu Bài Tìm cơng thức thực nghiệm dạng f(x) = a + bx theo bảng số: x y 7.32 8.24 9.20 10 12 10.19 11.01 12.05 Bài Tìm cơng thức thực nghiệm dạng f(x) = a + bx + cx2 theo bảng số: x y 0.78 2.50 1.56 1.20 2.34 1.12 3.12 2.25 2.81 4.28 .. .Chương Nội suy xấp xỉ hàm 5. 1 Nội suy đa thức 5. 2 Khớp đường cong nội suy spline 5. 3 Xấp xỉ hàm phương pháp bình phương cực tiểu Bài tập 5. 1 Nội suy đa thức 5. 1.1 Đa thức nội suy Trong... Rn(x) xem sai số (5. 18) Đặt Rn(x) (5. 19) 5. 1 Nội suy đa thức 5. 1 .5 Đa thức nội suy Newton: TH nút nội suy không cách Chúng ta có q trình nội suy Nội suy Newton tiến lùi  Nội suy Newton tiến xuất... ngoại suy từ điểm biết Mốc nội suy x0 x1 … x =   xk  … xn-1 xn Giá trị nội suy y0 y1 … y=? … yn-1 yn xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy 5. 1 Nội suy đa thức 5. 1.2 Đa thức nội suy Lagrange